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Métodos Estocásticos da Engenharia IIICapítulo 4 - Análise da Capacidade de Processos
Prof. Magno Silvério Campos
2019/1
(UFOP/EM/DEPRO) Métodos Estocásticos da Engenharia III 2019/1 1 / 35
Bibliografia
BibliografiaEssas notas de aulas foram baseadas nas seguintes obras:
1 CARPINETTI, L. C. R.; et al. Controle Estatístico de Qualidade. 2 ed. São Paulo:Atlas, 2009.
2 DEVORE, J. L. Probabilidade e estatística para Engenharia e Ciências. São Paulo:Cengage Learning, 2014.
3 HINES, W.W.; et al. Probabilidade e Estatística na Engenharia. 4. ed. Rio deJaneiro: LTC, 2006.
4 LEVINE, D. M.; et al. Estatística - Teoria e Aplicações. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC,2008.
5 MONTGOMERY, D.C.; RUNGER, G.C. Estatística Aplicada e Probabilidade paraEngenheiros. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016.
6 MONTGOMERY, D. C. Introdução ao Controle Estatístico da Qualidade. 7. ed. Riode Janeiro: LTC, 2016.
7 MOORE, D.S. A Estatística Básica e sua Prática. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2011.8 RIBEIRO Jr., J. I. Métodos Estatísticos Aplicados ao Controle da Qualidade. Viçosa:
Editora UFV, 2013.9 RYAN, T. R. Estatística Moderna para Engenharia. Rio de Janeiro: Elsevier, 2009.10 WALPOLE, R. E.; et al. Probabilidade & Estatística para Engenharia e Ciências. 8.
ed. São Paulo: Pearson, 2009.
Aconselha-se pesquisá-las para se obter um maior aprofundamento e um melhoraproveitamento nos estudos.
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Conteúdo Programático
Conteúdo Programático
Seção 0 - IntroduçãoSeção 1 - Comparação entre limites naturais e de especificaçãoSeção 2 - Índices de capacidadeSeção 3 - Processo 6σ
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Seção 0 - Introdução
Introdução
Em um processo de qualidade, espera-se ter
LIC > LIE e LSC < LSE
O controle da variabilidade e da posição da distribuição de probabilidades associada à variávelresposta Y , isto é, o controle da estabilidade do processo, é crucial para torná-lo capaz deatender às especificações do processo.
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Seção 0 - Introdução
Assim, deve-se verificar primeiro a estabilidade do processo.
Caso não seja estável, deve-se corrigir o processo.
Sendo estável, deve-se avaliar a sua capacidade:Se for capaz, ótimo! Deve-se continuar monitorando-o;Se não for capaz, deve-se melhorá-lo utilizando DOE.
A avaliação da estabilidade pode ser feita através de cartas de controle. Já a capacidade podeser avaliada comparando a variabilidade do processo em relação aos limites de especificação,conforme passaremos a discutir agora.
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Comparação entre limites naturais e de especificação
Comparação entre limites naturais e de especificação
Limites naturais
Se em um processo, a variável de interesse é Y ∼ N(µ, σ2), então teremos:
Consideram-se os seguintes limites naturais do processo:LIN = µ− 3σ
LSN = µ+ 3σ
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Comparação entre limites naturais e de especificação
Na figura abaixo, temos algumas representações dos limites naturais em relação aos limitesde especificação.
Apenas o processo representado em (D) será considerado capaz.
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Índices de capacidade
Índices de capacidade
[1] - Índice Cp
Esse índice compara a especificação com a variabilidade natural do processo, através daseguinte expressão:
Cp =LSE − LIELSN − LIN
=LSE − LIE
(µ+ 3σ)− (µ− 3σ)
=LSE − LIE
6σ(1)
Uma estimativa para Cp é dada por:
Cp =LSE − LIE
6S(2)
Onde S é a estimativa do desvio-padrão σ, obtida a partir da variação de Y que ocorre dentrodos subgrupos racionais.
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Índices de capacidade
Introdução
Observação 1:
Quanto maior a estimativa de Cp, maior será a capacidade do processo de atender às espe-cificações. Em outras palavras, quanto mior for Cp, maior será o número de desvios-padrãoque caberá dentro dos limites de especificação, e menor será a variabilidade do processo.
Observação 2:
Esse índice monitora somente a variabilidade do processo, exigindo para tal, a centralidadedo processo (µ = V N = LIE+LSE
2)
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Índices de capacidade
FEUP (%)
O Percentual de Faixa de Especificação Utilizada (FEUP) é dado por:
FEUP =LSN − LINLSE − LIE
× 100
=1
Cp× 100. (3)
Quanto menor esse percentual, melhor será.
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Índices de capacidade
Exemplo 1 - Adaptado - [Montgomery e Runger(2016)]
A espessura de uma peça metálica é um importante parâmetro da qualidade para certoprocesso. Dados sobre a espessura, em polegadas, são apresentados na tabela abaixo, para14 amostras com 5 peças cada uma, isto é, subgrupos de tamanho 5.
Primeiramente, responda se o problema está sob controle estatístico. Se sim, estime o índiceCp do processo, considerando que a espessura seja normalmente distribuída, com especificaçãoem 4, 950± 0, 050.
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Índices de capacidade
Resolução:
[1] - Estudo da estabilidade do processo:
Como pode ser observado na carta X−S, o processo se encontra sob controle estatístico, istoé, se encontra estável.
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Índices de capacidade
[2] - Estudo parciala da capacidade do processo: a média de Y é dada por µ = y = 4, 95.Como essse valor é igual ao V N , então o processo está centrado em seu alvo. Assim, usaremospara o estudo da capacidade, o índice Cp, como segue:
Cp =LSE − LIE
6S
=5, 000− 4, 900
6 · 0, 00985
= 1, 69
Assim, uma vez que o processo apresenta Cp = 1, 69 ≥ 1, 33, o processo se mostra capaz deatender às especificações.
aPor enquanto só conhecemos o índice Cp.
Também, temos que:
FEUP =1
Cp× 100
=1
1, 69× 100.
= 59, 2%. (4)
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Índices de capacidade
Fato: e se o processo não estiver centrado no alvo? Qual índice utilizar?
Resposta: Cpm, Cpk ou Cpkm.
[2] - Índice Cpm
Esse índice compara a especificação com a variabilidade natural do processo, e também adistância da média de Y em relação ao alvo (ou valor-nominal (VN)) através da seguinteexpressão:
Cpm =LSE − LIE
6×√S2 + (y − V N)2
(5)
Onde S é a estimativa do desvio-padrão σ, obtida a partir da variação global de Y .
Observação 1:
Cpm diminuirá quando houver aumento da variabilidade dos dados e/ou quando sua médiase afastar do alvo.
Observação 2:
Quando o processo estiver centrado em seu alvo, isto é, quando µ = V N =⇒ Cpm = Cp.
Observação 3:
No geral, Cpm ≤ Cp.
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Índices de capacidade
Exemplo 2:
Para os dados do exemplo 1, considerando que a média do processo seja µ = y = 4, 95905determine o valor de Cpm.
Resolução:
Cpm =LSE − LIE
6×√S2 + (y − V N)2
=5, 000− 4, 900
6×√
0, 1077242 + (4, 95905− 4, 95)2
= 1, 18
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Índices de capacidade
[3] - Índice Cpk
Esse índice compara a especificação com a variabilidade natural do processo, e também adistância da média de Y em relação ao limite de especificação mais próximo, através daseguinte expressão:
Cpk = min(LSE − y
3S,y − LIE
3S) (6)
Onde S é a estimativa do desvio-padrão σ, obtida a partir da variação de Y que ocorre dentrodos subgrupos racionais.
Observação 1:
Cpk é calculado em relação ao limite de especificação mais próximo. Portanto, não há anecessidade de se ter µ = V N .
Observação 2:
Quanto maior for sua estimativa, maior será a capacidade do processo em atender as es-pecificações, isto é, maior será o número de 3σ que o processo se distanciará do limite deespecificação mais próximo. Obviamente que, se isso acontecer em relação ao limite maispróximo de µ = y, o mesmo acontecerá com o limite mais distante, porém com mais folgaainda.
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Índices de capacidade
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Índices de capacidade
Exemplo 3:
Para os dados do exemplo 1, considerando que a média do processo seja µ = y = 4, 95905determine o valor de Cpk.
Resolução:
Cpk = min(LSE − y
3S,y − LIE
3S)
= min(5, 000− 4, 95905
3× 0, 00985;
4, 95905− 4, 90
3× 0, 00985)
= min(1, 38; 1, 99)
= 1, 38
Assim, uma vez que o processo apresenta Cpk = 1, 38 ≥ 1, 33, o processo se mostra capaz deatender às especificações.
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Índices de capacidade
[4] - Índice Cpkm
Esse índice compara a especificação com a variabilidade natural do processo, a distância damédia de Y em relação ao limite de especificação mais próximo, e também pondera essadistância em ralação ao valor alvo (V N), através da seguinte expressão:
Cpkm = min(LSE − y
3×√S2 + (y − V N)2
,y − LIE
3×√S2 + (y − V N)2
) (7)
Onde S é a estimativa do desvio-padrão σ, obtida a partir da variação de Y que ocorre dentrodos subgrupos racionais.
Observação 1:
Cpkm diminuirá quando houver aumento da variabilidade dos dados e/ou quando sua médiase afastar do alvo.
Observação 2:
Quando o processo estiver centrado em seu alvo, isto é, quando µ = V N =⇒ Cpkm = Cpk.
Observação 3:
No geral, Cpkm ≤ Cpk.
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Índices de capacidade
Exemplo 4:
Para os dados do exemplo 1, considerando que a média do processo seja µ = y = 4, 95905determine o valor de Cpkm.
Resolução:
Cpkm = min(LSE − y
3×√S2 + (y − V N)2
,y − LIE
3×√S2 + (y − V N)2
)
= min(5, 000− 4, 95905
3×√
0, 009852 + (4, 95905− 4, 95)2,
4, 95905− 4, 900
3×√
0, 009852 + (4, 95905− 4, 95)2)
= min(1, 38; 1, 99)
= 1, 38
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Índices de capacidade
[5] - Índice Cpl
Quando houver somente o limite inferior de especificação, usaremos o índice Cpl, dado pelaseguinte expressão:
Cpl =y − LIE
3S(8)
[6] - Índice Cpu
Quando houver somente o limite superior de especificação, usaremos o índice Cpu, dado pelaseguinte expressão:
Cpu =LSE − y
3S(9)
Onde S é a estimativa do desvio-padrão σ, obtida a partir da variação de Y que ocorre dentrodos subgrupos racionais.
Observação:
Quanto maior for o valor de Cpl ou de Cpu, maior será a capacidade do processo.
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Índices de capacidade
Exemplo 5:
Para os dados do exemplo 1, considerando que a média do processo seja µ = y = 4, 95905determine o valor de Cpl e de Cpu.
Resolução:
Cpl =y − LIE
3S
=4, 95905− 4, 900
3× 0, 00985
= 2, 0
(10)
Cpu =LSE − y
3S
=5, 000− 4, 95905
3× 000985
= 1, 38
(11)
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Índices de capacidade
Alteração na notação:
Quando se utilizar o desvio-padrão devido à variação global de Y , sem considerar a formaçãodos subgrupos racionais, os índices anteriores mudam de notação, embora suas expressões einterpretações permaneçam as mesmas.
As novas notações são:Cp −→ Pp
Cpm −→ Ppm
Cpk −→ Ppk
Cpkm −→ Ppkm
Cpl −→ Ppl
Cpu −→ Ppu
(UFOP/EM/DEPRO) Métodos Estocásticos da Engenharia III 2019/1 23 / 35
Índices de capacidade
Stat → Ferramentas de Qualidade → Análise de Capacidade → Normal
(UFOP/EM/DEPRO) Métodos Estocásticos da Engenharia III 2019/1 24 / 35
Processo 6σ
Processo 6σ
Definição - Caso I (Com µ = V N)
Um processo 6σ é aquele, cuja média µ difere, no mínimo, seis desvios-padrão do limite deespecificação mais próximo. Isso significa que, para um processo ser qualificado como 6σ, eledeverá satisfazer a seguinte condição:
min(LSE − µ; µ− LIE) ≥ 6σ (12)
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Processo 6σ
Generalização
Para um nível sigma específico, denominado Zbench, temos a seguinte condição:
min(LSE − µ; µ− LIE) ≥ Zbench · σ (13)
Logo,
Nível sigma = Zbench = min(LSE − µ
σ;µ− LIE
σ) (14)
Agora, uma vez que Cpk = min(LSE−µ3σ
; µ−LIE3σ
), temos que:
Nível sigma = Zbench = 3Cpk (15)
Assim,
Nível sigma estimado = Zbench = 3Cpk = min(LSE − y
S;y − LIE
S). (16)
Denominamos:LSE−y
S= ZLSE e y−LIE
S= ZLIE .
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Processo 6σ
Exemplo 6:
Para os dados do exemplo 1, considerando que a média do processo seja µ = y = 4, 95905determine o nível sigma do processo.
Resolução:
Zbench = 3Cpk
= min(LSE − y
S;y − LIE
S)
= min(5, 000− 4, 95905
0, 00985;
4, 95905− 4, 900
0, 00985)
= min(4, 15; 5, 99)
= 4, 15
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Processo 6σ
Interpretação:
Considere a seguinte especificação:
LIE = −6, V N = 0 e LSE = 6.
Processo 6σ
µ = 0 e σ = 1 =⇒ [P (Y < −6) + P (Y > 6)] · 1.000.000 ∼= 0, 002 ppm
Processo 5σ
µ = 0 e σ = 1, 2 =⇒ [P (Y < −6) + P (Y > 6)] · 1.000.000 ∼= 0, 57 ppm
Processo 4σ
µ = 0 e σ = 1, 5 =⇒ [P (Y < −6) + P (Y > 6)] · 1.000.000 ∼= 63 ppm
Processo 3σ
µ = 0 e σ = 2 =⇒ [P (Y < −6) + P (Y > 6)] · 1.000.000 ∼= 2.700 ppm
Processo 2σ
µ = 0 e σ = 3 =⇒ [P (Y < −6) + P (Y > 6)] · 1.000.000 ∼= 45.500 ppm(UFOP/EM/DEPRO) Métodos Estocásticos da Engenharia III 2019/1 28 / 35
Processo 6σ
Com µ = V N
(UFOP/EM/DEPRO) Métodos Estocásticos da Engenharia III 2019/1 29 / 35
Processo 6σ
Exemplo 1, Com µ = V N
Stat → Ferramentas de Qualidade → Análise de Capacidade → Normal
(UFOP/EM/DEPRO) Métodos Estocásticos da Engenharia III 2019/1 30 / 35
Processo 6σ
Definição - Caso II (Com µ = V N ± 1, 5σ)
Nesse caso, um processo 6σ é aquele, cuja média µ difere, no máximo, 1,5 desvio-padrão dovalor alvo (ou valor nominal (VN)).
Aqui,
Cpk = min[LSE − (V N + 1, 5σ)
3σ;
(V N + 1, 5σ)− LIE3σ
]
Logo,
Nível sigma estimado = Zbench + 1, 5
= 3Cpk + 1, 5
= min(LSE − (V N + 1, 5σ)
σ;
(V N + 1, 5σ)− LIEσ
) + 1, 5. (17)
(UFOP/EM/DEPRO) Métodos Estocásticos da Engenharia III 2019/1 31 / 35
Processo 6σ
Interpretação:
Considere a seguinte especificação:
LIE = −6, V N = 0, LSE = 6 e µ = V N + 1, 5σ
Processo 6σ
µ = 1, 5 e σ = 1 =⇒ [P (Y < −6) + P (Y > 6)] · 1.000.000 ∼= 3, 4 ppm
Processo 5σ
µ = 1, 8 e σ = 1, 2 =⇒ [P (Y < −6) + P (Y > 6)] · 1.000.000 ∼= 233 ppm
Processo 4σ
µ = 2, 25 e σ = 1, 5 =⇒ [P (Y < −6) + P (Y > 6)] · 1.000.000 ∼= 6.210 ppm
Processo 3σ
µ = 3 e σ = 2 =⇒ [P (Y < −6) + P (Y > 6)] · 1.000.000 ∼= 66.811 ppm
Processo 2σ
µ = 4, 5 e σ = 3 =⇒ [P (Y < −6) + P (Y > 6)] · 1.000.000 ∼= 308.770 ppm(UFOP/EM/DEPRO) Métodos Estocásticos da Engenharia III 2019/1 32 / 35
Processo 6σ
Com µ = V N + 1, 5σ ou com µ = V N − 1, 5σ
(UFOP/EM/DEPRO) Métodos Estocásticos da Engenharia III 2019/1 33 / 35
Processo 6σ
Mais de uma variável resposta Y
Uma outra vantagem do processo 6σ é quando os itens produzidos ou os serviçoes prestadospossuem mais de uma variável-resposta Y a ser analisada.
Nele, se as variáveis forem independentes com µ = V N e Cpk = 2, a probabilidade deconformidade é dada por 0, 9999999982, se houver dois Y ′s. É de 0, 9999999983, se houver 3Y ′s, e assim sucessivamente.
Já, para um processo 3σ, por exemplo, com µ = V N e Cpk = 1, a probabilidade de con-formidade é dada por 0, 99732, se houver dois Y ′s. É de 0, 99733, se houver 3 Y ′s, e assimsucessivamente.
(UFOP/EM/DEPRO) Métodos Estocásticos da Engenharia III 2019/1 34 / 35
Processo 6σ
Comparação da propoporção de conformidade:
(UFOP/EM/DEPRO) Métodos Estocásticos da Engenharia III 2019/1 35 / 35
Processo 6σ
Montgomery, D., Runger, G., 2016. Estatística Aplicada eProbabilidade para Engenheiros. Rio de Janeiro: LTC.
(UFOP/EM/DEPRO) Métodos Estocásticos da Engenharia III 2019/1 35 / 35
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