Noţiunea de primitivă leagă între ele două concepte fundamentale ale Analizei matematice.docx

Noiunea de primitiv leag ntre ele dou concepte fundamentale ale Analizei matematice: derivata i integrala, ceea ce justific situarea acestui capitol ntre Derivabilitatea i Integrabilitate. Notaia unei primitive dintr-o funcie cu acelai simbol grafic ca i integrala (exceptnd limitele de integrare) conduce, uneori, la confuzii ntre cele dou concepte, ca i la folosirea aceleiai denumiri pentru operaii diferite (de exemplu, formula integrrii prin pri att la primitiv, ct i la integral).Noiunea de integral definit a aprut din necesiti practice, ea contribuind la rezolvarea a numeroase probleme de geometrie i mecanic care au implicat treceri la limit de un anumit tip. n acest sens, Calculul integral s-a dezvoltat timp de cteva secole independent de Calculul diferenial. La sfritul secolului al XVII-lea, dup ce aceste ramuri ale matematicii reuiser s rezolve, cu metode specifice, numeroase probleme cu caracter practic, s-a stabilit legtura profund dintre ele: integrarea i diferenierea funciilor sunt operaii inverse una alteia. Analiza matematic a reprezentat, astfel, de la nceput, un domeniu integrator bazat pe dualitatea local-global, derivat-integral.Exemple de probleme care justific introducerea noiunii de primitiv cititi aici.https://primitive12.wordpress.com/2011/11/13/probleme-care-justifica-introducerea-notiunii-de-primitiva/

Integrala nedefinit idifereniala 14 Nov Originile integralei urc pn n antichitatea greac, la Eudox din coala lui Platon, secolul al IV-lea .H. i la Arhimede din coala din Alexandria, secolul al III-lea .H. Problema geometric de baz pe care teoria integralei definite i propune s o rezolve este urmtoarea: Fie f o funcie real pozitiv definit pe intervalul [a,b] i fie E(f) subgraficul lui f. Ce reprezint aria lui E(f ) i cum se poate determina aceasta?Necesitatea de a calcula arii i volume a fost evident nc din antichitate, dar lipsea un procedeu general. Arhimede a indicat mai multe metode pentru a calcula aria unui segment de parabol,iar Eudox a gsit volumul piramidei i al conului. Toate acestea erau obinute cu mult ingeniozitate, dar matematicienii de atunci nu gsiser nc o regul general.Stabilirea legturii dintre integral i derivat a permis trecerea de la proprieti locale la proprieti globale i elaborarea unei metode de calcul al acestora. Cei care au avut contribuii decisive n aceast direcie au fost Newton i Leibniz, care au lucrat n mod independent, ajungnd la aceleai concluzii, prin metode diferite.Newton a demonstrat c aria F(x) a acelei poriuni din subgraficul E(f) a lui f care corespunde subintervalului [a,x] a lui [a,b] are ca derivat pe f(x). De aici el a dedus c determinarea ariei lui E(f) revine la a gsi o funcie F avnd ca derivat pe f pe [a,b] i la a calcula F(b)-F(a). n acest mod Newton a stabilit legtura dintre primitive i arie pe baza unui algoritm destul de simplu.n schimb G.W. Leibniz a avut ca punct de plecare n rezolvarea problemei ariilor operaia de trecere la limit a unei sume. Leibniz a stabilit c, atunci cnd diferenele devin infinit de mici, suma Riemann devine aria lui E(f), pe care a notat-o . Simbolul este o form alungit a literei S, de la o sum, iar simbolul dx sugereaz diferena . Abia fraii Bernoulli au introdus, la sfritul secolului al XVII-lea, termenul de integral, pe care l-a adoptat i Leibniz, i care corespunde la ceea ce azi numim primitiv. Dac se noteaz cu F(x) aria poriunii subgraficului E(f) care corespunde subintervalului [a,x], atunci relaia de azi F(x)=f(x) n notaia lui Leibniz se scria sau , altfel spus: difereniala integralei (a ariei) este egal cu produsul dintre derivata integralei i difereniala lui x. Integrala definit a lui f pe [a,b] este aria subgraficului E(f) i are valoarea F(b)-F(a), unde F este o primitiv a lui f. Notaia a fost introdus n 1816 de ctre Fourier. Datorit strnsei legturi care exist ntre noiunile de integral definit i nedefinit, pentru operaia de determinare a primitivelor unei funcii se adopt acelai simbol.Chestiuni mai subtile, legate de posibilitatea integrrii unor funcii ct mai generale, s-au pus mai trziu. Cauchy a dezvoltat teoria integralei pentru funcii avnd un numr finit de discontinuiti. Cel care a elaborat o teorie complet a integralei a fost Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866). Matematicianul Henry Lebesque (1875-1941) a construit o integral mai general, care a deschis perspective noi n analiza matematic.Bottom of Form