Numeri Complessi. “Radici quadrate di numeri negativi” Perchè?

Numeri Complessi

“Radici quadrate di numeri negativi”

Perchè?

Problema:Cardano, Ars Magna cap.XXXVII, (1545)

Dividi 10 in due parti il cui prodotto è 40

Girolamo Cardano (Pavia, 24 settembre 1501 – Roma, 21 settembre 1576?)

Problema:Cardano, Ars Magna cap.XXXVII, (1545)

Dividi 10 in due parti il cui prodotto è 40

le soluzioni sono:

Problema:Cardano, Ars Magna cap.XXXVII, (1545)

Dividi 10 in due parti il cui prodotto è 40

le soluzioni sono:

Girolamo Cardano (1501 – 1576?)

Così progredisce la sottigliezza aritmetica il cui fine, come si dice, è

tanto raffinato quanto inutile.”

“Lasciando da parte le torture mentali connesse:

“E’ giusto che le radici delle equazioni siano

spesso impossibili [complesse], per esibire casi di problemi impossibili.”

Newton (1728)

Equazioni di terzo grado

Niccolò Tartaglia, soprannome di Niccolò Fontana

(Brescia, 1499 – Venezia 1557)

Gerolamo Cardano (Pavia 1501 – Roma, 1576?)

Scipione del Ferro (Bologna,1465 – Bologna, 1526)

Lodovico Ferrari (1522 –1565)

?

Caso Irriducibile

le soluzioni sono:

Caso Irriducibile

le soluzioni sono:

Usando la formula risolutiva

Caso Irriducibile

le soluzioni sono:

?Viene introdotto il

simbolo

“Né le vere né le false [negative] radici

sono sempre reali; talvolta esse sono

immaginarie.”Descartes, Géométrie

(1637)

Haye en Touraine, 31 marzo 1596 – Stoccolma, 11 febbraio 1650)René Descartes

“Lo Spirito Divino trovò una via d’uscita sublime

in quel mostro dell’analisi, quel portento del mondo ideale,

quell’anfibio fra essere e non essere, che chiamiamo

radice immaginaria dell’unità negativa.”

Leibniz (1702)

“Dove sono i Numeri complessi?”

Rappresentazione grafica

1 2 3 4-1-2 0

Numeri reali

1/2

Retta reale

1 2 3 4

i

2i

3i

-i

-2i

-1-2

4+2i

Numeri complessi

Piano complesso o piano di Argand-Gauss

Karl Friederich Gauss,(Braunschweig, 1777 – Gottinga,1855)

Jean-Robert Argand

(Ginevra 1768 – Parigi, 1822)

Asse immaginario

Asse reale

w=2-i

Numeri complessi

Asse immaginario

Asse reale

w=2-i

Numeri complessi

Numeri complessimodulo di z= distanza di z dall’origine

Numeri complessimodulo di z= distanza di z dall’origine

Numeri complessimodulo, parte reale, parte immaginaria

1 2 3 4

i

2i

3i

-i

-2i

-1-2

Numeri complessi

Opposto di w

1 2 3 4

i

2i

3i

-i

-2i

-1-2

Numeri complessi

-w = opposto di w

1 2 3 4

i

2i

3i

-i

-2i

-1-2

Asse immaginario

Asse reale

Numeri complessi

coniugato di z

1 2 3 4

i

2i

3i

-i

-2i

-1-2

Asse immaginario

Asse reale

Numeri complessi

Opposto e coniugato

Numeri complessi

Numeri complessi

Numeri complessi

Numeri complessi

4

2i

-i

-1

z=4+2i

Rappresentazione trigonometrica

|z|

Modulo di z

Argomento di z

4

2i

-i

-1

z=4+2i

Rappresentazione trigonometrica

4

2i

-i

-1

z=4+2i

Rappresentazione trigonometrica

|z|

Modulo di z

4

2i

-i

-1

z=4+2i

Rappresentazione trigonometrica

|z|

Modulo di z

Argomento di z

4

2i

-i

-1

z=4+2i

Rappresentazione trigonometrica

|z|

Modulo di z

Argomento di z

Rappresentazione Algebrica e Trigonometrica

Rappresentazione Algebrica e Trigonometrica

Rappresentazione Algebrica e Trigonometrica

Operazioni con Numeri Complessi

Operazioni con Numeri Complessi

Somma:

Operazioni con Numeri Complessi

Somma:

Prodotto: quadrati, cubi,...

Operazioni con Numeri Complessi

Somma:

Prodotto: quadrati, cubi,...

Radici: quadrate, cubiche,...

Operazioni con Numeri Complessi

Somma:

Prodotto: quadrati, cubi,...

Radici: quadrate, cubiche,...

Esponenziali:

Operazioni con Numeri Complessi

Somma:

Prodotto: quadrati, cubi,...

Radici: quadrate, cubiche,...

Esponenziali:

Somma di numeri complessi

Somma di numeri complessi

Somma di numeri complessi

Esempio

1 2 3 4

i

2i

3i

-i

-2i

-1-2

z=4+2i

Asse immaginario

Asse reale

w=2-i

65

Somma di numeri complessi

Regola del Parallelogramma

1 2 3 4

i

2i

3i

-i

-2i

-1-2

z=4+2i

Asse immaginario

Asse reale

w=2-i

65

z+w=6+i

Somma di numeri complessi

Regola del Parallelogramma

1 2 3 4

i

2i

3i

-i

-2i

-1-2

z=4+2i

Asse immaginario

Asse reale

w=2-i

65

z+w=6+i

Somma di numeri complessi

Regola del Parallelogramma

Modulo della differenza di due numeri complessi

1 2 3 4

i

-i

-2i

-1-2 65

Modulo della differenza di due numeri complessi

1 2 3 4

i

-i

-2i

-1-2 65

Modulo della differenza di due numeri complessi

1 2 3 4

i

-i

-2i

-1-2 65

Modulo della differenza di due numeri complessi

1 2 3 4

i

-i

-2i

-1-2 65

Modulo della differenza di due numeri complessi

1 2 3 4

i

-i

-2i

-1-2 65

Prodotto di numeri complessi

Prodotto di numeri complessi

Prodotto di numeri complessi

Prodotto di numeri complessi

Prodotto di numeri complessi

Prodotto di numeri complessi

Prodotto di numeri complessi

i

1

Prodotto di numeri complessi

i

1

Prodotto di numeri complessi

i

1

Prodotto di numeri complessi

i

1

Inverso del numero complesso:

i

1

Inverso del numero complesso:

i

1

Inverso del numero complesso:

Inverso del numero complesso

in forma trigonometrica:

in forma algebrica:

Esercizi

Scrivi in forma algebrica:

Scrivi in forma trigonometrica:

Potenze di numeri complessi

i

1

a

i

1

r

i b

Potenze di z=1+i

Potenze di z=1+i

Potenze di z=1+i

Potenze di z=1+i

Potenze di z=1+i

Esercizi

Disegnate sul piano di Gauss:

Radici di un numero complesso

Le radici quadrate di un numero complesso z sono tutti quei numeri che elevati al

quadrato danno z.

Supponiamo che:

allora se e solo se

Radici quadrate dell’unità immaginaria

se e solo se

cioè se

Radici quadrate di i

Radici quadrate di i

Radici terze di un numero complesso

Le radici terze di un numero complesso z sono tutti quei numeri che elevati al cubo

danno z.

Supponiamo che:

allora se e solo se

Radici cubiche di i:

Radici cubiche di i:

Radici cubiche di i:

Radici cubiche di i:

Radici cubiche:

Radici cubiche:

Radici quarte:

Radici quarte:

Se allora

Se allora

Se allora

Se allora

Se allora

Se allora

Se allora

ha 2 soluzioni

ha 3 soluzioni

ha n soluzioni

Teorema fondamentale dell’algebra

ha sempre

L’equazione

soluzioni nel campo complesso.

Karl Friederich Gauss,(Braunschweig, 1777 – Gottinga,1855)

Teorema fondamentale dell’algebra

ha sempre

L’equazione

(Contandole con la loro molteplicità)

soluzioni nel campo complesso.

Algebra

Algebra

Algebra