View
0
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
Ενότητα : ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ζ (ΖTransform)
Aναστασία Βελώνη
Τμήμα Η.Υ.Σ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα
Άδειες Χρήσης
• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
• Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.
2
Χρηματοδότηση • Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια
του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.
• Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού.
• Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
3
Σκοποί ενότητας
Παρουσίαση του μετασχηματισμού Ζ ως εργαλείο μελέτης και επίλυσης Γ.Χ.Α συστημάτων διακριτού χρόνου.
4
Περιεχόμενα ενότητας
1. Η χρήση του Μετασχηματισμού Z στην επίλυση Ε.Δ
2. Ορισμός Z Transform
3. Η χρησιμότητα του Μετασχηματισμού Z στην ανάλυση διακριτών ΓΧΑ συστημάτων
4. Παραδείγματα
5. Θεωρήματα και Ιδιότητες του μετασχηματισμού Ζ
6. Αντίστροφος μετασχηματισμός Ζ
7. Υπολογισμός Αντίστροφου μετασχηματισμού z
8. Τυπολόγιο
9. Λυμένες ασκήσεις εξάσκησης
10. Ασκήσεις Για Λύση
5
Γενικές έννοιες
• Όπως τα αναλογικά συστήματα σχεδιάζονται και αναλύονται με την χρήση των Μετασχηματισμών Laplace, έτσι και στην περίπτωση των συστημάτων διακριτού χρόνου χρησιμοποιείται μια αντίστοιχη τεχνική που λέγεται Μετασχηματισμός Z.
• Όπως ο μετασχηματισμός Laplace μετατρέπει τις διαφορικές εξισώσεις σε αλγεβρικές ως προς s , ο μετασχηματισμός Z μετατρέπει τις εξισώσεις διαφορών σε αλγεβρικές ως προς z. Και οι δύο μετασχηματισμοί αντιστοιχίζουν στα σημεία μιας περιοχής του μιγαδικού επιπέδου μια μιγαδική ποσότητα.
6
Η χρήση του Μετασχηματισμού Z στην επίλυση Ε.Δ
7
Πεδίο z – Πεδίο χρόνου – Πεδίο συχνότητας
8
Ορισμός Z Transform
9
Z-Transform (1)
10
Z-Transform (2)
11
Z-Transform (3)
12
Η χρησιμότητα του Μετασχηματισμού Z στην
ανάλυση διακριτών ΓΧΑ συστημάτων.
Παρέχει δυνατότητες για:
• Αποτελεσματικό υπολογισμό της απόκρισης ενός ΓΧΑ συστήματος (η συνέλιξη στο πεδίο του διακριτού χρόνου y(n) = x(n)> h(n) υπολογίζεται ως γινόμενο στο πεδίο του μετασχηματισμού Z: Y(z)=X(z)H(z) οπότε y(n) = ΙΖΤ(Y(z)).
• Ανάλυση της ευστάθειας ενός ΓΧΑ συστήματος (μέσω του υπολογισμού της περιοχής σύγκλισης).
• Χαρακτηρισμό ενός ΓΧΑ σε σχέση με τη συμπεριφορά του στο πεδίο της συχνότητας (βαθυπερατό φίλτρο, ζωνοπερατό φίλτρο κλπ).
13
z-Plane
14
Σύγκριση επιπέδων s και z
Το επίπεδο s είναι ορθογώνιο ενώ το επίπεδο z είναι πολικό.
Ένα αιτιατό σύστημα διακριτού χρόνου είναι ευσταθές όταν οι πόλοι του βρίσκονται στο εσωτερικό του μοναδιαίου κύκλου.
15
COMPLEX Z - PLANE
16
Απεικόνιση του j άξονα στο πεδίο s στο πεδίο z
17
Απεικόνιση του αριστερού ημιεπιπέδου s στο πεδίο z
18
Παράδειγμα εύρεσης του μετ/σμού z #1 (1)
19
Παράδειγμα εύρεσης του μετ/σμού z #1 (2)
20
Παράδειγμα εύρεσης του μετ/σμού z #1 (3)
Για να υπολογίσουμε το άθροισμα, χρησιμοποιούμε τον τύπο για το άθροισμα απείρων όρων γεωμετρικής σειράς:
21
Παράδειγμα εύρεσης του μετ/σμού z #1 (4)
Επομένως ο z-transform της μοναδιαίας βηματικής ακολουθίας είναι
22
Παράδειγμα εύρεσης του μετ/σμού z #2 (1)
23
Παράδειγμα εύρεσης του μετ/σμού z #2 (2)
24
Παράδειγμα εύρεσης του μετ/σμού z #2 (3) Περιοχή σύγκλισης
Η περιοχή σύγκλισης (Region of Convergence - ROC) είναι το εξωτερικό μέρος του κύκλου ακτίνας a.
25
Παράδειγμα εύρεσης του μετ/σμού z #3 (1)
26
Παράδειγμα εύρεσης του μετ/σμού z #3 (2)
27
Παράδειγμα εύρεσης του μετ/σμού z #3 (3) Περιοχή σύγκλισης
Η περιοχή σύγκλισης είναι το εσωτερικό του κύκλου ακτίνας a.
28
Παράδειγμα εύρεσης του μετ/σμού z #4 Άθροισμα εκθετικών ακολουθιών (1)
29
Παράδειγμα εύρεσης του μετ/σμού z #4 Άθροισμα εκθετικών ακολουθιών (2)
30
Παράδειγμα εύρεσης του μετ/σμού z #4 Άθροισμα εκθετικών ακολουθιών (3)
31
Γραμμικότητα
Θεωρήματα και Ιδιότητες του μετασχηματισμού Ζ (1)
32
Χρονική μετατόπιση
Θεωρήματα και Ιδιότητες του μετασχηματισμού Ζ (2)
33
Χρονική μετατόπιση
Θεωρήματα και Ιδιότητες του μετασχηματισμού Ζ (3)
34
Πολλαπλασιασμός με εκθετική ακολουθία
Θεωρήματα και Ιδιότητες του μετασχηματισμού Ζ (4)
35
Πολλαπλασιασμός επί n (Παραγώγιση στο πεδίο z)
Θεωρήματα και Ιδιότητες του μετασχηματισμού Ζ (5)
36
Αντιστροφή χρόνου
Θεωρήματα και Ιδιότητες του μετασχηματισμού Ζ (6)
37
Θεώρημα αρχικής τιμής
Θεωρήματα και Ιδιότητες του μετασχηματισμού Ζ (7)
38
Θεώρημα τελικής τιμής
Θεωρήματα και Ιδιότητες του μετασχηματισμού Ζ (8)
39
Παράδειγμα
40
Συνέλιξη ακολουθιών
Θεωρήματα και Ιδιότητες του μετασχηματισμού Ζ (9)
41
z-Transform Βασικών συναρτήσεων (1)
42
z-Transform Βασικών συναρτήσεων (2)
43
• Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Ζ δίνεται από τη σχέση:
• Όπου c είναι μία κλειστή καμπύλη εντός της περιοχής σύγκλισης της που περικλείει την τομή του πραγματικού και του φανταστικού άξονα του μιγαδικού επιπέδου .
Αντίστροφος μετασχηματισμός Ζ
44
Υπολογισμός Αντίστροφου μετασχηματισμού z (1)
• Υπάρχουν τρεις μέθοδοι για τον υπολογισμό του αντίστροφου μετασχηματισμού μιας συνάρτησης X(z).
α) Η μέθοδος της ανάπτυξης σε δυναμοσειρά.
β) Η μέθοδος της ανάπτυξης σε άθροισμα μερικών κλασμάτων.
γ) Η μέθοδος της Μιγαδικής ολοκλήρωσης (με χρήση του θεωρήματος των ολοκληρωτικών υπολοίπων - residue theorem).
45
Υπολογισμός Αντίστροφου μετασχηματισμού z (2)
1. ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΔΙΑΙΡΕΣΗΣ
• Με αυτή τη μέθοδο υπολογίζονται δείγματα του αντίστροφου μετασχηματισμού z και όχι η αναλυτική του έκφραση.
• Διαιρώντας τον αριθμητή με τον παρανομαστή της συνάρτησης X(z) η X(z) παίρνει τη μορφή μιας σειράς ως προς z .
46
Inverse z Transform
• Μέθοδος της διαίρεσης
Έστω
47
Υπολογισμός Αντίστροφου μετασχηματισμού z (3)
• 2. Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΣΕ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΜΕΡΙΚΩΝ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ
• Η ανάπτυξη σε μερικά κλάσματα (partial fractions expantion) είναι μέθοδος ιδιαίτερα χρήσιμη για την ανάλυση και σχεδίαση συστημάτων, επειδή γίνεται εμφανής η επίδραση οποιασδήποτε χαρακτηριστικής ρίζας ή ιδιοτιμής.
• Βοηθάει να αναπτύσσεται σε μερικά κλάσματα όχι η συνάρτηση X(z) αλλά η X(z)/z.
48
• distrinct real poles
1.Περίπτωση διακεκριμένων πραγματικών πόλων
49
Inverse z Transform (1)
Μέθοδος της ανάπτυξης σε άθροισμα μερικών κλασμάτων – πραγματικοί διακεκριμένοι πόλοι -ΕΦΑΡΜΟΓΗ
50
Inverse z Transform (2)
Μέθοδος της ανάπτυξης σε άθροισμα μερικών κλασμάτων – πραγματικοί διακεκριμένοι πόλοι- ΕΦΑΡΜΟΓΗ
51
Inverse z Transform (3)
Μέθοδος της ανάπτυξης σε άθροισμα μερικών κλασμάτων – πραγματικοί διακεκριμένοι πόλοι- ΕΦΑΡΜΟΓΗ
52
Πόλοι με βαθμό πολλ/τητας n - multiple real poles.
2.Περίπτωση μη διακεκριμένων πραγματικών πόλων
53
Inverse z Transform (1)
Μέθοδος της ανάπτυξης σε άθροισμα μερικών κλασμάτων – πολλαπλοί πόλοι -ΕΦΑΡΜΟΓΗ
54
Inverse z Transform (2)
Μέθοδος της ανάπτυξης σε άθροισμα μερικών κλασμάτων – πολλαπλοί πόλοι -ΕΦΑΡΜΟΓΗ
55
Inverse z Transform (3)
Μέθοδος της ανάπτυξης σε άθροισμα μερικών κλασμάτων – πολλαπλοί πόλοι -ΕΦΑΡΜΟΓΗ
56
3.Περίπτωση μιγαδικών πόλων (complex roots)
• Στην περίπτωση αυτή υπολογίζεται σύμφωνα με τους τύπους (4) ή (6) ο συντελεστής που είναι αριθμητής στη μία από τις μιγαδικές ρίζες.
• Άρα ο συντελεστής που είναι αριθμητής στον όρο που έχει παρονομαστή τη συζυγή ρίζα της προηγούμενης , θα είναι ο συζυγής του.
57
Inverse z Transform (1)
Μέθοδος της ανάπτυξης σε άθροισμα μερικών κλασμάτων – Μιγαδικοί πόλοι
58
Inverse z Transform (2)
• Μέθοδος της ανάπτυξης σε άθροισμα μερικών κλασμάτων – Μιγαδικοί πόλοι
• Μπορούμε να υπολογίσουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό z χρησιμοποιώντας τους πίνακες ζευγών μετασχηματισμών:
59
Inverse z Transform (3)
• Μέθοδος της ανάπτυξης σε άθροισμα μερικών κλασμάτων – Μιγαδικοί πόλοι
• Οι εκθετικοί όροι μπορούν να μετατραπούν σε ένα συνημίτονο (cosine) με τις παρακάτω μετατροπές:
60
Μέθοδος της ανάπτυξης σε άθροισμα μερικών κλασμάτων – Μιγαδικοί πόλοι
61
1 1( ) 2 ( ) (7)n nF z z dz j residues F z z
Υπολογισμός Αντίστροφου μετασχηματισμού z (1)
2. Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΗΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ
• Η μέθοδος βασίζεται στην αξιοποίηση της σχέσης του ορισμού του αντίστροφου μετασχηματισμού Ζ.
• Η χρήση της εξίσωσης (2) απαιτεί εφαρμογή του θεωρήματος των υπολοίπων (residue theorem) που δίνεται από τη σχέση (τύπος του Cauchy):
62
Υπολογισμός Αντίστροφου μετασχηματισμού z (2)
63
Inverse z-Transform με χρήση του MATLAB
64
Τυπολόγιο (1)
65
Τυπολόγιο (2)
66
Τυπολόγιο (3)
67
Λυμένες ασκήσεις εξάσκησης
Z Transform
Άσκηση 1
69
Άσκηση 2
70
Άσκηση 3 (1)
71
Άσκηση 3 (2)
72
Άσκηση 4 (1)
73
Άσκηση 4 (2)
74
Άσκηση 4 (3)
75
Άσκηση 4 (4)
76
Άσκηση 5 (1)
77
Άσκηση 5 (2)
78
Άσκηση 5 (3)
79
Άσκηση 5 (4)
80
Άσκηση 5 (5)
81
Άσκηση 5 (6)
82
Άσκηση 5 (7)
83
Άσκηση 6 (1)
• Βρείτε και σχεδιάστε το σήμα που αντιστοιχεί στο μετασχηματισμό:
84
• Το σήμα x[n] απεικονίζεται στο ακόλουθο σχήμα:
Άσκηση 6 (2)
85
Βρείτε τον Z-transform των συναρτήσεων:
Άσκηση 7 (1)
86
Άσκηση 7 (2)
87
Άσκηση 7 (3)
88
Άσκηση 7 (4)
89
Άσκηση 7 (5)
90
Ασκήσεις Για Λύση
Z Transform
Ασκήσεις για λύση (1)
92
Ασκήσεις για λύση (2)
93
Ασκήσεις για λύση (3)
94
Τέλος Ενότητας
Recommended