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7/25/2019 OK Ondas Sonoras

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Ondas Sonoras Michael Fowler

Ondas sonoras unidimensionais

Comearemos por considerar a propagao do som num tubo oco, para evitar complicaes matedesnecessrias. O som uma onda longitudinal medida que a onda passa, o ar move-se para a para trs no tubo, sendo este movimento oscilatrio na mesma direco em que a onda viaja.

Para visualizarmos o que est a acontecer, imagina mentalmente que divides o ar no tubo, que erepouso se no houver som, em finas fatias. Concentra-te numa dessas fatias. Em equilbrio, el presses iguais e opostas de ambos os lados. (Analogamente ao pequeno segmente de corda em rque sente tenses opostas nos dois lados, mas claro que a presso do gs para dentro). Assim quesonora atravessa essa fatia, a onda de presso gera pequenas diferenas de presso entre os doissurgindo uma fora que acelera a fatia de ar.

Para analisarmos isto quantitativamente aplicar = fina fatia de ar temos de comear pdefinir o deslocamento , a quantidade correspondente ao movimento transversal da corda( , ) .Usaremos ( , ) para denotar o deslocamentohorizontal (ao longo do tubo) da fina camada de ar cu posio de equilbrio quando no h som.

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Se o tubo tiver raio , e consequentemente rea 2 , uma fatia de ar de espessura tem volume2, logo escrevendo a densidade do ar (1.29 km/m3

), a massa da fatia de ar = = 2.Claramente, a acelerao = 2 ( , )/ 2 , portanto j temos o lado direito de = . Paraencontrarmos o lado esquerdo a fora exercida na fina fatia de ar temos de encontrar a difere presso entre os dois lados.

Relao entre diferenas de presso e deslocamento A variao da presso medida que a onda sonora se propaga ao longo do tubo est intrinsecrelacionada com a compresso ou expanso local do gs. como uma mola: medida que ocomprimido para um volume menor, a presso aumenta, e assim que se expande diminui. E, exactcomo numa mola, as variaes de presso e volume esto linearmente relacionadas. O coefici proporcionalidade chamado mdulo de compressibilidade , usualmente escrito , e definido pelaequao:

= Repara no sinal ! Se o volume diminui, a presso aumenta. Uma vez que a razo entre volumadimensional, as unidades do mdulo de compressibilidade so as mesmas que a da presso: Pasco ar presso e temperatura normais, o seu valor = 10 5 Pa.

Agora, estamos a monitorizar o movimento do gs medida que a onda passa analisando o par( , ) , o deslocamento ao longo do tubo no instante do gs cuja posio de equilbrio .

Obviamente, se ( , ) no depender de , todo o gs transladado pelo mesma quantidade, e no occompresso nem expanso. Variaes locais de volume ocorremapenas se houvervariaes locais de

( , ) .

Para tornar isto quantitativo, considera uma fatia de gs com espessura (em repouso): se, nalguminstante em que a onda passa atravs dela, o lado direito sofrer um deslocamento( + , ) , e o ladoesquerdo um deslocamento maior( , ) , digamos,

a espessura da fatia passou evidentemente de para ( , ) ( + , ) . Uma vez que o volume de ar na fatia directamente proporcional sua espessura, a onda sonoraneste instante ovolume do ar inicialmente no segmento junto ao ponto por uma fraco

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= ( + , ) ( , ) =( , )

sendo a derivada exacta no limite de uma fatia muito fina.

Portanto,a presso extra local directamente proporcional a menos o gradiente de ( , ) :

= = ( , ) .De = equao de onda Tendo encontrado como que a variao local de presso se relaciona com( , ) , estamos prontos adeduzir a equao de onda a partir de = para uma fatia de gs. Recorda que para uma destas fa = = 2, e obviamente = 2 ( , )/ 2 .A fora resultante na fatia a diferena entre a presso em e em + : Inserindo em = :

2 ( , )2 =

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2 ( , )2 , onde =

Esta exactamente a equao de onda que encontrmos para um corda, agora com o desloclongitudinal no lugar do deslocamente transversal, e o mdulo de compressibilidade a desempenho papel de tenso, ambos medidas da energia potencial armazenada com origem nas variaes lodeslocamento. As densidades, claro, desempenham o mesmo papel nos dois casos, medido a cintica armazenada para dadas velocidades de deslocamento.

Condies fronteira para ondas sonoras em tubos Uma vez que a nova equao de onda idntica em forma equao de ondas numa corda, adiscusso de ondas a viajar, ondas estacionrias, etc, para um corda pode ser aplicada aqui cmudanas de notao apropriadas.

Por exemplo, uma onda estacionria num tubo tem a forma( , ) = sin sin , para um tubo fechado em = 0 , de modo que o ar no se move em = 0 .A condio fronteira para um tubo com uma extremidade fechada :

( , ) = 0 na extremidade fechada.

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E numa extremidadeaberta ? Nesse caso, o ar livre de se mover a condio fronteira no ser( , ) .Contudo, a pressono pode variar livremente: sempre a presso atmosfrica. Portanto nextremidade aberta = 0 . Recordando que = ( , ) / , a condio fronteira escreve-se:

( , )

= 0 numa extremidade aberta.

Ondas estacionrias harmnicas em tubos Considera agora uma onda harmnica estacionria num tubo de comprimento, fechado em = 0 masaberto em = .Da condio fronteira = 0 , a onda tem de ser da forma( , ) = sin sin .A condio fronteira da extremidade aberta em = requer que o declive ( , )/ = 0 . Isto ,cos = 0 .

Exerccio : prova que o maior comprimento de onda possvel de uma onda estacionria no tubo 4 , eesboa a onda.

Exerccio : qual o maior comprimento de onda seguinte? Faz um desenho.

Potncia e Intensidade Uma outra soluo da equao de onda :

( , ) =

sin(

)

onde = , tal como na corda. Esta uma onda que viaja ao longo do tubo. Pode ser gerada p prato oscilante na extremidade fechada: por outras palavras, um altifalante.Qual apotncia emitida pelo altifalante? Est-se a mover e a empurrar contra a presso:

Potncia = = taxa de trabalho = fora x velocidade = presso x rea x velocidade

Quo rpido se est a mover? No instante, o prato est em

( = 0, ) =

sin

portanto move-se com velocidade

( ) =( = 0, )

= cos .

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A presso no prato onde = ( , ) = sin ( ) = cos

Em = 0 .

Portanto a taxa a que o trabalho realizado no instante, a potncia ( ) = velocidade fora :

( ) = ( ) 2 = 2 2 cos 2 A definio habitual de potncia para qualquer tipo de gerador de onda a potncia mdia ao longo deum ciclo completo.

Uma vez que o valor mdio decos 2 = 1/2 ,

potncia = 12 2 2 .

Usando = 2 e = , podemos escrever =

12 2 2 2 .

Isto diz-nos tambm quanta energia h na onda:

1

2 2 2 2

por metro. A intensidade da onde a potncia mdia por metro quadrado da seco recta , portanto aqui

Intensidade =12 2 2

e mede-se emwatts por metro quadrado .

O factor , a velocidade, na expresso anterior surge porque num segundo, a energia transmitidonda a um metro quadrado de rea perpendicular direco de propagao da onda a energi

metros cbicos de onda: tomando a velocidade do som como 330 metros por segundo, 330 metros de energia sonora atravessaro um metro quadrado de rea em cada segundo.

Traduo/Adaptao Casa das Cincias 2009