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Onastrangeclassofalgebraicnumbers
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Onastrangeclassofalgebraicnumbers
bySimonPlouffeMarch16,2014
Résumé
La formule d’itération de Mandelbrot converge vers un nombre algébrique de degré 4 si c est un
rationnelsimple.Maisenregardantdeprèscertainsnombresalgébriquesenbinaireonvoitapparaîtreunmotifassez
évidentettrèspersistant.
Abstract
Theiterationformula ofMandelbrotwillgiveanalgebraicnumberofdegree4whenitconvergesmost
ofthetime.Ifwetakeagoodlookatsomeofthesealgebraicnumbers:someofthemhaveaverypersistentpatternin
theirbinaryexpansion.
Thefirst270millionbitsof1⋅ √
Onastrangeclassofalgebraicnumbers
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Introduction L’idéededépartétaitbaséesuruneobservationouquestion.Sachantquelaplupartdutemps, étant donné un c rationnel et simple, le résultat de l’itération donne un nombrealgébrique. La question étant: si la frontière de l’ensemble de Mandelbrot est composée denombresalgébriquesalorssionprendunesériedenombresalgébriquesprochesdelafrontièreauront‐ilsunmotifdansleurdéveloppementenbinaire?La question se posait puisqu’en observant la vitesse à laquelle l’itération converge vers cesnombresalgébriquesestgéométrique.L’observationdoncdenombresalgébriquesenbinaireapermis de découvrir une formule qui lorsqu’évaluée donne naissance à des motifs trèspersistants.
12 ⋅ 4 2√16 1
2 (1)
Sinestde l’ordrede1000, lemotifpersisteetest trèsnettementvisible jusqu’aumillionièmebit,sinestdel’ordrede32000lemotifpersistejusqu’aumilliardièmebit.J’aiputesterjusqu’au3,2milliardièmebit.Sinestdel’ordredumillionsoit:2 ,onaalorsles2 premiersbitsquisont prévisibles pour un peu plus que la moitié des valeurs, c'est‐à‐dire les premiers 1000milliardsdebits.Cesnombressontétrangesdeplusieursfaçons.
1) Leurdéveloppementenbinaireestassezvisiblementfaitdelonguessuitesde0etde1.2) Ledéveloppementenfractioncontinuéeesttrèschaotiquemêmeenbase10.3) Onpeutprédireunpeuplusdelamoitiédudéveloppementenbinairequiobéittoujours
àlamêmerègle.4) Onpeuttracerungraphiqueoureprésenteràl’aided’uneimagebitmapetprédireassez
exactementquelseralemotif.5) Lelogetl’exponentielledef(n)donnentaussinaissanceàunmotifquisemblepersister
moinslongtempsmaisquiesttrèsvisibleetpossèdelesmêmespropriétésgénériques,commed’avoirdesquotientspartielsenbase2ou10trèsélevés.
6) L’étenduedumotifenbinaireestdel’ordreducarréden.7) Cettefonctionsembleuniqueetgénérique,jen’aipasputrouverd’autresexemplesqui
soientmeilleursentermesd’étendue.
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Voicil’imagedudéveloppementbinaire,icin=100.f(100)=1.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111011000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001010011111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111100101001100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001001011111101111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111100011010010111100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000010110101010111110011111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111…
Lemotif cesse apparemment d’être visible au 10000ème bit. Si on prend une valeur bien plusgrandedenonpeutfaireuneimagegraphiquequirésumebien.Icin=8192,bleu=0,blanc=1,lepasdel’imageest16385.
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Lemêmedessinauxenvironsdelaposition270000000enbinaire,ondistingueencorelemotifquisetermineenpointe.Icibleu=0etblanc=1.
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Zoomsurlapartiehautedel’image(enfaussecouleurbleuefoncée).
Zoomsurlapointeaubasdel’image(enfaussecouleurbleuefoncée).
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AnalysedesrésultatsetquestionsouvertesLaformule(1)estsurprenante,lapremièreversiontrouvéeétaitenfait,
12 2√2 1
2 (2)
Quidonnaitlemotifquepourlesnimpairs,sinestpaironabienunevaleurprèsde1maisquidès que les chiffres en binaire commencent se comporte comme la plupart des fonctionsirrationnelles,c'est‐à‐diresansaucunmotif,onnevoitquedugris(oubleu)selonlechoixdescouleurs.Ilnesembleexisterqu’uneseulesortedefonctiongénérique.IlnesemblepasexisternonplusdelienaveclaformuledeViètemaisçaresteàprouver.
22
√2 ⋅
2
2 √2⋅
2
2 2 √2
⋅2
2 2 2 √2
…
Mêmesilemotifesttrèspersistant,lesnombresobtenussonttrèsirréguliersaudébutdeleurdéveloppementbinaire.Uneanalysestatistiquemontrequ’ilssontquandmêmenormauxet lelienavecdesensemblescommel’ensembledeCantor.
Laformule
12 ⋅ 32 3√4 1
2 ⋅ 16
(3)
Nedonnerienpourcertainesvaleursdenetdonnedesrésultatsspectaculairespourn=2 1.
Lesnombresobtenussontpathologiquessiondéveloppeenfractioncontinuée,lamêmechoseseproduitpourl’exponentielledef(n),exp(f(n)‐1)etln(f(n)).
Lemotif près de la pointe pour f(n) est toujours lemême, il est envisageable de trouver uneformule générique pour le motif qui pourrait certainement être un automate cellulaire. Ilresteraitàtrouverquellerèglecorrespondàcemotif.
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Bibliographie
‐ AdrienDouady, JohnH.Hubbard:Étudedynamiquedespolynômescomplexes,SociétémathématiquedeFrance,2007.
‐ Carl Sagan Contact: A Novel. New York: Simon & Schuster. ISBN0‐671‐43400‐4.LCCN85014645.OCLC12344811.
‐ Automate cellulaire et ensemble de Mandelbrot sur wikipedia:http://fr.wikipedia.org/wiki/Automate_cellulaire
‐ http://en.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot_set‐ Wolfram, Stephen,ANewKindofScience.WolframMedia, Inc.,May 14, 2002. ISBN1‐
57955‐008‐8.
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