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Outils d’évaluation des actifs financiers
Réalisé par : Encadré par :
- Aoullay Yasmine M. KANDROUCH Abdelkarim- Hajji Lamia- Inrhaoun Anouar- Rougui Hamza
Année universitaire : 2014 - 2015
Outils d’évaluation des actifs financiers 2014/2015
Introduction
Un actif financier peut être définit comme étant un titre ou un contrat, généralement
transmissible et négociable, permettant à son émetteur de satisfaire ses besoins en
capitaux et susceptible de produire à son détenteur des revenus et/ou un gain en capital.
Il existe une variété d’actifs financiers dont les principales sont les actions et les
obligations. Toutefois il existe d’autres sortes d’actifs financiers plus complexes tels que
les options, les swaps, les dérivés de crédit, etc.
La classification d’un actif financier repose essentiellement sur sa liquidité et sur la
nature juridique de la relation liant son émetteur à son détenteur. La notion de liquidité
renvoie à des caractéristiques plus précises, telles que la négociabilité, la cessibilité et la
convertibilité, qui jouent un rôle majeur dans la détermination des différentes
catégories, bien qu’elles ne soient pas distinguées de façon systématique.
L’évaluation des actifs financiers est un enjeu majeur de la finance du fait que les
décisions financières sont généralement prises en privilégiant les choix qui maximisent
la valeur. Cependant, il n’est pas facile d’évaluer un actif financier, car une telle
démarche implique la prise en compte des évolutions souvent aléatoires de ces actifs.
Pour suivre ces évolutions, il existe des modèles dynamiques se basant sur des
démarches quantitatives appelées « modèles d’évaluations ». Un modèle d’évaluation
d’un actif financier est une relation qui exprime, de manière générale le prix de l’actif
ou son rendement en fonction de différentes variables explicatives qui peuvent
influencer le prix de cet actif.
Le choix du modèle d’évaluation dépend de l’information disponible et de l’objectif de
l’estimation de la valeur de l’actif. Il est important de considérer le contexte probabiliste
et aléatoire dans lequel les modèles d’évaluation des actifs sont construits.
Ces modèles reposent sur un certain nombre d’hypothèses dictées par la réalité
économique et le comportement des investisseurs. Parmi les hypothèses avancées, on
rencontrera souvent celle d’un marché parfait où il y’a une information disponible pour
l’ensemble des investisseurs, sans fiscalité sur les rendements des actifs ni coûts de
transaction associés aux actifs financiers, et où les ventes à découvert sont autorisées.
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Outils d’évaluation des actifs financiers 2014/2015
Une autre hypothèse est liée à l’absence d’opportunité d’arbitrage, et où un portefeuille
est constitué de manière à ne pas contenir de composante aléatoire présente
nécessairement un rendement égal au taux d’intérêt sans risque.
Le présent travail a pour ambition de relever l’ombre sur les principes de base de
l’évaluation des actifs financiers en mettant sous le feu des projecteurs certaines de leurs
techniques d’évaluation.
Pour ce faire, nous tenterons de répondre à la problématique suivante :
Comment déterminer la valeur d’un actif à partir d’observations passées tout en
prenant en compte l’évolution dans le temps des décisions possibles à tout instant ?
Afin d’apporter les éléments de réponse, nous traiterons dans une première partie les
modalités d’évaluations des titres de créance que sont les obligations. La deuxième
partie portera quant à elle sur les outils d’évaluations des titres de propriété à savoir, les
actions.
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Outils d’évaluation des actifs financiers 2014/2015
Sommaire
Partie I : L’évaluation des obligations
Section 1: Concept d’un titre de créance (Obligation)
Section 2: Prix et rentabilité d’une obligation
Section 3: La dynamique du prix des obligations
Section 4: La courbe des taux et l’arbitrage obligataire
Partie II : L’évaluation des actions
Section 1: Concept d’un titre de propriété (Action)
Section 2: Le Modèle d’Evaluation des Actifs Financiers (MEDAF)
Section 3: Arbitrage Pricing Théory (A.P.T)
Section 4: Le Price Earning Ratio (P.E.R)
Conclusion
Bibliographie
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Outils d’évaluation des actifs financiers 2014/2015
Partie I :
L’évaluation des
obligations
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Section 1 : Concept d’un titre de créance (Obligation)
Une obligation est un titre de créance pouvant être émis par l’Etat, les administrations
publiques ou les entreprises. Elles sont achetées par des investisseurs en échange de la
promesse de paiements futurs. L’emprunteur est celui qui émet l’obligation, les prêteurs
ceux qui la détiennent, ces derniers sont appelés les obligataires. Les caractéristiques
d’une obligation sont définies lors de son émission dans un prospectus d’émission.
L’obligation obtient généralement deux types de flux : le paiement des intérêts et le
remboursement de l’emprunt. Les intérêts de l’obligation sont perçus sous forme de
coupons. La valeur nominale d’une obligation appelées aussi valeur facial ou principal
est le montant de référence utilisé pour le calcul des intérêts. Et enfin, l’échéance d’une
obligation se définit par la fin du remboursement du capital emprunté.
Une obligation peut dont être définie comme étant un flux financier unique ou une suite
de flux financiers échangés entre un prêteur et un emprunteur, dans le cadre d’un contrat
déterminé.
Un titre obligataire constitue un bon exemple d’actif financier : quand le montant à
emprunter est important, l’émetteur s’adresse à un grand nombre de souscripteurs et
divise ainsi son emprunt en parts de même montant unitaire. Ces dernières sont donc
des créances financières émanant des relations contractuelles qui se créent quand une
entité procure des fonds à une autre. Les contrats ainsi établis sont à la base de la
relation créancier/débiteur par laquelle les propriétaires d’actifs obtiennent une créance
inconditionnelle sur les ressources économiques d’autres unités institutionnelles.
Une obligation donne la preuve de l’existence d’une créance et précise les échéances
des versements d’intérêts et des remboursements de principal. On citera comme types
de titres obligataires courants les titres à coupon, qui prévoient le versement d’intérêts
périodiques, ou coupons, sur la durée de vie de l’instrument et le remboursement du
principal à l’échéance; les titres entièrement amortissables, avec échelonnement des
paiements d’intérêts et de principal sur la durée de vie de l’instrument; les titres à
coupon zéro ou à prime d’émission, émis à un prix inférieur à leur valeur nominale, les
intérêts (coupon) et le principal étant réglés en totalité à l’échéance; les titres à prime
d’émission élevée, dont le prix d’émission est inférieur à leur valeur nominale; le
principal et une grande partie des intérêts sont versés à échéance; ou encore les titres
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Outils d’évaluation des actifs financiers 2014/2015
indexés, dont les intérêts ou le principal sont rattachés à un indice de référence, tel
qu’un indice des prix ou de taux de change et enfin les obligations convertibles en
actions qui sont des obligations classiques auxquelles s’ajoute une option d’achat sur
des actions nouvelles de l’émetteur.
Il est à noter que dans le cas d’une obligation couponnée, le coupon dépend du taux de
coupon de l’obligation qui est définit par l’émetteur et spécifié dans le contrat
d’émission.
Section 2 : Prix et rentabilité d’une obligation
Les obligations zéro-coupon sont toujours échangées, avant l’échéance, à un prix
inférieur à leur valeur nominale, du fait que les intérêts y sont précomptés ;
Les obligations couponnées, quant à elles, peuvent être échangées à un prix égal,
inférieur ou supérieur à leur valeur nominale : on dit alors que l’obligation cote
respectivement, au pair, au-dessous du pair ou au-dessus du pair.
Lorsqu’un investisseur achète une obligation au pair, le taux de rendement de cette
dernière est égal au taux de coupon qui à son tour est égal au taux nominal. C’est le cas
d’une obligation dont le prix d’émission est de 10 000 dirhams, de maturité d’un an, et
qui paie un coupon annuel avec un taux nominal de 10% et un nominal de 10 000
dirhams. Cette obligation rapportera à son détenteur 11 000 dirhams dans un an (1 000
dirhams de coupon et 10 000 dirhams de remboursement du nominal) : le taux de
rendement effectif est bien de 10%.
En revanche, en se procurant une obligation au-dessous du pair, l’obligataire reçoit
des coupons promis et une plus-value égale à la différence entre la valeur nominale et le
prix d’achat de l’obligation. La rentabilité à l’échéance d’une telle obligation est donc
supérieure au taux de coupon.
Enfin, en achetant une obligation au-dessus du pair, l’investisseur voit ses gains
minorés par la moins-value que représente la différence entre le prix de l’obligation et
sa valeur nominale. En d’autres termes, nous pouvons dire qu’une obligation couponnée
cote au dessus-pair lorsque son taux de rendement à l’échéance est inférieur au taux de
coupon.
Nous proposons le tableau suivant en guise de récapitulation de ces différents cas :
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Outils d’évaluation des actifs financiers 2014/2015
Lorsque le prix de
l’obligation est…
supérieur à sa valeur
nominale
égal à sa
valeur
nominale
inférieur à sa valeur
nominale
… les obligations
sont échangées…au-dessus du pair au pair au-dessous du pair
Cela se produit
lorsque le taux de
coupon est…
> au TRE
Car la rentabilité est
majorée par la plus value
réalisée sur la prime
d’achat
= au TRE
< au TRE
Car la rentabilité
est minorée de la
moins value.
La détermination d’un coupon (C) se fait à travers la formule suivante :
C= Taux decouponNombre de coupons vers é s dans l ' ann é e
xValeur nominale
Par exemple, une obligation à 10 000 dirhams avec un taux de coupon de 10% et des
versements trimestriels :
C=10 %4
× 10 000=25d hs
Donc l’obligataire va percevoir 250 dirhams tous les trois mois.
a. Les obligations zéro-coupon :
Pour évaluer des titres financiers à revenus fixés à l’avance, il faut commencer par
raisonner sur les obligations à coupon zéro. Ces obligations sont des titres qui ne versent
qu’un seul cash-flow, à l’échéance : le remboursement de l’obligation. Il n’y a donc
aucun versement de coupon (intérêt) pendant la durée de vie de l’obligation. Elles sont
donc remboursées in fine.
Le cash-flow garanti par une obligation zéro coupon consiste en son remboursement, à
l’échéance. Ce remboursement se fait le plus souvent à la valeur nominale de
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Outils d’évaluation des actifs financiers 2014/2015
l’obligation. Bien que l’obligation coupon zéro ne prévoie aucun paiement intermédiaire
et que le paiement final soit simplement égal à la valeur nominale, le temps s’écoulant
entre l’achat de l’obligation et son remboursement est rémunéré. Cette rémunération
perçue par les investisseurs consiste en la différence entre le prix auquel ils ont souscrit
à l’obligation (prix d’émission) et la valeur de remboursement (le plus souvent, la valeur
nominale).
Exemple :
Pour une obligation zéro-coupon d’une valeur nominale de 10 000 dirhams, à échéance
d’un an et émise initialement au prix de 9 500 dirhams.
Rémunération de l’investisseur = Valeur nominale – Prix d’émission = 10 000 – 9 500 = 500
La rémunération de l’investisseur est donc égale à 500 dirhams.
Rentabilité à l’échéance d’une obligation zéro-coupon :
Le taux interne de rentabilité d’une obligation zéro-coupon correspond à la rentabilité
que les investisseurs obtiennent s’ils achètent l’obligation à son prix de marché et la
détiennent jusqu’à l’échéance. Dans le cas d’actifs financiers on parle plus de taux de
rentabilité à l’échéance (TRE) ou, pour faire court, de rentabilité à l’échéance plutôt que
TIR, mais la signification du concept reste la même.
La rentabilité à l’échéance d’une obligation est le taux d’actualisation qui égalise la
valeur actuelle des flux futurs espérés et le prix courant de l’obligation.
Rentabilité à l’échéance d’une obligation de maturité d’une année :
TRE= valeur nominale – Prix d ' é missionPrix d ' é mission
Rentabilité à l’échéance d’une obligation zéro-coupon de maturité N :
TREN=( Valeur nominalePrix d ' é mission )−1
Avec :
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Outils d’évaluation des actifs financiers 2014/2015
TREN : la rentabilité exigé par période de capitalisation de la part d’un
investisseur conservant l’obligation jusqu’à son échéance.
Application :
Quelle est la rentabilité à l’échéance des obligations zéro-coupon de valeur nominale
10 000dirhams dont les prix et les maturités sont ?
Maturité 1 an 2 ans 3 ans 4 ans
Prix 9 662 dhs 9 245 dhs 8 763 dhs 8 306 dhs
Solution :
Maturité 1 an 2 ans 3 ans 4 ans
TRE 3.50%1 4.00%2 4.50%3 4.75%4
Comme on l’a constaté lors de cette application, il existe autant de taux d’intérêt sans
risque (r N ¿que de maturités. Ces taux d’intérêt sans risque peuvent donc être déterminés
à partir d’obligations Zéro-coupon.
La loi du prix unique garantit que : r N=TRE
b. Obligations couponnées ou obligations ordinaires :
Contrairement aux obligations zéro-coupons. L’émetteur d’une obligation couponnée
s’engage à verser régulièrement des intérêts à l’obligataire pendant toute la durée de vie
de l’obligation, puis à rembourser l’obligation à l’échéance. Auparavant, les titres
financiers étaient représentés par une feuille de papier timbré comportant des coupons
numérotés, chaque souscripteur devrait détacher les coupons au fur et à mesure pour les
présenter à l’émetteur en échange de paiement des intérêts d’où l’appellation de
« coupon ».
1 (10 000/ 9 662) -1 = 3.50%2 (10 000/ 9 245 ¿¿1 /2 – 1 = 4%3(10 000¿8 763 ¿¿1 /3 - 1 = 4.5%4 (10 000/ 8306¿¿1 /4 - 1 = 4.75%
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Outils d’évaluation des actifs financiers 2014/2015
Le taux nominal de l’obligation représente le taux d’intérêt qui s’applique à la valeur
nominale de l’obligation pour calculer le montant du coupon à verser.
Exemple :
Une obligation au nominal de 10 000 dirhams, qui verse des coupons annuels au taux
nominal de 10%, représente un engagement de la part de l’émetteur de payer (10 000 x
10%) = 1 000dirhams de coupon par an.
Si l’échéance de l’obligation est de 6 ans, alors à la fin des 6 années, l’émetteur paiera le
dernier coupon de 1 000 dirhams, plus le remboursement de l’obligation.
Le coupon de 1 000 dirhams par an est fixé à l’émission et reste constant sur toute la
durée de vie de l’obligation, le jour de l’émission, l’obligation a un prix généralement
égal au nominal.
Rentabilité à l’échéance d’une obligation couponnée :
La rentabilité à l’échéance d’une obligation couponnée ou non correspond au TIR
détenue à son échéance :
Le TRE correspond ainsi au taux d’actualisation unique qui égalise la valeur actuelle
des flux futurs et le prix courant de l’obligation.
Rentabilité à l’échéance d’une obligation couponnée
P=C x 1TRE (1−
1(1+TRE ) N )+ VN
(1+TRE )N
Pour trouver le TRE, il faut procéder par interpolation linéaire ou utiliser un tableur.
Application 1: Rentabilité à l’échéance d’une obligation couponnée
Une obligation est émise pour une échéance de cinq ans, de valeur nominale 100 000
dirhams. Les coupons sont semestriels et le taux de coupon est de 5%. Ce taux est
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exprimé sous la forme d’un taux annuel proportionnel. Cette obligation est émise au
prix de 95 735 dirhams. Quelle est la rentabilité à l’échéance ?
Solution :
L’obligataire reçoit un coupon semestriel de : C=100 00 x 5 %2
=2 500 dhs
L’obligation quant à elle doit détacher dix coupons jusqu’à son échéance.
95 735=2500 x 1TRE (1− 1
(1+TRE )10 )+ 100 000(1+TRE )10
Approximativement, on obtient TRE = 3%. Comme les coupons sont semestriels, cette
rentabilité porte sur une période de six mois. Pour obtenir un taux en base annuelle, il
convient de multiplier par le nombre de coupons versés au cours d’une année. La
rentabilité à l’échéance de cette obligation, exprimée sous forme d’un taux annuel
proportionnel, est donc de 6%5.
Application 2 : Prix d’une obligation à partir de la rentabilité à l’échéance
Reprenons l’application précédente, sachant que l’obligation voit sa rentabilité à
l’échéance passer à 6.30% (en base annuel proportionnel). Calculer le prix de
l’obligation ?
Solution :
Un taux annuel de 6.30% correspond à un taux semestriel de 3.15%.
P=25 000 x 10.0315 (1−
1(1+0.0315 )10 )+ 100 000
(1+0.0315 )10 = 94 497,57 dhsDonc le prix de l’obligation est environ de 94 498 dirhams.
Section 3 : La dynamique du prix des obligations
Généralement, une obligation couponnée est émise avec un taux de coupon tel que, à
l’émission, celle-ci s’échange au pair. Cependant, après son émission, deux mécanismes
5 3% x 2 = 6%
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peuvent conduire à une variation de son prix. Il s’agit de l’effet du temps et de la
variation des taux d’intérêt.
a. L’effet du temps sur le prix des obligations :
Prenons l’exemple d’une obligation zéro-coupon d’échéance 20 ans, de valeur nominale
1 000 dirhams et d’une rentabilité à l’échéance de 5%. Cette obligation est échangée sur
le marché au prix de :
P (maturité=20 ans )= 10001,0520=376,89 dhs
En supposant la même rentabilité à l’échéance de 5%, le prix de l’obligation 5 ans plus
tard sera de :
P (maturité=15 ans )= 10001,0515 =481,02dhs
En 5 ans, le prix de l’obligation s’est vu augmenter de 104,13 dirhams. En effet, le
dénominateur de l’équation diminue avec la diminution de la maturité. Ainsi, acheter
l’obligation à 376,89 d hs et la revendre à 481,02 d hs est une opération dont le TIR est
de :
( 481,02376,89
)1 /5
−1=5%
Le TIR de l’opération est par conséquent égal au TRE de l’obligation.
Nous allons à présent donner un second exemple, pour démonter que le prix des
obligations couponnées augmente également à fur et à mesure que le temps passe. Et ce,
bien que la dynamique de leur prix soit plus complexe du fait des flux versés
périodiquement au détenteur du titre.
Imaginons une obligation d’échéance 20 ans, de valeur nominale 1 000 dirhams et d’un
taux de coupon de 10%. Ces coupons sont versés sur une base annuelle. Quel est le prix
d’émission de cette obligation si la rentabilité à l’échéance est constante ? Et quel sera
le prix juste avant et juste après le paiement du premier coupon ?
Le prix d’émission de cette obligation est calculé comme suit :
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Outils d’évaluation des actifs financiers 2014/2015
P=100 x 10.05 x(1− 1
(1+0.05 )20 )+ 1000(1+0,05 )20=1 623,11dhs
Le calcul du prix de l’obligation dans un an, juste avant le détachement (paiement) du
premier coupon, nécessite d’actualiser les flux futurs de l’obligation. La maturité
résiduelle étant de 19 ans, l’échéancier est :
Le premier flux de 100 dhs correspond au coupon qui sera bientôt détaché. Il est
préférable d’actualiser les flux futurs en considérant séparément le premier coupon, il
devient alors possible d’utiliser pour les 19 coupons restants la formule d’une anuité
constante.
Comme la rentabilité à l’échéance est supposée constante, on obtient :
P (avant détachement du 1 er coupon )
¿100+100 x 10.05 x (1−
1(1+0.05 )19 )+ 1 000
(1+0,05 )19 =1704,27 dhs
La supériorité du prix de l’obligation juste avant le paiement du premier coupon par
rapport à son prix initial trouve son explication dans le fait que l’investisseur n’a pas à
attendre aussi longtemps pour percevoir son premier flux.
Juste après paiement du premier coupon (la rentabilité à l’échéance étant supposée
constante) le prix de l’obligation est de :
P ( juste aprèsdétachement du 1er coupon )=100 x 10.05 x (1−
1(1+0.05 )19)+ 1000
(1+0,05 )19 =1 604,27 dhs
Juste après le paiement du premier coupon, le prix de l’obligation baisse de 100 dhs,
soit un montant égal au flux perçu.
Dans cet exemple, le prix d’émission est supérieur au prix dans un an juste après
détachement du premier coupon. Ceci est justifié du fait que la prime que les
investisseurs sont prêts à payer pour l’acquisition de l’obligation diminue au fur et à
mesure que le nombre de coupons à percevoir est moindre.
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Outils d’évaluation des actifs financiers 2014/2015
Le graphique suivant illustre l’effet du temps qui passe sur le prix des obligations, sous
l’hypothèse que la rentabilité à l’échéance est constante.
Source : Jonathan Berk et Peter DeMarzo ; « Finance d’entreprise », Nouveaux
Horizon ; p.227.
Une obligation coupon zéro est tjrs émise à un prix inférieur à sa valeur nominal donc
plus on s’approche de l’échéance plus elle tend vers sa valeur norminal
Obligation couponnée :
Au dessus du pair : puisque le taux de rentabilité est inférieur au taux de coupon
donc le prix de l’obligation diminue dans le tps ainsi plus on s’approche de
l’échéance plus la rentabilité diminue
Au pair : augmente de la rentabilité à l’échéance et diminue de la valeur du
coupon. (donc le TRE = Taux de coupon)
En dessous du pair : puisque le taux de rentabilité est supérieur au taux de
coupon, le prix de l’obligation augmente dans le tps plus on s’approche de
l’échéance plus la rentabilité augmente.
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Outils d’évaluation des actifs financiers 2014/2015
On constate qu’entre le détachement de chaque coupon, le prix des obligations
augmente régulièrement, à un taux égal à la rentabilité à l’échéance de l’obligation.
Alors qu’à chaque détachement de coupon, le prix de l’obligation chute du prix du
coupon.
Le prix d’une obligation zéro-coupon augmente quant à lui progressivement à mesure
que la maturité diminue.
Lorsqu’une obligation est échangée au-dessus du pair,. En revanche, lorsque
l’obligation est échangée au-dessous du pair, son prix augmente avec le temps. Il en
ressort que le prix des obligations tend vers leur valeur nominale lorsque les obligations
arrivent à échéance et que le dernier coupon est versé.
Ainsi, la rentabilité des obligations couponnées est fonction des coupons et de la
variation du prix de l’obligation. Le rendement des obligations zéro-coupons est quant à
elle fonction de la croissance du prix des obligations uniquement.
Le prix des obligations couponnées augmente donc à l’approche de la date de paiement
du prochain coupon et chute brusquement au détachement de celui-ci. A rentabilité à
l’échéance constante, la courbe représentative de cette évolution est en dents de scie :
Cependant, les investisseurs s’intéressent davantage aux fluctuations des prix causés par
une variation des taux d’intérêt qu’aux fluctuations des prix liées aux détachement des
coupons qui sont plutôt faciles à prévoir.
La convention sur le marché obligataire est telle qu’on affiche pour les obligations
couponnées un cours coté différent du prix. Le prix permettant d’acquérir effectivement
l’obligation est appelé prix coupon couru (ou dirty price). Sur le marché est coté le
prix pied de coupon (ou clean price), celui-ci représente le prix courant de l’obligation
duquel on a soustrait les intérêts accumulés depuis le paiement du dernier flux :
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Outils d’évaluation des actifs financiers 2014/2015
Prix au pied de coupon = Prix coupon couru – Coupon couru
Avec :
Coupon couru = Coupon x Nombre de jours depuis≤d é tachement du dernier coupon
Nombre de jours entredeux d é tachement de coupons
La soustraction du coupon couru au prix de l’obligation à pour conséquence de faire
disparaitre l’évolution en dents de scie du prix de l’obligation. De ce fait, la
comparaison entre différentes obligation est facilitée. Avec une rentabilité à l’échéance
constante, le prix pied de coupon d’une obligation tend progressivement vers sa valeur
nominale.
b. L’effet de la variation des taux d’intérêt sur les obligations :
En règle générale, l’investissement en emprunt d’Etat est assimilé à un investissement
sans risque. En revanche, dans un environnement où les taux d’intérêt fluctuent, le
constat est tel que les investisseurs peuvent réaliser des profits ou subir des pertes sur
leurs investissements en obligations à long terme.
Lorsque les taux d’intérêt varient, la rentabilité exigée par un investisseur pour détenir
une obligation varie également. Prenons l’exemple d’une obligation zéro coupon à 20
ans, de valeur nominale de 1 000 dirhams et de rentabilité à l’échéance de 5%. Celle-ci
s’échange au prix suivant :
P (TRE=5 % )= 1 0001,0520=376,89 dhs
Dans le cas où les taux d’intérêt augmenteraient brutalement d’un point, les
investisseurs exigeraient une rentabilité à l’échéance de 6%. Cette variation de la
rentabilité aurait pour conséquence une baisse immédiate du prix de l’obligation :
P (TRE=6 % )= 10001,0620 =311,80dhs
Le prix de l’obligation a donc baissé de (311,80 - 376,89) / 376,89 = -17,3%. Cet
exemple illustre un principe général : une rentabilité à l’échéance élevée implique un
taux d’actualisation élevé. Ce qui entraine une baisse de la valeur actuelle des flux
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Outils d’évaluation des actifs financiers 2014/2015
futurs et donc du prix de l’obligation. Il s’agit d’une relation inverse entre prix et
rentabilité à l’échéance qualifiée d’effet balançoire.
La sensibilité du prix des obligations aux variations de taux d’intérêt dépend de la
séquence des flux futurs. La valeur actuelle d’un flux perçu dans quelques jours est
moins affectée par une variation du taux d’actualisation qu’un flux futur perçu dans
plusieurs semaines ou plusieurs années.
Les obligations zéro-coupon de maturité courte sont donc moins sensibles aux
variations du taux d’intérêt que celles de maturité longue. De même, les obligations à
taux de coupon élevé sont moins sensibles aux variations du taux d’intérêt que des
obligations à taux de coupon faible.
Il est donc important de cerner la notion de duration. Celle-ci permet d’apprécier la
sensibilité du prix d’une obligation aux fluctuations du taux d’intérêt. Les obligations
dont les durations sont élevées sont par définition très sensibles à ces variations.
Pour mieux comprendre la sensibilité des obligations au taux d’intérêt, nous proposons
l’application ci-après.
Application :
Un investisseur hésite entre l’achat d’une obligation zéro-coupon d’échéance 15 ans et
celui d’une obligation couponnée d’échéance 30 ans dont le taux de coupon annuel est
de 10%. Quel est le pourcentage de variation du prix de chaque obligation si la
rentabilité à l’échéance passe de 5% à 6% ?
Solution :
La solution est explicitée à travers le tableau suivant :
TREObligation zéro-coupon
d’échéance 15 ans
Obligation couponnée (10%)
d’échéance 30 ans
5% 1 000 / 1,0515 = 481,02 dhs100 x 1
0.05 x (1− 1(1+0.05 )30 )+ 1 000
(1+0,05 )30 =1560,38 dhs
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Outils d’évaluation des actifs financiers 2014/2015
6% 1 000 / 1,0615 = 417,26 dhs100 x 1
0.06 x (1−1
(1+0.06 )30 )+ 1000(1+0,06 )30=1 393,89 dhs
Variation du
prix (en%)
(417,26 - 481,02) / 481,02 = -
13,2%(1 393,89 – 1560,38) / 1 560,38 = -10,7%
Malgré le fait que l’obligation d’échéance 30ans ait une maturité plus longue, son taux
de coupon est plus élevé. Son se retrouve donc moins sensible aux variations de la
rentabilité à l’échéance.
En somme, le prix d’une obligation est fonction non seulement de sa maturité, mais
aussi des taux d’intérêt. Au fil du temps, les prix des obligations convergent vers leurs
valeurs nominales. Cependant, les variations de rentabilité à l’échéance font fluctuer les
prix de manière imprévisible.
En détenant cette obligation, l’investisseur s’expose à un risque de taux d’intérêt. En
effet, ci celui-ci décide de vendre alors que les taux d’intérêt grimpent, le prix de
l’obligation chutera. Cette chute aura pour conséquence une rentabilité effective
moindre pour l’investisseur. Et inversement, en vendant cette obligation alors que les
taux sont bas, le prix sera élevé, et pareillement pour la rentabilité effective dont
bénéficiera l’investisseur.
Le graphique suivant illustre la rentabilité à l’échéance et les fluctuations du prix d’une
obligation zéro-coupon d’échéance initiale 30 ans :
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Outils d’évaluation des actifs financiers 2014/2015
Source : Jonathan Berk et Peter DeMarzo ; « Finance d’entreprise », Nouveaux Horizon ; p.231.
Section 4 : La courbe des taux et l’arbitrage obligataire
Selon la loi du prix unique, il doit exister une relation entre les prix et les rentabilités à
l’échéance de toutes les obligations. En effet, la loi du prix unique permet de calculer le
prix et la rentabilité à l’échéance de n’importe quelle obligation sans risque.
a. La réplication d’une obligation couponnée :
Les flux futurs d’une obligation couponnée peuvent être répliqués à travers la
constitution d’un portefeuille d’obligations zéro-coupon.
Pour répliquer les flux d’une obligation couponnée de valeur nominale 1 000 dirhams
d’échéance 3 ans et de taux de coupon annuel 10%, il suffit de constituer un portefeuille
contenant 3 obligations zéro-coupon. A chaque détachement de coupon est donc
associée une obligation zéro-coupon dont la valeur nominale est égale au coupon et dont
l’échéance correspond à la date de détachement du coupon. De même, il faut associer au
dernier flux (paiement du dernier coupon et remboursement du principal) un zéro-
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Outils d’évaluation des actifs financiers 2014/2015
coupon à 3 ans dont la valeur nominale est de 1 100 dirhams (soit 11 obligations zéro-
coupon dont la valeur nominale est de 100 dirhams).
Cette démarche peut être illustrée comme suit :
Comme les flux futurs de l’obligation couponnée sont identiques aux flux futurs du
portefeuille zéro-coupon, la Loi unique permet d’établir que les prix doivent être
identiques. Les données issues de ce tableau permettent de calculer le coût de
constitution du portefeuille de zéro-coupon :
Echéance 1 an 2 ans 3 ans
TRE 3,50% 4,00% 4,50%
Prix 96,62 dhs 92,45 dhs 87,63 dhs
Calcul du coût total 96,62 dhs 92,45 dhs87,63 x 11 = 963,93
dhs
Coût total 1 153,00 dhs
D’après la Loi du prix unique, l’obligation couponnée à 3 ans doit être négociée au prix
de 1 153 dirhams. Si le prix de l’obligation couponnée était plus élevé, il serait possible
d’arbitrer en achetant l’obligation couponnée et en vendant à découvert les obligations
zéro-coupon, et inversement si le prix était plus faible.
b. L’évaluation d’une obligation couponnée à partir de la rentabilité à
l’échéance de zéro-coupon :
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Outils d’évaluation des actifs financiers 2014/2015
Précédemment, les prix des obligations couponnées était calculé à partir du prix des
obligations zéro-coupon. Pour arriver à ce résultat, on peut également utiliser la
rentabilité à l’échéance des obligations zéro-coupon. En effet, celle-ci par définition
égale aux taux d’intérêt qui prévaut sur un marché concurrentiel pour un placement sans
risque d’échéance identique à celle de l’obligation zéro-coupon considérée. Le prix
d’une obligation couponnée doit donc être égal à la valeur actuelle des coupons et de la
valeur nominale, actualisée au taux d’intérêt qui prévaut sur un marché concurrentiel :
Prix d ' uneobligation couponnée=VA ( Flux futurs de l' obligation )
¿C
(1+TRE1 )+ C
(1+TRE2 )2+…+ C+VN
(1+TREN )N
Avec :
C : le coupon ; TREN : la rentabilité à l’échéance d’une obligation zéro-coupon de maturité N ; VN : la valeur nominale de l’obligation couponnée.
Exemple :
En utilisant la rentabilité à l’échéance des obligations zéro-coupon répertoriées dans le
tableau précédent, on obtient le prix d’une obligation de valeur nominale de 1 000
dirhams et de taux de coupon annuel de 10%.
P= 100(1,035 )
+ 100(1,04 )2
+100+1000(1,045 )3
=1 153 dhs
Bien évidemment, ce prix est identique à celui obtenu à partir des prix des obligations
zéro-coupon. Il est dont possible de déterminer le prix d’une obligation couponnée en
actualisant ses flux futurs au TRE des obligations zéro-coupon correspondantes.
Autrement dit, la lecture de la courbe des taux zéro-coupon suffit pour calculer le prix
de n’importe quelle obligation sans risque.
c. La rentabilité à l’échéance des obligations couponnées :
Dans cette section, nous avons mis en revue deux équations. La première permet de
calculer le prix d’une obligation couponnée à partir de la rentabilité à l’échéance des
obligations zéro-coupon, tandis que la deuxième permet de calculer la rentabilité à
l’échéance de l’obligation ordinaire à partir de son prix.
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Outils d’évaluation des actifs financiers 2014/2015
En combinant ces deux résultats, il est possible d’établir la relation entre la rentabilité à
l’échéance des obligations zéro-coupon et celle des obligations couponnées.
Exemple :
Reprenons à présent l’exemple de l’obligation d’échéance 3 ans, de valeur nominale
1 000 dirhams et de taux de coupon annuel de 10%.
Si on utilise la rentabilité à l’échéance des obligations zéro-coupon, le prix de cette
obligation est de 1 153 dirhams. Ensuite, nous pouvons obtenir sa rentabilité à
l’échéance TRE en résolvant l’équation suivante :
P=1 153= 100(1+TRE )
+ 100(1+TRE )2
+ 100+1000(1+TRE )3
En utilisant un tableur ou l’interpolation linéaire, on trouve un TRE égal à 4,4%. La
rentabilité à l’échéance d’une obligation couponnée est égale à la moyenne pondérée
des rentabilités des obligations zéro-coupon d’échéances inférieures ou égales. Les
pondérations dépendent (de façon complexe) des flux futurs à chaque date de
l’obligation couponnée. Dans cet exemple, la rentabilité à l’échéance des obligations
zéro-coupon est de 3,5%, 4% et 4,5%. Le poids du troisième flux futur dans la valeur
actuelle de l’obligation couponnée est le plus important des trois, puisqu’il inclut la
valeur nominale de l’obligation. La rentabilité à l’échéance de l’obligation couponnée
est donc plus proche de celle de l’obligation zéro-coupon d’échéance 3 ans (4,5%).
Nous allons à présent, et ce à travers la partie suivante, nous intéresser aux différents
outils d’évaluation des titres à revenu variable.
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Outils d’évaluation des actifs financiers 2014/2015
Partie II :
L’évaluation des
actions
Section 1 : Concept d’un titre de propriété (Action)
Une action est un titre de propriété délivré par une société de capitaux. Elle confère à
son détenteur la propriété d'une partie du capital, avec d’éventuels droits qui y sont
associés : intervenir dans la gestion de l'entreprise et en retirer un revenu appelé
dividende.
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Outils d’évaluation des actifs financiers 2014/2015
L’évaluation d’une action se base principalement sur la valeur actuelle des paiements
futurs qu’elle versera, l’actualisation se faisant à un taux qui reflète le risque entourant
les dits paiements. Appliqué aux actions, ce principe implique que leur valeur est la VA
des dividendes futurs.
Plusieurs outils permettent d’évaluer ces titres financiers notamment la capitalisation
boursière qui est la valeur que la bourse attribue aux sociétés cotées en fonction de
l'offre et la demande. Elle se calcule en multipliant le cours de bourse par le nombre
d'actions composant son capital social ; le bénéfice net par action (BNPA) qui se
calcule en divisant le bénéfice net de la société par le nombre total d’actions composant
son capital ; le Price Earning Ratio (PER) qui reflète la croissance des bénéfices
espérée par la bourse, il se calcule en divisant le cours de bourse par le bénéfice net par
action ; le rendement qui permet d'apprécier la rentabilité d'une action et se calcule en
divisant le dividende par le cours de bourse et est traduit en pourcentage ; la volatilité
qui est un indicateur de risque permettant de mesurer l’amplitude de variation des cours
d’un titre par sa tendance ; et enfin l’incidence des taux d’intérêt puisque le cours des
actions varie généralement en sens inverse des taux d’intérêt.
Section 2 : Le Modèle d’Evaluation des Actifs Financiers (MEDAF)
Le modèle d’évaluation des actifs financiers est un modèle qui permet d’établir une
relation entre le rendement espéré d’un titre et son risque systématique (le bêta). Il s’agit
d’un modèle à un facteur, c’est-à-dire que les variations du rendement espéré sont
uniquement expliquées par un seul facteur. Le modèle est principalement basé sur les
hypothèses selon lesquelles investisseurs sont averses au risque et ont des références
moyenne-variance6. Il n’y a pas d’imperfections de marché (ni taxes ni coûts de
transaction), l’achat et la vente à découvert sont permis, et tous les actifs peuvent être
échangés sur le marché.
a. Les hypothèses du modèle :
6 “The Capital Asset Pricing Model: Theory and Evidence”, Eugene F. Fama and Kenneth R. French, Journal of Economic Perspectives—Volume 18, Number 3—Summer 2004—Pages 25–46.
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Outils d’évaluation des actifs financiers 2014/2015
1. Tous les actifs sont négociables sur le marché pour des quantités infiniment
divisibles.
2. Il n’y a pas de frais de transaction ni de taxes.
3. Tous les investisseurs sont averses au risque
4. L’horizon de planification est d’une période
5. Les investisseurs partagent une information très large sur l’ensemble des actifs
traités qu’ils formulent ainsi des anticipations homogènes en matière de rentabilité
et de risque.
6. Il existe un taux sans risque auquel il est possible de prêter et d’emprunter sans
limite.
Le MEDAF établit une relation qui doit prévaloir entre le risque et la rentabilité espérée
d’un titre individuel.
Sous l’hypothèse (H) de l’efficience du portefeuille de marché M au sens espérance-
variance ; les investisseurs ont des anticipations homogènes et le même horizon
d’investissement, en présence comme en absence d’actif sans risque, il existe deux
paramètres positifs λ et θ tels que pour tout titre i= 1, …, N :
(1) µi = λ+ θσiM
Réciproquement, s’il existe deux paramètres positifs λ et θ tels que pour tout titre i = 1,
…, N, la relation (1) soit vraie, alors l’hypothèse (H) d’efficience du portefeuille du
marché est vérifiée.
Le paramètre θ s’interprète comme l’aversion moyenne au risque des investisseurs
intervenant sur le marché. C’est l’augmentation du taux de rentabilité d’un actif requise
par « point de risque » supplémentaire apporté par cet actif. Mathématiquement, c’est la
dérivée de µi par rapport à σiM.
Le MEDAF s’écrit aussi de façon équivalente :
(2) µi = λ + (µ M−λ
σ2 M)σiM
Ou bien
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Outils d’évaluation des actifs financiers 2014/2015
(2’) µi = λ +β(µM−λ) ; avec β = σiMσ ² M
De cette relation découle la pente de la droite de régression de la rentabilité Ri sur la
rentabilité RM qui est égale à βi = σiMσ ² M .
Si l’on trace le graphique de la relation (2) dans le plan (β, µi), on obtient la droite de
marché des actifs risqués (Security Market Line) ou plus simplement la droite de
marché, passant par les points (0, λ) et (1, µM). A l’équilibre du marché, les points
représentatifs de tous les titres i et de tous les portefeuilles doivent être situés sur cette
droite : la prime de risque (µi – λ) offerte à chaque titre i est proportionnelle à son
risque, ce dernier étant mesuré par le bêta.
b. Le prix d’équilibre des actifs financiers :
L’évaluation (pricing) du titre est implicite- le prix du titre à l’instant initial n’apparaît
pas.
Appelons Pi le prix d’équilibre recherché du titre i (en t=0), et ~P i1 sa valeur de
liquidation aléatoire à la fin de la période (en t = 1). C’est cette valeur qui fait l’objet
des anticipations des investisseurs, compte tenu des politiques d’investissement et de
financement de la firme, dont on se rappelle qu’elles sont supposées connues en début
de période. Par définition, le taux de rentabilité aléatoire du titre i est donné par :
~ri=¿
~Pi1
P i– 1¿
Et donc, en prenant l’espérance des deux cotés
~μi=¿
E (~Pi1 )
Pi−1¿
Substituons μi par sa valeur théorique donnée par le MEDAF et isolons l’inconnuePi :
Pi=E (~Pi
1 )1+r+θ σ i M
Où :
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Outils d’évaluation des actifs financiers 2014/2015
θ=(μ¿¿ M−r) /σM2 ¿, le prix de marché du risque divisé parσ M , est utilisé pour
simplifier la notation. θS’interprète, on l’a vu, comme le prix de marché du
risque par point de covariance. De (i), on déduit :
E (~Pi1 )=Pi[1+r+θ cov (
~Pi1
Pi, RM )]=P i (1+r )+θ cov (~Pi
1 , RM )
D’où d’écoule la proposition suivante :
La valeur d’équilibre Pi d’un actif générant un flux unique aléatoire ~P i1 dans une
période est donnée, en présence d’un actif sans risque, par :
Pi=E (~Pi
1 )−θ cov (~Pi1 ,RM )
1+r
Le modèle d’évaluation recherché, est l’analogue en avenir incertain de la relation Pi = ~P i
1 /(1 + r) en avenir certain, où Pi1 serait l’unique flux futur certain auquel donne droit
le titre i.
Le numérateur du membre de droite est l’équivalent-certain au sens du marché du flux
aléatoire ~P i1 (c'est-à-dire le flux certain qui a la même valeur que ~P i
1¿; il est égal à
l’espérance mathématique de ce flux diminué d’une prime de risque (qui peut être
négative éventuellement) qui elle-même est le produit du risque de flux,cov (~Pi1 ,RM ), par
le prix de marché du risque θ .
Application :
Soit une économie dans laquelle le taux d’intérêt sans risque s’établit à 5%, la
rentabilité espérée du portefeuille de marché est de 13%, l’écart-type de ce dernier 20%.
Tous ces taux sont annualisés. L’espérance de la valeur du titre EASYVAL, dans un an
est égale à 500 dh et la covariance entre cette valeur et le taux de rentabilité du
portefeuille de marché est estimé. Quel est l’équivalent certain de la variable aléatoire
qu’est la valeur future du titre EASYVAL ? Quel est le cours actuel d’équilibre du
titre ?
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Outils d’évaluation des actifs financiers 2014/2015
Il faut calculer tout d’abord le prix de marché du risque par point de covariance, θ.
Celui-ci est égal à (13% - 5%)/(20%²)= 2. L’équivalent certain recherché est donc égal à
500 – (2x4) =492.
Le prix théorique du titre EASYVAL s’établit à 468,57 dh.
Ici λ est équivalent au taux sans risque r.
c. Limites du MEDAF :
Pour que le MEDAF soit valide, il suffit que le portefeuille de marché M soit efficace,
c’est-à-dire situé sur la frontière de Markowitz.
Richard Roll a supposé que le marché est efficient et que le MEDAF est valide, et a
formulé une critique du modèle en avançant que le portefeuille de marché n’est pas
observable car il comprend des actifs risqués, à fortiori, sa rentabilité n’est pas
mesurable et il est impossible de déterminer s’il est efficace ou non. Il est contourné en
pratique par l’utilisation d’un indice (CAC 40, Dow Jones, Nikkei, etc.) comprenant
plusieurs types d’actifs. Les résultats des tests empiriques peuvent donc être sensibles
au choix de l’indice boursier adopté comme approximation (proxy) de M. C’est à partir
de ce proxy que découle la relation linéaire entre la rentabilité espérée des actifs et le
risque mesuré par le bêta : si un portefeuille P quelconque efficace ex-post est choisi
comme étant un portefeuille le portefeuille de marché, et que l’on calcule les bêtas
individuels à partir de ce portefeuille P, alors on obtient nécessairement une relation
linéaire conforme au MEDAF entre le rendement espéré et le risque du titre.
Si au contraire le portefeuille adopté P comme proxy n’est pas efficace ex-post, on peut
trouver une relation non linéaire entre la rentabilité espérée et le titre et la sur- ou sous-
performance de chaque titre i par rapport à ce qu’implique le MEDAF dépend
arbitrairement du portefeuille en question.
Par conséquent, on risque d’accepter le MEDAF à tort uniquement parce que le
portefeuille de l’indice I utilisé en guise de portefeuille de marché est efficient et on
peut le rejeter à tort alors qu’il est juste parce que le portefeuille P est inefficient.
Outre la non-observabilité des anticipations (MEDAF ex-ante), une autre difficulté
d’application du modèle est celle du coefficient bêta qui n’est pas directement
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Outils d’évaluation des actifs financiers 2014/2015
observable. Les bêtas des titres ne sont pas stables dans le temps posant un problème de
mesure.
Section 3: Arbitrage Princing Theory (APT)
Le modèle d’évaluation par arbitrage développé initialement par Ross (1976),
représente à la fois une alternative et par certains aspects une extension du MEDAF. A
la différence de ce dernier qui considère qu’il y a une relation linéaire entre la rentabilité
d’un actif et son risque provenant d’un seul facteur commun, le marché, l’APT repose
sur l’hypothèse que les rentabilités Ri des N actifs dépendent linéairement d’un nombre
restreint de k facteurs communs indépendants Fk (inflation, production industrielle,
PIB, ..). Un nombre limité de facteurs systématiques communs est supposé affecter le
taux de rentabilité espéré de tous les actifs financiers risqués.
Ce modèle un double objectif : identifier les facteurs communs qui sont supposés
affecter le taux de rentabilité espéré de tous les actifs, et donner l’équation relative à
l’espérance de rentabilité d’un titre à ces sources communes de risque.
Par conséquent, l’APT est un modèle multifactoriel. Les modèles multi-facteurs relèvent
d’une démarche pragmatique et visent en effet à expliquer empiriquement la structure
des corrélations entre les rentabilités des actifs risqués en supposant à priori que
plusieurs facteurs communs influencent ces dernières. En effet, il peut exister d’autres
facteurs communs que le marché lui- même qui induisent des corrélations systématiques
entre les taux de rentabilités des titres. Ils peuvent être soit représentés par des indices
représentant des secteurs économiques, soit des caractéristiques micro-économiques,
soit par des indices macroéconomiques.
L’APT est fondé sur l’hypothèse d’absence d’opportunité d’arbitrage AOA. La
rentabilité d’un titre risqué i pour une période t est obtenue par la projection
orthogonale sur les facteurs :
Ri = µi + ∑bikFk + εi
Où :
Fk : est la variation non anticipée du facteur risque k et d’espérance nulle.
εi: le risque spécifique du titre i
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Outils d’évaluation des actifs financiers 2014/2015
L’hypothèse cruciale sous-tendant le modèle est que les risque εi ne sont pas corrélés et
sont donc diversifiables.
La corrélation entre les rentabilités individuelles Ri est entièrement expliquée par
l’influence des facteurs communs Fk. Ces facteurs peuvent être par exemple, des
exemples de titres individuels existants ou des grandeurs macroéconomiques exogènes
au modèle.
a. Une seule source de risque : le marché
Supposons qu’il n’y ait qu’une seule source commune de risque de sorte que l’équation
décrivant la génération des rentabilités devienne :
Ri = µi + biFk + εi ∀ iSi les investisseurs détiennent des portefeuilles bien diversifiés, le risque résiduel de ces
derniers peut être considéré comme négligeable en pratique. La rentabilité d’un tel
portefeuille p s’écrit alors :
Rp = µp + bpF
Et il est caractérisé par les deux paramètres :
µp= ∑xiµi ; bp= ∑xibi
De façon générale, l’APT indique que la relation entre l’espérance de rentabilité d’un
portefeuille et son risque systématique, mesuré par la sensibilité b, est linéaire.
µp= λ0 + λ1bp
Les deux scalaires λ0 et λ1 étant les mêmes pour tous les titres et portefeuilles.
Relation de l’APT avec le MEDAF :
Bien que l’APT soit un modèle qui implique, en général, plusieurs facteurs, et non un
modèle à un facteur (le portefeuille de marché) comme le MEDAF, et qu’en outre les
hypothèses qui sous-tendent ces deux modèles soient différentes, MEDAF et APT
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Outils d’évaluation des actifs financiers 2014/2015
peuvent être compatibles7. Le MEDAF et l’APT à un seul facteur sont formellement
identiques.
b. Plusieurs sources de risque :
Par un raisonnement analogue à celui qui conduit à l’équation µp= λ0 + λ1bp, on
obtient en présence de m sources communes de risque, la relation linéaire suivante qui
doit prévaloir en AOA :
µp= λ0 + ∑ λkbpk
µp - λ0 s’interprète comme la prime de risque applicable au portefeuille p, les λk sont
les prix de marché du risque et les bpk les risques systématiques de p.
La relation précédente constitue l’APT relatif à des portefeuilles bien diversifiés. La
différence entre un portefeuille p bien différencié et un actif i pris isolément est que ce
dernier présente, outre son ou ses risque(s) systématique(s), un risque spécifique εi, non
négligeable.
Toutefois, le marché n’attribue aucune prime de risque à ce dernier parce qu’il est
diversifiable.
Il convient de noter que la théorie de l’APT est fondée sur la notion de portefeuille
d’arbitrage. Celui-ci n’exige aucune mise de fonds, les ventes à découvert finançant les
achats. Il est construit de façon à ce que chacun des bpk soit égal à 0. Son risque
diversifiable est quasi-nul car le nombre de titre entrant dans sa composition est supposé
grand8.
Sous peine d’arbitrage en AOA, ce portefeuille sans risque de valeur initiale nulle doit
avoir une valeur finale nulle, quelles que soient les distributions de rentabilité des titres
et les préférences des investisseurs. Cette simple considération conduit à l’APT, que
l’on peut formuler ainsi :
7 En présence de l’actif sans risque : µi= r + βi(µm – r) ; µi – r + ∑bik(δk – r) où λ1= δk – r ≡ µm – r , équations qui sont compatibles si δk = µm ; δk: est la rentabilité espérée d’un portefeuille sensible exclusivement à la source de risqué commune k.
8 La loi des grands nombre assure la convergence vers 0 de la variance spécifique quand n croît.
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Outils d’évaluation des actifs financiers 2014/2015
Sous l’hypothèse d’AOA, il existe m+1 constantes (k=1,…..,m) telles que
l’espérance du taux de rentabilité de tout actif risqué i est donnée par la relation
suivante :
µi = λ0 +∑ λkbik pour i= 1, …, n.
Si de plus il existe un actif sans risque9 de rentabilité r, la relation précédente devient :
µi = r +∑ λkbik pour i = 1, …. n.
Notons que par construction, les sensibilités bik sont égales à : bik = cov (Ri , αk )
var (αk )
Ces sensibilités s’interprètent comme des bêtas. D’ailleurs si l’on effectue une
régression linéaire multiple entre la rentabilité d’un titre et les facteurs communs, les
estimateurs des bik sont donnés par la formule précédente.
Avec αk la rentabilité du portefeuille factoriel k. Le portefeuille factoriel k est un
portefeuille risqué de sensibilité bkk égale à 1 au facteur k et de sensibilité 0 à tous les
facteurs k’≠k. (La rentabilité étant de r + λk).
S’il n’y a empiriquement qu’un seul facteur commun justifiant d’une prime de risque,
l’APT est formellement identique au MEDAF et ce facteur commun est interprété
comme le portefeuille de marché.
Application :
Supposons que le processus aléatoire générant les rentabilités des actions est le suivant :
Ri = ai + bi1 F1 + bi2 F2 + ei pour tout i = 1, … , n.
Où ei est un bruit blanc et F1 et F2 deux facteurs de risque communs orthogonaux et
centrés. Il existe un actif sans risque rapportant r = 8%. Par ailleurs, deux portefeuilles
d’actions bien diversifiés présentent les caractéristiques suivantes :
Portefeuille Rentabilité espérée % bi1 bi2
A 10% 1,9 -0,6
B 14% 0,9 1,49 Un actif sans risque est par définition insensible à chacun des facteurs k : b0k = 0 pour tout k. Sa rentabilité est donc µ0 = λ0 = r.
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Outils d’évaluation des actifs financiers 2014/2015
Nous cherchons l’équation du plan qui décrit les taux de rentabilités espérés des actifs
risqués correspondant à l’APT :
(1) 10 = 8 + 1,9λ1 – 0,6λ2
(2) 14 = 8 + 0,9λ1 + 1,4λ2
La solution pour λi : λ1= 2, et λ2 =3
La relation mis en évidence par l’APT s’écrit ainsi : µi = 8 + 2bi1 + 3bi2
Supposons maintenant qu’il existe deux autres portefeuilles bien diversifiés C et D. Le
premier C a des sensibilités respectives de 1,1 et 0,3 aux facteurs de risque 1 et 2 et une
rentabilité espérée de 12,5%. Le portefeuille D a des sensibilités de 2,3 et 0,7 aux
facteurs de risque et une espérance de rentabilité de 13,5%. Que devrait faire un
investisseur avisé si une telle situation se présentait ?
Appliquons l’APT(i) à ces portefeuilles pour calculer leurs rentabilités espérées
théoriques. On obtient :
µc = 8% + 1,1x2 + 0,3x3 = 11,1 %
µD = 8% + 2,3x2 + 0,7x3 = 14,7%
Le portefeuille C rapporte en moyenne 12,5% au lieu des 11,1% théoriques, il est donc
relativement trop rentable. En revanche, pour le portefeuille D: son espérance de
rentabilité est de 13,5% compte tenu de son risque élevé alors qu’elle devrait être de
14,7%. Cette situation procure à l’investisseur des opportunités d’arbitrage. Il achètera
C et vendra D à découvert.)
Section 4 : Price Earning ratio (PER)
Le PER ou Price Earning Ratio est le concept boursier le plus répandu. Ce ratio
correspond au rapport entre le cours boursier d’une entreprise et son bénéfice après
impôt. On l’appelle aussi multiple de capitalisation des bénéfices. Ce ratio est le plus
souvent utilisé pour évaluer une société cotée.
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Outils d’évaluation des actifs financiers 2014/2015
PER= Cours de l ' actionB é n é fice par action
Où :
Bénéfice par action= Résultat netNombre d ' action
Le PER mesure le prix auquel l’actionnaire accepte de payer une rentabilité équivalente
à n fois le résultat net. Il sert surtout à comparer la valeur d’une société par rapport à son
secteur d’activité, ou encore à la situer par rapport à sa valeur haute et à sa valeur base
historique. En effet, si deux sociétés concurrentes dégagent des bénéfices similaires,
leurs PER respectifs devraient être égaux. S’ils ne le sont pas, c’est que l’une de ces
entreprises est surévaluée ou au contraire l’autre est sous-évaluée.
La mise en œuvre de la méthode est très simple, car le PER est une donnée en général
très disponible. En outre, il s’agit d’un indicateur pour le moins intéressant puisqu’il
met en relation le prix et le bénéfice actuel, exprimant ainsi la cherté d’une entreprise,
c'est-à-dire le nombre d’années de bénéfices qu’un investisseur est prêt à payer pour
acquérir une entreprise
Pour le calculer le PER, il faut collecter trois données : le cours boursier, le résultat net
comptable retraité et le nombre de titres de la société.
Le cours boursier : est le cours de clôture de fin d’exercice ou celui de la période
d’évaluation. Il est préférable de retenir un cours moyen pour lisser les fluctuations
quotidiennes.
Le nombre d'actions : il convient de prendre en compte le nombre total d'actions
existantes et à créer. En effet, certains instruments financiers (obligation convertible,
bon de souscription d’achat, option de souscription, certificat d’investissement)
peuvent donner lieu à la création d'actions. Il est donc nécessaire de prendre en
compte ces actions.
Cette augmentation du nombre d'actions aura tendance à diluer la répartition des
bénéfices.
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Le Bénéfice réalisé : D'une année sur l'autre, le résultat net peut varier fortement.
Ces variations peuvent provenir de l'exploitation. L'entreprise accroit sa marge et/ou
son chiffre d'affaires, et son bénéfice s'accroit mécaniquement. Mais il est fréquent
d'observer que les résultats nets affichés par les entreprises ne sont pas toujours
exempts de toute critique.
Une fois le résultat net retraité divisé par le nombre d'actions, vous obtenez le Bénéfice
Net Par Action ou BNPA. En lui-même ce ratio n'a que peu d'importance. Afin de lui
donner toute sa valeur, il convient de le comparer au cours de l'action. Le PER permet
ainsi de savoir si une entreprise est oui ou non surestimée par rapport à son secteur. En
effet, le PER obtenu doit être comparé au PER moyen du secteur.
Sur le plan financier, le niveau qu’atteint le PER indique sur la variation des fonds
propres. Quand les PER sont hauts il est plus facile de lever des capitaux. Lorsqu’une
cotation est jugée artificiellement basse, elle doit inciter à un rachat d’actions.
Du côté de l’investisseur, ce dernier se demandera s’il faut acheter des titres à PER de
niveau bas ou élevé. Cela dépendra des anticipations de croissance.
Dans le cas où les bénéfices intégralement distribués connaissent une croissance nulle,
l’investisseur a intérêt à acquérir les titres à PER faible.
Prenons par exemple : Un titre à PER égal à 5 est préférable à un titre ayant un PER de
11,2 car le rendement sous-jacent de la première action est supérieur à celui de la
seconde. Dans le premier cas, un PER de 5 pourrait correspondre à un cours de 100
euros associé à un revenu permanent de 11,2. Même raisonnement pour un PER de 11,2
avec un prix d’achat de 100 euros et un revenu récurrent de 5euros.
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Outils d’évaluation des actifs financiers 2014/2015
ConclusionUn investisseur n’acceptera une décision risquée que s’il en attend une récompense qu’il
juge satisfaisante. D’ailleurs, le dilemme fondamental de la finance moderne est
formulé à travers le choix d’une rentabilité faible mais certaine, ou la prise d’un risque
dans l’espoir d’accroître cette rentabilité : l’espérance de rentabilité étant d’autant plus
élevée à mesure que le risque augmente.
Toute variation du taux d’intérêt implique un changement de valeur dans la direction
opposée pour tous les titres à revenus fixes tels que les obligations. Pour évaluer un titre
promettant n’importe quelle séquence de cash-flows futurs, on recourt aux valeurs
actuelles d’un dirham perçu à différentes dates dans le futur. Ces valeurs actuelles
peuvent être déduites de l’observation des cours d’obligations zéro-coupons, puis être
appliquées au titre à évaluer. Une autre manière de procéder consiste à actualiser les
différents cash-flows avec un taux d’actualisation spécifique pour chaque période. Des
obligations qui ont la même échéance peuvent avoir des cours boursiers différents, en
raison de différences de taux nominal, de risque de défaut, de fiscalité, de clauses de
remboursement anticipé, de convertibilité, de valeur de remboursement, ou encore
d’autres caractéristiques.
La méthode des cash-flows actualisés permet également l’évaluation des actions d’une
société. Cette pratique consiste à calculer la valeur actuelle des cash-flows futurs, en les
actualisant à un taux qui tient compte du risque perçu. Les méthodes d’évaluation des
dividendes partent du principe que tout investisseur qui achète une action espère une
rémunération correspondant à son exigence de rentabilité compte tenu du risque qu’il
appréhende.
Les travaux de Markowitz devaient modifier profondément la façon de concevoir les
problèmes financiers. Ils montrent, en particulier, que l’intérêt d’investir dans un titre
financier ne doit pas être évalué séparément mais dans le cadre de l’ensemble du
portefeuille constitué par l’investisseur et d’un marché concurrentiel où de nombreux
véhicules d’épargne (actions, obligations, etc.) sont en compétition. Dix ans après,
Sharpe, Lintner et Mossin développèrent le modèle d’équilibre des actifs financiers
(MEDAF) qui aboutit à la rentabilité espérée d’équilibre d’un titre quelconque. Et plus
tard, dans les années 70, Ross développa une alternative au MEDAF nommée APT.
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Outils d’évaluation des actifs financiers 2014/2015
Bibliographie
Pierre Vernimmen ; « Finance d’entreprise » ; 11éme édition ; Dalloz 2013.
Roland Portait & Patrice Poncet ; « Finance de marché, instruments de base, produits dérivés, portefeuille et risques » ; 3e édition Dalloz 2012.
Jaques Hamon ; « Bourse et gestion de portefeuilles » ; Economica ; 4ème édition ; 2011.
Sébastien Bossu & Philippe Henrotte ; « Finance des marchés, techniques quantitatives et applications pratiques » ; Dunod ; 2008.
Louis Esch, Robert Kieffer & Thierry Lopez ; « Asset & risk management, la finance orientée risques » ; De BOECK ; 2003.
Christophe Dispas & Yassine Boudghene Larcier ; « Gestion de portefeuille guide pratique » ; De Boeck ; 2011.
Zvi Bodie & Robert Merton ; « Finance » ; 3ème édition ; 2000.
Jonathan Berk et Peter DeMarzo ; « Finance d’entreprise », Nouveaux Horizon.
Aswath Damodaron ; « Finance d’entreprise : théorie et pratique » ; Nouveaux horizons ; 2006.
Anne Nippert ; « DCG 6 Finance d’entreprise » ; Gualino ; 2008.
Lebidois & Joël ; « Finance pour les ingénieurs, la valorisation des projets » ; Maxima ; 2013.
Patrick Topsacalian & Jacques Teulié ; « Finance » ; 6ème édition ; Vuibert.
Table des matières
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Outils d’évaluation des actifs financiers 2014/2015
Introduction……………………………………………………………..………………………2
Sommaire…………………………………………………………….………………………….4
Partie I : L’évaluation des obligations……………………………………………..……..…....5
Section 1 : Concept de titre de créance (Obligation)………………………………….………….6
Section 2 : Prix et rentabilité d’une obligation…………………………………………..……….7
a. Les obligations zéro-coupon……………………………………………………..……...8b. Les obligations couponnées…………………………………………………………….10
Section 3 : La dynamique du prix des obligations………………………………...……………12
a. L’effet du temps sur le prix des obligations………………………………..…………..12b. L’effet de la variation des taux d’intérêt sur le prix des obligations………...…………16
Section 4 : La courbe des taux et l’arbitrage obligataire………………………………………..19
a. La réplication d’une obligation couponnée………………………………………….....19b. L’évaluation d’une obligation couponnée à partir de la rentabilité à l’échéance de zéro-
coupon………………………………………………………………………………….21c. La rentabilité à l’échéance des obligations couponnées…………………….………….22
Partie II : L’évaluation des actions………………………………………....………………...23
Section 1: Concept de titre de propriété (Action)……………………………………...………..24
Section 2: Le Modèle d’Evaluation des Actifs Financiers (MEDAF)…………...……………..24
a. Les hypothèses du modèle……………………………………………….……………..25b. Le prix d’équilibre des actifs financiers……………………………………………......26c. Les limites du MEDAF………………………………………………………………...28
Section 3: Arbitrage Pricing Théory (A.P.T)……………………………………………….…..29
a. Une seule source de risque : le marché…………………………………………….…..30b. Plusieurs source de risqué………………………………………………………….…..31
Section 4: Le Price Earning Ratio (P.E.R)……………………………………………………...33
Conclusion …………………………………………………………………………………….36
Bibliographie……………………………………………………………………………...…...37
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