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Programación Lineal Entera
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Investigacion de Operaciones 1Programacion Entera
Formulacion
Yris Olaya Morales
9 de junio de 2009
Yris Olaya Morales Investigacion de Operaciones 1 Programacion EnteraFormulacion
Programacion entera
I Problema lineal con restriccion de integralidad para algunavariableAplicaciones:
I Problemas con costos iniciales, fijos y otras economıas deescala
I Organizacion de recursos
I Programacion de tareas
I Formulacion para un problema (parte) especıfico mas efectiva
Yris Olaya Morales Investigacion de Operaciones 1 Programacion EnteraFormulacion
Programa entero puro
Todas las variables restringidas a tomar valores enteros
max z = x1 + x2
s.t10x1 − 8x2 ≤ 13
2x1 − 2x2 ≥ 1
x1, x2 ≥ 0, x1, x2 enteros
Yris Olaya Morales Investigacion de Operaciones 1 Programacion EnteraFormulacion
Programa entero mixto
Algunas variables restringidas a tomar valores enteros
max z = x1 + x2
s.t10x1 − 8x2 ≤ 13
2x1 − 2x2 ≥ 1
x1, x2 ≥ 0, x1 entero
Yris Olaya Morales Investigacion de Operaciones 1 Programacion EnteraFormulacion
Ej. Formulacion presupuesto inversiones
Encontrar el programa de inversion que maximice el VPN.
Inversion Costo Inicialj NPVj Cj
1 16000 50002 22000 70003 12000 40004 8000 3000
Capital disponible 14000
Yris Olaya Morales Investigacion de Operaciones 1 Programacion EnteraFormulacion
Ej. Formulacion presupuesto inversiones
Parametros
NPVj = Valor presente neto proyecto j = 1, . . . , 4
Cj = Costo ano 1 proyecto j = 1, . . . , 4
Cap = Capital disponible
Variables
xj =
{1 si invierte en j0 de otra forma
}max
∑j
NPVjxj
s.a :∑
j
Cjxj ≤ cap
xj binario ∀j = 1, . . . , 4
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Ej. Formulacion presupuesto inversiones
Anadir nuevas restricciones:
1. Maximo dos inversiones son posibles.∑j
xj ≤ 2
2. Si se invierte en 2, debe invertirse en 1 tambienx2 − x1 ≤ 0
3. Si se invierte en 2, no puede invertirse en 4x2 + x4 ≤ 1
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Formulacion de restricciones con variables binarias
En los siguientes problemas, las variables x son continuas y lasvariables z son binarias.
I “Del conjunto de alternativas z1, z2, . . . , zk seleccione cuandomucho una.´´z1 + z2+, . . . , +zk ≤ 1
I “Del conjunto de alternativas z1, z2, . . . , zk seleccioneexactamente una.´´z1 + z2+, . . . , +zk = 1
I “Del conjunto de alternativas z1, z2, . . . , zk seleccione almenos una.´´z1 + z2+, . . . , +zk ≥ 1
I “Del conjunto de alternativas z1, z2, . . . , zk seleccione mas detres.´´z1 + z2+, . . . , +zk ≥ 4
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Variables de control
En los siguientes problemas, las variables x son continuas y lasvariables z son binarias.
I “Si se construye la bodega z = 1, se pueden almacenar hasta13 toneladas de x en ella.´´ Esto equivale a “Si z = 0,entonces x = 0, pero si z = 1, entonces x ≤ 13.´´x ≤ 13z
I “Si se construye la bodega z = 1, debe usarse para almacenaral menos 56 toneladas pero no mas de 141 toneladas de x enella.´´ Esto equivale a “Si z = 0, entonces x = 0, pero siz = 1, entonces x ∈ [56, 141].´´x ≥ 56zx ≤ 141z
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Decisiones
En los siguientes problemas, las variables x son continuas y lasvariables z son binarias.
I “El satelite z1 puede lanzarse solo si tiene un propulsorcompatible z2´´ . Esto es equivalente a: ”z1 solosı z2´´ tambien es equivalente a: ”z1 es suficiente para z2´´ ya ”z1 implica z2´´z1 ≤ z2
I “z3 puede producirse sı y solo sı hay una maquina z1 y unoperario z2 disponibles´´z3 ≤ z1
z3 ≤ z2
z3 + 1 ≥ z1 + z2
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Decisiones
En los siguientes problemas, las variables x son continuas y lasvariables z son binarias.
I “El proyecto z3 puede financiarse sı y solo sı el proyecto z1, oel proyecto z2, o ambos, se financian´´z3 ≤ z1 + z2
z3 ≥ z1
z3 ≥ z2
I “La lınea de empaque z3 puede recibir productos o de la lıneade procesamiento z1, o de la lınea de procesamiento z2´´z3 ≤ z1 + z2
z3 ≥ z1 − z2
z3 ≥ −z1 + z2
z3 ≤ 2− z1 − z2
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Ej. Formulacion problema cubrimiento total
A cada miembro de un conjunto 1 debe asignarse un miembroaceptable de un miembro de otro conjunto 2. Objetivo:minimizar elnumero de elementos de 2 requeridos para cubrir todos loselementos de 1.
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Ej. Formulacion problema cubrimiento total
I 6 ciudades en una region
I Construir el menor numero de estaciones de bomberos,asegurandose de que cada ciudad esta maximo a 15 min. dealguna estacion.
CiudadCiudad 1 2 3 4 5 6
1 0 10 20 30 30 202 10 0 25 35 20 103 20 25 0 15 30 204 30 35 15 0 15 255 30 20 30 15 0 146 20 10 20 25 14 0
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Ej. Problema cubrimiento total
ciudades : 1, . . . , 6tvij= duracion (min) viaje entre i y j , ∀i , j ∈ ciudadesCi : {j ∈ ciudades |tvij ≤ 15}
xi = { 1 si se construye una estacion en i0 de otra forma
mın z =∑
i
xi
s.t :∑j∈Ci
xj ≥ 1 ∀i ∈ ciudades
xi = 0 o 1 ∀i ∈ ciudades
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Ej. Formulacion problema cargo fijo
Costo asociado con un nivel de actividad mayor que cero,independiente del nivel de actividad.
Ej. ConfeccionistaVende: camisetas, shorts, pantalones. Cada prenda se elabora enmaquinaria distinta, que debe alquilarse. Cada prenda se vende aun precio distinto y tiene distintos requerimientos de tela y manode obra, ası como distintos costos variables.
Tipo de Mano Costo Alquilerprenda de obra Tela Precio Variable Maquinaria
j hr/unidad m2/unidad $/unidad $/unidad $/semanaCamiseta 3 4 12 6 200Short 2 3 8 4 150Pantalon 6 4 15 8 200Total disponible 150 160
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Ej. Formulacion problema cargo fijo
j = { camisas, shorts, pantalones }Parametros
Lj = horas mano de obra requeridas para elaborar una unidadde producto j
Cj = metros cuadrados de tela requeridos para elaborar unaunidad de j
Fj = costo alquiler maquinaria que produce j , $/semana
Vcj = costo variable de produccion de j , $/unidad
Pj = precio de venta de j , $/unidad
Variables
xj = unidades de prendas j elaboradas
yj = { 1 si la prenda j se elabora0 de otra forma
Yris Olaya Morales Investigacion de Operaciones 1 Programacion EnteraFormulacion
Ej. Formulacion problema cargo fijo
max∑
j
Pjxj −∑
j
(Fjyj + Vcjxj)
s.a :∑
j
Ljxj ≤ 150
∑j
Cjxj ≤ 160
xj ≤ Mjyj ∀jxj ≥ 0, yj binario
¿Que significa Mj ?
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Formulacion programas enteros
Satisfacer una de dos restricciones:
I Lote mınimo de produccion de prendas j es 10 unidadesxj ≤ 0 o xj ≥ 10En el ejemplo anterior: xj ≤ Mjyj .anadir:10− xj ≤ Mj(1− yj)Si yj = 1, xj ≥ 10Si yj = 0, xj ≥ 10−Mj , pero xj ≤ Mjyj −→ xj = 0
¿Cual es el valor de Mj?
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Formulacion programas enteros
f (x1, x2, . . . , xn) ≤ 0 (1)
g(x1, x2, . . . , xn) ≤ 0 (2)
En general, si: (1) o (2) deben cumplirse,agregar:
f (x1, x2, . . . , xn) ≤ My (3)
g(x1, x2, . . . , xn) ≤ M(1− y) (4)
Donde
y es una variable binaria
M es lo suficientemente grande como para que (3) y (4) secumplan para todo valor de xj
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Formulacion de programas enteros
Restricciones tipo “si, entonces”f (x1, x2, . . . , xn) > 0→ g(x1, x2, . . . , xn) ≥ 0
Si f (x1, x2, . . . , xn) > 0 se satisface, entoncesg(x1, x2, . . . , xn) ≥ 0 puede satisfacerse o no
Anadir:
− g(x1, x2, . . . , xn) ≤ My (5)
f (x1, x2, . . . , xn) ≤ M(1− y) (6)
y es una variable binaria
M es lo suficientemente grande como para que (5) y (6) secumplan para todo valor de xj
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