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Ingeniera de automatizacin
MCAI 51 01 V00 LUGAR GEOMTRICO DE LAS RACES
Actualizado al 30 de mayo de 2011
Oscar Pez Rivera Profesor Asociado
Departamento de Ingeniera Elctrica
UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE Departamento de Ingeniera Elctrica
Lugar geomtrico de las races Pagina 2
Oscar Pez Rivera Profesor Asociado Departamento Ingeniera Elctrica Universidad de Santiago
Lugar geomtrico de las races Pagina 3
Oscar Pez Rivera Profesor Asociado Departamento Ingeniera Elctrica Universidad de Santiago
1. Definicin Del Lugar Geomtrico De Las Races
Considere el sistema de la Figura 1 y sea H(s) la funcin
de transferencia en lazo abierto del conjunto {controlador sistema de actuacin - planta - sensor } y sea Kc la ganancia variable del controlador.
Sea F(s) la funcin de transferencia en Lazo cerrado del
conjunto, a partir de la expresin de H(s) y las ecuaciones
del lazo se deduce la ecuacin (e2
N(s)H(s) (e
D(s)= 1
c
c
C(s) k N(s)F(s) (e
r(s) D(s) k N(s)= =
+2
El comportamiento dinmico del sistema ya realimentado depende de los polos y ceros de (F(s)).
Los ceros de F(s) son los ceros de H(s). La realimentacin no cambia los ceros.
Los polos de F(s) son las races de la ecuacin (e3
cD(s) k N(s) (e+ = 0 3 Con Kc variable o ms general, los polos de F(s) son la solucin de la ecuacin (e4
ck H(s) (e+ =1 0 4
A partir de la ecuacin (e4 se aprecia que cualquier nmero complejo s* que valore a H(s*) como un
nmero real negativo puede ser un polo de F(s) (la suposicin de entrada es que Kc es el valor positivo de
amplificacin del controlador ) se puede demostrar que dichos puntos pertenecen a curvas del plano de
Laplace
Definicin: El lugar geomtrico de la races asociado a H(s) Lgr (H(s)) es el conjunto de todos los puntos s*
del plano de Laplace(es decir el plano complejo) que cumplen con evaluar a H(s*) como un real negativo.
{ }* *Lgr (H(s)) s /argH(s ) ( n )pipipipi= = +2 1
Es usual admitir a H(s) como un operador funcional, en ese enfoque H(s) permite obtener Y(s) en trminos
de primariamente H(s) es una funcin compleja de variable compleja. En su forma factorizada H(s) admite
una evaluacin geomtrica. Considrese la ecuacin (e5 que expresa a H(s) en forma factorizada y
evaluada en s=s* i n
iii n
jj
K (s * c )H(s*) (e
(s * p )
=
=
=
=
+=
+
0 1
1
5
Cada trmino (s+ci) corresponde a un vector que nace en el cero dado por -ci y finaliza en s* (punto de
evaluacin).
Lugar geomtrico de las races Pagina 4
Oscar Pez Rivera Profesor Asociado Departamento Ingeniera Elctrica Universidad de Santiago
Expresin polar de H(s) (n ) i i (epi pi pi pi + = 2 1 6
m
n
i
j
k lH(s*) i j (e
L
=
0
1
1
7
Condicin de ngulo
Condicin de modulo
m
n
c i
j
k k l(e
L
=
1
1
0
1 8
Cada trmino (s*+pj) corresponde a un vector que nace en el polo dado por -pj y finaliza en s* (punto de
evaluacin).
Cada trmino (s*+ci) posee un mdulo li (distancia entre s* y -
ci) y un ngulo i ( figura N 2)
Cada trmino (s+pj) posee un mdulo Lj (distancia entre s y -pj)
y un ngulo j (figura N 2 )
li L j
-ci
s*
-pj
La condicin del Lugar Geomtrico De Las Races equivale a un balance de ngulos ( lo que se impone
es que H(s*) sea un nmero real negativo,
La otra condicin obvia es la de mdulo (lo que se busca es que si 1 - a=0 entonces a debe ser idntico a 1.
Las dos condiciones permiten construir el Lugar Geomtrico De Las Races como un conjunto de puntos
del plano de Laplace
2. Reglas Para Trazar El Lugar Geomtrico De Las Races
El Lugar Geomtrico De Las Races se estructura como una coleccin de curvas llamadas Ramas. Existen
tantas ramas como polos en la funcin de transferencia en Lazo cerrado. Las ramas tienen inicio y termino.
Lo interesante es el bosquejo del Lugar Geomtrico De Las Races es decir un trazado aproximado del
mismo. Lo que sigue es un conjunto de reglas para determinar donde se inicia una rama; cuando est en el
eje real; cuando est en el plano complejo etc.
Lugar geomtrico de las races Pagina 5
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*Existencia en el eje real:
El Lugar Geomtrico De Las Races tiene existencia en todos
los intervalos del eje real donde el nmero de ceros reales Nc y
nmero de polos reales Np que se encuentren a su derecha sumen un
nmero impar (es decir (Np+Nc) : impar). Los polos que estn fuera
del eje real no cuentan ya que 1 + 2=2 pi (ver figura 3).
*Puntos de Partida:
Las ramas se inician en los polos de H(s).
Cuando Kc es pequeo, los polos de F(s) se encuentran en las
cercanas de los polos de H(s): cada rama del lugar geomtrico de las
races nace de un polo de H(s):
Puntos de Llegada: existen dos situaciones, puntos de llegada finitos y puntos de llegada al infinito
Las ramas finalizan en los ceros de H(s).
Cuando Kc la ecuacin que define los polos de F(s) se transforma en N(s)=0 luego El Lugar Geomtrico De Las Races finaliza en los ceros H(s). Estos son los puntos de llegada finitos. Si existen
ms polos que ceros, entonces los otros puntos de llegada estn en el infinito en una circunferencia con
radio infinito. El vector que une este polo s* con el origen forma un ngulo i ; se cumple entonces: ( i )
i i , , , (n m) (en m
pipipipi += =
2 10 1 2 1 10
Hay algunos conceptos que subyacen en estos resultados y estos son:
Si hay (n-m) como diferencia entre polos y ceros en la funcin de transferencia en lazo
abierto entonces hay (n-m) puntos de llegada al infinito.
Cuando se aplica la condicin de ngulo (ecuacin (e6 debe considerarse que todos los
vectores que nacen en los ceros y apuntan al polo en el infinito son paralelos y tienen el
ngulo esto vale tambin para los vectores que nacen en los polos y se aplica para los (n-m) polos en el infinito plantendose la ecuacin
Cuando una rama se aleja del origen del plano complejo, lo hace acercndose a lneas
rectas llamadas asintotas la inclinacin de estas rectas es
2 -p2
-c1
-p3 -p4
-p1 1
Figura 3
cKc
lim D(s) k N(s) D(s) (e
+ = =0
0 0 9
m n ( l ) ( e pi pi pi pi = +2 1 1 1
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Interseccin de las Asintotas con el eje real :
Las asintotas se cortan en un punto del eje real dado por la ecuacin (e12 i ic p
(en m
=
12
Puntos de partida y llegada al eje real :
Cuando existe Lugar Geomtrico De Las Races entre dos polos tiene que producirse un abandono de las
ramas del eje real hacia el plano complejo.
Cuando existe Lugar Geomtrico De Las Races entre dos ceros en el eje real tiene que producirse una
llegada de las ramas al eje real desde el plano complejo. Sea x una variable real que pertenece al Lugar Geomtrico De Las Races , entonces
La ganancia Kc que permite obtener dicho polo x es una funcin f(x) dada por la ecuacin (e13
Figura 4 ngulo de las asntotas
mn
)l(i
+=
pi 12
S*
f
D ( x )f ( x ) ( e
N ( x )= 1 3
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:Ganancia
delpunto dedespegue
f(x) = Kc1 Figura 5
Punto dedespegueeje real
Polo de F(s)para Kc = Kc1
x
Punto dedespegueeje real
Imaginario
Realx
KcdKcd
Real
Real
El mnimo valor de Kc en el intervalo es cero y x coincide con los polos en lazo abierto, a
medida que Kc aumenta ambos polos se desplazan hacia el centro del intervalo en
direccin contraria hasta llegar al punto de despegue x donde Kc alcanza su valor mximo
En x se cumple para x = x
En los puntos de llegada se cumple algo similar excepto que Kc alcanza su valor mnimo en
el punto de llegada y tambin se cumple la ecuacin anterior *Angulo de partida:
0)x(N
)x(D
dx
d====
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Es el de nacimiento de una rama en las cercanas de un polo s^ de H(s) ; para evaluarlo, se
calcula, luego : pipipipi++++==== )1n2( pipipipi++++++++==== )1n2( ver figura 6
* Simetra
El Lugar Geomtrico De Las Races es simtrico
respecto del eje real
3. APLICACIONES
1) Trazar Lgr de )3s)(1s(
1)s(H
++++++++====
i) Existencia en el eje real : (-1, -3) ii) Puntos de partida : -1 ; -3 iii) Puntos de llegada.
Estn al asntotas : pipipipi/2 , 3 pipipipi/2
iv) Punto interseccin
v) Puntos de despegue :
vi) de partida : en -1 ; =pipipipi en -3 ; =0
s*
S^
Figura 6
2x04x2
0)3x)(1x(dx
d
^^
^^
========++++
====++++++++
=
lii
ii
22
31=
=x
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-1 -3
Kc
Kc0
Figura N 7
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2 .- Trazar Lgr de )32s8s)(4s(s
1)s(H
2 ++++++++++++====
)4j4s)(4j4s)(4s(s
1
++++++++++++++++====
El Lgr existe en el eje real (0, _ 4 )
Puntos de partida A, B, C, D
Puntos de llegada :
asntotas : 45 ,135, 225, 315
Punto interseccin eje real
*Puntos de despegue :
032x32x9x)x(y23
====++++++++++++====
Al evaluar este polinomio se tiene x = -1.58
Angulo de partida: el interesante esta alrededor de del punto C ;
pipipipipipipipi++++
pipipipi++++
pipipipi====++++==== ++++
422)( 111
= -3pi/4 * Frecuencia critica
El Lgr corta al eje imaginario en la llamada frecuencia critica que se alcanza con un
Kc = Kcc y que hace oscilar el sistema en forma sostenida en
un perodo T c
w c=
2pi. Para determinar wc se aplica la
condicin de ngulo en este caso
180904
w4tan
4
wtan
4
4wtan
c1c1c1====
++++
++++
Resolviendo numricamente est ecuacin se llega a
Wc=3.25 ; por encima de la asintota ; el trazado del Lgr
es el de la figura 10.
l1
3
L1
-c1 -p3
s* -p1
-p2
L2
i
2
Figura N 9
A B
C
2
3
1
D
Figura N 8
34
444440=
+=
jjx
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0)32x8x)(4x(x(dxd 2
=+++
Figura N 10
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