View
245
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
bilqis 1
Pertemuan 5 Alin
2017
Bilqis
Vektor 2 dan 3 Dimensi
Dot Product, Ruang n-euclidean
bilqis 2
TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS
Setelah menyelesaikan pertemuan ini
mahasiswa diharapkan :
– Mengetahui definisi Vektor Dimensi 2 dan
Vektor Dimensi 3
– Dapat menghitung dot product.
– Dapat menerapkan dot product pada contoh
kasus
bilqis 3
Vektor di Ruang-2
Vektor di Ruang-3
bilqis 4
3.1) Vektor -> Pengantar
Vektor :
• Besaran skalar yang mempunyai arah
• ex : gaya, ke kanan bernilai (+) , ke kiri bernilai (-)
• Secara geometris,
• Simbol vektor : v
• Skalar vektor : v +
• Vektor : 2 dimensi -
*
3 dimensi +
-
*
B
A
v
vektor v = AB
A disebut titik awal/inisial
B disebut titik akhir/terminal
Arah panah = arah vektor
Panjang panah = besar vektor
bilqis 5
A
B
v
vektor v = AB
A disebut titik awal/inisial
B disebut titik akhir/terminal
Vektor-vektor ekivalen
Dianggap sama
Panjang dan arahnya sama
bilqis 6
Negasi sebuah vektor v → –v secara geometrik
v–v
Panjang sama, arah berlawanan
Penjumlahan dua vektor: w = u + v secara geometrik
Selisih dua vektor: w = u – v sama dengan w = u + (–v)
u
vw
u
vw
v
u
w
bilqis 7
Penjumlahan dua vektor: w = u + v
u
vw
Cara analitik:
Vektor-vektor u, v, w di Ruang-2 atau Ruang-3
Ruang-2: u = (u1, u2); v = (v1, v2); w = (w1, w2)
w = (w1, w2) = (u1, u2) + (v1, v2)
= (u1 + v1, u2 + v2)
w1 = u1 + v1
w2 = u2 + v2
bilqis 8
Perkalian vektor dengan skalar (bilangan nyata/real number)
w = k v ; k = skalar
v
3v–2v
v
secara geometrik:
bilqis 9
Perkalian vektor dengan skalar (bilangan nyata/real number)
w = k v ; k = skalar
Cara analitik:
Di Ruang-2: w = kv = (kv1, kv2)
(w1, w2) = (kv1, kv2)
w1= kv1
w2 = kv2
bilqis 10
Koordinat Cartesius:
P1 = (x1, y1) dan P2 = (x2, y2)
P1 dapat dianggap sebagai titik dengan koordinat (x1, y1)
atau sebagai vektor OP1 di Ruang-2 dengan komponen
pertama x1 dan komponen kedua y1
P2 dapat dianggap sebagai titik dengan koordinat (x2, y2)
atau sebagai vektor OP2 di Ruang-2 dengan komponen
pertama x2 dan komponen kedua y2
Vektor P1P2 = OP2 – OP1 = (x2 – x1, y2 – y1)
bilqis 11
Using Coordinat
( v1, v2 ) v1 & v2 komponen2 v
Mis: v = ( 1, -2 ) & w = ( 7, 6 )
( + ) v + w = ( 1, -2 ) + ( 7, 6 )
= ( 1 + 7, -2 + 6 )
= ( 8, 4 )
( - ) v – w = ( 1, -2 ) - ( 7, 6 )
= ( 1 - 7, -2 - 6 )
= ( -6, -8 )
( * ) 4 v = 4 ( 1, -2 )
= ( 4, -8 )
y
x
v
w
v
V + w
4vV - w
bilqis 12
Vektor 3 dimensi
v = ( v1, v2, v3 )
Misal:
v = ( 4, 5, 6 )
Mis : v = ( 1, -3, 2 )
w = ( 4, 2, 1 )
( + ) v + w = ( 5, -1, 3 )
( - ) v – w = ( -3, -5, 1 )
( * ) 2 v = ( 2, -6, 4 )
v = P1 P2 = P2 - P1 = ( x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1 )
x
y
z
4
5
6
v
P1
P2
v
bilqis 13
Ex 2 hal 124
Example 2: the component of the vector v = P1 P2 with the initial point
P1 ( 2, -1, 4 )
And terminal point P2 ( 7, 5, -8 ) are
v = ( 7 – 2, 5 – ( -1 ), ( -8 ) – 4 ) = ( 5, 6, -12 )
in 2-space, the vector with initial point P1 ( x1, y1 ) and terminal
point P2 ( x2, y2 ) is
P1 P2 = (x2 - x1 , y2 - y1 )
bilqis 14
Translasi
(0, 0)
(k, l)
sumbu-x
sumbu-y sumbu-y’
sumbu-x’
(x, y)
(x’, y’)P
X = k + x’ y = l + y’
x’ = x – k y’ = y – l
y
l
x
x’
k
y’
(0, 0)
bilqis 15
Translasi
pers.Translasi :
x’ = x - k
y’ = y – l
x = x’ + k
y = y’ + p
Ex: ( k, l ) = ( 4, 1 ), koordinat ( x, y ) titik P ( 2, 0 ). Berapakah
koordinat
( x’ , y’ )?
Jwb : x’ = x – k y’ = y – l
= 2 – 4 = 0 - 1
= -2 = -1
(0, 0)
(k, l)
(x, y)
(x’, y’)
sumbu-y
sumbu-x
l
k
x
sumbu-x’
P sumbu-y’
(0, 0)
x’
y’
bilqis 16
bilqis 17
Ex 3 hal 125Suppose that an xy-coordinate system translated to obtain an x’y’-
coordinate system whose origin has xy-coordinates ( k, l ) = ( 4, 1)
(a) Find the x’y’-coordinates of the point with the xy-coordinate P ( 2,
0 )
(b) Find the xy-coordinates of the point with the x’y’-coordinate Q ( -1,
5 )
Solutions (a): the translations equations are
x’ = x – 4 y’ = y – 1
So the x’y’-coordinates of P ( 2, 0 ) are x’ = 2 – 4 = - 2 and y’ = 0 – 1 = -
1
Solutions (b): the translations equations in (a) can be rewritten as
x = x’ + 4 y = y’ + 1
So the xy-coordinates of Q are x = -1 + 4 = 3 and y = 5 + 1 = 6
bilqis 18
Contoh soal
Carilah vektor yang mempunyai titik awal P ( 2, 3 ) yang mempunyai
arah yang sama dengan v = ( 4, 5 ) dari titik P
jwb :
v = ( 4, 5 ) dari titik P
so, x’ = 4
y’ = 5
Maka P( 2, 3 ) dianggap sebagai titik pusat baru. k = 2 dan l = 3. yang
kita cari adalah keberadaan vektor v terhadap sumbu koordinat
mula-mula ( 0, 0 )
x = k + x’ y = l + y’
= 2 + 4 = 3 + 5
= 6 = 8
Jadi vektor lain yang mempunyai arah yang sama dengan v adalah Q (
6, 8 )
P ( 2, 3 )
x
y y’
x’
v
bilqis 19
Aritmatika vektor
Norma sebuah vektor
bilqis 20
Aritmatika vektor di Ruang-2 dan Ruang-3
Teorema 3.2.1.: u, v, w vektor-vektor di Ruang-2/Ruang-3
k, l adalah skalar (bilangan real)
• u+v = v+u
• (u+v)+w = u+(v+w)
• u+0 = 0+u = u
• u+(-u) = (-u)+u = 0
• k(lu) = (kl)u
• k(u+v) = ku + kv
• (k+l)u = ku + lu
• 1u = u
bilqis 21
Bukti teorema 3.2.1.:
1. Secara geometrik (digambarkan)
2. Secara analitik (dijabarkan)
Bukti secara analitik untuk teorema 3.2.1. di Ruang-3
u = (u1, u2, u3); v = (v1, v2, v3); w = (w1, w2, w3)
u + v = (u1, u2, u3) + (v1, v2, v3) u + 0 = (u1, u2, u3) + (0, 0, 0)
= (u1+ v1, u2 + v2, u3 + v3) = (u1+ 0, u2 + 0, u3 + 0)
= (v1 + u1, v2 + u2, v3 + u3) = (0 + u1, 0 + u2, 0 + u3)
= v + u = 0 + u
= (u1, u2, u3)
= u
bilqis 22
k(lu) = k (lu1, lu2, lu3) k(u + v) = k((u1, u2, u3) + (v1, v2, v3))
= (klu1, klu2, klu3) = k(u1+ v1, u2 + v2, u3 + v3)
= kl(u1, u2, u3) = (ku1+ kv1, ku2 + kv2, ku3 + kv3 )
= klu = (ku1, ku2, ku3) + (kv1, kv2, kv3 )
= ku + kv
(k + l) u = ((k+l) u1, (k+l) u2, (k+l) u3)
= (ku1, ku2, ku3) + (lu1, lu2, lu3)
= k(u1, u2, u3) + l(u1, u2, u3)
= ku + lu
bilqis 23
Norma sebuah vektor:
(Untuk sementara norma bisa dianggap sebagai panjang vektor)
Ruang-2 : norma vektor u = ||u|| = u12 + u2
2
Ruang-3 : norma vektor u = ||u|| = u12 + u2
2 + u32
Vektor Satuan (unit Vector) : suatu vektor dengan norma 1
bilqis 24
Jarak antara dua titik:
Ruang-2: vektor P1 P2= (x2 – x1, y2 – y1)
jarak antara P1(x1, y1) dan P2(x2, y2) = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)
2
Ruang-3: vektor P1 P2= (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1)
jarak antara P1(x1, y1, z1) dan P2(x2, y2, z2) =
(x2 – x1)2 + (y2 – y1)
2 + (z2 – z1)2
bilqis 25
Jika u adalah vektor dan k adalah skalar, maka
norma ku = | k | || u ||
bilqis 26
• Vektor bisa dinyatakan secara grafik
analitik (diuraikan mjd
komponennya)
• Norma v = panjang vektor v
= || v || = v1 + v2
• v = P2 P1 = ( x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1 )
d = || v || = ( x2 – x1 )2 + ( y2 – y1 )2 + ( z2 – z1 )2
Ex:
• Norma v = ( -3, 2, 1 ) adalah || v || = ( -3) 2 + ( 2 ) 2 + ( 1 ) 2 = 14
• Jarak ( d ) antara titik P1 ( 2, -1, -5 ) dan P2 ( 4, -3, 1 ) adalah
d = ( 4 – 2 ) 2 + ( -3 + 1 ) 2 + ( 1 + 5 ) 2
= 44
= 2 11
bilqis 27
Contoh (1):
Cari norma dari v = (0, 6, 0)
Penyelesaian :
Contoh (2):
Anggap v = (–1, 2, 5). Carilah semua skalar k sehingga norma kv = 4
Penyelesaian :
636060 222 ==++=v
||kv|| = | k | [(–1)2 + 22 + 52 ]
= | k |30 = 4 → | k | = 4 / 30 → k = 4 / 30
bilqis 28
Contoh (3):
Carilah jarak antara
a) P1 = (3, 4) dan P2 = (5, 7)
b) P1 = (3, 3, 3) dan P2 = (6, 0, 3)
Penyelesaian :
a) d = (5 – 3)2 + (7 – 4)2 = 4 + 9 = 13
b) d = (6 – 3)2 + (0 – 3)2 + (3 – 3)2 = 9 + 9 + 0 = 18
bilqis 29
Perkalian titik (Dot Product)
bilqis 30
3.3) Hasil kali titik : proyeksi
• Hasil kali titik ( dot product ) atau hasil kali Euclidis ( Euclidis inner
product )
|| u || . || v || . Cos θ If u . v ≠ 0
u . v =
0 if u or v = 0
Contoh = example 1 hal 131
• u . v = u1 . v1 + u2 . v2 + u3 . v3
= || u || . || v || . Cos θ
Contoh = example 2 hal 133
bilqis 31
Example I As shown in Figure 2, the angle between the vectors u = (0, 0, 1) and
v = (0, 2, 2) is 45°. Thus,
( )( ) 22
1 220 100 cos . 222222 =
++++== vuvu
Ex 1 hal 131
bilqis 32
Example 2 Consider the vectors
u = (2, -1, 1) and v = (1, 1, 2)
Find u.v and determine the angle θ between u and v.
Solution
u.v = u1v1 + u2v2 + u3v3 = (2)(1) + (-1)(1) + (1)(2) = 3
(5) from that so ,6 have weorsgiven vect for the == vu
2
1
66
3.cos ===
vu
vu
.60 thus, =
Ex 2 hal 133
bilqis 33
Kemungkinan sudut apit antara dua vektor
bilqis 34
Perkalian titik: u . v = skalar
Vektor u dan v di Ruang-2 atau di Ruang-3, dengan sudut apit
antara u dan v
||u|| ||v|| cos jika u 0 dan v 0
u . v =
0 jika u = 0 atau v = 0
Catatan: u dan v saling tegak lurus ( = 90o & cos = 0) u . v = 0
Vektor-vektor yang saling tegak lurus disebut vektor-vektor ortogonal
bilqis 35
Perkalian titik: u . v = skalar
Vektor u dan v di Ruang-2 atau di Ruang-3, dengan sudut apit
antara u dan v
Catatan: u, v Ruang-2 → u = (u1, u2), v = (v1, v2)
u, v Ruang-3 → u = (u1, u2 , u3), v = (v1, v2 , v3)
Formula lain untuk u . v :
Ruang-2: u . v = u1v1 + u2v2
Ruang-3: u . v = u1v1 + u2v2 + u3v3
bilqis 36
Contoh :
1. Misal u = (1, 2, 3) dan v = (–2, 1, 3)
Maka u.v = –2 + 2 + 9 = 9
2. Dari soal nomor 1, hitunglah sudut antara u dan v
|| u || = 14 dan || v || = 14
u . v = || u || || v || cos = 9 di mana adalah sudut antara u dan v
cos = 9 / 14
= arccos (9/14)
bilqis 37
Teorema 3.3.1 – 3.3.2:
Vektor-vektor u, v, w di Ruang-2 atau di Ruang-3
1. v.v = ||v||2, atau ||v|| = (v.v)1/2
2. Jika u 0, v 0 dan mengapit sudut , maka
❑ lancip u .v 0
❑ tumpul u .v 0
❑ = 90o u .v = 0
3. u . v = v . u
4. u . (v + w) = u .v + u .w
5. Jika k adalah skalar, maka k(u . v) = (ku) . v = u . (kv)
6. v .v 0 jika v 0 dan v . v = 0 jika v = 0
bilqis 38
Bukti Teorema 3.3.1 – 3.3.2:
Vektor-vektor u, v di Ruang-2 atau di Ruang-3
1. v.v = ||v||2, atau ||v|| = (v.v)1/2
Bukti: v . v = ||v|| ||v|| cos 0o v . v = v1v1 + v2v2
= ||v|| ||v|| (1) = ||v||2 = v12 + v2
2
= ||v||2 = ||v||2
3. u . v = v . u
Bukti: u . v = ||u|| ||v|| cos
= ||v|| ||u|| cos
= v . u
bilqis 39
Bukti Teorema 3.3.1 – 3.3.2:
Vektor-vektor u, v, w di Ruang-2 atau di Ruang-3
4. u . (v + w) = u .v + u .w
Bukti: u . (v + w) = (u1, u2 , u3) . (v1+w1, v2+w2, v3+w3)
= u1(v1+w1) + u2(v2+w2) + u3(v3+w3)
= (u1v1+u1w1) + (u2v2+u2w2) + (u3v3+u3w3)
= (u1v1+u2v2+ u3v3) + (u1w1 + u2w2+u3w3)
= u .v + u .w
5. Jika k adalah skalar maka k(u . v) = (ku) . v = u . (kv)
Bukti: k(u . v) = k(u1v1 + u2v2 + u3v3) ………….
= (ku1v1 + ku2v2 + ku3v3) = (u1kv1 + u2kv2 + u3kv3)
= (ku1)v1 + (ku2)v2 + (ku3)v3 = u1(kv1) + u2(kv2) + u3(kv3)
= (ku) . v = u . (kv)
bilqis 40
Bukti Teorema 3.3.1 – 3.3.2:
Vektor v di Ruang-2 atau di Ruang-3
6. v .v 0 jika v 0 dan
v . v = 0 (skalar) jika v = 0 (vektor)
Bukti: v 0 = (v1, v2, v3)
v . v = v1v1 + v2v2 + v3v3 = v12 + v2
2 + v32
karena vi2 selalu > 0 maka v . v > 0
v = 0 = (0, 0, 0)
maka v . v = 0
bilqis 41
Aplikasi Teorema 3.3.1:
Vektor-vektor u, v di Ruang-2 atau di Ruang-3
2. jika u 0, v 0 dan mengapit sudut , maka
lancip u .v 0
tumpul u .v 0
= 90o u .v = 0
Contoh :
Jika u = (1, –2, 3), v = (–3, 4, 2), w = (3, 6, 3)
maka u.v = – 3 – 8 + 6 = –5
v.w = – 9 + 24 + 6 = 21
u.w = 3 – 12 + 9 = 0
Oleh karena itu,
u dan v membentuk suatu sudut tumpul
v dan w membentuk suatu sudut lancip
u dan w saling tegak lurus
bilqis 42
Proyeksi Ortogonal:
w1 = proyeksi ortogonal dari vektor u pada vektor a
= komponen vektor u di sepanjang vektor a
w2 = komponen vektor u ortogonal terhadap vektor a
u
aw1
w2u
u
a
a w1
w1
w2
w2
bilqis 43
Proyeksi Ortogonal:
u
w1
w2
a
w1 = proyeksi ortogonal dari vektor u pada vektor a
w2 = komponen vektor u ortogonal terhadap vektor a
w1 = ( u . a / || a ||2 ) a w2 = u – ( u . a / || a ||2 ) a
Bukti: w1 = ( k ) a → k = ( u . a / || a ||2 ) ?
u = w1 + w2 = k a + w2
u . a = (k a + w2) . a
= ka . a + w2 . a
= k || a ||2 + 0 = k || a ||2
k = ( u . a ) / || a ||2
Norm vektor w1 : || w1 || = | u . a | || a || / || a ||2 = | u . a | / || a ||
bilqis 44
Contoh
Anggap u = (2, –1, 3) dan a = (4, –1, 2).
Tentukan :
Proyeksi ortogonal vektor u pada vektor a
Komponen vektor u yang orthogonal terhadap a
Penyelesaian:
u . a = 8 + 1 + 6 = 15
||a||2 = 21
maka :
w1 = proya u = ( u . a / ||a||2 ) a = (15/21) (4, –1,2) = (20/7, –5/7, 10/7)
w2 = u – proya u = (–6/7, –2/7, 11/7)
bilqis 45
Jarak titik Po (xo, yo) ke garis lurus g : ax + by + c = 0
g : ax + by + c = 0
n
Q (x1, y1)
Vektor n = (a, b) ortogonal garis g
Bukti bahwa n = (a, b) ortogonal garis g
R(x2, y2)*
* Vektor QR = (x2 – x1, y2 – y1)
Dengan perkalian titik: n . QR = a(x2 – x1) + b (y2 – y1)
R terletak pada garis g, maka: ax2 + by2 + c = 0
Q terletak pada garis g, maka: ax1 + by1 + c = 0
a(x2 – x1) + b (y2 – y1) + 0 = 0
Jadi, n . QR = a(x2 – x1) + b (y2 – y1) = 0
artinya vektor n ortogonal QR, sehingga vektor n
ortogonal garis g (terbukti)
bilqis
46
Jarak titik Po (xo, yo) ke garis lurus g : ax + by + c = 0
g: ax + by + c = 0
n
Po (xo, yo)Q (x1, y1)
Vektor QPo = (xo– x1, yo – y1)
( vektor QPo seperti vektor u;
vektor n seperti vektor a
vektor d seperti vektor w1)
jarak dari titik Po ke garis g = || d ||
d
|| w1 || = | u . a | / || a ||
|| d || = | QPo . n | / ||n|| = |(xo– x1, yo – y1) . (a, b)| / (a2 + b2)
= | (xo– x1)a +(yo – y1)b) | / (a2 + b2) = | xoa – x1a + yo b – y1b | / (a2 + b2)
tetapi Q terletak di g, maka ax1 + by1 + c = 0 atau c = – ax1 – by1
Maka || d || = | axo + byo – ax1 – by1| / (a2 + b2)
|| d || = | axo + byo + c| / (a2 + b2)
bilqis 47
Contoh (1) :
Hitunglah jarak antara titik (1, –2) ke garis 3x + 4y – 6 = 0
Penyelesaian :
Contoh (2) :
Hitunglah jarak antara titik (1, – 2) ke garis 2 = 4y – 2x
Penyelesaian : garis diubah menjadi – 2x + 4y – 2 = 0
d = = =
5
11
25
11
43
6)2.4(1.3
22=
−=
+
−−+=D
| (–2)(1) +(4)(– 2) – 2 | | –12 | 12
(–2)2 + (4)2 20 20
bilqis 48
Ruang-n Euclidean
(Euclidean n-space)
bilqis 49
Review: Bab 3 membahas Ruang-2 dan Ruang-3
Ruang-n : himpunan yang beranggotakan vektor-
vektor dengan n komponen
{ … , v = (v1, v2, v3, v4, …, vn), ….. }
• Atribut: arah dan “panjang” / norma ||v||
• Aritmatika vektor-vektor di Ruang-n:
1. Penambahan vektor
2. Perkalian vektor dengan skalar
3. Perkalian vektor dengan vektor
bilqis 50
Norma sebuah vektor:Norma Euclidean (Euclidean norm) di Ruang-n :
u = (u1, u2, u3, … , un)
||u|| = u12 + u2
2 + u32 + … + un
2
d(u,v) = ||u-v| |= (u1-v1)2 + (u2-v2)
2 + (u3-v3)2 + … + (un-vn)
2
bilqis 51
Ex. 3 hal 171
Example 3.
If u = (1, 3, -2, 7) and v = (0, 7, 2, 2) then in the Euclidean
space R2.
||u|| = = =
And
d(u,v) = =
2222 )7()2()3()1( +−++
2222 )27()22()73()01( −+−−+−+−
63 73
58
bilqis 52
Contoh:Hitunglah Eucledian norm dari vektor-vektor berikut :
(a) x = (3, 4, 0, –12)
(b) v = (–2, 1, 1, –3, 4)
(a) || x || = 9 + 16 + 0 + 144 = 169 = 13
(b) || v || = 4 + 1 + 1 + 9 + 16 = 31
bilqis 53
Penambahan vektor: di Ruang-nu = (u1, u2 , u3, …, un); v = (v1, v2 , v3, …, vn)
w = (w1, w2 , w3, …, wn) = u + v
w = (u1, u2 , u3, …, un) + (v1, v2 , v3, …, vn)
w = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3, …, un + vn)
w1 = u1 + v1
w2 = u2 + v2
………..
w2 = un + vn
bilqis 54
Negasi suatu vektor:
u = (u1, u2 , u3, …, un)
– u = (– u1, – u2 , – u3, …, – un)
Selisih dua vektor:
w = u – v = u + (– v)
= (u1 – v1, u2 – v2, u3 – v3, …, un – vn)
Vektor nol: 0 = (01, 02 , 03, …, 0n)
bilqis 55
Perkalian skalar dengan vektor:
w = kv = (kv1, kv2 , kv3 , …, kvn)
(w1, w2 , w3,…, wn) = (kv1, kv2 , kv3 , …, kvn)
w1= kv1
w2 = kv2
…..…
wn = kvn
bilqis 56
Perkalian titik: (perkalian Euclidean)
u . v = skalar
u . v = u1v1 + u2v2 + u3v3 + … + unvn
u . v = 0 jika u dan v ortogonal
Catatan: perkalian silang hanya di Ruang-3
bilqis 57
Ex.1 hal 169
Example 1
The Euclidean inner product of the vectors
u = (-1, 3, 5, 7) and v = (5, -4, 7, 0)
is R4 is
u.v = (-1)(5)+(3)(-4)+(5)(7)+(7)(0) = 18
bilqis 58
Contoh:
Hitunglah perkalian Eucledian u . v
di mana u = (0, –2, 1, 1) dan v = (–3, 2, 4, 4)
u . v = (0)(–3) + (–2)(2) + (1)(4) + (1)(4)
= 4
bilqis 59
Aritmatika vektor di Ruang-n:
Teorema 4.1.1.: u, v, w vektor-vektor di Ruang-n
k, l adalah skalar (bilangan real)
• u + v = v + u
• (u + v) + w = u + (v + w)
• u + 0 = 0 + u = u
• u + (-u) = (-u) + u = 0
• k(lu) = (kl)u
• k(u + v) = ku + kv
• (k + l) u = ku + lu
• 1u = u
bilqis 60
Teorema 4.1.2:
Vektor-vektor u, v, w di Ruang-n; k adalah
skalar
• u . v = v . u
• u . (v + w) = u .v + u .w
• k(u . v) = (ku) . v = u . (kv)
• v .v 0 jika v 0
v . v = 0 jika dan hanya jika v = 0
bilqis 61
Ex. 2 hal 170
Example 2 Theorem 4.1.2 aloows us to perform
computation with Euclidean inner products in much the
same way that we perform them with ordinary arithmetic
products. For Exmple,
(3u + 2v).(4u + v) = (3u).(4u + v) + (2v).(4u + v)
= (3u).(4u) + (3u).v + (2v).(4u) + (2v).(v)
= 12(u.u) + 3(u.v) + 8(v.u) + 2(v.v)
= 12(u.u) + 11(u.v) + 2(v.v)
The reader should determine which parts of Theorm 4.1.2
were used in each step
bilqis 62
Teorema 4.1.3 - 4.1.5:
| u . v | || u || || v ||
|| u || 0
|| u || 0 jika dan hanya jika u = 0
|| ku || = | k | || u ||
|| u + v || || u || + || v ||
d(u, v) 0
d(u, v) = 0 jika dan hanya jika u = v
d(u, v) = d(v, u)
d(u, v) d(u, w) + d(w, v)
bilqis 63
Fig. 2 hal 173
kv
v
(a)
Figure 2 ||kv|| = ||k||||v||
u + v v
u
(b)
||u+v|| ||u|| + ||v||
bilqis 64
Fig. 3 hal 173
w
v
u
d(u,w) d(u,v) + d(v,w)
bilqis 65
Teorema 4.1.6 – 4.1.7:
u . v = ¼ || u + v || 2 – ¼ || u – v || 2
Teorema Pythagoras
➔ jika u ortogonal v
|| u + v || 2 = || u || 2 + || v || 2
u
v u + v
bilqis 66
Ex. 4 hal 174
Example 4 In the Euclidean space R2 the vectors
u = (-2, 3, 1, 4) and v = (1, 2, 0, -1)
are orthogonal, since
u.v = (-2)(1) + (3)(2) + (1)(0) + (4)(1)
Contoh soal No. 1
bilqis 67
bilqis 68
Contoh soal No. 2
bilqis 69
bilqis 70
Contoh soal no. 3
bilqis 71
bilqis 72
Contoh soal No. 4
bilqis 73
bilqis 74
Contoh soal No. 5
bilqis 75
bilqis 76
• Tugas Kelompok ➔
– cari 2 soal dan jawaban di internet yang
berhubungan dengan materi ppt ini
– Tulis alamat internetnya
– Di kirim ke elearning, terakhir ➔
• Minggu depan
• Format ➔ subject ➔
– Alin-B-melati
– Bentuk ➔ ppt ➔ informasi nama kelompok
+ anggota
bilqis 77
Recommended