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Physique 3 Vibrations linéaires et ondes mécaniques
Leçon n°8 :
Systèmes soumis à une force quelconque
Plan du cours :Systèmes soumis à une force quelconque
• Réponse d’un système soumis à une force périodique quelconque , développement en série de Fourier
• Réponse à une impulsion Ft=1• Réponse à une force F(t) quelconque• Réponse d’un système avec excitation de la base• Spectre de réponse
Réponse d’un système soumis à une force périodique quelconque
• Une force périodique quelconque peut être développée en séries de Fourier :
• L’équation du mouvement s’écrit :
1n 1n
nn0 tsinbtcosa
2
akxxxm
,...2,1n,dttnsintfT
2b
,...2,1,0n,dttncostFT
2a
tnsinbtncosa2
atF
T
0n
T
0n
1n 1nnn
0
Réponse d’un système soumis à une force périodique quelconque (suite)
• En utilisant le principe de superposition, la solution particulière est la somme des solutions particulières des trois équations suivantes :
dont les solutions sont respectivement :
avec
tnsinbkxxxm
tncosakxxxm;2
akxxxm
n
n0
n2222
n
pn2222
n
p tnsinnr2rn1
kb
tx;tncosnr2rn1
ka
tx
k2
atx 0
p
22
1n rn1
nr2tan
Réponse d’un système soumis à une force périodique quelconque (suite)
• La solution complète s’écrit :
• Quand n augmente, les amplitudes deviennent plus petites, quelques premiers termes sont suffisants pour obtenir une solution exacte.• Quand n=nat, l’amplitude de l’harmonique correspondante est grande.• La partie transitoire de la solution qui dépend des conditions initiales peut être
additionnée pour donner la solution complète du problème.
n
1n 2222
n
n1n 2222
n
0p
tnnsinr2rn1
kb
tncosnr2rn1
ka
k2
atx
Pour étudier les vibrations des valves utilisées dans les systèmes de contrôle hydrauliques, la valve et son joint élastique sont assimilés à un système amorti masse-ressort, comme le montre la figure. En plus de la force de rappel du ressort et de la force d’amortissement il existe une force de pression du fluide sur la valve qui change suivant la grandeur d’ouverture ou de fermeture de la valve.
Trouver la réponse du régime permanent de la valve quand la pression dans la chambre varie comme l’indique la figure. On supposera que k=2500N/m, =10N.s/m et m=0,25kg.
Exemple 1: Oscillations d’une valve hydraulique (1)
Vibrations périodiques d’une valve hydraulique
• La force est égale à
où A est la surface transversale de la chambre :
• F(t) peut être exprimée par une série de fourrier comme :
• La fonction F(t) est donnée par :
tpAtF
222
m000625,0mm6254
50A
...tsinbtsinb....tcosatcosa2
atF 2121
0
t
2pourt2A50000
2t0pourAt50000
tF
Exemple 1: Oscillations d’une valve hydraulique (2)
• Le calcul des coefficients de Fourier donne
0dtt3cost2A50000dtt3sinAt500002
2b
9
A102dtt3cost2A50000dtt3cosAt50000
2
2a
0dtt2sint2A50000dtt2sinAt500002
2b
0dtt2cost2A50000dtt2cosAt500002
2a
0dttsint2A50000dttcosAt500002
2b
A102dttcost2A50000dttcosAt50000
2
2a
A50000dtt2A50000dtAt50000a
1
0
2
13
2
51
0
2
13
1
0
2
12
1
0
2
12
1
0
2
11
2
51
0
2
11
1
0
2
10
Exemple 1: Oscillations d’une valve hydraulique (3)
En considérant seulement les trois premières harmoniques, on peut approximer la fonction force par :
Le régime permanent de la réponse peut être exprimé par :
t3cos9
A102tcos
A102A2500tF
2
5
2
5
3
222
2
5
1222
2
5
p
t3cosr6r91
k9A102
t3cosr6r91
kA102
k
A25000tx
Exemple 1: Oscillations d’une valve hydraulique (4)
• Nous avons :
• Les angles de phase 1 et 3 s’écrivent :
• La solution s’écrit :
s/rad2
22;s/rd100
25,0
2500
m
kn
rd0380483,0
031416,091
031416,02,06tg
r91
r6tg
rd0125664,0031416,01
031416,02,02tg
r1
r2tg
21
21
3
21
21
1
2,010025,02
10
m2;031416,0
100r
ncn
m0380483,0t3cos0017828,00125664,0tcos015930,0019635,0txp
Exemple 1: Oscillations d’une valve hydraulique (5)
Trouver la réponse totale d’un système à un degré de liberté avec amortissement visqueux soumis à une excitation harmonique de la base avec les données suivantes :
Solution : • L’ équation du mouvement du système est donnée par :
• Cette équation est similaire à un développement en série de Fourier avec a0=0, a1=Y, b1=kY et ai=bi=0 (i=2,3,…). La solution du système est :
•Pour les données de l’énoncé :
s/m10x;m02,0x;mt505,0ty;m/N4000k;;s/mN20;kg10m 00
Exemple 2: Réponse totale d’un système soumis à une excitation harmonique de la base (1)
tcosYtsinkYykykxxxm
1
11
1
222p tsin
k
btcos
k
a
r2r1
1tx
937833,025,005,0225,01r2r1
;rad02666,005,01
25,005,02tan
r1
r2tan
20005,04000kYb;5)05,0)(5)(20(Ya
;s/rad975,191;05,01040002
20
km2
;25,020
5r;s/rad20
10
4000
m
k;m05,0Y
222222
21
21
1
11
n2
ac
n
Solution : de l’équation homogène :
X0 et 0 dépendent des conditions initiales.
• La solution totale :
•
•
•
;t975,19coseXtcoseXtx 0t
00at
0hn
Exemple 2: Réponse totale d’un système soumis à une excitation harmonique de la base (2)
02666,0t5sin053314,002666,0t5cos001333,0t975,19coseX
t5sin4000
200t5cos
4000
5
937833,0
1t975,19coseXtx
0t
0
110t
0
733345,9sin975,19cosX
02666,0cos266572,002666,0sin006665,0sinX975,19cosX100txx
020088,0cosX
02666,0sin053314,002666,0cos001333,0cosX02,00txx
000
00000
00
000
02666,0t5cos266572,002666,0t5sin006665,0
t975,19sineX975,19t975,19coseXtdt
dxtx 0
t00
t0
02666,0t5sin053314,0
02666,0t5cos001333,0529683,1t975,19cose488695,0tx t
Exemple 2: Réponse totale d’un système soumis à une excitation harmonique de la base (3)
Réponse totale d’un système soumis à une excitation harmonique de la base où on voit la solution homogène au début qui disparaît à cause du facteur e -t et la solution permanente qui prend le relai par la suite.
• Force connue seulement expérimentalement : vent, tremblement de terre, valves hydrauliques, variations de pressions dans les pipelines, …• Il est possible de trouver les coefficients de Fourier en utilisant
une procédure d’intégration numérique. •Une fois les coefficients de Fourier calculés, on peut trouver la
réponse d’un système conséquence de la force d’excitation.
Réponse sous une force périodique de forme irrégulière
Exemple 3 : exercice effectué dans le premier chapitre au sujet des fluctuations périodiques de pression dans un pipeline qui après une analyse de Fourier ont donnés p(t). Supposer que sont ces fluctuations de pression que l’on retrouver pour la valve hydraulique, on écrit p(t) :
On trouve :
Réponse sou une force périodique de forme irrégulière
2
nn
2
m000625,0A;2,0;5236,0r;s/rad100;s/rad36,5212,0
22avec
m/N...t08.157sin3.2333t08.157cos3.5833t72.104sin3.3608
t72.104cos7.1416t36.52sin7.8307t36.52cos0.269963.34083tp
18,235236,091
5236,02,06tan
r91
r6tan
;01,775236,041
5236,02,04tan
r41
r4tan;1,16
5236,01
5236,02,02tan
r1
r2tan
21
21
3
21
21
221
21
1
322
322
222222
122122
p
t08.157sinr6r91
k/A3.2333t08.157cos
r6r91
k/A3.5833
t72.104sinr4r41
k/A3.3608t72.104cos
r4r41
k/A7.1416
t36.52sinr2r1
k/A7.8307t36.52cos
r2r1
k/A0.26996
k
A3.34083tx
Intégrale de convolution, réponse sous une force non-périodique, réponse à une impulsion
• La forme de force la plus simple est une force impulsive.• Une impulsion est le produit d’une force de large amplitude avec un temps très
court :
• Une impulsion unité est définie par :
• Pour un système masse-ressort amorti soumis
à une impulsion unité à t=0, l’équation du mouvement est :
• On retrouve l’impulsion à travers les conditions initiales.
t 1FdtLim~F Δt
t0Δt
tt
t12~
FdtxmxmtFF
0kxxxm
Intégrale de convolution, réponse à une impulsion (suite)
• La solution à ce système amorti
sans force extérieure est :
où
• Si la masse est au repos avant l’application de l’impulsion, on a pour t<0 ou à t=0-, on obtient : 0
~xm0txm0txm1f
tsinxx
tcosxetx aa
0n0a0
tn
m
k;
m2m
k1;
m2 n
22
nan
0xx
• Les conditions initiales de notre système sont donc :
• Le mouvement de notre système se réduit à :
• Si l’amplitude de notre impulsion est au lieu de l’unité, la vitesse initiale est et la réponse du système devient :
m
1x0tx;0x0tx 00
tsinm
etgtx a
a
ta
~F
mF~
tgFtsinm
eFtx
~a
a
t
~
n
Intégrale de convolution, réponse à une impulsion (suite)
Système amorti, masse-ressort sous critique soumis à une impulsion unité à t=0
Intégrale de convolution, réponse à une impulsion unité
• Si l’impulsion est appliquée à un temps arbitraire , on remplace t par t- dans l’équation précédente. La réponse est :
• Imaginons que F(t) soit une force quelconque. Celle-ci peut être vue comme la superposition de forces d’impulsion F().
tgFtsinm
eFtx
~a
a
t
~
0
Exemple 4 : réponse d’une structure à un choc
Dans le test de vibration d’une structure, un marteau d’impact et une cellule mesurant la charge de la force sont utilisés comme source d’excitation. En supposant m=5 kg, k= 2000N/m, α=10 N.s/m et trouver la réponse du système.
Solution :
A partir des données, on peut calculer :
En supposant l’impact donné au temps t=0,
la réponse est :
s/rad975,19,1
05,0520002
10
km2
;s/rad205
2000
m
k
n2
a
c
n
,sN20F~
mt975,19sine20025,0
975.19sine975,195
20
tsinm
eFtx
t
t2005,0
aa
t
~1
n
Exemple 5 : Réponse d’une structure sous double impactDans de nombreux cas un deuxième impact prend place après le premier et la force appliquée s’écrit :
où (t) est la fonction de Driac et désigne le temps entre les deux impacts de magnitude
Pour une structure avec m=5kg, k = 2000N/m, = 10N.s/m.
. Trouver la réponse de la structure. Nous avons :
On suppose les deux réponses :
2,0t;e100125,02,0t975,19sine
975,195
10tx 2,0t2,0t2005,0
2
tFtFtF~2
~1
2,0t;2,0t97,19sine100125,0t975,19sine20025,0
2,0t0;t975,19sine20025,0tx
2,0tt
t
~2
~1 FetF
N2,0t10t20tF
Intégrale de convolution, réponse à une force F(t) quelconque
• Nous pouvons décomposer n’importe quelle force F(t) en une somme d’impulsions de différentes amplitudes. La réponse totale du système peut être trouvée en additionnant toutes les réponses de toutes les impulsions élémentaires :
• En prenant et en remplaçant la sommation par une intégration, on trouve :
Cette équation appelée intégrale de Duhamel ou intégrale de convolution donne la réponse d’un système sous-critique à un degré de liberté soumis à une force d’excitation arbitraire F(t).
tgFtx
;tgFtx
0
t
0 at
a
t
0
dtsineFm
1tx
dtgFtx
0
Intégrale de convolution, réponse d’un système avec excitation de la base
• L’équation du mouvement dans ce cas s’écrit :
• Cette équation est similaire à l’équation :
• Ce qui revient à écrire :
ymkzzzm
Fkxxxm
t
0 at
a
dtsiney1
tz n
Exemple 6: Fonction escalier d’une machine de compactage
Une machine de compactage, modélisée comme un système à un degré de liberté est montrée sur la figure suivante. La force agissant sur la masse m, qui inclus les masses du piston, de la plate-forme et du matériel à compacter, due à une application soudaine de la pression peut être idéalisée comme une fonction constante, comme le montre la figure. Déterminer la réponse du système.
(a)
(b)
Exemple 6 : Fonction escalier d’une machine de compactage (suite)
Solution : l’intégrale de Duhamel avec F(t)=F0 donne :
avec
at
2
0
t
0
2a
2n
aaant
a
0
t
0 at
a
0
cose.1
11
k
F
tcostsine
m
F
dtsinem
Ftx
n
a
n
2
1
1tg
Exemple : Fonction escalier d’une machine de compactage (suite)
• La réponse montre que la solution est un mouvement sous critique classique. Elle montre aussi que si le système est non amorti, =0 et a=n, l’équation précédente se réduit à :
qui montre que le déplacement maximum est égal à deux fois l’élongation statique, xmax=2F0/k
tcos1k
Ftx n
0
Réponse d’une machine de compactage
Réponse lorsque le système est non amorti
Exemple 7 : Force escalier retardée à t=t0
• Si la fonction escalier est retardée, on substitue simplement t-t0 pour t dans la solution de l’exemple précédent, ce qui donne :
• Si le système est non amorti, nous avons :
0a
tt2
2
0 ttcose11k
Ftx 0n
0n0 ttcos1
k
Ftx
Exemple 8 : Force de pulsation rectangulaire
Si nous avons affaire à une impulsion rectangulaire, la réponse est la différence entre les solutions des deux exercices précédents :
avec
0a
ta2
0 ttcosetcos1k
Ftx 0n
2
1
1tg
(a) (b)
Exemple 8 : Force de pulsation rectangulaire (suite)
Pour voir la réponse à une impulsion rectangulaire graphiquement, on prend un système non amorti , c’est-à-dire =0 et a= n. On trouve la réponse suivante :
Qui est différente suivant la durée de l’impulsion.
tcosttcosk
Ftx n0n
0
Exemple 9 : Choc sur le cadre d’un building (1)
Un bâtiment est modélisé comme un système non-amorti à un degré de liberté comme le montre la figure. Trouver la réponse du cadre si celui-ci est soumis à une charge explosive représentée par la pulsation triangulaire de la figure (b).
Solution : La fonction force est donnée par :
L’équation donnant la réponse d’un système à un degré de liberté, non amorti soumis à une force d’excitation arbitraire s’écrit :
• Réponse pendant l’intervalle 0 : t t0
0
00
0
tpour0F
;t0pourt
1FF
t
0 nn
dtsinFm
1tx
nn
t
00
n0
nn
t
00
n0
t
0 nnnnn0
2n
0
d.sint
1tcosk
Fdcos
t1tsin
k
F
dsintcoscostsint
1m
Ftx
Exemple 9 : Choc sur le cadre d’un building (2)
•En notant que l’intégration par partie donne :
on obtient :
En simplifiant, on trouve :
Réponse pendant l’intervalle t > 0 : la limite supérieure de l’intégrale doit être t0
puisque F() pour > t0 :
nn
nnnnn
nnn sin1
cosd.sinetcos1
cosd.cos
tsint
1tcos
t
t1tcostcos
t
1tcos
t
1tsin
t
ttsintsin
k
Ftx
n0n
n0
nn
0nn
0nn
0nn
0
tsin
t
1tcos
t
t1
k
Ftx n
0nn
0
0
tcostsinttsintcos1tk
Ftx n0n0nn0n
0n
0
Exemple 11 : Spectre de réponse d’une pulsation sinusoïdale (2)
•
• On peut donc trouver
• une demi sinusoïde est un cas simple. En général, on doit résoudre de manière numérique
tsin'Btcos'Atx:ttPour nn0
0n0nn
0
0
n2
0
n
st0 tsin'Btcos'A
t2sin
t2
t21
ttx
0
nnn
02
0n
0n
st2
0
n
st0n
0n
0n0n
0nn0nnn
0
0
n
02
0
n
st0
tt,t
2sintt
2sint2/1
t/tx
t21
;tcos1t
'B
;tsint
'Atcos'Btsin'At2
cost2t
t21
tt'x
n
0
st
tfonct
tx
maxn
t
0n
maxtsinF
m
1tx
Spectre de réponse pour une excitation de la base
• Utilisé dans la conception de machine ou de structures pouvant subir des chocs au sol comme ceux causés par les tremblements de terre (constructions parasismiques). On utilise dans ce cas le spectre de réponse en vitesse. Les spectres de réponses en accélération ou en déplacement sont facilement déduit :
•A partir du résultat trouvé du déplacement relatif d’un système sous critique soumis à une excitation de la base :
on obtient :
où la relation
vnan
vd SSet
SS
,dtsiney1
tz att
0a
n
dtsintsiney1
tz aaantt
0a
n
ttfd,tt
fd,tf
t
0
t
0
Spectre de réponse pour une excitation de la base
• on peut donné à la forme
où
• Le spectre de réponse en vitesse s’écrit :
On écrit aussi :
tsinQP1
etz a
22
2
tn
tz
2
21
t
0 att
0 at
1QP
Q1Ptanet
dsineyQ;dcoseyP nn
max
22
2
t
maxv QP1
etzS
n
vnmaxamaxvn
vmaxd SzS;zS;
SzS
Exemple 12 : Château d’eau sujet à une accélération de la base (1)
• Soit un château d’eau, sujet à une accélération linéaire du sol due à un tremblement de terre. La masse du château d’eau est m, la raideur de la colonne est k, et l’amortissement est négligeable.
Trouver la réponse pour le déplacement relatif z=x-y du château d’eau.
(a) (b)
Exemple 12 : Château d’eau sujet à une accélération de la base (2)
Solution• L’accélération de la base peut s’écrire :
• Réponse pour 0 t 2t0 : en substituant dans l’équation de la réponse due à une excitation de la base, on trouve :
0
00
max
t2tpour0ty
t2t0pourt
t1yty
tsint
1tcos
t
t1
ytz
dsintcoscostsint
1y1
tz
n0n
n0
2n
max
t
0 nnnn0
maxn
ty
Exemple 12 : Château d’eau sujet à une accélération de la base (3)
Pour trouver la réponse maximale z, on écrit :
Pour trouver
et
0tcostsint1t
ytz nn0n2
n0
max
mn0n
mn0
m2n
max tsint
1tcos
t
t1
ytz
0n1
nm ttg
2t
Exemple 12 : Château d’eau sujet à une accélération de la base (4)
Réponse lorsque t > 2t0 : puisqu’il n’y a pas d’excitation durant ce temps, on utilise l’équation trouvée pour les problèmes des vibrations libres :
avec à partir de la solution trouvée pour 0 t 2t0 :
Le maximum de z(t) peut être trouvé de la même manière, la solution est :
tsinz
tcosztz nn
0n0
21
2
n
020max
zzz
0000 t2tzzett2tzz
Accélérogramme et spectre de réponse d’un tremblement de terre
• Accélérogrammes imprimés par des instruments appelés accélérographes de mouvements forts.•On obtient de l’accélérogramme : le maximum de l’accélération du sol, la durée et le fréquence du tremblement de terre.•On intègre à partir de l’accélérogramme pour trouver la vitesse et le déplacement du sol en fonction du temps.•Le spectre de réponse est utilisé pour donner la meilleure représentation descriptive de l’influence d’un tremblement de terre donné sur une structure ou une machine. •Le spectre de réponse d’un accélérogramme particulier montre des intégralités dans le domaine des fréquences. On a développé les spectres de design (de conception) qui sont des spectres moyens correspondant à un ensemble d’accélérogramme pour concevoir des structures et des machines.
Spectre de réponse d’un tremblement de terre
Spectre de design d’un tremblement de terre
Exemple 13 : Réponse du cadre d’un bâti à un tremblement de terre (1)
Un bâti a une masse de 6800 kg et est formé de deux colonnes de raideur k, comme indiqué sur la figure. Le rapport d’amortissement de la bâtisse est de 0,05 et sa période naturelle est de une seconde. Utiliser le spectre de réponse donné comme exemple en cours pour trouver le déplacement relatif maximum de la dalle et la force maximale de cisaillement (kx) de la dalle. Celle-ci peut servir à trouver la force maximale de flexion des colonnes.
Exemple 13 : Réponse du cadre d’un bâti à un tremblement de terre (2)
Solution : On peut lire sur le spectre de réponse n= 1 s et = 0,05 :
Sv= 25 in/s = 25 × 2,54 = 63,5 cm/s = 0,635 m/s
Sd = 4,2 in = 10,668 cm et Sa = 0,42 g = 0,42 × 9,8 = 4,116 m/s²
Le déplacement maximum de la dalle est de 10,668 cm (ce qui est énorme).
La force maximale de cisaillement sur les deux colonnes est de :
Ce qui peut mettre à rude épreuve la flexion des colonnes.
N28000N8,27988116,46800xmkxF maxmax
Exemple 14 : Trolley d’une grue électrique roulante
Le trolley d’une grue électrique roulante bouge sur une poutre métallique comme le montre la figure.
On suppose que le trolley est un une masse ponctuelle. L’ensemble du système peut être assimilé à un système à un degré de liberté avec une période de 2 secondes et un rapport d’amortissement de 2 %. Déterminer si le trolley déraille sous l’influence d’un tremblement de terre dont le spectre de design est donné par la figure exemple de cours.
Solution : pour n=2s et =0,02 la figure donne Sa=0,25g, ce qui est inférieur à g donc le trolley ne déraillera pas.
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