View
235
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
1
POLÍGONOS.
POLÍGONO: é unha superficie plana
pechada limitada por rectas que se cortan formando vértices.
PERÍMETRO: é a suma dos seus lados. - O polígono pode ser cóncavo se ten
algún ángulo interior maior de 180º. - O polígono pode ser convicto se todos
os seus ángulos interiores son menores de 180º.
TRIÁNGULOS
É unha figura plana limitada por tres rectas que se cortan dous a
dous formando tres lados e tres ángulos. Os ángulos noméanse con letras maiúsculas A,B,C.
Os lados noméanse coa letra correspondente ao ángulo oposto pero en minúscula.
Os ángulos A= B= C=
Segundo os seus lados:
Segundo os seus ángulos:
A. exterior A. interior
diagonal
lado vértice
convicto cóncavo
A
B C
A
B C
A
B C a
b c c b
a
c b
a
Equilátero a=b=c
Isóscele a=b=c
Escaleno a=b=c
un ángulo obtuso
A A A
B B B C C C a a a
b b b c c c
Acutángulo 3 ángulos agudos
Rectángulo un ángulo de 90º
Obtusángulo
2
Propiedades dos triángulos
- A suma dos ángulos dun triángulo é de 180º. Â+B+C=180º
- Un triángulo non pode ter máis dun ángulo recto ou dun ángulo obtuso.
- Nun triángulo rectángulo os seus dous ángulos agudos son ángulos
complementarios. (1º) - O ángulo exterior dun triángulo é igual á
suma dos dous ángulos interiores
adxacentes. (2º) - A maior ángulo, maior lado oposto.
- A suma de dous lados é maior sempre que a do outro lado. A resta de dous lados é
menor sempre que a do outro lado. - Se nun triángulo ABC trazamos arcos con
entro en A, B e radio b e a respectivamente unindo posteriormente os
resultados o vértice C, teremos un triángulo a base do cal é o perímetro do
triángulo anterior e os ángulos da cal cumpre (3º).
Puntos notables dun triángulo. Circuncentro: Cc. É o punto onde a unes as mediatrices dun
triángulo e é o centro dunha circunferencia circunscrita ao triángulo.
Incentro: Ic.
É o punto onde se unen as bisectrices dos ángulos dun triángulo e é o centro da
circunferencia inscrita ao triángulo.
A
B C
1º) A
B
A. complementario
45º 75º
60º
A
B C
A+C=135º
2º)
A
B C A' B' /2
/2
3º)
B C
A
a
b c Cc.
C
A
B
Ic.
3
Baricentro: Ba.
É o punto onde se unen as medianas do triángulo.
Mediana: recta que vai dende o vértice ata a metade do lado oposto.
Ortocentro: Oc. É o punto onde se xuntan as alturas dun
triángulo. Unindo os pés das alturas fórmase o triángulo Órtico. Con centro no ortocentro
pódese trazar a circunferencia Órtica que está inscrita no triángulo Órtico.
Altura: é a recta que vai perpendicularmente
dende o vértice ata o lado oposto. Cando o triángulo é obtusángulo o
ortocentro é exterior. Cando o triángulo é acutángulo o
ortocentro é interior. Cando o triángulo é rectángulo o ortocentro
coincide co vértice recto do triángulo.
Recta de Euler: É aquela recta que pasa polo Ortocentro,
Circuncentro e o Baricentro.
Exercicio nº 1 Debuxar un triángulo coñecendo os tres
lados, a= 30 mm, b=20mm, c=15mm.
Exercicio nº 2
Debuxar un triángulo coñecendo dous lados e o lado comprendido. a=30mm,
b=40mm e C=30º.
A
B C
0c.
Pa
Pb Pc
B C
A
Mc Mb
Ba
Ma
Oc Ba Cc
B C
A
A
B C a
b c
A
a
b c
C B
30º
R40
4
R60
30º
C A
B
b
c
a
Exercicio nº 3
Construción dun triángulo isóscele de
lado desigual 20 mm e lados iguais 40 mm.
Exercicio nº 4
Constución dun triángulo isóscele dous
lados de 40 mm e ángulo  30º.
Exercicio nº 5
Construción dun triángulo coñecendo un
lado e os ángulos adxacentes. a=40mm, B=60º, C=45º.
Exercicio nº 6
Construción dun triángulo coñecendo un lado a=40mm, b=50mm e B=75º
Exercicio nº 7
Construción dun triángulo rectángulo
coñecendo os dous catetos b=50mm e c=30mm.
Exercicio nº 8
Construción dun triángulo rectángulo
coñecendo a hipotenusa a=60mm e o ángulo C= 30º
nº3
nº4
nº5
nº6
nº7
nº8
A
B C
R40 R40
a
b c
A B
C R40 b
c
a
30º
A
a B
b
C
c
60º 45º
A
B C
R40
a
b
75º
50
30
B
A C
a
b
c
5
50 60º
o
b
B
A
a
C
c
Exercicio nº 9 Construír un triángulo rectángulo coñecendo
un cateto de 50 mm e o ángulo oposto de 60º.
Exercicio nº 10
Construír un triángulo coñecendo dous lados e o ángulo oposto a un deles. a=30mm, b=45mm, Â=30º.
Exercicio nº 11 - Construír un triángulo equilátero sabendo
que a súa altura é de 35 mm.
Exercicio nº 12 Construír un triángulo equilátero sabendo que o radio r =20 mm da circunferencia
circunscrita. ( pódese trazar facendo un hexágono). - Trázase unha circunferencia de radio 20 mm.
- Con centro nun punto P calquera e radio 20 mm
trázase un arco de circunferencia que corta á
circunferencia inicial en BC vértices do triángulo
equilátero. Con centro en B e radio BC arco que corta
en A, unimos ABC.
Exercicio nº 13
Construír un triángulo Isósceles dada a altura de 35 mm e os seus dous lados iguais de 38 mm.
a B C
O
A
A'
b
b'
R45
30
A
B C
h 35
30º
R20
R20 A
B
C O
P
RBC
R38
35
A
B C a
b
c
6
20 28.93
C
A B B'
C'
37º30'
Exercicio nº 14
Construír un triángulo Isósceles dada a base de 20 mm e a súa altura de 35 mm.
Exercicio nº 15
Construír un triángulo Isósceles dado o ángulo Â=37º30' e o seu lado oposto a=20mm.Trazar de dúas formas.
1º procedimiento
Exercicio nº 16 Trazar un triángulo coñecendo a=40mm,
b=30mm, e a altura ha=20mm.
Exercicio nº 17 - Debuxar o triángulo de lado BC= 35 mm, e
dúas medianas mb= 30 mm e a mc= 40 mm
2º procedemento
35
20
A
B C
A
B C
0
20
R30
40 C
A
a B
b c
30
Ba=20
40
Ba=26.67
B C R20 R30
R26.67 R40 A
Ba
7
Ma=40
40 45º
A'
B C
A
O
A
B C
A'
Cc.
R25
R25
40
10
Exercicio nº 18
Representar un triángulo de lado a=40mm, Â= 45º e mediana da,
Ma= 40 mm.
Exercicio nº 19 Trazar o triángulo de lado a= 40 mm,
b=25mm e co circuncentro Cc situado a 1 cm do lado a.
Exercicio nº 20 - Achar o triángulo rectángulo de perímetro
P=70mm e o ángulo B= 60º. Recorda que en calquera
triángulo os ángulos que forman un triángulo de base o perímetro e os outros dous lados
chegan ata o vértice oposto do triángulo orixinal son:
Pasos: - Polo extremo do segmento perímetro trasládanse os
ángulos 45º/2 e 60º/2 que córtanse en C.
- Por C perpendicular ao segmento perímetro dá A.Por C 60º/2
e danos B.
- Tamén se pode trazar a mediatriz de A/2C e danos A.
- Tamén se traza a mediatriz de CB/2 e danos B
A
B C A' B' /2
/2
30º
60º 90º
30º
45º
C
B A A/2 B/2
B/2
70
8
Exercicio nº 21 - Achar o triángulo Isósceles de
perímetro P=70mm e ángulo oposto á base Â=30º
Sábese que a suma dos
ángulos dun triángulo é de 180º. Asi que se temos un ángulo de 30º os outros dous teñen que ser
de 75º.
Pasos: - Trazamos o segmento perímetro. - Trázase os ángulos de 37º 30' en
cada extremo do devandito segmento que córtanse no punto A.
- Trázase ángulos de 37º 30' polo vértice A. Dándonos o ángulo de 30º e o triángulo buscado. - Tamén se pode achar as mediatrices para dar os vértices B e C xa que son
triángulos isósceles os creados polo perímetro A,B/2,B e A,C,C/2. Pódese achar con outro procedemento: Crear un triángulo Isósceles auxiliar e
buscando o seu perímetro.
CONSTRUCIÓNS "TIPO" DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Exercicio nº 22
Construción dun triángulo rectángulo coñecendo a hipotenusa a=65mm e a diferenza de catetos b-c=15mm
Razoamento: Se temos un triángulo rectángulo calquera e
buscamos o segmento b-c. Pódese crear un triángulo rectángulo isóscele os ángulos da cal serían 45º cada un.
Para construír o noso triángulo rectángulo buscado, só fai falta aplicar este coñecemento.
b-c
45º
45º
b
c
a
A
B
C c
37º30'
30º
75º 75º 37º30' 37º30'
70
A
B C B/2 C/2
9
Pasos:
- Nunha recta recta ponse o segmento b-c= CX.
- Por X trázase un ángulo de 45º. - Por C trázase un arco con distancia hipotenusa
a= 65 mm.
- Os devanditos trazados córtanse no vértice B. - Dende B trázase unha perpendicular á recta
inicial e dá o vértice A. - o triángulo buscado é o triángulo ABC.
Exercicio nº 23
Construír un triángulo rectángulo coñecendo a hipotenusa a=55mm e a suma dos seus catetos b+c=70mm.
Razoamento:
Se temos un triángulo rectángulo calquera e buscamos o seu segmento b+c, veremos que se
forma un pequeno triángulo rectángulo isóscele cun dos vértices e o extremo do segmento suma.
Pasos: - Dado o segmento b+c=XC.
- Por X trázase un ángulo de 45º. - Por C trázase un arco de radio hipotenusa. - Estes córtanse en B.
- Dende B trázase unha recta perpendicular a b+c e dá o vértice A.
- Trázase máis forte o triángulo ABC.
R65
15 C X
b
A
c
a
B
45
X A'
B'
B
A C
R55
45º
b+c
a
a'
45º
45º
b+c
c b
a c
B
A C
10
Exercicio nº 24
Construción dun triángulo rectángulo coñecendo un cateto b=25mm e a suma da hipotenusa e o outro cateto a+c=90mm.
Razoamento: Se nun triángulo rectángulo buscamos o segmento
a+c podemos crear un triángulo isóscele e como a mediatriz do lado desigual pasa sempre polo
vértice desigual. Se trazamos a mediatriz do lado desigual XC pasará polo vértice B.
Pasos:
- Dado a+c=XA. - Por A trazar una perpendicular de 25mm. - Se une XC. Se traza la Mediatriz de XC.
que corta al segmento a+c en B.
Ejercicio nº 25
Construcción de un triángulo rectángulo conociendo un cateto
c=30mm y la diferencia de la hipotenusa y el otro cateto a-b=15mm.
Razoamento: Se nun triángulo rectángulo calquera buscamos o
segmento a-b, podemos determinar un triángulo isóscele os vértices do cal serían BCX. A mediatriz do lado desigual dun triángulo isóscele pasa
sempre polo vértice oposto.
Pasos: - Sobre unha recta poñer a-b=AX. - Trazar unha perpendicular por A de 30 mm
e dános o punto B. - Unimos BX e trazamos a mediatriz que
corta á recta r en C. Unir os vértices ABC.
a+c a
a
c
b X A
C
B
X B
a+c
a
a
c
b
A
C
a
b
a c
a-b X
A C
B
15
30
b
c a
r A
B
C X
11
Exercicio nº 26
Construción dun triángulo isóscele, coñecendo o ángulo Â=30º e o segmento a+ha=5cm.
Pasos: -Trazar un triángulo isóscele auxiliar de 30º
formado por a ' B 'C'. Buscamos o segmento auxiliar a'+ha' que nos dará o punto X' na
prolongación da altura auxiliar. - Unimos C X e B'X'. - Dende A' transportamos o noso a+ha de 5 cm e
daranos o punto X. - Trazamos polo punto X paralelas a C 'X' e B'X'
que corta ás rectas de prolongación dos lados do triángulo auxiliar en C e B.
- Unimos ABC e temos o triángulo buscado.
Exercicio nº 27 Construción dun triángulo coñecida a altura ha=3cm. a mediana ma=4'5cm. e sabendo que o lado a=2b
- Trázase unha recta r onde se coloca perpendicularmente a ha=3cm. esta recta
dános o vértice do triángulo buscado A.
- Con centro en A e radio ma=4'5 trázase un arco que corta á recta no punto Ma (punto
medio do lado a ) - Trazamos a mediatriz de ma para buscar o
vértice B xa que a=2b, aínda que non se sabe canto vale b, o lado ma será o lado desigual dun triángulo isóscele.
- Trázase o simétrico de CMa e daranos B.
30º
50
A'=A B'
C' C
B
X' X
A
hai
c
ma
Ma
b
b
A
hai ma
Ma
b
b C B
R45
30
12
Exercicio nº 28
Construír un triángulo coñecido un ángulo Â=45º e as medianas ma=5'5cm e mb=4cm.
- Dividimos a mediana mb ( extremos Mb e B) en tres partes iguais e localizamos o baricentro
do triángulo buscado. - Trazamos o arco capaz do segmento mb e o
ángulo de 45º.
- Dividimos a mediana ma en tres partes iguais. - Con centro no Baricentro e radio dúas partes
de ma trazamos un arco que corta ao arco capaz no punto A.
- Con centro en Mb e radio MbA trazamos un
arco que corta á prolongación AMb en C. - Unimos e dános o triángulo buscado.
Podemos ver que temos de datos a mediana do lado b e o ángulo  que é o seu oposto, trazando o arco capaz conseguimos unha parte do triángulo
buscado, só nos faltaría un vértice que conseguiremos coa prolongación da mediana da
ou a metade do lado b.
Exercicio nº 29
Construír un triángulo coñecendo un lado c=5cm. un ángulo adxacente
Â=30º e o segmento Wb=3cm.
- Recórdase a nomenclatura do triángulo. - Trázase o lado c e o ángulo Â.
- Con centro en B e radio Wb trazamos un arco que corta ao  en X.
- Temos a metade do ángulo B, polo que
soamente temos que transportar outra metade de B que cortará o lado anterior en C.
40
36.67 55
45º ma
mb
A
Mb B
C
Ba
= =
c
C
A B
a X b Wb
30º
13
Exercicio nº 30
Debuxar o triángulo de lado a=30mm, e as medianas mb=50mm, mc=35mm. - Dividir mc e mb en tres partes
iguais. - Poñer o lado a.
- Polo extremo B trázase un arco con radio dous partes de mb.
- Polo extremo de C trázase un
arco con radio dúas partes de mc. Os devanditos arcos
córtanse no baricentro. - Prolóngase mc engadindo a
parte que lle falta. dános Mc
(punto medio do lado c).
- Unimos BMc e prolongamos.
- Prolóngase mb engadindo a parte que lle falta. Dános Mb
(punto medio do lado b). - Unimos CMb e prolongamos. As
devanditas prolongacións
córtanse en A.
Ejercicio nº 31. Construye un triángulo conociendo el lado a=35mm, la altura
ha=25mm y el Â=60º
- Se traza el arco capaz del lado a y el ángulo A.
- Se prolonga el lado a para trazar
una perpendicular u transladar la altura ha.
- Se traza una paralela con la distancia de la altura que corta al arco capaz en dos puntos, hay
dos soluciones A'BC y ABC.
33.33 16.67 50
23.33 35
11.67
a B C
R23.33
R35 R50
A
R33.33 Ba
Mc Mb
c b
A
B C
A'
a
c b hai O
60º
14
Ejercicio nº 32 Construir un triángulo conociendo el lado c=40mm; mc=45mm y hc=35mm
- Trázase o lado c. - Búscase a mediatriz de c e dános
Mc - Trázase unha paralela coa altura
hc. - Con centro en Mc e radio mc
curta á paralela en dous puntos.
- Hai dúas solucións.
Exercicio nº 33 Debuxar un triángulo ABC dado ángulos Â=75º o ángulo B=75º e a lonxitude da mediana a partir de c de 45 mm. (é dicir mc=45mm).
- Trázase un triángulo auxiliar a '
B 'C' que teña un ángulo de 45º e outro de 75º.
- Búscase o seu segmento auxiliar mc'.
- Transpórtase noso mc sobre a
mediana auxiliar e trázase unha paralela ao lado auxiliar c'
daranos o triángulo xa ben prolongando os lados de auxiliar se fose máis grande, ou no
propio auxiliar se fose máis pequeno.
R45 A B
C C'
hc
mc
Mc c
b a
45
C
A'
A
Mc'
Mc B
B'
75º 45º
15
Exercicio nº34 Construír un triángulo coñecendo o ángulo Â=30º ángulo C=45º e a bisectriz Wc=45mm
- Trázase un triángulo auxiliar a '
B 'C' cos ángulos de 3º e 45º. - Búscase a bisectriz do auxiliar e
transpórtase sobre ela a nosa
wc=45mm. - Trázase unha paralela ao lado c'
e daranos o noso triángulo ABC.
Exercicio nº 35
Debuxar un triángulo ABC dados os ángulos Â=75º, o ángulo B=45º e a altura hc=35mm
- Trázase case igual que os
anteriores cun triángulo auxiliar.
Exercicio nº36 construír un triángulo ABC do que se coñece o lado AB=55mm, a altura sobre este lado hc=44mm, e a altura ha=40mm sobre o lado BC.
Explicación razoada.
- Se coñecemos o segmento ha e o lado continuo neste caso o lado c, podemos determinar sempre
a dirección do lado da , co arco capaz de 90º, xa que o segmento altura e a porción do segmento lado do triángulo forman un ángulo de 90º
PARA 2º BACH.
A' A
B
B'
C
Wc=45
C
A'
A B
B'
hc=35
A B
hai a
c
C
b
16
- Trázase o lado AB, trázase o
arco capaz de 90º, o centro da cal
- será o punto medio do devandito segmento.
- - Con centro en A e radio ha
trázase un arco que corta ao arco
- capaz. Únese o vértice B, o punto de corte anterior e prolóngase.
- - trázase unha perpendicular coa altura hc, trázase unha
paralela - que corta á prolongación en C.
- unimos ABC e temos o
triángulo buscado.
Exercicio nº 37
Construír un triángulo do que se coñece o lado AB=c e o seu baricentro G. Explicación razoada.
- O baricentro é o centro de gravidade dun
triángulo e segméntoos que o forman son as medianas que van dende o vértice ata a
metade do lado oposto. O baricentro corresponde a 1/3 da súa correspondente mediana, por iso:
- Trázase a mediatriz do lado c para buscar o punto medio fáiselle pasar polo baricentro
prolongandose. - Transpórtase dúas partes do segmento McBa
dándonos o vértice C.
- Únense ABC e temos o triángulo buscado. - Pódese trazar doutra forma como é utilizando
as medianas ma e mb.
44
55
R40 A B
C
hc
hai
A c
B
B
A c
B
B Mc
C
17
Exercicio nº 38 Debuxar o triángulo ABC sendo AB+BC=a+c, AC=b e coñecendo o
ángulo B de 60º. o segmento a=60mm., b=40
Razoamento: - Se nun triángulo aliñamos dous lados, o c e o
a, pódese ver na figura que forma un triángulo
isóscele (raiado), onde terá dous ángulos iguais e a mediatriz do lado desigual pasarà
polo vértice oposto. - O ángulo B sería B= R+T. xa que B é o
suplementario de S e o ángulo exterior dun
triángulo é a suma dos outros dous ángulos interiores do triángulo. B= 2 R (xa que R=T).
De aquí dedúcese R=B/2. - A bisectriz do ángulo B, é paralela ao lado
desigual do triángulo isóscele anterior.
- Analizando as figuras anteriores, podemos resolver o
problema ospuesto. - Trázase o arco capaz da
metade do ángulo de 60º, é dicir de 30º.
- Con centro en A e radio a+c curta ao arco capaz en dous
puntos (o problema posúe dúas solucións)
- Únese XA e XC, fórmasenos un triángulo de lado b, de
ángulo 30º e o lado a+c.
- Trázase a mediatriz do segmento XC que sería o lado
- desigual, segundo o razoamento da figura
anterior. Esta mediatriz corta ao lado a+c no vértice B.
- A solución sería a unión de ABC.
A
B C
c
c
b
a
S R
T
X
T
R X c
c
B S
a
A
b
C
b C A
B/2
a+c
B
C
a
a
c
O
B/2
B/2
18
Exercicio nº 39 Debuxar un triángulo de lado a=6cm., e as alturas ha=4cm e hc=4'4cm.
- Sobre unha recta r búscase un punto calquera P. trázase unha perpendicular con lonxitude hc.
e dános o vértice C. - Dende o vértice C trázase un arco co lado a
que corta á recta r no vértice B.
- Por C trázase unha recta perpendicular ao lado a de lonxitude hai. e dános X.
- Dende X trázase unha paralela ao lado a que corta á recta r no vértice A.
- Unimos ABC e temos a solución.
Exercicio nº 40 Construción dun triángulo os datos do cal son: a altura hc=45mm,
ángulo C=60º e Ángulo B=45º. - Trázase un triángulo auxiliar a ' B 'C cos
ángulos de 45º e o de 60º. - Búscase a altura auxiliar hc'.
- Con centro en C e radio hc=45 trázase un arco que corta á altura auxiliar. Dende este último punto trázase unha paralela á recta auxiliar a
'B', esta paralela curta nos puntos A,B. Unimos ABC.
Exercicio nº 41 Construír o triángulo os datos do cal son: O ángulo C=60º, hb=5cm. e ma=4cm.
- Trázase unha recta e búscase un
punto calquera P e nela se
translada a altura hb. Trázase unha paralela á recta.
hc
r
hai
P
C
A B
a
c
b X
hc'
R45
hc
C B' B
A'
A
60º
45º
C P
hb
B
b
a
Ma
40
A
c
19
- Por outro punto calquera da recta C transladase o ángulo C 60º que corta á
recta paralela en B - Xa temos o lado a trázase a mediatriz para obter o punto Ma.
- Con centro Ma e radio ma trázase un arco que corta á recta en A. - Unimos ABC.
Exercicio nº 42 Debuxar o triángulo os datos do cal son: o lado b=4cm. o ángulo C=30º e o ángulo B=45º
- Trázase o arco capaz do arco de 45º baixo o lado b.
- Polo extremo C trázase o ángulo de 30º que corta ao arco capaz en B.
- Unimos ABC.
Exercicio nº 43 Construír un triángulo dado o lado b=45mm, o ángulo A=15º e o ángulo B=105º.
- Trázase o arco capaz do ángulo de 105º baixo
o segmento b.
- Trázase o ángulo de 15º polo vértice A.
b C A
O
B
90°0'
O
A
C b
B
105º
20
Exercicio nº 44 Construír un triángulo rectángulo coñecendo as medianas correspondentes á hipotenusa de 40 mm e ao cateto de 55 mm.
- Trázase o arco capaz de 90º
baixo o segmento da mediana de
b mb. - Divídese polo teorema de thales
ma e mb. - Nun extremo do segmento mb
estará o punto B e no outro Mb.
O baricentro está a 1/3 de Mb. - Con centro en Ba e radio 2/3 de
ma trázase un arco que corta ao arco capaz de 90º dandonos o vértice A.
- Con centro en Ba e radio 1/3 de ma trázase un arco que corta á
prolongación de ma en Ma. - Con centro en MB e radio MbA
trázase un arco que corta á
prolongación MbA en C.
- Únese AMa e propóñase que concorre no vértice C.
Ejercicio nº 45. Debuxar o triángulo de lados proporcionais a 4,5, e 6 e de radio da circunferencia circunscrita de 60 mm
- Este exercicio é en realidade
unha homotecia de centro Cc. - Trázase un triángulo auxiliar que
teña os lados proporcionais a
4,5,y 6 ( como 40mm,50mm e 60 mm). A ' B 'C' e búscase o
circuncentro e a súa circunferencia circunscrita auxiliar.
- Trázase a circunferencia
circunscrita de radio 60 mm. - Como é unha homotecia
únense CcC' e prolóngase. - Únese CcA' e prolóngase. - Únese CcB' e prolóngase.
B Mb Ba
A
C
mb
ma
55 40
26.67
A
A' B'
B
C
C'
Cc
R50 R60
R40
R60
21
- Estas prolongacións curta á circunferencia de 60 mm en ABC triángulo
buscado
Exercicio nº 46 Nun triángulo ABC, Â=75º, ángulo B=60º e radio =30mm (radio da circunferencia inscrita), debuxar o triángulo
- Trázase un trliángulo auxiliar que teña por ángulos 77º e 60º., búscase o seu incentro e a
súa circunferencia inscrita. - Con centro no incentro e radio 30 trázase a
nosa circunferencia inscrita. Dende o Ic
trázanse rendas tanxentes para buscar os puntos de tanxencia sobre a nosa
circunferencia inscrita. - Polos puntos de tanxencias trázanse rectas
perpendiculares p paralelas ao triángulo
auxiliar que se cortan dous a dous formando os vértices ABC.
Exercicio nº 47
Debuxar un triángulo de lados proporcionais a 2,3 e 4, de forma que a súa circunferencia inscrita teña de radio 2 cm.
- É moi parecido ao outro exercicio. - Búscase un auxiliar que teña os
lados proporcionais a 2,3 e 4. Como pode ser o triángulo de 20,30 e 40
mm. - O seguinte é igual ao exercicio
anterior.
R30
6075º
Ic
C'
C
A
A' B'
B
R30 R400
20 R20
A
A'
B'
C'
C
B
22
Exercicio nº 48 Debuxar o triángulo isóscele, o lado desigual do cal é a metade dos lados iguais, inscrito na circunferencia de radio 4 cm.
- Trázase un triángulo auxiliar o lado desigual da cal a=c/2, é dicir por exemplo a=20, c e
b=40mm. - O triángulo que temos que buscar está inscrito
nunha circunferencia, polo que a circunferencia
e o punto que temos que achar é o circuncentro e a súa circunferencia..
- Áchase o circuncentro Cc auxiliar e a súa circunferencia (aínda que non sirva para nada).
- Con centro en Cc, e radio 4 cm trázase a
circunferencia circunscrita, prolóngase a mediatriz da que pasa polo vértice e se trazan
paralelas aos lados, dandonos ABC.
Exercicio nº 49 Debuxar o triángulo XYZ que ten un vértice no punto X, a súa
circunferencia inscrita é C, e o ángulo no vértice Y vale 75º. Distancia XO=60mm, Radio de C= 20 mm. O:Centro de C.
Formulación: - Se vemos os datos que nos dá o
problema podemos ver que hai un triángulo rectángulo que se
pode obter. O noso triángulo acharémolo despois trazando
recta perpendicular a 75º e recta tanxente á circunferencia.
Pasos: - Sobre unha recta r búscase un punto T calquera e trázase a súa
perpendicular con distancia 20 mm. Dános Ic. - Con centro en Ic e radio 60 mm arco que corta á recta r en X. - Trázase a circunferencia inscrita.
- Noutro punto calquera da recta r trázase un ángulo de 75º.
R40
A
A'
B' C'
B C
Cc
75º
20
60
X
Ic
T Y
23
- Trázase dende O unha recta perpendicular á
recta de ángulo 75º esta curta á circunferencia noutra T1. Trazamos unha recta tanxente á
circunferencia por T2 e dános o punto Y. - Trázase outra recta por X tanxente á
circunferencia e achamos o vértice Z.
Exercicio nº 50
Construír un triángulo coñecendo o lado raiz cadrada de AB, o ángulo oposto
C=37º30' e a altura hc=30mm, AB=50mm.
- Un dos lados do triángulo é a raiz cadrada de AB. polo
que achamos a media proporcional.
- Se halla el triángulo trazando el arco capaz de
37º30' bajo el lado media proporcional.
- Se traza la altura buscando un punto P.Hay dos
soluciones.
75º T Y X
Z
O
1
T2
AB 22.36
50 10 C C'
A B
H
o
p
37º30
30
24
Exercicio nº 51
Construción dun triángulo coñecendo a mediana ,la bisectora e a altura do mesmo vértice. ma=25mm,wa=20mm e ha=18mm.
razoamento sobre as rectas notables bisectriz e mediatriz.
Sexa E un ángulo inscrito
nunha circunferencia de centro O. Este ángulo central, mide o dobre do correspondendo inscrito 2E. O
arco abranguido por estes dous ángulos é o FNG.
Se trazamos a bisectriz do
ángulo E, daranos dúas metades osea dous E/2. A bisectriz corta ao
arco FNG no seu punto medio M (posto que a medida dun inscrito depende do arco abranguido)
Na figura do triángulo se se acha a mediatriz de FG esta divide
ao arco da devandita corda en M punto medio do arco. Hai que
recordar que a mediatriz é perpendicular ao lado FG.
Se fundimos as dúas figuras anteriores, podemos ver que a
mediatriz dun lado e a bisectriz do ángulo oposto dun triángulo se cortan no punto medio do arco da
circunferencia circunscrita ao triángulo.
E
F
N
O
2E
G
F
N
2
O
G
E
E/E/2
F
N G
E
Cc
N
F
G
E
25
Pasos:
- Sobre unha recta r trázase unha recta
perpendicular que será ha e daranos o vértice A.
- Con centro en A e radio ma trázase un arco
que corta á recta en Ma (punto medio do lado a).
- Por este punto Ma trázase unha recta perpendicular (que sería a mediatri do lado a).
- Con centro en A e radio wa trázase un arco que
corta á recta r en x, esta wa prolóngase ata que corte á mediatriz en M (punto que
pertence á circunferencia circunscrita.
- Únese AM (corda da circunferencia circunscrita) áchase a mediatriz, que corta á perpendicular por Ma en Cc.
- Con centro en Cc e radio CcA, circunferencia circunscrita que dá os puntos B e C.
Exercicio nº 52
Construción dun triángulo coñecendo as tres medianas. ma=45mm,
mb=30mm e mc=25mm. Razoamento
Para saber que pasa coas medianas dun triángulo trazamos un triángulo calquera e buscamos as súas medianas. Estas medianas dividen cada lado
en partes iguais.
Hai que recordar que dende o baricentro ao vértice hai 2/3, e dende o baricentro ao punto medio hai 1/3.
Se dende o vértice B se pode trazar unha
paralela a mc e se leva 2/3 mc. dános o punto X.
Pódese trazar un triángulo con lados 2/3 das mediatrices
BXBa.
R25
Ma
Cc
A
B C
hai
wa
M
Ba
B C
A
M
X
ma
mb mc
2/3 ma
2/3 mc
2/3 mb
26
Pasos:
- Segundo o anterior visto, trázase o segmento 2/3 ma e buscamos o seu punto medio M.
- Búscase o vértice C sabendo que M é o punto medio do lado a. Unindo BM e prolongando o dobre.
- Prolóngase XM e trázase 2/3 de ma a partir de M. dándonos o vértice A.
- Prolóngase BaB e con centro en Ba trasládase 1/3 mb dàndonos M de b. - Unimos ABC e temos o triángulo.
Exercicio nº 53 Construír un triángulo dado lado a=30mm, Â=45º e mb=28mm.
Razoamento:
Para crear este triángulo primeiro hai que saber que pasa co lugar xeométrico dos puntos medios das cordas dunha circunferencia, que parten dun punto dela.
Isto é, temos un punto P calquera dunha circunferencia, por este punto
facemos pasar infinitas cordas da devandita circunferencia, se trazamos os puntos medios das devanditas cordas, estas describen unha circunferencia
(estas describen un lugar xeométrico) o centro da cal esta na corda que é o diámetro.
M
Ba
B
X
M
C
A
45 30 25 30 20 16.67
M M M M M M
M M M
P o
27
Se temos unha circunferencia e nesta dúas cordas concorrentes, sendo unha delas o
diámetro. unimos os extremos (UT) e daríanos un triángulo rectángulo onde U é o ángulo de 90º.
Se trazamos polo centro O da circunferencia
unha recta paralela a UT, daríanos outro
triángulo rectángulo POM, onde M sería o punto medio da corda PU.
Tamén podemos facelo ao revés: o extremo do diámetro T sería o centro dunha
circunferencia onde U sería o punto medio doutra circunferencia de corda o dobre de PU
e de diámetro o dobre de PT.
Pasos.
- Temos a mediana mb que ten un extremo do segmento B nunha circunferencia circunscrita e
o outro extremo é Mb que é o punto medio do segmento AC=b que é corda da circunferencia circunscrita.
- Temos o segmento a e o seu ángulo oposto polo que case inmediatamente hai que facer o
arco capaz, onde o centro sería o circuncentro do triángulo buscado.
- Se unimos Cc co vértice C, este segmento sería
o diámetro da circunferencia formada polos puntos medios das cordas da circunferencia
anterior. - Trázase a mediatriz de CcC dános X. Con
centro en X e radio XCc trazamos a
circunferencia de puntos medios. - Con centro en B e radio mb trázase un arco
que corta á circunferencia de puntos medios en Mb.
- Únese MbC e prolóngase ata cortar ao arco
capaz en A.
- Unimos ABC.
P o
M
U
T
P o T
M U
B
Cc
a C
A
Mb
X
R28
45º
Recommended