View
216
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Andr
ea R
esti,
Mat
emat
ica
Fina
nzia
ria
Avan
zata
Matematica Finanziaria Avanzata: secondo modulo
• Nozioni fondamentali sul rischio di credito– John Hull, Opzioni, futures e altri derivati
• Modelli di portafoglio in forma matriciale: revisione e implementazione in Excel– Paris e Zuanon, Elementi di Finanza Matematica– Benninga, Modelli finanziari
• CAPM, revisione e implementazione in Excel– Paris e Zuanon, Elementi di Finanza Matematica– Benninga, Modelli finanziari
Andr
ea R
esti,
Mat
emat
ica
Fina
nzia
ria
Avan
zata
Ottimizzazione di portafoglio: definizioni
[ ]21221
222
22
21
21
2
1222
221
212
21
212
2 σσσ
σσσσσ
xxxx
xx
xxX
++=
=
=′= Vxx
matrice di varianze/covarianze
{ }NiFi ,...1~ = insieme degli N investimenti possibili, ognuno con rendimento atteso µi e volatilità σi
∑=
=N
iii FxX
1
~ portafoglio con pesi xi (Σxi =1), µX=Σxi µi e σX
[ ] [ ] [ ]ijjiijijv ρσσσ === 2V
= 2
22221
212
21
σσσσ
V
es,
Andr
ea R
esti,
Mat
emat
ica
Fina
nzia
ria
Avan
zata
Ottimizzazione di portafoglio: il problema vincolato
′==′=
′=
xexµVxx
1..
min 2
πµσ
X
X
ts
Σxi µi Σxi =1
rendimento obiettivoad es. π = 5%
“Minimizza la varianza del portafoglio garantendoun certo rendimento atteso. Ricorda che le quotedevono assommare a uno”
e’ = [1 1 … 1]
Andr
ea R
esti,
Mat
emat
ica
Fina
nzia
ria
Avan
zata
Derivate parziali di una forma quadratica
Vxx′ [ ]
2
1222
221
212
21
21 xx
xxσσσσ
( )
( ) 2121
222
21221
222
22
21
21
2
2122
211
21221
222
22
21
21
1
222
222
σσσσσ
σσσσσ
xxxxxxx
xxxxxxx
+=++∂∂
+=++∂∂
Vx2
Data , ad es.:
Le sue derivate parziali sono:
Cioè, in forma compatta:
Andr
ea R
esti,
Mat
emat
ica
Fina
nzia
ria
Avan
zata
Ottimizzazione vincolata:la lagrangiana
Ottimizzare f(x) convessa soggetta a g(x)=kequivale a ottimizzare L(x,λ) = f(x) - λ[g(x)-k] a cui è stata aggiunta una nuova variabile λ.Ottimizzare f(x) convessa soggetta a g(x)=k e a h(x)=mequivale a ottimizzare L(x,λ,η) = f(x)-λ[g(x)-k]-η[g(x)-k] a cui sono state aggiunte due nuove variabili λ e η.
Dovrò uguagliare a zero le derivate parziali di L(.)rispetto a x1, x2, …, xn, λλλλ e ηηηη.
Andr
ea R
esti,
Mat
emat
ica
Fina
nzia
ria
Avan
zata
Ottimizzazione di portafoglio:
=′−=′=′−=′
=−−=′
010
2
xexµ
0eµVxx
η
λ πηλ
LLL
)1()(),,( −′−−′−′= xexµVxx ηπληλxLLagrangiana:
Condizioni del primo ordine:RiassumeN condizioni
Andr
ea R
esti,
Mat
emat
ica
Fina
nzia
ria
Avan
zata
Riscrivo usando una notazione più compatta:
[ ]
=
=
≡
×
×
×
112
12
2
πηλ
p
l
eµKN
′==
−
−
KlVKpKlVx
1
1
22
=′=−
pxK0KlVx2
Nota: l’inversa di V esiste se gli n
investimenti sono indipendenti tra
loro
Andr
ea R
esti,
Mat
emat
ica
Fina
nzia
ria
Avan
zata
La matrice K’V-1K = A
[ ]
≡
′′′′
=
′′
=′≡−−
−−−−
γββα
eVerVeeVrrVr
erVer
KVKA 11
1111
Nota: V è definita positiva perché matrice di var/cov; anche V-1 lo è perché è la sua inversa, anche A lo è in quanto ottenuta per pre- e post-moltiplicazione per una matrice di rango due (r≠e). Dunque A è invertibile e ha determinante positivo
−−
−==−
αββγ
βαγ 2
11 AA
A 1 agg
Andr
ea R
esti,
Mat
emat
ica
Fina
nzia
ria
Avan
zata
Soluzione dell’ottimo vincolato
==
−−
−
pKAVxpAl
1
1
1
2
[ ] [ ]
[ ] ( )2
1111
)1(
1
)12()2(
1
)12()22()2(
1
)()(1
11
11
βαγαβπβγαβπβγ
παββγ
παββγ
−−−−=+−−=
=
+−−=
−−
=
−−−−
×
−
××
−
×××
−
eVrVeVrVererVA
ererVA
erVA
x
n
nn
, cioè:
Andr
ea R
esti,
Mat
emat
ica
Fina
nzia
ria
Avan
zata
Proprietà dei portafogli efficienti
• Unicità: dato un certo rendimento p, la formula individua un unico portafoglio a rischio minimo:
• Linearità: ogni xi (peso dell’i-esimo titolo nel portafoglio efficiente) viene in pratica calcolato come una funzione lineare del rendimento πdesiderato:
pKAVx 1−−= 1
πiii bax +=
Andr
ea R
esti,
Mat
emat
ica
Fina
nzia
ria
Avan
zata
Soluzione dell’ottimo vincolato/2pKAVx 1−−= 1
pAppAKVVVKAp
pKAVVpKAVVxx11
I
A
I
1
11
−−−−−
−−−−
′=′′=
=′=′=
��� ���� ��
�������
���
11
11
min
2 )(σ
[ ]
[ ] 2
2
2
21
1
111
βαγαβπγππ
αβπβπγ
παββγ
πσ
−+−=
+−−=
=
−−
=
A
A
Cioè,sviluppando:
Da segue che:
Andr
ea R
esti,
Mat
emat
ica
Fina
nzia
ria
Avan
zata
Soluzione dell’ottimo vincolato/3
2
22 2
βαγαβπγπσ
−+−=
è, chiaramente una parabola nel piano π, σ2. Cerchiamo il vertice…Nel piano σ, π è invece un’iperbole equilatera
0’(0,β/γ)
σγ
βαγγβπ
2−+=
σγ
βαγγβπ
2−−=γ1
σ
π
Andr
ea R
esti,
Mat
emat
ica
Fina
nzia
ria
Avan
zata
Significato della frontiera efficiente
0’(0,β/γ)
γ1
σ
π
Per ogni ππππ* esiste un solo portafoglio efficiente;Esiste un ππππ che rende minimo σσσσ (portafoglio a rischio minimo);dalla figura (e dall’analisi del vertice della parabola) vediamo che questo punto ha coordinate
γβπ
γσ == 00 ;1
Andr
ea R
esti,
Mat
emat
ica
Fina
nzia
ria
Avan
zata
Composizione del portafoglio a rischio minimo:
( )
( )
γβαγγ
βαγ
βαγ
αβγββ
βαγ
αβγββγ
βαγαβπβγ
eVeVeVrVeVrV
eVrVeVrV
eVrVeVrVx
1
2
12
2
1112
1
2
1111
2
110
11
0
)(
)(
−−−−−−
−−−−
−−−−
=−
−
=−
+−−=
=−
−−−
=−
−−−=
Andr
ea R
esti,
Mat
emat
ica
Fina
nzia
ria
Avan
zata
Portafogli ortogonali
• Dato il portafoglio efficiente x ≠ x0, esiste sempre un portafoglio efficiente yortogonale, cioè perfettamente incorrelato, (cov(x,y)=0)
• Se πx>π0, allora πy<π0 e viceversa• Vedremo come individuare i portafogli
ortogonali algebricamente e graficamente
Andr
ea R
esti,
Mat
emat
ica
Fina
nzia
ria
Avan
zata
Portafogli ortogonali: metodo algebrico
[ ]
[ ]
βγπαβππ
πβπαβγπ
παββγ
πβαγ
−−=
=
−−
=
−−
−=
=′=′′=
=′=′=−−−−−
−−−−
x
xy
yxx
yx
yxyx
yx
01
01
11
)(),cov(
2
11
11
pAppAKVVVKAp
pKAVVpKAVVyxyx11
I
A
I
1
11
��� ���� ��
�������
���
Andr
ea R
esti,
Mat
emat
ica
Fina
nzia
ria
Avan
zata
Portafogli ortogonali: versione grafica
σ
π
x
yπy
Il rendimento del portafoglio ortogonale yè pari all’intercetta della tangente alla frontiera nel punto (σx, πx)
Andr
ea R
esti,
Mat
emat
ica
Fina
nzia
ria
Avan
zata
Versione grafica: demo
2
22 2
βαγαβπγπσ
−+−=
σβπγβαγ
σπ
σσπβαγ
βπγσ
−−=
=−−=
2
22 222][
dd
ddd
Derivatadella frontiera
Da:
Nel punto (σx, πx):
)(2
xxx
x σσσβγπ
βαγππ −−
−=−
e l’equazione della retta tangente risulta:
xxd
d σβγπ
βαγσπ
−−=
2
Andr
ea R
esti,
Mat
emat
ica
Fina
nzia
ria
Avan
zata
Versione grafica: demo/2
yx
x
x
xxxx
xx
xx
xx
x
πβγπαβπ
βγπαβπγπβπγπ
βαγαβπγπ
βγπβαγπ
σβγπ
βαγππ
=−−=
−−+−−=
=−
+−−
−−=
=−−
−+=
2
2
)(
22
2
22
22
L’intercetta di questa retta si ottiene ponendo σ=0:
Andr
ea R
esti,
Mat
emat
ica
Fina
nzia
ria
Avan
zata
Teorema dei due fondi
Qualsiasi portafoglio efficiente x può essere ottenuto comecombinazione lineare di due portafogli efficienti xa e xbtali che πa ≠πb
Demo: ∀π e ∀p possono essere scritti come
ba pp )1( )1( ηηππηηππ −+=⇒−+= ba
Dunque anche qualunque x efficiente può scriversi come:
baba
ba
xxpKAVpKAVppKAVpKAVx
11
11
)1()1(
])1([11
11
ηηηηηη
−+=−+=
=−+==−−−−
−−−−
Andr
ea R
esti,
Mat
emat
ica
Fina
nzia
ria
Avan
zata
Divieto di vendite allo scoperto
σ
π
Frontiera con n titoli
Frontiera con n-1 titoli
Frontiera con n-2 titoli
Frontiera senza vendite allo scoperto
xn = 0 xn-1 = xn = 0
Andr
ea R
esti,
Mat
emat
ica
Fina
nzia
ria
Avan
zata
Con un investimento risk-free
σ
π
(0,ρ)
(σm,πm)
In un mercato efficiente, ρ < π0;Combinando (0, ρ) con qualunque xdella frontiera si ottiene una semiretta (l’unica varianza èquella di x);Tra queste semirette, quella efficiente ètangente alla frontiera in (σm,πm)
Andr
ea R
esti,
Mat
emat
ica
Fina
nzia
ria
Avan
zata
Investimento risk-free: coordinate del punto di tangenza
Il tasso risk-free ρ è il rendimento del portafoglio ortogonale a quello di tangenza (σm,πm):
βργαρβπ
ρβαργβπβγπραβπ
ρβγπαβπ
−−=
−=−−=−
=−−
m
m
mm
m
m
)()(
Andr
ea R
esti,
Mat
emat
ica
Fina
nzia
ria
Avan
zata
Investimento risk-free: coordinate del punto di tangenza/2
Sostituendo πm nell’equazione della varianza efficiente ottengo σ2
m (il tutto richiede solo pazienza e algebra):
2
2
2
2
2
22
)(2...
22
βγραβργρ
βαγ
αβγραβρβγ
βγραβρ
βαγαβπγπσ
−+−==
=−
+−−−
−−
=−
+−= mmm
Andr
ea R
esti,
Mat
emat
ica
Fina
nzia
ria
Avan
zata
Investimento risk-free: equazione della frontiera
σσ
ρπρ
σσ
ρπρπ
2
2)(
m
m
m
m
−+=
=−+=
σ
π
ρ
(σm,πm)
Dalla figura èevidente che:
Andr
ea R
esti,
Mat
emat
ica
Fina
nzia
ria
Avan
zata
Investimento risk-free: equazione della frontiera/2
Calcolo a parte:
( ) αβργρ
βγραβργρ
βγραβργρ
βγραβργρ
ρβγραβρ
σρπ
+−=
−+−
−+−
=
=
−+−
−−−
==−
2
)(2
)2()(
2...)(
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
m
m
Andr
ea R
esti,
Mat
emat
ica
Fina
nzia
ria
Avan
zata
Investimento risk-free: equazione della frontiera/2
σαβργρρπ
σσ
ρπρπ
+−+=
−+=
2
)(
2
2
2
m
m
E infine sostituisco:
che è l’equazione della semiretta indicata nella figura (CML)
Andr
ea R
esti,
Mat
emat
ica
Fina
nzia
ria
Avan
zata
Capital Asset Pricing ModelVettore delle covarianze tra gli n investimenti puri (azioni) e il portafoglio di mercato:
m1
m11 pKA)pKAV(VVxs −−− === m
−−−=
−−−−
−=
=
+−−
−=
−−
=−
ρβαγβγπ
βγπαβπ
βαγβγπ
αβπβγπ
βαγπ
αββγ
11
11
1
22
2
m
m
mm
m
mm
ApA m
1
Sviluppo a parte:
(per l’ortogonalità)
Andr
ea R
esti,
Mat
emat
ica
Fina
nzia
ria
Avan
zata
CAPM / 2
−⋅
−=
−⋅
−⋅
−+−=
=
−⋅
−
−+−−⋅
−−=
=
−⋅
−
−−−⋅
−−=
=
−⋅
−−⋅
−−=
−−−=−
ρρπσ
ρρπβαγαβπγπ
ρρπβγπαβπβπγπ
βαγβγπ
ρρπβγπαβππ
βαγβγπ
ρρπρπ
βαγβγπ
ρβαγβγπ
1112
11
11
11
2
2
2
2
2
2
22
m
m
m
mm
mm
mmmm
mm
mm
m
m
mmmm
1pA
Andr
ea R
esti,
Mat
emat
ica
Fina
nzia
ria
Avan
zata
CAPM/3Dunque il vettore s risulta:
),cov(22 jmsrm
mj
m
mj σ
ρπσ
ρπρ −=−=−
che rappresenta l’equazione fondamentale del CAPM
[ ]
−−=
−−=
ρρπσ
ρρπσ 11 22
erKsm
m
m
m
Da cui:
ser 2m
m
σρπρ −=⋅−
uguaglianza tra vettori il cui generico elemento è:
Recommended