POTANSİYEL VE ÇEKİM

NEWTONUN ÇEKİM KANUNU

(1)

Birden fazla kütle olması durumunda çekim bağıntısı

nasıl bulunur

(2)

2m

1m

3m

4m

0m

(3)

Vektör analizden

(6)

(5)

(4)

Birden fazla kütle olması durumunda potansiyel bağıntısı

(7)

Bazı kitaplarda buraya değin tanımlanan potansiyel bazı yazarlar tarafından biraz farklı şekilde tanımlanır.

Grant and West: Partikül tarafından yapılan iş şeklinde tanımlar.

Kellog: Gravite potansiyeli kuvvet alanı tarafından partiküle yaptırılan iştir ve partikülün potansiyel enerjisinin negatifine eşittir şeklinde tanımlar.

Bu koşullarda (2) ile verilen çekim bağıntısı

Şeklini alır.

(9)

(8)

Gravite birimleri

Gravite birimi cgs sisteminde aşağıdaki şekilde tanımlanır

Gravitenin birimi cgs sisteminde ünlü bilgin Galileo’nun adına atfen aşağıdaki şekilde verilir

Gravite birimi mks sisteminde aşağıdaki şekilde tanımlanır

1

Gelişigüzel bir kütlenin potansiyel fonksiyonu

(6) dan yararlanarak

V

Benzer şekilde gravite çekimi ise

(11)

Olarak elde edilir

(10) İle verilen potansiyel bağıntısı Newton potansiyeli olarak isimlendirilir

(10)

Yüzeysel ve çizgisel kütle dağılımları

Eğer öngörülen kütlenin iki ve tek boyutlu olması durumunda (10) bağıntısı aşağıdaki şekilleri alır

(12) Bağıntısındaki σ yüzey yük yoğunluğudur

(13)

(12)

(13) Bağıntısındaki λ ise çizgisel yük yoğunluğudur

Böylesine bir çizginin eksenine dik konumdaki bir P(x,0,0) noktasında yaratacağı gravite çekimini hesaplayalım. (11) bağıntısından gravite çekim ifadesi

2a uzunluklu ve z ekseni boyunca uzanan çizgi şekilli bir cismi göz önüne alalım.

Tek boyutlu kütle dağılımları

Bu elemanın P noktasında yaratacağı gravite çekiminin z ve y yönündeki bileşenleri sıfıra eşittir. Çünkü

Önce, şekildeki tel üzerinde küçük bir dz elemanının varlığını göz önüne alalım.

arasındaki kütle ile

arasındaki kütle birbirine eşittir.

Bu koşullarda, P noktasında x yönündeki çekim ifadesi

(14)

Logaritmik potansiyel Sonlu çizginin, z yönünde boyutlarının sonsuza gitmesi durumunda, (14)

Çekimin arandığı noktanın x-y düzleminin herhangi bir yerinde olması

durumunda ise bu bağıntı

(16)

(15)

(10) ve (16) dan yararlanarak

yazılabilir. Her iki tarafın tümlevinin alınması ile de

(17)

elde edilir. Benzer şekilde potansiyelin arandığı noktanın x-y düzleminde olması durumunda ise

(18)

(17) ve (18) ile tanımlanan potansiyel fonksiyonu, logaritmik

potansiyel olarak isimlendirilir.

Logaritmik potansiyelin jeofizikte yaygın bir uygulama alanı vardır. Örneğin yatay silindir şekilli bir yapının oluşturacağı anomali, kütlesi bu silindirin kütlesine denk ve silindirin merkezinde yer alan sonlu bir çizginin oluşturacağı anomali ile simgelenebilir.

Gravitenin ölçülmesi

1. Mutlak

2. Bağıl

Mutlak ölçüler

• Matematik sarkaç

• Fizik sarkaç

• Düşen cisim yöntemi

(19)

Bu bağıntı biraz daha farklı bir şekilde düzenlenebilir.

(20)

Düşen bir cismin t1 ve t2 zamanlarında aldığı yol

Bu bağıntılar tekrar düzenlenirse

(21)

Bağıl gravitenin ölçülmesi

Bağıl gravitenin ölçülmesinde de sarkaç sisteminden yararlanılır.

Bir A noktasındaki gravite değeri biliniyorsa bu noktada sarkacın periyodu bulunarak bağıntı aşağıdaki şekilde düzenlenir.

Benzer şekilde gravitenin hesaplanacağı B noktasında da

Bu bağıntı benzer şekilde (19) da verilen fizik sarkaçtan yararlanarak ta aşağıdaki şekilde bulunur.

(22)

Bu bağıntının diferansiyeli alınıp gerekli düzenlemeler yapılırsa

(23)

Değişik model kütleler ve anomalileri

Küre modeli

0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 0 4 50

5

1 0

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

silindir modeli

0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 0 4 50

5

1 0

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

yatay yarı sonsuz tabaka

Bazı kayaçların yoğunlukları