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Resumo da Aula
• E(r) a partir de V(r)– Exemplo: dipolo
• Equipotenciais e Condutores• Forma diferencial da Lei de Gauss• Distribuição de carga em condutores• Aplicações
∫∫ =Δ⇒⋅−=ΔB
A
B
A
dVVsdEV rr
sdEdVrr
⋅−=
Portanto podemos escrever que a diferença de potencial dV entre dois pontos que distam ds um do outro como sendo
Para temos que xEE
rr=
⇒=⋅ dxEsdE x
rrdxEdV x−=
oudxdVEx −=
→ o campo elétrico é igual a menos derivada do potencial elétrico com respeito a alguma coordenada
CAMPO ELÉTRICO A PARTIR DO POTENCIAL ELÉTRICO
Forma diferencial da Lei de Gauss
CAMPO ELÉTRICO A PARTIR DO POTENCIAL ELÉTRICO
Distribuição de carga tem simetria esférica → drEsdEdV r−=⋅−= rr
drdVEr −=⇒
dxdVEx −= dy
dVEy −=dzdVEz −=
Em geral, o potencial elétrico é uma função de todas as três coordenadas espaciais → ),,( zyxV
A variação no potencial é nula para qualquer deslocamento perpendicular ao campo elétrico
Isso é consistente com a noção de que as superfícies equipotenciais são perpendiculares ao campo:Campo elétrico uniforme Carga pontual Dipolo elétrico
e VE −∇=r
)( zyx ez
ey
ex
rrr
∂∂+
∂∂+
∂∂=∇é uma equação diferencial, onde → o operador gradiente
Cálculo do Campo E a partir do potencial em um condutor
oo
VEερ
ερ =∇−=⋅∇ 2
rr
02 =∇ V
Equação de Poisson
Equacão de Laplace
Para o caso unidimensional
dsdVE −=
E espaço livre onde ρ=0
0=dsdV
Forma diferencial da Lei de Gauss
oo
o
V)V(
E
ερ
ερ
ερ
=∇−=−∇⋅∇
=⋅∇
2r
rr
0 0 cosq dV q E dsθ− =
cos dVEds
θ = −
xVEx
∂= −∂
ˆ ˆ ˆ( )
E VV V Vx y zx y z
= −∇∂ ∂ ∂= − + +∂ ∂ ∂
r
Equação de Poisson e equacão de Laplace
02 =∇ V
E a partir de V
E a partir de V
oo
o
V)V(
E
ερ
ερ
ερ
=∇−=−∇⋅∇
=⋅∇
2r
rr
02 =∇ V
ˆ ˆ ˆ( )
E VV V Vx y zx y z
= −∇∂ ∂ ∂= − + +∂ ∂ ∂
r
Equação de Poisson
e equacão de Laplace
Para o caso unidimensional
dsdVE −=
E espaço livre onde ρ=0
0=dsdV
Potencial constante, ou campoelétrico nulo (interior do condutores)
VE ∇−=rr
E a partir de V?• Pode-se obter o E a partir de V utilizando as relações:
Expressando na forma vetorial:
• E é o valor negativo do gradiente de V
Ex = − ∂V∂x
Ey = − ∂V∂y
Ez = − ∂V∂z
• Coordenadas cartesianas: zzVy
yVx
xVV
∂∂+
∂∂+
∂∂=∇
r
• Coordenadas esféricas: φφ∂
∂θ
+θθ∂
∂+∂∂=∇ ˆV
sinr1ˆV
r1r
rVV
r
E a partir de V: exemplo
• Considere o seguinte potencial elétrico:
kz2jx2i)y2x6(E +−−−=r
Ex = − ∂V∂x
= −6x − 2y Ey = − ∂V∂y
= −2x Ez = − ∂V∂z
= 2z
V(x, y, z) = 3x2 + 2xy − z2
• Como se descreve este campo elétrico?
... Expressando como vetor:
Dipolo Elétrico z
aa
θ
+q
-q
r
r1r2• O potencial para r >> a:
• Calculando E em coordenadas esféricas:
E r = − ∂V∂r
E θ = − 1r
∂V∂θ
= − 2 aq4πε o
−2 cos θr 3
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟
= − 2 aq4πε o
− sin θr 3
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟
Momento de dipolo
V r aqr
( ) cos= 14
20
2πεθ
⇒
r E = 2 aq
4πε or 3 2 cos θ( )ˆ r + (sin θ ) ˆ θ ( )
POTENCIAL ELÉTRICO EM UM CONDUTOR CARREGADO
Considere um condutor de formato arbitrário com um excesso de carga positiva
O condutor está em equilíbrio eletrostático ⇒
• toda a carga permanece na superfície, e E = 0 dentro do condutor• o campo elétrico na face externa do condutor é perpendicular àsuperfície
Todos os pontos na superfície de um condutor carregado em equilíbrio eletrostático estão no mesmo potencial elétrico;
0 =⋅−=−=Δ ∫B
AAB sdEVVV
rr
090cos ==⋅ orrEdssdE
• E é sempre perpendicular ao deslocamento ds entre dois pontos da superfície. Então
→
A densidade superficial de carga não é uniforme
→ como o campo elétrico é zero dentro do condutor, concluímos que o potencial é constante em todo lugar dentro do condutor e igual a seu valor na superfície.
Para determinar como a carga se distribui num condutor não esférico, vamos analisar um sistema simples
O sistema consiste em duas esferas condutoras carregadas de raio r1 e r2, onde r1 > r2, ligadas por um fino fio condutor
Supomos que as duas esferas são tão separadas que o campo elétrico duma esfera não influencia o campo eléctrico da outra esfera.Como as duas esferas são ligadas por um fio condutor ⇒ supomos que todo o sistema é um único condutor e que todos os pontos devem estar no mesmo potencial
2
2
1
1
rqk
rqkV ee ==
⇒ que esfera maior tem a maior quantidade de carga.
2
1
2
1 rr
qq =⇒
21
11 r
qkE e= 22
22 r
qkE e=Campo elétrico em cada condutor
Distribuição de carga nos condutores
Esta é a quarta propriedade listada para os condutores em equilíbrio eletrostático:
212
221
212
221
22
2
21
1
2
1
rrrr
rqrq
rqk
rqk
EE
e
e
===1
2
2
1 rr
EE =⇒
→ quer dizer que o campo elétrico próximo àesfera menor é maior que o campo próximo àesfera maior.
→ Como o campo elétrico próximo à superfície de um condutor é proporcional à densidade superficial de carga, a esfera menor tem a maior densidade superficial de carga.
Campo forte
Maior densidade superficial de carga
Campo fraco
Menor densidade superficial de carga
• NUM CONDUTOR DE FORMA IRREGULAR, A CARGA POR UNIDADE DE ÁREA É MÁXIMA NOS LOCAIS ONDE É MÍNIMO O RAIO DE CURVATURA DA SUPERFÍCIE
Distribuição de carga nos condutores
Exemplo: Duas esferas condutoras. A esfera menor tem raio a e carga Q positiva , e a esfera maior de raio c não está carregada (neutra).
Ao aproximarmos as duas esferas: - A esfera menor atrai as cargas negativas da esfera maior e repele as cargas positivas.
As curvas pontilhadas azuis correspondem as interseções das superfícies equipotenciais com a página.
Como varia o potencial a partir o centro da esfera 1 até para a direita da esfera 2, considerando que b é a distância entre a superfície da esfera menor e o centro da esfera maior ?
Distribuição de carga nos condutores
Uma cavidade dentro de um condutor em equilíbrio
Considere um condutor de formato arbitrário contendo uma cavidade.
Se não há cargas dentro da cavidade, o campo elétrico dentro da cavidade tem de ser zero, independentemente da carga na superfície externa do condutor.
Todo ponto no condutor está no mesmo potencial ⇒
quaisquer dois pontos A e B na superfície da cavidade têm de estar no mesmo potencial
0 =⋅−=−=Δ ∫B
AAB sdEVVV
rrassim 0=− AB VV
Por isso E deve ser zero.
Esta propriedade pode ser utilizada para blindar um equipamento eletrónico ou até mesmo todo um laboratório dos campos externos cercando-o com paredes condutores.
Distribuição de carga nos condutores
Blindagem eletrostática
No século XIX, por Michael Faraday, através da seguinte experiência: Eletrizou uma grande gaiola metálica, até que ela soltasse faíscas.
Utilizando um eletroscópio, verificou que:1º O interior da gaiola não ficou eletrizado.2º As cargas em excesso foram tão distanciadas umas das outras que se concentraram na superfície da gaiola.
18
A blindagem eletrostática mostra que uma pessoa dentro de um carro atingido por um raio nada sofrerá, pois a estrutura metálica do carro isola o seu interior das influencias elétricas externas.
Blindagem eletrostática
• Nas linhas de alta tensão, é usual e aconselhável evitar ângulos agudos na trajetória dos condutores, pois podem haver nestas regiões de “pontas”, grandes densidades de carga e de força elétrica, que provocam a dispersão espontânea de cargas elétricas (efeito coroa), que se manifesta sob a forma de eflúvios fluorescentes com certa luminosidade. O fenômeno é facilitado pela presença de umidade no ar.
Efeito Corona (Coroa)
Rigidez dielétrica e efeito das pontas
• O fenômeno do poder das pontas ocorre porque, em um condutor eletrizado a carga tende a se acumular nas regiões pontiagudas, criando um campo elétrico maior que nas regiões mais planas.
• Se aumentarmos continuadamente a carga elétrica no condutor, a intensidade do campo elétrico em torno dele aumentará também, até que na região pontiaguda o valor da rigidez dielétrica do ar será ultrapassado antes que isto ocorra nas demais regiões. Portanto nas proximidades da região pontiaguda que o ar se tornará condutor e será através da ponta que a carga se escoará.
Er
Microscópio Ionico de efeito de campo
Os átomos de ferro são colocados sobre uma superfície de nitreto de cobre e ligados por dois átomos de nitrogênio (azul) em uma estrutura regular separada por um átomo de cobre (amarelo). [Imagem: SebastianLoth/CFEL]
Menor byte magnético já feitoVinte átomos de ferro formam a menor unidade de armazenamento magnético já construída
Field IonicMicroscopic
http://www.nims.go.jp/apfim/fim.html
Prof. Caio Castro CastilhoUFBa
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