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〝相反作用の定理〟(reciprocal theorem)
〝ベッティの相反作用の定理〟(Betti’s reciprocal theorem)
〝マックスウェルの相反作用の定理〟(Maxwell’s reciprocal theorem)
〝ミューラー・ブレスラウの定理〟(Müller-Breslau’s theorem)
〝カステリアーノの第2定理〟(Castigliano’s second theorem)
11U1,iP
1,iv
i
212 2U U1,iP
2,iv
i
jP ,2
2, jv
j
U
1,iPiv
i
2, jP
jv
j
U
1,iPiv
i
2, jP
jv
j
22U
2, jP
2, jv
j
121 1U U1,iP
1,iv
i
2, jP
1, jv
j
(a) 載 荷 順 序 Ⅰ
(b) 載 荷 順 序 Ⅱ図 -26 外力群の載荷順序と各段階で蓄えられるひずみエネルギー
1) 外力群 1 の載荷
1) 外力群 2 の載荷
2) 外力群 2 の載荷
2) 外力群 1 の載荷
3) 外力群 (1+2) の載荷
3) 外力群 (2+1) の載荷
まず、外力群 P1,i が載荷した段階でなされる仕事 W11は、次に、外力群 P2,j が作用したときに、 P1,i が v2,i になす仕事 W12は、これと同時に、 P2,j が v2,i になす仕事 W22 は、載荷順序Ⅰの場合の全外力仕事 W1 は、
i
ii vPW ,1,111 21
i
ii vPW ,2,112
j
jj vPW ,2,222 21
j
jji
iii
ii vPvPvPWWWW ,2,2,2,1,1,12212111 21
21
載荷順序Ⅱの場合の全外力仕事 W2 は、 i
iij
jjj
jj vPvPvPWWWW ,1,1,1,2,2,21121222 21
21
21 WW
1, 2, 2, 1,i i j ji j
P v P v 弾性線形構造物に 2 組の互いに独立な外力群 1 および外力群 2 が作用して、それぞれの系で釣合状態にあるとき、外力群 1 が外力群 2 により生ずる変位に対してなす仮想仕事は、外力群 2 が外力群 1 により生ずる変位に対してなす仮想仕事に等しい。
ところが、
〝ベッティの相反作用の定理〟(Betti’s reciprocal
theorem)
1,iP
i
1, jv
j 2, jPj
2,iv
i
(a) 外力群 1 の系 (b) 外力群 2 の系図 -27 Betti の相反作用の定理 1, 2, 1, 2. 1, 2, 2, 1, 2, 1. 2, 1,i i i i i i j j j j j j
i j
P v M T P v M T
〝ベッティの相反作用の定理〟(Betti’s reciprocal
theorem)
弾性線形構造物に 2 組の互いに独立な外力群 1 および外力群 2 が作用して、それぞれの系で釣合状態にあるとき、外力群 1 が外力群 2 により生ずる変位に対してなす仮想仕事は、外力群 2 が外力群1 により生ずる変位に対してなす仮想仕事に等しい。1, 2, 2, 1,i i j j
i j
P v P v
i ij j jiv vP P jij iv v第 1 添字は、一般変位を生じる点であり、第 2 添字は、一般変位の原因となった一般外力の作用点を意味する。
〝マックスウェルの相反作用の定理〟(Maxwell’s reciprocal theorem)
ijv
(a)単位外力 1iP による
点 jの jP 方向の変位 jiv (b)単位外力 1jP による
点 iの iP方向の変位 ijv
系 1 系 2 1iP
ijiv
j 1jP
i
ijv
j
①並進変位に対して 図-28 Maxwellの相反作用の定理
(a)単位外力モーメント 1iM による点 jの回転変位 ji
(b)単位外力モーメント 1jM
による点 iの回転変位 ij
系 1 系 2
1iM
ji
i
j 1jM
ij
i
j
②回転変位に対して 図-28 Maxwellの相反作用の定理
i ij i ij i ij j ji j ji j jiP v M T P v M T
1i jM M 0i j i jP P T T iji j
(a)単位外力 1iP による
点 jの回転変位 ji (b)単位外力モーメント 1jM
による点 iの iP方向の変位 ijv
系 1 系 2 1iP
i
jij
i
ijv
1jM j
③並進変位と回転変位に対して 図-28 Maxwellの相反作用の定理
i ij i ij i ij j ji j ji j jiP v M T P v M T
1i jP M 0i j i jM P T T iji jv
(a)点 jのたわみ jiv (b)単位荷重 1jP によるたわみ曲線
i
j1iP
i
jijvjiv
1jP
図-29 たわみの影響線
(a)点 jのたわみ角 ji (b)単位モーメント 1jM によるたわみ曲線
1iP
ji
j
i
ijv 1jM
ji
図-29’ たわみ角の影響線
たわみの影響線
たわみ角の影響線
A B
i
i
i
ijR
jQjM
1iP
1jP ijv
1jM
,jj Rv
0ijv
1jQ
,jj Mv
, 0jj Qv
j
0ijv
j
j
j
(a)単位荷重 1iP による 反力(断面力):系 1
(b)単位外力 1jP による たわみ曲線:系 2
(c)単位曲げモーメント 1jM によるたわみ曲線:系 2
(d)単位せん断力 1jQ によるたわみ曲線:系 2
(e)せん断力が生じ得ない状態にするために 設けるリンク機構(シアレス連結) 0, Qjjv
図 -30 Müller-Breslau の定理
不静定構造物の不静定反力あるいは不静定断面力の影響線
系 1 の外力が系 2 の変位に対してなす仕事 W12 は、
系 2 の外力が系 1 の変位に対してなす仕事W21 は、
12 ,i ij j jj RW P v R v
jjPW 21
01 , jRjjjij PvRv
ここに、 Δj は点 j の支点変位であり、 Δj = 0 である。ところが、 W12=W21 , Pi=1 であるから、
図 (b) の系:支点反力の影響線 01 , jRjjjij PvRv
,
ijj
jj R
vR
v
A B
i
ijR
1iP
1jP ijv ,jj Rv j
j
系 1
単位外力 1jP によるたわみ曲線
ijR
1iP j
系 2
0 j
系 1 の外力が系 2 の変位に対してなす仕事 W12 は、
系 2 の外力が系 1 の変位に対してなす仕事 W21 は、
ここに、 θL , θR は点 j での左側と右側のたわみ角であり、曲げモーメントの連続条件から θL = θR である。ところが、 W12=W21 , Pi=1 であるから、
図 (c) の系:曲げモーメントの影響線 01 , jMjjjij MvMv
01 , jMjjjij MvMv
12 ,i ij j jj MW P v M v
21 j L RW M
,
ijj
jj M
vM
v
A B
i
i
jM1iP
1jM 0ijv
,jj Mv j
j
単位曲げモーメント 1jM によるたわみ曲線
i
jM1iP
j系 1
系 2
RL
RMjj
LMjjMjj vvv ,,,
系 1 の外力が系 2 の変位に対してなす仕事 W12 は、
系 2 の外力が系 1 の変位に対してなす仕事W21 は、ここに、 Δj は点 j の支点変位であり、 Δj = 0 である。ところが、 W12=W21 , Pi=1 であるから、
図 (d) の系:せん断力の影響線 01 , jQjjjij QvQv
01 , jQjjjij QvQv
12 ,i ij j jj QW P v Q v
jjQW 21
,
ijj
jj Q
vQ
v
A B
i
ijQ1iP
1jQ
, 0jj Qv
j
0ijv
j
単位せん断力 1jQ によるたわみ曲線
ij
jQ系 1
系 2
1iP 0 j
不静定構造物の反力(あるいは断面力)の影響線は、それらの反力(あるいは断面力)が生じ得ない状態にした仮想構造物において、当該反力(あるいは断面力)と逆向きの単位外力を作用させたときに生ずるたわみ曲線と相似で、その縦距を 倍したものである。 ここに、 は仮想構造物の単位外力の作用点における単位外力方向のたわみ(あるいは断面の相対回転角または相対変位)である。
〝ミューラー・ブレスラウの定理〟(Müller-Breslau’s theorem)
,
ijj
jj R
vR
v
,
ijj
jj M
vM
v
,
ijj
jj Q
vQ
v図 (d) の系:せん断力の影響線
図 (c) の系:曲げモーメントの影響線
図 (b) の系:支点反力の影響線
【問題 MB-8 】下図に示す曲げ剛性が一定な1次不静定ゲルバーばりの G 点のせん断力 の〝影響線〟を求めよ。さらに、支点反力 ・曲げモーメント ・せん断力 の〝影響線〟を図示せよ。ただし、図中には、正負の符号を必ず明記すること。
2
2
2
2
2
2
A D G E B F C
C A
B
曲げ剛性 EI=const.
D E F G
AR
BR CR
AM13
23
(a)系 1 (b)系 2
iiv
iP
kv
kkP
11U i
k
2212 UUU ivkv
kP
図 -31 Castigliano の第 2 定理(集中外力) kki
ii vPvP 〝ベッティの相反作用の定理〟弾性線形構造物
kk
iii vPvPUUU 21
2212エネルギー増加量
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