Praxis der Lebensversicherungs- mathematikRentenversicherung) liefert Damit könnten auch Effekte...

Praxis der Praxis der LebensversicherungsLebensversicherungs--

mathematikmathematik

TU Kaiserslautern, SS 2012

vonDr. Hans-Otto Herr

� Über mich�56 Jahre alt�Mathematikstudium in Mainz�Diplom 1983, Promotion 1988�Wissenschaftlicher Mitarbeiter der

Uni Mainz von 1984 bis 1988�Ab 1988 Mitarbeiter der DBV�Leiter der Produktentwicklung

Leben/Rente�Verantwortlicher Aktuar der

winsecura Pensionskasse

Praxis der Praxis der LebensversicherungmathematikLebensversicherungmathematikTU Kaiserslautern SS 2012, H.TU Kaiserslautern SS 2012, H.--O. HerrO. Herr

winsecura Pensionskasse�Zuletzt Abteilungsdirektor�Zum 1.9.2011 mein

Arbeitsverhältnis beim AXA-Konzern beendet

�1999 erster Gaußpreisträger (damals Jahrespreis der DGVM) zusammen mit Markus Kreer

Idee zu dieser Vorlesung� Die Theorie zur Versicherungsmathematik ist schon

lange besser und fortschrittlicher als die Wirklich-keit in der weitaus meisten LVU

� Diese verwenden noch Methoden, die tlw aus dem Beginn des vorigen Jahrhundert sind.

� Trotzdem scheinen diese auch für die heutige Zeit � Trotzdem scheinen diese auch für die heutige Zeit robust genug zu sein, wenn man genügend vorsichtig ist.

� Ziel der Veranstaltung ist, Ihnen eine Vorstellung davon zu geben, was Sie als Versicherungstechnik in der Wirklichkeit nach Ende des Studiums erw.

� Und Sie sollten damit umgehen können

Praxis der Praxis der LebensversicherungmathematikLebensversicherungmathematik 33TU Kaiserslautern SS 2012, H.TU Kaiserslautern SS 2012, H.--O. HerrO. Herr

Ideen zu den Übungen

� Die üblichen Rechenbeispiele� Dabei an DAV-Sterbetafeln

orientieren, soweit einfach zugänglich� Schrittweiser Aufbau eines EXCEL-

Modells, das Beitrags-, Deckungskapital-Modells, das Beitrags-, Deckungskapital-und Überschussberechnung für eine oder zwei Versicherungsformen (z.B. Kapitalbildende LV und/oder Rentenversicherung) liefert

� Damit könnten auch Effekte bei Parameteränderungen studiert werden

�Unser Fahrplan oder: was Sie nach dem Sommersemester wissen sollten

11.Grundlegendes aus der elementaren Finanzmathematik

Finanzmathematik12.Bezeichnungen und Konventionen der

Versicherungsmathematik13.Gesetzlicher Rahmen14.Grundlegende Versicherungsformen

21.Biometrische Rechnungsgrundlagen22.Erlebensfall/Todesfallcharakter23.Erstellung von Rechnungsgrundlagen

31.Kommutationswerte32.Rentenbarwerte32.Rentenbarwerte33.Leistungsbarwerte34.Weitere Rechnungsrundlagen35.Äquivalenzprinzip

41.Deckungskapital42.Retrospektive vs. prospektive

Deckungsrückstellung43.Zillmerung

51.Rechnungsgrundlagen 2. Ordnung52.Grundsätze der Gewinnzerlegung52.Grundsätze der Gewinnzerlegung

61.Überschussbeteiligung (grundsätzlich)62.Überschussermittlung63.Beteiligung der Versicherungsnehmer

71.Vertragsänderungen72.Kündigung73.Beitragsfreistellung81.Weitere Vertragsänderungen82.Erhöhungen, Herabsetzungen

91.Was gibt es noch / Was fehlt?

Praxis der Praxis der LebensversicherungmathematikLebensversicherungmathematik 88TU Kaiserslautern SS 2012, H.TU Kaiserslautern SS 2012, H.--O. Herr O. Herr

91.Was gibt es noch / Was fehlt?92.Ein paar Worte zur Rechnungslegung93.Profitabilität

100.Was ist noch unklar?101.Round up / Ihre Kritik

� Literatur (eine Auswahl)

◦ Grimmer/Führer, Einführung in die LebensversicherungsmathematikVVW 2006

◦ Isenbart/Münzer, Lebensversicherungsmathe-matik für Praxis und Studium, Gabler, 3. A. (?)

◦ Gerber, Life Insurance Mathematics, Springer

◦ Koller, Stochastische Modelle in der Lebens-versicherung, Springer

11.Grundlegendes aus der elementaren Finanzmathematik

Rechnungszins „i“

12.Bezeichnungen und Konventionen der Versicherungsma-thematik

Feste Buchstaben für gewisse Größen

Begriff „Barwert“

„Rentenbarwert“

Größenx, y stets Álter eines/r

Mannes/Frauä, a Rentenbarwert vor-

/nachschüssigA Leistungsbarwert

13.Gesetzlicher Rahmen

Gesetze

VAG (Versicherungs-aufsichtsGesetz

VVG (VVertragsGesetz)

14. Grundlegende Ver-sicherungsformen

Personenversicherung

� KV� (PK, PF)� LV und RV VVG (VVertragsGesetz)

Dazu z.B.

Rechtsverordnungen

DeckRV

� LV und RV

◦ RisikoV◦ Kapitalbildende LV◦ RV aufgeschoben◦ RV sofort beginnend◦ Dazu BU/EU + … + Exoten

wie Aussteuer

� Allgemeine Struktur

eines Vers.Vetrags

1 Haupversicherung + zzgl Zusatzversicherungen

� Beitragszahlweisen:

normalerweise 1/1-

jährliche Kalkulation

◦ Mögliche Zwen:

� Andere

Versicherungsformen

◦ Fondsgebundene, AILV◦ Hinterbliebene◦ Kapitalisation

� Verantwortlicher

Aktuar

◦ §12a VAG◦ Mögliche Zwen:� EB, 1/1, ½, ¼, 1/12� Evtl. abgekürzt

� Optionen

◦ Bfreistellung, Rückkauf◦ + evtl. weitere

◦ §12a VAG◦ Dauerhafte Erfüllbarkeit

der Verpflichtungedn◦ Testat DeckR in Bilanz◦ Erläuterungsbericht,◦ Vorschlag Übbeteiligung

21. Biometrische Rechnungsgrundlagen

Wichtigster Parameter –neben i - der Beitragskalkulation und Reservestellung

Beschreibung der Ausscheideordnung

Lebende Tote

Ausscheideordnung

Sterbetafel

ReaktivierteAusscheideordnung

Einfache Version: Periodentafeln

Für x=0 bis ωqx = Wkeit eines x-Jährigen

vor Vollendung des x+1-ten Lebensj. zu sterben

Invalide

LebendeAnwärter

Invali

�Rechnungsgrundlagen• 1. Ordnung = die, mit denen kalkuliert wird

• 2. Ordnung =tatsächlich beobachtete

� Probleme◦ Gesundheitsprüfung,

• Außer Sterbewkeitnoch wichtig:

• Weitere Ausscheideord-nungen

• Invalidisierungswk ◦ Gesundheitsprüfung, listenmäßige Annahme

◦ Versicherten-/ Arbeitnehmerkollektive

◦ Extreme Situationen „preferrred lives“

◦ Medizinischer Fortschritt

• Invalidisierungswk• Erwerbsunfähigkeit• …• Wkeit im Zeitpunkt des

Todes verheiratet• Wkeit im Alter x zu

heiraten

� Hinweis� Hiermit erhalten Sie

das zweite Päckchen der Folien zu dieser Veranstaltung.

� Bitte beachten Sie,

� Übungen◦ Hier wird auch nur

hier vorkommender Stoff behandelt

� das gesprochene � Bitte beachten Sie,

dass diese nicht alles Relevante enthalten.

� Wichtig sind vor allem auch die

� das gesprochene Wort in der Vorlesung, sowie alles, was

� an der Tafel steht

22.Erlebensfall/Todesfallcharakter

Todesfallcharakter = Erhöhung der qx bewirkt Verteuerung des Versicherungsprodukts/

Thema Unisex � Übungen

23.Erstellung von Sterbetafeln

� Schritt 1: Ermittlung der

Versicherungsprodukts/ Erhöhung der Verpflichtung; Bsp. Risikoversicherung

Erlebensfallcharakter = Erhöhung der qx bewirkt Verbilligung…Reduktion; z.B.: Rentenversicherg

Ermittlung der rohen Sterbewk. Ausgleichen

� Schritt 2: Zu/Abschläge für Irrtum, Schwankg, Selektion

� Schritt 3:◦ Vom Geburtsjahr

abhängige Zuschläge für den Trend bei der Sterblichkeit für Versicherungen mit Erlebensfallchar., vor allem Renten

� Jetzt hat das Warten ein Ende und es gibt Formeln

� Aber vorher noch ein paar Worte zum Rechnungszins i◦ Festgelegt in Deckrv

ist nur der HöchstRzr allem Renten◦ Bei Todesfallchar

evtl Raucher/ Nichtraucher unterschieden

ist nur der HöchstRzfür die Reservierung

◦ Fragwürdiger Formalismus (60% der Durchschnitts-Rendite öffentlicher Anleihen…)

� Wir wiederholen nochmals die festen Bezeichnungen für Parameter:

� x/y Alter Mann/Frau

� n Dauer, Vers.dauer

� t Dauer, BZD� m abgel. Dauer� s Dauer, Aufschub-

� i Rechnungszins

� v = 1/(1+i)� d = i/(1+i)

= 1 - v Praxis der Praxis der LebensversicherungmathematikLebensversicherungmathematik 1919TU Kaiserslautern SS 2012, H.TU Kaiserslautern SS 2012, H.--O. Herr O. Herr

� GRUNDSATZ der Kalkulation� Es wird immer deter-

ministisch nie stocha-stisch gerechnet.

� Um trotzdem brauch-bare Ergebnisse zu erzielen, ist beson-

erzielen, ist beson-dere Vorsicht (Zu-schläge) notwendig

31.Kommutationswerte� Formaler Kalkül, der mit wenig Tabellen

alle wesentlichen Größen der Kalkulation mit geringem Aufwand errechnen lässt

� Die Grundregeln für reservierte Bezeichnungen:

◦ Barwerte für◦ Barwerte für◦ A einmalige Todesfallleistung◦ E einmalige Erlebensfallleistung◦ a wiederkehrende Erlebensfallleistung

dabei a=nachschüssig und ä=vorschüssig◦ Index rechts unten: grundlegendes Alter (x oder

y oder xy)◦ Rechts daneben unter Winkel: Dauer (n oder t))

� Die Grundregeln (Fortsetzung)◦ Rechts oben: von jährlicher Zahlweise ab-

weichende Zahlweise◦ Links unten weitere Zeitparameter, dabei

wichtig „Aufschubzeit“ mit senkrechtem Strich rechts daneben: „ n| “

◦ A◦ A

◦ ä

Dritte Folge. Was bisher geschah:

� Das letzte Mal reservierte Schreibweisen behandelt. Dazu Korrektur. Für Leistungsbarwert einer RisikoLV ist gebräuchlicher: (statt )

� In Übungen durchschnittliche Lebenserwartung behandelt, hier kurzer Abriss an geeigneter Stelle.

� Dazu werden auch Tafeln zum Download zur Verfügung gestellt.

� Berechnung eines Rentenbarwertes:◦ Wir erinnern uns [mit v = 1/(1+i)]

◦ Jetzt mit Biometrie. Dazu ist zusätzlich gegeben für x=0,…,ω: qx (1 jährige Sterblk) gegeben für x=0,…,ω: qx (1 jährige Sterblk)

◦ Daraus (1 jährige Überlebenswahrscheinlichkeit)

◦ Weiterhin nützlich◦

� Damit

� Die lebenslängliche Variante wäre bei

qx=0 ohne Biometrie

� Und da für gilt, wenn |v| < 1

ä= 1/(1-v) =1/d

� Wenn wir nun an interessiert sind, können wir genauso rechnen und haben können wir genauso rechnen und haben keine Probleme mit dem Limes, da

� somit

� Die klassische Versicherungsmathematik berechnet (mit dem gleichen Ergebnis) anders:

� Berechne zu normiertem Startwert:die Lebenden (Anmerkung lx+k/lx=kpx)

� Zwischenbemerk:◦ Mittl zuk.Leb.erwartg =

0,200000

0,300000

0,400000

0,500000

0,600000

qDAV95(x)

qBRDalt(x)

qBRDneu(x)

qDAV95(y)

qBRDalt(y)

qBRDneu(y)

0,000000

0,100000

95,0 AV95(y)

BRDalt(y)

BRDneu(y)

ADSt2010

1 3 5 7 9 1113151719212325272931333537394143454749515355575961636567697173757779818385

� Hieraus die diskontierten Lebenden und Toten, D und C

� Hieraus die Summen N und M der D und C

� Sowie für einige exotischen Versicherungen die Summen T, S der Summen

32. Rentenbarwerte

� Dann ist

� Und

� So ergibt sich � So ergibt sich

� Spezialfall x+n = ω, dann Dx+n = 0, damit

äx – ax = 1 – 0 = 1was aber auch mit bloßem Auge zu erkennen ist

� Bemerkung: diese Herleitung nutzt die Überlebenden (lx) des Alters x.Überlebenden (lx) des Alters x.

� Genau so hätte man dies auch über die Toten (dx) tun können vielleicht eine Spur umständlicher.

� Es gilt

� Rekursionsbeziehungen

� Oder anders herum

� Unterjährige Beitragszahlung (Zwe)

◦ Man kalkuliert meist mit jährlichen Werten◦ Für die Prämie (Beitrag) wird bei unterjähriger Zahlweise meist ein Zuschlag verwendet.

◦ Dieser muss (neuerdings) belegt werden.◦ Üblich für den Zahlungsweisezuschlag sind Werte wie:Werte wie:

Zahlungs-weise

Zuschlag bei

Normal-geschäft

Zuschlag bei Groß-geschäft

1/2 2.0% 1.0%

1/4 3.0% 2.0%

1/12 5.0% 2.5%

� Unterjährige Rentenzahlung (Fortsetzung) ◦ Davon zu unterscheiden die Modifikation eines (natürlich zunächst für jährliche Zahlungs-weise) gegebenen Rentenbarwertes. Problem:

Einfache und auch weit verbreitete Lösung:verwende als Korrektur verwende als Korrektur Abzug in Höhe von

(k-1)/2k (vorsch) bzw. (k+1)/2k (nachsch.)

also z.B.

33.Leistungsbarwerte

� Risikoversicherungen� A� IA siehe Übungen� DA

� Kapitalbildende („gemischte“) Versicherung� A siehe Übungen� A siehe Übungen� Termfix-Versichertung

� Rentenverscherung� Aufgeschoben siehe Übungen� Sofort beginnend� Mit Garantiezeit� Mit Beitragsrückgewähr im Todesfall

� Einige wichtige Leistungsbarwe rte (siehe auch Übungen)

� Weitere wichtige LBW

� Dieses war der dritte Streich:◦ Leistungsbarwerte und◦ Rentenbarwerte ◦ Einfach mit Hilfe von ◦ Kommutationswerten◦ Darstellen.◦ Mit kommutationswerten spielen und umgehen ◦ Mit kommutationswerten spielen und umgehen können.

� … doch der vierte kommt sogleich◦ Damit sind wir in der Lage tatsächlich relevante Beiträge auszurechnen

� Was wir jetzt schon könnten, ist die Nettoprämie NP für einen Versicherungsvertrag zu bestimmen

� NP ist eine an sich für den Kunden irrelevante Größe, da sie z.B. keine Kosten berücksichtigt. Sie spielt aber bei der Rechnungslegung (z.B. bei der der Rechnungslegung (z.B. bei der Zerlegung von Beiträgen und Gewinnquellen) eine wichtige Rolle

NP = (Leistungsbarwert) / äxt

34. Weitere Kosten, Kosten der Verwaltung, des Abschlusses,…

� Abschlusskosten

�ααααz Zillmersatz, in %o Bsumme, also

t*B*αzt*B*α

�ααααg lfd AK während bpfl Zeit in %B oder %oVS entweder zur Darstellung von lfd Provision oder Amortisationskosten

� Verwaltungskosten

�ββββ in % B „Inkassokosten“

�γγγγ1 in %o Vers.Summe während bpf Zeit

�γγγγ2 in %o Vers.Summe während bfr Zeit

◦ Dabei Unterschied, ob planmäßig oder außerplanmäßig bfr

�γγγγ4 in % Rente während Rentenbezug

� Weitere Zuschläge � Stk Stückkosten in € pro Police� σσσσ Bspsweise in % LBW

� Damit kann nunmehr auch der Barwert der Kosten eines Vers.Vertrages ermittelt werden.

� Schließlich muss noch der Barwert der Beiträge berechnet werden.

� Wie heißt die nahezu triviale Überlegung, die uns die Berechnung des Bruttobeitrages ermöglicht?

35. Äquivalenzprinzip

� Barwert der Leistungen = Barwert der Beiträge

◦ oder auch genauer

� Barwert der rechnungsmäßigen Leistungen = Barwert der rechnungsmäßigen Gegenleistungen

� Also hier ein allgemeines Beispiel

� Nach einer kleinen Rechnung ergibt sich:

� Beispiele an der Tafel

� Weitere Punkte

� Netto-Prämie (Netto-Beitrag)� Ausreichende Prämie (Brutto-Beitrag)� Zillmer-Prämie� Spar-Prämie

Eintrittsalter� Eintrittsalter� Beitragsberechnung

41.Deckungskapital

� Bei Versicherungsformen, die zum Schluss größere Geldbeträge zur Verfügung stellen (gem KapitalV aber auch Rentenversicherungen zum Ende der Aufschubteit) ist ein Ansparkonto Aufschubteit) ist ein Ansparkonto einsichtig

� Aber auch sonst wird ein Ausgleich benötigt, wie folgendes Beispiel (Tafel) zeigt:

� Beispiele an der Tafel

� Prämienreserve � Deckungsrückstellung � Deckungskapital

� Ausgleich Rechnungsgrundlagen

� Ansparvorgang � Kontoführung

� Beitragsfreie Zeiten

� Beispiele

� Gemischte Kapitalversicherung

� Todesfallleistung > Riskiertes Kaptal

Achtung : Verzinsung & Ver-qx-ung der � Achtung : Verzinsung & Ver-qx-ung der Risikobeiträge

30.000 €

40.000 €

50.000 €

60.000 €

x+t=50

x+t=55

x+t=60

x+t=65

x+t=50

-10.000 €

10.000 €

20.000 €

50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65

x+t=50

x+t=55

x+t=60

x+t=65

� Achtung!!

� Ansparvorgang unterschiedlich bei Rente in Aufschubzeit -> Gem Kap

� Rente vererbt (negatives Risiko)Kapitalversicherung kostet (normales � Kapitalversicherung kostet (normales Risiko)

� Nächstes Beisp: Risikoversicherung mit konstanter Versicherungssumme

5.000 €

6.000 €

7.000 €

8.000 €

9.000 €

10.000 €

1.000 €

2.000 €

3.000 €

4.000 €

5.000 €

52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65

� Risikoversicherung lebenslang� =� Gemischte Kapitalversicherung mit

Endalter ω

Nächste Beispiel: Fallende � Nächste Beispiel: Fallende Risikoversicherung

� Bisher alle Dken weitgehend positiv.

� Was aber ist das?

30.000 €

40.000 €

50.000 €

60.000 €

-20.000 €

-10.000 €

10.000 €

20.000 €

� Wie kommt sowas?

� DK steuert den Risiko-Ausgleich während der Versicherungsdauer.

� Wenn das benötigte Geld für die zukünftige Tragung des Risikos fällt, geht das DK unter Nulldas DK unter Null

� Es gibt auch das Beispiel

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

-0,51 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

� Ist das schlimm?

� Ja, wg Storni� Darum bedingungsmä0ig abfangen!

� Bisher immer DK vom Anfang her fortgeschrieben (retrospektiv)fortgeschrieben (retrospektiv)

� Es geht auch anders herum (prospektiv)

� Prospektiv:

42.Retrospektive vs. prospektive Deckungsrückstellung

� Handelsgesetzbuch� 3. Buch - Handelsbücher (§§ 238 342e)� 4. Abschnitt - Ergänzende Vorschriften für

Unternehmen bestimmter Unternehmen bestimmter Geschäftszweige (§§ 340 - 341p)◦ 1. …◦ 2. Unterabschnitt - Ergänzende Vorschriften für Versicherungsunternehmen und Pensionsfonds (§§ 341 - 341p)

� 4. Titel - Versicherungstechnische Rückstellungen (§§ 341e - 341h)

� § 341fDeckungsrückstellung

� (1) Deckungsrückstellungen sind für die Verpflichtungen aus dem Lebensversicherungs-und dem nach Art der Lebensversicherung und dem nach Art der Lebensversicherung betriebenen Versicherungsgeschäft in Höhe ihres versicherungsmathematisch errechneten Wertes einschließlich bereits zugeteilter Überschußanteile mit Ausnahme der verzinslich angesammelten Überschußanteile und…

� … nach Abzug des versicherungsmathe-matisch ermittelten Barwerts der künftigen Beiträge zu bilden (prospektive Methode). Ist eine Ermittlung des Wertes der künftigen Verpflichtungen und der künftigen Beiträge nicht möglich, hat die Beiträge nicht möglich, hat die Berechnung auf Grund der aufgezinstenEinnahmen und Ausgaben der voran-gegangenen Geschäftsjahre zu erfolgen (retrospektive Methode).

� (2) Bei der Bildung der Deckungsrückstellung sind auch gegenüber den Versicherten eingegangene Zinssatzverpflichtungen zu berücksichtigen, sofern die derzeitigen oder zu erwartenden Erträge der oder zu erwartenden Erträge der Vermögenswerte des Unternehmens für die Deckung dieser Verpflichtungen nicht ausreicht

Aber es gilt

das erweiterte Äquivalenzprinzip

Wenn das Deckungskapital einer Versicherung prospektiv berechnet werden kann, so ist dieses identisch werden kann, so ist dieses identisch mit dem retrospektiven Deckungskapital

Bezeichnung:

Dabei� m = abgelaufene Dauer (Jahre)

x = ursprüngliches Alter (Eintrittsalter)� x = ursprüngliches Alter (Eintrittsalter)� Genau genommen ist mVx der Wert zum

Zeitpunkt „1 Sekunde“ vor Beitragszahlung

� Also für NettoDK stets 0Vx= 0

Bisher eigentlich nur NettoDKbetrachtet, aber es gibt auch ein KostenDK.

Zunächst: beta und gamma STK werden während der bpfl Zeit direkt verbrauchtbleibt gamma während beitrfr. Zeit (noch mit „gamma2“ und ggf alpha-g als mit „gamma2“ und ggf alpha-g als Faktor zu ergänzen)

43.Zillmerung

� Für Versicherungsverträge gibt es ein besonderes Verfahren zur Verrechnung von Abschlusskosten

� Die sog. Zillmerung. Nach � Die sog. Zillmerung. Nach Dr. August Zillmer (*1831 , +1893 )

� Die Zillmerung hat zum großen Erfolg der Lebensversicherung in Deutschland wesentlich beigetragen

Die Idee:� Die Kosten, die direkt bei Abschluss des

Versicherungsvertrages entstehen, werden dem Kunden direkt in Rechnung gestellt (Dadurch hohe Abschlussprovisionen an Vermittler möglich).möglich).

� Der höchstmögliche Zillmersatz (=> Obergrenze für negativen Wert per Vertragsbeginn) ist 40%o der Beitrags-Summe (t*B*40%o)

� In der Bilanz können für die negativen Werte nicht saldiert werden (auf 0 hochgesetzt). Aber sie werden als „noch nicht fällige Forderungen an VN“ aktiviert.

� Man hat also zu tilgen während Beitragspflicht

� Zillmerbetrag/äx,t

� Dabei i.a. Zillmerbetrag = Zillmersatz*t*B

� Also ist das gezillmerte DK

� Beispiele

30.000,00 €

40.000,00 €

50.000,00 €

60.000,00 €

-10.000,00 €

10.000,00 €

20.000,00 €

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

� BeispielTafelwahl 1 äxt 12,87166798n 15x= 50

Sex 2 äxn 12,87166798alpha-z= 0,04000B= 3.383,80 €

i 1,75% d= 0,017199beta= 0,03000NP= 3.024,55 €

x+n 65 v= 0,982801gamma-1= 0,00200PZ= 157,73 €

x+t 65 gamma-2= 0,00125Kosten direkt 201,51 €

RentenZW 12 VS= 50.000KostResBfr= - €

LBWe NettoDK ausr DK ZillmerDK GesDK

x+m v^x äxt äxn Axn gem Kap gem Kap gem Kap gem Kap

49 0,427379 13,610 13,610 0,765914 - € - € - € - €

50 0,420029 12,872 12,872 0,778620 - € - € - 2.030,28 € - 2.030,28 €

51 0,412805 12,121 12,121 0,791532 2.916,22 € 2.916,22 € - 1.911,86 € 1.004,35 €

52 0,405705 11,358 11,358 0,804655 5.880,25 € 5.880,25 € - 1.791,51 € 4.088,75 €

53 0,398727 10,582 10,582 0,817997 8.893,50 € 8.893,50 € - 1.669,15 € 7.224,34 €

54 0,391869 9,793 9,793 0,831562 11.957,32 € 11.957,32 € - 1.544,74 € 10.412,58 €

55 0,385130 8,991 8,991 0,845363 15.074,25 € 15.074,25 € - 1.418,18 € 13.656,07 €

56 0,378506 8,174 8,174 0,859411 18.247,14 € 18.247,14 € - 1.289,34 € 16.957,80 €

57 0,371996 7,342 7,342 0,873721 21.479,18 € 21.479,18 € - 1.158,10 € 20.321,07 €

58 0,365598 6,494 6,494 0,888307 24.773,57 € 24.773,57 € - 1.024,33 € 23.749,23 €

59 0,359310 5,629 5,629 0,903186 28.134,06 € 28.134,06 € - 887,88 € 27.246,18 €

60 0,353130 4,746 4,746 0,918377 31.565,07 € 31.565,07 € - 748,56 € 30.816,51 €

61 0,347057 3,843 3,843 0,933904 35.071,93 € 35.071,93 € - 606,16 € 34.465,76 €

62 0,341088 2,919 2,919 0,949795 38.660,86 € 38.660,86 € - 460,43 € 38.200,43 €

63 0,335221 1,972 1,972 0,966081 42.339,19 € 42.339,19 € - 311,07 € 42.028,12 €

64 0,329456 1,000 1,000 0,982801 46.115,50 € 46.115,50 € - 157,73 € 45.957,77 €

65 0,323790 - - 1,000000 50.000,00 € 50.000,00 € - € 50.000,00 €

� Hier gibt es wieder Rekursionsformeln

m+1Vx= (Dx+m{mVx + Pm} – Cx+m)/Dx+m+1

0Vx = 0

1Vx = (Dx+1*P1 – Cx+1) / Dx+2

Kapitalisation (keine Biometrie)

n=t= 40 B=1000α-z= 0,04 ß= 0,08i= 1,75% v= 0,9828 äxn= 29,0946Zillmerung= 1.600,00 €Zillmerung= 1.600,00 €Kostenb= 80,00 €ZillmerB= 54,99 €RisikoB= - €SparB= 920,00 €

BSUM RKW (95%) RKW%BSUM

0Vx= - 1.600,00 € 0 - €

- 680,00 € 920,00 € - € 0%

1Vx= - 691,90 € 920,00 € - € 0%

228,10 € 1.840,00 € 216,70 € 12%

2Vx= 232,09 € 1.840,00 € 220,49 € 12%

1.152,09 € 2.760,00 € 1.094,49 € 40%

3Vx 1.172,25 € 2.760,00 € 1.113,64 € 40%3Vx 1.172,25 € 2.760,00 € 1.113,64 € 40%

2.092,25 € 3.680,00 € 1.987,64 € 54%

4Vx 2.128,87 € 3.680,00 € 2.022,42 € 55%

3.048,87 € 4.600,00 € 2.896,42 € 63%

5Vx= 3.102,22 € 4.600,00 € 2.947,11 € 64%

2.000,00 €

3.000,00 €

4.000,00 €

5.000,00 €

-2.000,00 €

-1.000,00 €

1.000,00 €

1 2 3 4 5 6

� Versicherungsmathematische Bilanzgleichung

� oVAx = -αz · t · PA

� (m-1VAx + PA – Γm) · (1+i) =

p ·( VA + E ) + q · Tpx+m-1·(mVAx + Em) + qx+m-1 · Tm

� mVAx = [1+i]·{m-1VA

x+PA-Γm)/px+n-1 –Em – Tm · qx+m-1/px+m-1

� Nach PA aufgelöst:

� PA = v·qx+m-1·[Tm – mVAx – Em] +

v·Em + v·mVAx – m-1VA

x + Γm

Riskiertes Kapital = Tm – mVAx – Em

Risikoprämie= PR = v·q ·[T – VA – E ] m m x m

Risikoprämie= PR = v·qx+m-1·[Tm–mVAx– Em]

Sparprämie= PS= v·Em + v·mVAx – m-1VA

Kostenprämie= PK = Γm = VS·γ + ß·PA + …Insgesamt gilt Beitragszerlegung:

PA = PR + PS + PK

� Und wo steckt αz?

� In der Startposition < 0, also direkt Verbrauch

Praxis der Praxis der LebensversicherungmathematikLebensversicherungmathematik 7878TU Kaiserslautern SS 2012, H.TU Kaiserslautern SS 2012, H.--O. O. Herr Herr

51.Rechnungsgrundlagen 2. Ordnung

Rechnungsgrundlagen 1. Ordnung= vorsichtige Schätzung, so dass diese

auskömmlich sind��

Ex post: man erkennt welches die Ex post: man erkennt welches die „richtigen“ Rechnungsgrundlagen gewesen wären. Diese Werte für i, K und qx bezeichnet man mit i‘, K‘ und q‘x und nennt sie Rechnungsgrundlagen 2.Ordnung

A prioriPraxis der Praxis der LebensversicherungmathematikLebensversicherungmathematik 7979TU Kaiserslautern SS 2012, H.TU Kaiserslautern SS 2012, H.--O. Herr O. Herr

� Dazu benötigt man eine Analyse der Ergebnisse, also eine Aufteilung des Überschusses nach Gewinnquellen

� i <=> i‘ „Kapitalanlageergebnis“� qx <=> q‘x „Sterblichkeitsergebnis“

K <=> K‘ „Kostenergebnis“� K <=> K‘ „Kostenergebnis“

� Dies wird für kleine separate Teile des Bestandes gemacht (Bestandsgruppen) und ist der BaFin zu melden.

Ein paar Worte zur Rechnungslegung

• Bilanzdeckungsrückstellung

• Probleme• Unterjährig• < 0• < 0

letztes mal� Zentrales Hilfsmittel bei

Gewinnanalyse ist die Beitragszerlegung

=> � Gewinnanalyse

� Wichtig für Rechnungslegung und Überschussbeteiligung

=>� Gleichbehandlungsgrundsatz

� Gleichbehandlungsgrundsatz

� §11(2) VAG:◦ Prämien und Leistungen müssen bei vorliegen gleicher Voraussetzungen „nach gleichen Grundsätzen bemessen sein“

� Unisex?

52.Grundsätze der Gewinnzerlegung

Wir brauchen eine Einschätzung, welche Beiträge zum Ergebnis in welcher Höhe bezogen auf i‘, qx‘ und K‘ entfallen.

Diese resultieren aus den vorsichtigen Diese resultieren aus den vorsichtigen Annahmen der Kalkulation (=> Rohüberschuss

Dies auch noch für kleinste Bestands-Gruppen.

� Verordnung über die Berichterstattung von Versicherungsunternehmen gegenüber dem Bundesaufsichtsamt für das Versicherungswesen (BerVersV)

� � Gewinnzerlegung

Gesamtbestand des LVU

Altbestand 28.07.1994

Neubestand 28.07.1994

Abrechnungs-Verbände

Bestands-gruppen

Abrechnungsverbände des Altbestandes

apital-

icheru

Kapitalv

. Sondert

Fondsg

ebundene

apital

icheru

ppen-K

apitalv

Sondert

Fondsg

ebundene

Pflege

� Bestandsgruppen

� 100 Inlandsgeschäft (einschließlich Dienstleistungsgeschäft) 3)� 110 Einzelversicherung mit Überschussbeteiligung, bei der das� Anlagerisiko vom Versicherungsunternehmen getragen wird� 111 Kapitalbildende Lebensversicherung (einschließlich� vermögensbildende Lebensversicherungen) mit überwiegendem� Todesfallcharakter� 112 Risikoversicherung� 113 Kapitalbildende Lebensversicherung mit überwiegendem� 113 Kapitalbildende Lebensversicherung mit überwiegendem� Erlebensfallcharakter� 114 Berufsunfähigkeitsversicherung (einschließlich� Berufsunfähigkeits-Zusatzversicherungen) 4)� 115 Pflegerentenversicherung (einschließlich� Pflegerenten-Zusatzversicherungen) 4)� 116 Übrige Tarife, aber ohne Sonstige Lebensversicherung (130)� 117 Kapitalbildende Lebensversicherung mit überwiegendem� Erlebensfallcharakter nach dem AltZertG

� Bestandsgruppen (Fortsetzung)

120 Kollektivversicherung mit Überschussbeteiligung, bei der das

� Anlagerisiko vom Versicherungsunternehmen getragen wird

� 121 Kapitalversicherung ohne eigene Vertragsabrechnung mit

� überwiegendem Todesfallcharakter (ohne 122 und 123)

� 122 Bausparrisikoversicherung

� 123 Restschuldversicherung

� 124 Kollektivversicherung mit eigener Vertragsabrechnung

� 125 Übrige Tarife ohne eigene Vertragsabrechnung, aber ohne

� Sonstige Lebensversicherung (130)

126 Kapitalbildende Lebensversicherung mit überwiegendem� 126 Kapitalbildende Lebensversicherung mit überwiegendem

� Erlebensfallcharakter nach dem AltZertG

� 130 Sonstige Lebensversicherung

� 131 Lebensversicherung, bei der das Anlagerisiko vom

� Versicherungsnehmer getragen wird

� 132 Lebensversicherung ohne Überschussbeteiligung, bei der das

� Anlagerisiko vom Versicherungsunternehmen getragen wird

� 133 Tontinenversicherung

� 134 Kapitalisierungsgeschäfte

� 135 Lebensversicherung, bei der das Anlagerisiko vom

� Versicherungsnehmer getragen wird, nach dem AltZertGPraxis der Praxis der LebensversicherungmathematikLebensversicherungmathematik 8989TU Kaiserslautern SS 2012, H.TU Kaiserslautern SS 2012, H.--O. Herr O. Herr

� Bestandsgruppen (Fortsetzung)

� 130 Sonstige Lebensversicherung� 131 Lebensversicherung, bei der das Anlagerisiko vom� Versicherungsnehmer getragen wird� 132 Lebensversicherung ohne Überschussbeteiligung, bei der das� Anlagerisiko vom Versicherungsunternehmen getragen wird� 133 Tontinenversicherung� 134 Kapitalisierungsgeschäfte � 134 Kapitalisierungsgeschäfte � 135 Lebensversicherung, bei der das Anlagerisiko vom � Versicherungsnehmer getragen wird, nach dem AltZertG� 140 Eigenkapital und sonstige Dienstleistungen einschließlich des � Geschäfts der Verwaltung von Versorgungseinrichtungen� 200 Auslandsgeschäft (Niederlassungsgeschäft)

61.Überschussbeteiligung (grundsätzlich)

Rohüber-

schuss

Risikoergebnis

Kapitalanlage-ergebnis

schussKostenergebnis

Weitere Quellen

62.Überschussermittlung

Risikoergebnis

+ Risikobeiträge./. Aufwendungen für Leistungsfälle+ freiwerdendes DK+ freiwerdendes DK--------------------------------------------Risikoergebnis

� Kapitalanlageergebnis

+ Erträge aus Kapitalanlagen./. Rechnungsmäßige Zinsen./. Aufwendungen------------------------------------KapitalanlageergebnisKapitalanlageergebnis

- ordentliche/außerord. Erträge- Mischung & Streuung

� Verwaltungskostenergebnis

./. Tatsächliche Abschlusskosten+ rechnungsmäßige Abschlusskosten./. Tatsächliche Verwaltungskosten+ rechnungsmäßige Verwaltungskosten--------------------------------------------------------------------------------------------Verwaltungskostenergebnis

� Weitere Quellen

Rückversicherungsergebnis

Stornoergebnis

Sonstiges ErgebnisSonstiges Ergebnis

� Wir erinnern uns an die Beitragszerlegung:

PA = PR + PS + PK

� Hier nun die Kontributionsformel:� Em – Am = 0 (wg Äquivalenzprinzip) aber:� gx.m = E‘m – A‘m = [E‘m – Em]- [A‘m–Am]

= g + g + g� = gx,m,q + gx,m,i + gx,m,K

� Kontributionsformel� #Hierbei ist

◦ gx,m,q das Risikoergebnis ◦ gx,m,i das Kapitaslanlageergebnis◦ gx,m,K das Kostenergebnis

� Dabei

� gx,m,q = [Tx,m–Exm–m-1VxA]·{q‘x+m-1- qx+m-1}

� gx,m,i = [m-1VxA+PB

m-Kx,m] ·{i‘- i}� gx,m,K = [(PB

m – NPm) – Kx,m] ·{1 + i}

� Gewinnbeteiligung/Überschussbeteiligung

Ge-winn-betei-

LfdÜber-

schuss-

Schluss-über-

schuss-

Lei-stungs-

betei-ligung

schuss-betei-ligung

schuss-Betei-ligung

� Wir haben das letzte mal gelernt

� Wie der Beitrag zerlegt wird

� Wie die Deckungsrückstellung zerlegt und fortgeschrieben wird (Kontributionsformel)Wie der Rohüberschuss ermittelt wird� Wie der Rohüberschuss ermittelt wird

� Welche Eigenschaften die Überschussbeteiligung haben muss

� Welche Rolle die RfB dabei spielt

� Gewinnbeteiligung soll

� Zeitnah ausschütten

� Verursachungsgerecht

� Gleichbehandlung� Gleichbehandlung

� Möglichst ausgeglichen

� RfB (Rückstellung für Beitragsrückerstattung

� Gewinnbeteiligung/Überschussbeteiligung

Ge-winn-betei-

LfdÜber-

schuss-

Schluss-über-

schuss-

Lei-stungs-

betei-ligung

schuss-betei-ligung

schuss-Betei-ligung

� RfB◦ Freie◦ Gebundene◦ SÜA-Fond

InteressantBeschränkungen gegen zu fette RfB

Beschränkungen gegen zu fette RfB

- steuerlich4% Rendite auf Stammkapital< letzte 2 Zuführungen

- BaFin

� Aufsichtsrechtliche Beschränkungen der RfB

� … 1984 RQV -> 1996 ZRQuotenV -> 2006� MindestZV (Neubestand)

◦ Mindestbet Risiko/Kosten/Kapitalanl/sonst. ErgebnisErgebnis

◦ 75% 50% 90% 50%� Berücksichtigung BWR

◦ Gilt für „normale“ LVU◦ Ausnahmen §56a(3) VAG� Unvorhersehbare Verluste� Erhöhung der Deckungsrückstellung

63.Beteiligung der Versicherungsnehmer

� Ereignisorientierte Übbet� Stichtagsorientierte Übbet� Periodenorientierte Übbet

� Direktgutschrift….

� VN –GuthabenDK + BonusDK + Ansammlungsguthaben

� Zinsüberschussanteile� Schlussüberschuss-Anteile� Leistungsfallbonus� Leistungsfallbonus� Beitragvorwegabzug� Bonusrente� Gewinnrente� Misch-System� … wie‘s geht? -> Tafel

� Direktgutschrift◦ Bezugsgröße VN-Guthaben/Deckungskapital◦ Kein Umweg über RfB◦ Vorteil: � anrechenbar auf Zinsüb/..� Annechenbar auf MindestZV

Aber :� Obergrenze (i+DG < ??)

� Koppelungen ◦ z.B. Leistungsfallbonus �Beitragsvorwegabzug (Achtung DK!)

71.Vertragsänderungen

Der Kunde hat nach VVG (§§ 165 ff) das Recht zum Ende der Versicherungsperiode seinen Versicherungsvertrag beitragsfrei zu stellen oder ganz zu beenden.stellen oder ganz zu beenden.

Rückkaufswert/bfr. Versicherungssumme sind nach den „anerkannten Regeln der Versicherungsmathematik“ zu bestimmen

� Was also erhält der Kunde als Rückkaufswert? {Theorie}

� Mögliche Antwort (Diskussion darüber ist noch im Gange:◦ Handelswert ./. Stornoabschlag

� Für Stornoabschlag sind folgende Gründe berücksichtbar:berücksichtbar:◦ Kleinerer Bestand => erhöhtes Schwankungsrisiko

◦ Fehlende Tilgung alpha-g-Kosten◦ Verteilung Fixkosten◦ Auflösung von Kaypitalanlagen zur Unzeit◦ Gegenauslese/AntiselektionPraxis der Praxis der LebensversicherungmathematiknLebensversicherungmathematikn 108108

TU Kaiserslautern SS 2012, H.TU Kaiserslautern SS 2012, H.--O. Herr O. Herr

� Was also erhält der Kunde als Rückkaufswert? [Praxis: vereinbart & angemessen]

� Max{mVx· (1 – g1) – [VS – mVx] ·g2;Max[0 ; (5 – m)/5] · t · Pa · αz}

� + mVxBonus

� + Ansammlungsguthaben� + Schlussüberschussanteile� + Beteiligung an den Bewertungsreserven

72. Kündigung

Vollstorno ist klar, s.o.

Ergänzungen:

Stornoabschläge i.d.R. in % DK oder in % „riskiertes Kapital“% „riskiertes Kapital“

Berechnungen hierzu gehören zu den Info-Pflichten des LVU bei Vertrags-schluss

73. Beitragsfreistellung

Hier stehen die Werte aus der vorletzten Folie zur Verfügung (möglicherweise {noch} ohne Storno-Faktoren) zur Verfügung.

Zur Berechnung der beitragsfreien VS berechne zunächst das beitragsfreie DK zur normierten Versicherungssumme 1. Durch Division ergibt sich bfr. VS. (Achtung: γ3 )

� Als Formel:

� mVxnorm = Ax+m,n-m + γ3 · äx+m,n-m

� VSneu = vorhandene Werte / mVxnorm

Dabei ist� Dabei ist◦ Ax+m,n-m der LBW der jew. Versicherung ◦ Vorhandene Werte i.a. das garantierte DK, die Überschusswerte können bleiben, auch Bonus passt.

81.Weitere Vertragsänderungen

Die im vorigen Abschnitt aufgeführten VÄ sind gesetzlich vorgeschrieben, die anderen nicht.

Was gibt‘s da alles?Was gibt‘s da alles?

Der Fantasie sind keine Grenzen gesetzt:

� Erhöhungen� Herabsetzungen� Beide durch

Verlängerungen/Abkürzungen der BZD � Oder durch Erhöhung/Reduktion des

BeitragsHier bedeutend: Beitragsdynamik� Hier bedeutend: Beitragsdynamik

82.Erhöhungen, Herabsetzungen

Mehrere Methoden zur Durchführung

� „Scheibchen“-Methode

Konstruktive Prämie� Konstruktive Prämie

� Deckungskapitalvergleich (techn.Beg.Verl)

� „Scheibchen“-Methode

� Erhöhung durch 2. Vertrag über Differenz (Achtung: Stückkosten)

� Problem: Herabsetzung (Negativer Vertrag)Vertrag)

� Zusammenfassung durch Addition der Werte zu einem Vertrag dem Kunden gegenüber

� Technisch stets 2 (oder mehr) Verträge

� … Fortsetzung „Scheibchen“

� Vorteil: vollständige Vertragshistorie

� Nachteil: viel Platz für vollständige Vertragshistorie (z.B. Dynamik)

� Deshalb: Scheiben gelegentlich verschmelzen (=> Vorteil weg)

� Zahlenbeispiel

� Konstruktive Prämie

� Ausnutzung des Äquivalenzprinzips auf vorhandene Werte und geänderten Beitrags gleichzeitig

Beispiel� Beispiel

� Vorteil: benötigt keine Historie

� Keine negativen „Verrenkungen“

� … den Rest vom geplanten Stoff (siehe nächste Folie) haben wir an anderer Stelle behandelt

� …

91.Was gibt es noch / Was fehlt?92.Ein paar Worte zur Rechnungslegung93.Profitabilität

93.Profitabilität

100.Was ist noch unklar?101.Round up / Ihre Kritik

Hier ist Schluss mit dem mit dem geplanten Stoff

Praxis der Lebensversicherungs- mathematikRentenversicherung) liefert Damit könnten auch Effekte...

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