View
9
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
1
Regime sinusoidale
2
Un circuito elettrico è in regime sinusoidale quando ciascun elemento presenta una tensione
sinusoidale ed una corrente sinusoidale della stessa frequenza.
Perché ciò si verifichi, la tensione sinusoidale deve essere stata applicata da un certo tempo
prima dell’istante di osservazione.
L’intervallo di tempo necessario perché le grandezze assumano andamento sinusoidale è il
transitorio.
La durata del transitorio dipende dalle caratteristiche dei componenti e dalla topologia del
circuito.
Le grandezze elettriche nelle macchine che producono energia elettrica sono sinusoidali, così
come nei circuiti che utilizziamo nella vita quotidiana.
Nell’ingegneria dell’informazione si usano segnali elettrici ben più complessi (ad ex.,
microfono che in uscita riproduce il suono della voce) la serie di Fourier permette di
scomporli in segnali sinusoidali.
Regime sinusoidale
3
Grandezze sinusoidali
y(t) = YMsenwt=YMsen[(2p/T)t]
T
YM
t
YM ampiezza
y(t) = y(t+T) = y(t+2T)=…. = y(t+nT)
T periodo [s, ms=10-3s, ms=10-6s, ns=10-9s]
f=1/T frequenza [Hz]=[s-1]
n. di periodi in un secondo
w=2pf pulsazione [rad/s]
4
1( ) 0
t T
t
y y t dtT
valore medio
Tt
t
dttyTy )(
2 2 21 1[(2 / ]
2
t T t T
Meff M
t t
Yy y dt Y sen T)t dt
T Tp
Valore efficace
5
VM
wt
F
w
w
tsenVv
tsenVv
M
M
2
1
1v2v
v2 è in anticipo su v1 di F. v2 e v1 sono sfasate
In generale
a(t) = AMsen(wt+a)
b(t) = BMsen(wt+b)
a > b a è in anticipo di > 0
b è in ritardo di
a- b p/2 a e b sono in quadratura = p/2 (a è in quadr. anticipo)
a b a e b sono in fase = 0
a-b sfasamento
Differenze di fase
6
Numeri complessi
Un fasore è un numero complesso che rappresenta
l’ampiezza e la fase di una sinusoide (Steinmetz 1893)
j
z x j y
z r
z re
forma rettangolare
forma esponenziale
forma polare y
z
x
Im
Re
r
x
y
rseny
rx
yxr
atan
cos
22
)(cos)(cos
)(cos
jsenejsenrre
jsenrjyxz
jj
Numero complesso z
Formula di Eulero
7
Addizione e sottrazione forma rettangolare
Moltiplicazione e divisione forma polare
coniugato complesso
quadrata radice
reciproco
divisione
zionemoltiplica
esottrazionaddizione/
2
1
2222
1111
j
j
erjyxz
erjyxz
212121
yyjxxzz
21
2121
jerrzz
21
2
1
2
1 -
je
r
r
z
z
1 1 jz r e -2jerz
jyxrez j - - *
8
L’idea della rappresentazione con i fasori si basa sulla formula
di Eulero
e±jF= cos F ± j sen F formula di Eulero
j
j
esen
e
Im
Recos
( ) cos Re Re
Posto
( ) Re
fasore della sinusoide
j t j j tM M M
jM
j t
jM
v t V t V e V e e
V V e
v t Ve
V V e v(t)
w w
w
w
Un fasore è un numero complesso che rappresenta
l’ampiezza e la fase di una sinusoide.
Esiste una corrispondenza biunivoca tra ciascun elemento di
un insieme di sinusoidi isofrequenziali e ciascun fasore
Fasori
9
Interpretazione grafica del fasore
Im w
t=0
VMcosF F
O
VM
t
Al crescere di t il vettore ruota in verso antiorario
descrivendo una circonferenza di raggio VM , con velocità angolare w.
v(t) è la sua proiezione sull’asse reale:
v(t) = VMcos(wt+F
Il vettore rotante in t=0 è il fasore della sinusoide v(t) vettore rotante =
fasore rotante.
Nel fasore il termine ejwt è implicito notevole semplificazione
F tj
M
tj eVeV ww
Re
t=t0
t0
tjeV v(t) wRe
10
fasore
w
w
jM
tj
M
eVV
eVtv
)t( Vv(t)
Re)(
cos
Re
Im
O
I
V w
F
-a
fasore a
w
aw
jM
tj
M
eII
eIti
)t( Ii(t)
-
-
Re)(
cos
Diagramma fasoriale
Per ottenere la sinusoide
corrispondente ad un fasore si
moltiplica per ejwt e se ne
prende la parte reale.
Per ottenere il fasore data la
sinusoide, si deve esprimere la
sinusoide in forma coseno,
come parte reale di un numero
complesso. Si elimina poi ejwt
11
Re
Im
O m
jm
m reale
jm immaginario
L’operatore j fa ruotare il vettore a cui è applicato di p/2 in verso antiorario
L’operatore j2 fa ruotare il vettore a cui è applicato di p in verso antiorario
L’operatore j3 fa ruotare il vettore a cui è applicato di 3p/2 in verso antiorario
o p/2 in verso orario.
Re
Im
O 1
j m = 1
-1
-j
Dalla formula di Eulero
ejp/2 = j
e-jp/2 = -j
ejp = e-jp = -1
ej0 = 1
L’operatore che fa ruotare dell’angolo q: e±jq operatore vettoriale a modulo
unitario
12
Proprietà dei fasori
MOLTIPLICAZIONE PER UNA COSTANTE
cos jM My(t) Y ( t ) Y Y e w
Qual è il fasore di 1 ( )?y (t) ky t
1 1cos jM My (t) kY ( t ) Y kY e kYw
ADDIZIONE
1
2
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
cos
cos
jM M
jM M
y (t) Y ( t ) Y Y e
y (t) Y ( t ) Y Y e
w
w
Qual è il fasore di 3 1 2 ( )?y (t) y (t) y t
3 1 2 1 1 2 2
1 2 1 2
cos cos
M M
j t j t j t
y (t) y (t) y (t) Y ( t ) Y ( t )
e Y e e Y e e Y Y ew w w
w w
Quindi 3 1 2Y Y Y
13
DERIVAZIONE
cos jM My(t) Y ( t ) Y Y e w
Qual è il fasore di
1
( 2)1
( )( ) cos( 2)M M
jM
dy ty (t) Y sen t Y t
dt
Y Y e j Y p
w w w w p
w w
-
1
( )?
dy ty (t)
dt
INTEGRAZIONE
cos jM My(t) Y ( t ) Y Y e w
Qual è il fasore di
1
( 2)1
1( ) cos( 2)M
M
j j jM MM
Yy (t) Y sen t t
Y Y YY Y e j e e
j j
p
w w pw w
ww w w
-
-
-
1 ( ) ?y (t) y d
14
Dominio del tempo Dominio della
frequenza
fasore
v1+v2
)t(VvM
w cos
)tsen(VvM
w
dt
dve
j
MeVV
- 90j
MeVV
90ww j
MeVVjE
vdtf - 90
ww
jM eV
j
VF
Mv kV sen( t )w jMV kV e
1 2V V
15
Bipoli resistivi
cos ( ); jM M
j jM M
i I t I I e
v iR
V RI RI e RI V e
w
La corrente è in fase con la tensione
Rappresentazione vettoriale: Il vettore corrente è in fase con
il vettore tensione
i R
i
Re
Im
R è un operatore vettoriale
che modifica solo il modulo di VI
I
+
v
-
Proprietà della moltiplicazione per una costante
16
Bipoli induttivi
i L v
+
-
2
cos
2
v(t) cos
Rappresentazione vettoriale
I
V I I
V
M I
jM
jj j j
M M M
j
M M M V I
M V
i I t
I I e
div L
dt
V LI e LI e e j LI e j LI
V j LI
V V e V LI ,
V ( t )
p
w
w w w w
w
pw
w
Re
Im
V
I
V
I
La corrente è in ritardo di 90° sulla tensione
Proprietà della derivata e della moltipl. per una costante
17
v C
i
22
cos ;
2
Rappresentazione vettoriale
cos cos2
V
VV
I
jM V M
jjj
M M
M M I V
jM
M I M V
v V ( t ) V e
dvi C
dt
j C C V e e j C V e
I C V
I e
j C
i I ( t ) C V ( t )
pp
w
w w w
pw
w
pw w w
V
I V
I
I V
Re
Im
v
Bipoli capacitivi
VLa tensione è in ritardo di 90° sulla corrente
I
Proprietà della derivata e della molt. per una costante
18
CjCj
LjLj
RR
ww
ww
11
I
VIV
I
VIV
I
VIV
Legge di Ohm tra i fasori
L’impedenza è il rapporto tra il fasore della tensione e quello
della corrente
NON E’ UN FASORE
impedenza)(wZZ
IZVI
VZ
001
00
CCC
LLL
R
ZZCj
Z
ZZLjZ
RZ
w
w
19
00
00
k
k
Ii
Vv
Leggi di Kirchhoff
Anche i fasori soddisfano le leggi di Kirchhoff
20
Metodo simbolico (o dei fasori)
Sostituire ogni generatore indipendente di pulsazione w con
un generatore di pulsazione costante pari al fasore
corrispondente.
Sostituire ogni tensione e corrente col fasore
corrispondente.
Sostituire ogni condensatore di capacità C con un bipolo di
impedenza 1/jwC e ogni induttore di induttanza L con un bipolo
di impedenza jwL
Analizzare il circuito ottenuto come un circuito resistivo,
ricavando i fasori delle grandezze desiderate.
Ricavare le grandezze sinusoidali antitrasformando il fasore
nella corrispondente sinusoide.
21
Bipoli serie
321
321
321
ZZZZ
IZZZ
IZIZIZVVVV
eq
311V
I
L’impedenza equivalente a più impedenze collegate in serie, è
la somma delle singole impedenze
)()(3232
XXXjRRR
jXRii
11
i
Z
Z
2Z1
Z
3Z
VI
eqZ
Partitore di tensione VV 21
1
1ZZ
Z
Se le impedenza sono due:
22
Bipoli parallelo
321
321
321
YYYY
VYYY
VYVYVYIIII
eq
321
V
L’ammettenza equivalente a più ammettenze collegate in
parallelo, è la somma delle singole ammettenze
)()(3232
BBBjGGG
jBGii
11
i
Y
Y
+ I
-
2Y
2I
VI
eqY
+
-
Partitore di corrente II 21
2
1ZZ
Z
3Y1
Y
1I 3
I
Se le impedenze sono due:
23
Trasformazione stella triangolo A
C B
CABCAB
BCCA
C
CABCAB
ABBC
B
CABCAB
CAAB
A
ZZZ
ZZZ
ZZZ
ZZZ
ZZZ
ZZZ
B
BACBCA
CA
A
BACBCA
BC
C
BACBCA
AB
Z
ZZZZZZZ
R
ZZZZZZZ
R
ZZZZZZZ
Nel caso di tre impedenze uguali sarà:
3
ZZ
Y(Carico bilanciato)
24
v
i
idtCdt
diLRivvvtv
)t(Vv
CLR
VM
1)(
cos w
Bipoli RLC
L R
C
1
tan
22
1
11
( ) cos
v
R L C
LC
j aR
m
i
R j L j R j LC C
Ve
R j LR LC
C
i t t
ww
w ww w
w ww w
w
- -
- -
- -
IV V V V I I I
VI
I
25
22
1
1
1
atan V I
R j LC
R LC
LC
R
Z
ww
ww
ww
-
-
-
-
Z
Z
V I Re
Im
V
I IRI
C
j
w
-
ILjw
2 2
01 reattanza
0
tan
L C
V I
X L X X XC
Z R jX
Z R X
Xa
R
ww
> - -
-
I
-
C
jLj
ww
26
2 2
forma rettangolare
Re resistenza
0 induttivaIm reattanza
0 capacitiva
forma esponenziale tan
cos
j
R jX
R
X
Xe R X a
R
R X sen
>
Z
Z
Z
Z Z Z
Z Z
2222
22
1
Im
Re
1
XR
XB
XR
RG
XR
jXR
jXRjBG
SVB
SG
jBG
V
I
-
-
>
Y
Y
Y
ZY
induttiva 0
capacitiva 0 asuscettanz
aconduttanz
rerettangola forma
In generale
27
v i
regime a ,permanente risposta cos
oria transitrisposta0
coseparticolar int.generale int.
:completa Risposta
cos1
)(
cos
/
/
)t(A
ke
)t(Akev
)t(RC
Vv
RCdt
dvv
dt
dvRCvvtv
)t(Vv
tRCt
RCt
C
VM
CC
CC
CR
VM
w
w
w
w
-
-
Risposta ad un ingresso sinusoidale R
C
Col metodo dei fasori studiamo la sola risposta a regime
( atan( ))
2
2
1cos
1 1 ( )
cos atan( )1 ( )
V
V
jC CM MC V C
j RCM MC
MC V
dv VV Vv ( t ) j V e
dt RC RC RC RC
V VV e
j RC RC
Vv ( t RC )
RC
w
w w
w w
w ww
-
-
Recommended