Pretpostavljamo da je signal stacionaran

dtetxX tj

Pretpostavljamo da je signal stacionaran

Furijeova transformacija

Furijeova transformacija

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

x 10-3

-4

-2

0

2

4

t

sa

sa = cos(2*pi*1000*t) + cos(2*pi*2000*t) + cos(2*pi*5000*t) + cos(2*pi*10000*t)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

50

100

150Cont-time Fourier transform (mag)

Frequency (kHz)

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012-1

-0.5

0

0.5

1

t

sb

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

50

100

150Cont-time Fourier transform (mag)

Frequency (kHz)

Furijeova transformacija

Analiza nestacionarnih signala

Uvodi se “lokalna frekvencija”, tj. spektralne komponente u određenom trenutku

Ova notacija je slična notaciji koja se koristi u muzici, notama se prikazuju frekvenicje koje se sviraju u određenom vremenskom trenutku

“Kratkotrajna” Furijeova transformacija djeluje na jedan dio nestacionarnog signala koji možemo smatrati stacionarnim, a koji se vidi kroz prozor konačnog trajanja pomjeren u određeni trenutakDobijamo predstavu u ravni vrijeme-frekvencija

“Kratkotrajna” Furijeova transformacija(Short Time Fourier Transform - STFT)

dtetgtx tj)()(,STFT *

Kratkotrajna Furijeova transformacija

dtetgtx tj)()(,STFT * Parametar f je sličan frekvenciji kod Furijeove transformacijeZavisnost od oblika prozoraAlternativna interpretacija preko “banka filtara”Rezolucija u vremenu i frekvenciji ne može istovremeno biti proizvoljno malaHajzenbergova nejednakost (Gausov prozor)

4

1 ft

Multirezoluciona analiza

U cilju prevazilaženja ograničenja STFT u pogledu rezolucije, dopušta se da rezolucije u vremenu i frekvenciji variraju. Intuitivno, sa porastom frekvencije rezolucija u vremenu treba da raste da bi bili u mogućnosti da uočimo kratkotrajne nagle promjene signala:

cf

f

0

Banka filtara koja se koristi za analizu signala tad ima konstantan relativni propusni opseg, tzv. “constant-Q” analiza.

Multirezoluciona analiza

Za razliku od STFT, WT koristi “uske” (kratkog trajanja ) prozore na visokim frekvencijama, a “široke” prozore na niskim frekvencijama. Na taj način je moguće postići proizvoljno veliku rezoluciju u vremenu na visokim frekvencijama i proizvoljno veliku rezoluciju u frekvenciji na niskom frekvencijama.

Prema tome, ova vrsta analize je dobra za signale koji imaju visokofrekventne komponente kratkog trajanja i niskofrekventne komponente dugog vremenskog trajanja, što je veoma čest slučaj u praksi.

Kontinualna Wavelet (talasić) transformacija prati ovaj princip uz uvođenje dodatnog pojednostavljenja:svaki impulsni odziv iz banke filtara se definiše kao skalirana verzija prototipa h( t ).

Multirezoluciona analiza

Podjela vremensko-frekvencijske ravni i bazisne funkcije STFT i WT.

Kontinualna Wavelet transformacija

dtt

htxx

*)(

1,CWT

Ako se posmatra interpretacija preko banke filtara onda koeficijenti kontinualne Wavelet transformacije predstavljaju filtrirani dio signala kroz odgovarajuće propusnike opsega.

Posmatrano u vremenu ovi koeficijenti daju mjeru sličnosti (autokorelacija) signala sa baznim funkcijama – wavelet-ima:

thth

1)(,

Kontinualna Wavelet transformacija

Dakle, moguće je signal predstaviti preko skaliranih i pomjerenih verzija originalnog (majka) wavelet-a. Wavelet-i se ponašaju slično kao ortogonalne baze. Sinteza signala se dobije kad se sumiraju sve orogonalne projekcije signala na wavelet-e. Iako ne čine ortogonalnu bazu već sadrže velik stepen redundantnosti, sinteza je moguća pod navedenim uslovom.

0

2, )(,CWT)(a

ddthctx

gdje je c je konstanta koja zavisi samo od izbora h( t )

thth

1)(,

Ako je filtar sa impulsnim odzivom h(t) propusnik opsega i ako ima konačnu energiju onda važi i inverzna WT:

Kontinualna Wavelet transformacija

Wavelet transformacija u osnovi imaju ideju posmatranja signala na različitim skalama i sa različitim rezolucijama.

*)(1

,CWT * dtt

htxx

signalaekspanzijaasignalanjekomprimovaaatftf 1,1,

**)()(1

,CWT ** dtthtxdtt

htxx

Interpretacija (*): sa porastom skale impulsni odziv filtra se širi u vremenu.

Interpretacija (**): sa porastom skale se kroz prozor fiksne dužine vidi sve veći dio signala jer se vrši njegovo komprimovanje. Na ovaj način posmatrano vidimo da skala kod WT ima isto značenje kao skala na mapama: velika skala odgovara globalnom pogledu, dok mala skala odgovara detaljnom pogledu. Na malim skalama bolje su uočljivi promjene (detalji) signala tako da mala skala odgovara visokim frekvencijama i obrnuto.

WT preslikava signal u domen vrijeme-skala.

STFT

Kontinualna Wavelet transformacija

Kontinualna Wavelet transformacija

spektogram (STFT) skalogram (WT)

Dirakov impuls

tri sinusoide

Kontinualna Wavelet transformacija

Diskretizacija kontinualne Wavelet transformacije

Ako je u ravni vrijeme-frekvencija frekvencija odmjeravanja za skalu a0 jednaka f0, onda je za skalu a1>a0 frekvencija odmjeravanja:

01

01 fa

af

Odmjeravanje se vrši na dijadičkoj rešetci:

00

0

j

j

k

002

0, )( kthth jjkj dtthtxc kjkj )()( *

,,

j k

kjkj thcctx )()( ,, Ova relacija postaje jednakost ako se pronađe takav h(t) da wavelet-i čine ortonormalnu bazu.

Diskretna Wavelet transformacija

Zbog svojih karakteristika u frekvencijskom domenu diskretni Waveleti se biraju za impulsne odzive filtara kod:

Piramidalnog kodovanja

Podopsežnog kodovanja

Multirezoluciona piramida

g(n) – impulsni odziv NF filtra sa propusnim opsegom jednakim polovini cijelog opsega

Podsjetimo se: na velikim skalama prošireni wavelet-i daju globalni pogled (signal sabijen - subsampled), dok na malim skalama uski wavelet-i analiziraju male detalje (razvučen signal).

Multirezoluciona piramida

Multirezoluciona piramida

Po Nikvistovom kriteriju, zbog odsijecanja pola opsega, moguće je uraditi subsampling, odnosno ispustiti svaki drugi odmjerak:

k

knxkgny 2

Rezolucija se promijenila, izgubilo smo visokofrekventne detalje. Promijena skale se desila zbog subsampling-a, tako da pomak za dva u originalnom signalu rezultuje pomakom za jedan u filtriranom signalu.

Multirezoluciona piramida

Rekonstrukcija: upsampling sa dva (ubacivanje po jedne nule između svaka dva odmjerka) interpolacija sa idealnim polupojasnim NF filtrom

012','2' nynyny

k

knykgna '' nxna nanxnd

x(n) se može rekonstruisati ako znamo a(n) i d(n)

Redundantnost: d(n) sadrži samo VF detalje signala x(n) a odmjeren je kao x(n), može se uzeti dva puta manje odmjeraka!

Podopsežno kodovanje

Nema redundantnostiPrva primjena u kompresiji govora

Dvodimenzionalne banke filtara i wavelet-i

Uobičajen način dvodimenzionalnog proširenja je da se koristi tzv. “separabilni wavelet-i”. 2D skalirajuća funkcija i 2D wavelet funkcije se dobiju kao separabilni proizvodi 1D skalirajuće funkcije i 1D wavelet-a:

ygxgyxg ccc ,

yhxgyxh ccc ,1

ygxhyxh ccc ,2

yhxhyxh ccc ,3

Separabilna dvodimenzionalna banka filtara.Subsampling sa 2 po svakoj dimenziji, tako da je promjena skale 4 puta.

Dvodimenzionalne banke filtara i wavelet-i

Multirezoluciona reprezentacija slike se u svakom nivou dekompozicije sastoji od jedne diskretne slike aproksimacije na nižoj rezoluciji i tri slike detalja. Višestrukim ponavljanjem dolazi se do slika sa sve nižom rezolucijom – piramidalna dekompozicija.

jedan nivo dekompozicije

Dvodimenzionalne banke filtara i wavelet-i

tri nivoa dekompozicije

Dvodimenzionalne banke filtara i wavelet-i

Jedan i dva nivoa dekompozicije

Dvodimenzionalne banke filtara i wavelet-i

Dvodimenzionalne banke filtara i wavelet-i

Uobičajen pristup kompresiji slike wavelet transformacijom se svodi na piramidalnu dekompoziciju slike u veći broj podopsega, poslije čega se dobijeni podopsezi neovosno koduju.

Dvodimenzionalne banke filtara i wavelet-i