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Principi ed applicazioni delp ppmetodo degli elementi finiti
Formulazione base con approccio agli spostamentip
Corso di Meccanica Computazionale – Docente Massimiliano Bocciarelli
METODO DEGLI ELEMENTI FINITI PER UN PROBLEMA 2D
Si consideri un problema piano, il cui dominio sia quello rappresentato sotto esi voglia determinare lo stato tenso-deformativo del solido indotto dai carichi edai vincoli presenti.
Corso di Meccanica Computazionale – Docente Massimiliano Bocciarelli
1. Suddivisione: suddivido il mio dominio (bidimensionale) in un certo numero di
PROCEDURA1. Suddivisione: suddivido il mio dominio (bidimensionale) in un certo numero di
parti, ad esempio triangolari, dette elementi finiti (mesh) e numero i nodi dellagriglia;
2
1
2 4
53
5
8
9
67
810
1112
1314
13
Lo scopo è quello di trasformare un problema differenziale avente come incognitedei campi (funzioni), in un problema algebrico avente come incognite degli scalari.Più i t i d ll’ i it i i l f i i ( )
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Più precisamente si passa dall’avere come incognite primarie le funzioni sx(x,y) esy(x,y) ad avere come incognite gli spostamenti Ux e Uy dei nodi della griglia.
2. Approssimazione: approssimo linearmente il campo di spostamenti supp pp p pciascuno di questi elementi: (si noti l’introduzione delle numerazione localedei nodi a livello di elemento)
( )( )
x 1 1 1
y 2 2 2
s x,y a b x c y
s x,y a b x c y
⎧ = + +⎪⎨
= + +⎪⎩
U3y
( )y⎪⎩
3
U
U3x
U1y
U2yCambio di parametri d’interpolazione
1
2U1x
U2xd interpolazione
( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1x 2 2x 3 3x i ixs x,y N x,y U N x,y U N x,y U N x,y U⎧ = + + =⎪⎨
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( ) ( ) ( ) ( ) ( )y 1 1y 2 2y 3 3y i iys x,y N x,y U N x,y U N x,y U N x,y U⎨
= + + =⎪⎩
( ) ( ) ( ) i i
j j
j m m j j m j mi
1 x y
2 det 1 x y x y x y y y x x x y
dove : N x,y 2
Δ =
⎛ ⎞− + − + − ⎜ ⎟= ⎜ ⎟Δ ⎜ ⎟
( )( )( )
m m
x j j jx
i j j ij
1 x y
s x ,y Uvale che: N x ,y
⎜ ⎟⎝ ⎠
⎧ =⎪= δ ⇒ ⎨( )( )i j j ij
y j j jy
, ys x ,y U⎨
=⎪⎩
i ii
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Le tra funzioni di forma dell’elemento triangolare
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Dalla combinazione delle tre funzioni di forma si ha l’approsimazione (lineare) del campodi spostamenti sul singolo elemento finito
ssx U1x
sx
U3x
U2x
13
2
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In forma vettoriale ho:
1x
1y
UUU
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤
{e
x 2x1 2 3
y 2y1 2 3
3x
s UN 0 N 0 N 0s U0 N 0 N 0 N
U
⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥
s N1444442444443
{
e e
e
3x
3yU⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
N
U
Vettore delle
Matrice delle funzioni di
forma
Approssimazione del campo di spostamenti sul singolo elemento
componenti di spostamento nodali
dell’elemento
finito funzione dei soli spostamenti nodali
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Applicando l’operatore differenziale di congruenza ho:
1x
1yx 1,x 2,x 3,x
UU
N 0 N 0 N 0U
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤ε⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
{
2xy 1,y 2,y 3,y
2yxy 1,y 1,x 2,y 2,x 3,y 3,x
3x
U0 N 0 N 0 N
UN N N N N N
U
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ε = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥γ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥ε B
144444424444443
{e
3ye U⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦eε B
U
i
⎥⎥⎤
⎢⎢⎡
∂∂
⎫⎧ x0
ε
caso piano
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎥⎥⎥
⎢⎢⎢⎢⎢
∂∂∂∂
∂
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=y
x
xy
y
x
ss
y
x0
γεε
ε
⎥⎥⎦⎢
⎢⎣ ∂∂ xy
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3. Assemblaggio: sostituisco ora nell’equazione dei lavori virtuali scrittain forma vettoriale:
T T Tdv dv ds= +∫ ∫ ∫ε σ s F s f F = forza di volumeFV V S
dv dv ds= +∫ ∫ ∫ε σ s F s f
= +∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫T T Te e e e e edv dv dsε σ s F s f
f = forza di superficie
e e Fee e eV V S
e e Fe
T T T T T Te e e e e e e e e
e e eV V S
dv dv ds= +∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫U B σ U N F U N fe
Ma i gradi di libertà locali Ue di ciascun elemento li posso esprimere in funzionedi quelli globali U, attraverso le cosiddette matrice booleane di connettività:
e e=U L U1x
1x1
UUU⎡ ⎤
⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥1y
1y
2x
UU
U
U
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
.
. Le è una matrice di zeri e uno2y
3xNx
3y
U
U UU U
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦
⎣ ⎦
.
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{{Ny
e
U⎣ ⎦⎣ ⎦U
U
Esempio:
21 2
33
12
2
3
2 3• 3x2 = 6 gradi di libertà ∀ elemento
2 10 à
4
5 1
2 3 1
1 • 5x2 = 10 gradi di libertà globali
U
4
}
1x1x
1y
UU 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
UU 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
U
1y
2x2
2y
U 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0U 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
U 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
.
.U
3x5x
3y 6x15y 10x1
U 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0U
U 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0U
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦
.
L14444444244444443
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10x12 6x10
⎣ ⎦L
Segue che:
e e Fe
T T T T T T T T T Te e e e e e e e e
e e eV V S
dv dv ds = + ∀∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫U L B σ U L N F U L N f U
[ ] =
⎡ ⎤
∑ ∫L B σe
T T1X 1X NX NX e e e1x2N
e V
U U ... U U dv1442443•⎡ ⎤⎢ ⎥•⎢ ⎥
≡⎢ ⎥•⎢ ⎥•⎢ ⎥
intR
[ ] [ ]
•⎢ ⎥⎢ ⎥•⎣ ⎦
+
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
∑ ∑∫ ∫L N F L N fe Fe
2Nx1
T T T T1X 1X NX NX e e e 1X 1X NX NX e e e1x2N 1x2N
e eV S
U U ... U U dv U U ... U U ds1442443
[ ]∀ 1X 1X NX NX 1x2N U U ... U U
1442443• •⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥• •⎢ ⎥ ⎢ ⎥
≡⎢ ⎥ ⎢ ⎥• •⎢ ⎥ ⎢ ⎥• •⎢ ⎥ ⎢ ⎥
FestR ≡ f
estR• •⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢• •⎣ ⎦⎣ ⎦2Nx1
⎥2Nx1
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Dovendo valere ∀UT congruente allora deve valere anche per la seguente scelta di UT
[ ]T T [ ]T T1 1x2N
1 0 ... 0 0= =U U
Da cui:Da cui:[ ] =
•⎡ ⎤⎢ ⎥
∑ ∫L B σe
T Te e e1x2N
e V
1 0 ... 0 0 dv1442443
⎢ ⎥•⎢ ⎥≡⎢ ⎥•
⎢ ⎥•⎢ ⎥⎢ ⎥•⎣ ⎦
intR
[ ] [ ]⎢ ⎥•⎣ ⎦
+
• •⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥
∑ ∑∫ ∫L N F L N fe Fe
2Nx1
T T T Te e e e e e1x2N 1x2N
e eV S
1 0 ... 0 0 dv 1 0 ... 0 0 ds 1442443 1442443
⎢ ⎥ ⎢ ⎥• •⎢ ⎥ ⎢ ⎥≡ ≡⎢ ⎥ ⎢ ⎥• •
⎢ ⎥ ⎢ ⎥• •⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦
fFestestR R
⎢ ⎥ ⎢ ⎥• •⎣ ⎦⎣ ⎦ 2Nx12Nx1
Da cui, la prima equazione (scalare):
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( ) ( ) ( )1 1 1= +F fint est estR R R
Adottando le altre scelte per UT segue che:
[ ]T T 0 1 0= =U U [ ]i 1x2N0 ... 1 ... 0= =U U
( ) ( ) ( )i i i+F fR R R( ) ( ) ( )i i i= +int est estR R R
Alla fine tutte le equazioni che posso scrivere possono essere espresse in termini q p p pvettoriali:
= +F fint est estR R R
O equivalentemente:
e e Fe
T T T T T Te e e e e e e e e
e e eV V S
dv dv ds= +∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫L B σ L N F L N f
Equilibrio in forma debole e discretizzato per elementi finiti
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4. Introduco il legame costitutivo.
Cominciamo con l’imporre il legame costitutivo elastico-lineare
Applichiamo ora le equazioni del legame costitutivo e di congruenza in forma vettoriale:
= = =e e e e e e eσ Dε DB U D B L U
Sostituisco nelle equazioni di equilibrio debole in forma discretizzata:
T T T T T Te e e e e e e e
e e eV V S
dv dv ds= +∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫e e eL B D B L U L N F L N fe e Fe
e e eV V S
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T T T T T Tdv dv ds= +∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫L B D B L U L N F L N f
e trovo:
e e Fe
e e e e e e e e e ee e eV V S
F fe ext ext
dv dv ds+∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫1442443 14243 14243
eL B D B L U L N F L N f
K R R
e e Fe
T T Te e e e e e e
e eV V S
ext
dv dv ds⋅ = +∫ ∫ ∫1442443 14444244443
U UB D B U N F N f
K Rext
ext⋅ =K U RKe = Matrice di
rigidezza dell’elemento finito di dimensione 6x6 per un elemento piano a K = matrice di rigidezza
SISTEMA RISOLVENTE
per un elemento piano a tre nodi
gglobale del solido di
dimensione dipendente dal numero totale di nodi
della discreti a ione
Si osservi che adottando un legame costitutivo elastico lineare le equazioni finali
della discretizzazione
Si osservi che adottando un legame costitutivo elastico lineare le equazioni finalirisolventi sono un sistema di equazioni lineari.
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5. Imposizione delle condizioni al contorno
Vi sono due tipi di condizioni al contorno: carichi applicati (dette naturali), i quali compaiono nel vettore dei termini noti P; spostamenti imposti (essenziali), i quali vengono imposti direttamente sui nodi interessati e il sistema lineare viene ridotto
ll l i h l i t t d t li di i i l talle sole righe colonne non interessate da tali condizioni al contorno.
NB: Se uno spostamento è assegnato la relativa forza esterna non può essere prescritta e rimane incognitaprescritta e rimane incognita.
Esempio:Esempio:
1 2
31
2 3
2 351
2 3 1
21
2 3
δ
y
42 1
x
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In questo esempio: Ux1=0; Uy3= -δ; Uy4=0; Ux5=0
L’imposizione dei vincoli si effettua nel sistema assemblato, per prima cosaeliminando le equazioni relati------ve ai gradi di libertà vincolati.
11 12 13 14 15 16 17 18 19 110
22 23 24 25 26 27 28 29 210
K K K K K K K K K KK K K K K K K K K
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥
1
1y 2
0 RU F⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥22 23 24 25 26 27 28 29 210
33 34 35 36 37 38 39 310
44 45 46 47 48 49 410
K K K K K K K KK K K K K K K
K K K K K K
⎢ ⎥⎢ ⎥⎢⎢⎢
1y 2
2x 3
2y 4
U FU FU F
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
55 56 57 58 59 510
66 67 68 69 610
77 78 79 710
K K K K K KK K K K K
K K K K
⎢⎢⎢⎢⎢
3x 5
6
4x 7
U FR
U F
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−δ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥77 78 79 710
88 89 810
99 910
Sym K K KK K
K
⎢⎢⎢⎢⎢⎣ ⎦
7
8
9
0 R0 R
U F
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦1010K⎢⎣ ⎦ 5y 10U F⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦
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0⎡ ⎤
12 22 23 24 25 26 27 28 29 210K K K K K K K K K K⎡1y
2x 2
0U
U F
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥12 22 23 24 25 26 27 28 29 210
31 32 33 34 35 36 37 38 39 310
41 42 43 44 45 46 47 48 49 410
K K K K K K K K K KK K K K K K K K K KK K K K K K K K K K
⎡⎢⎢
2x 2
2y 3
43x
U FFU
⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥51 52 53 54 55 56 57 58 59 510
71 72 73 74 75 76 77 78 79 710
101 102 103 104 105 106 107 108 109 1010
K K K K K K K K K KK K K K K K K K K KK K K K K K K K K K⎣
5
74x
10
FFUF0
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥−δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎦101 102 103 104 105 106 107 108 109 1010K K K K K K K K K K⎣ 10
5y
00
U
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Quindi bisogna portare al secondo membro i termini noti legati al valore imposto dello spostamento.
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1y 222 23 24 25 27 210 26
2x 333 34 35 37 310 36
U F 0K K K K K K KU F 0K K K K K KU F 0
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
0 00 00 0
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥2y 444 45 47 410 46
555 57 510 563x
777 710 4
U F 0K K K K KF 0K K K KUF 0K K KU
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = + + δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 76
0 00 00 0
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
777 710 4x
101010 5y
UF 0K U
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
76
106 0 0K⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
SISTEMA RISOLVENTE con le CONDIZIONI AL CONTORNO impostecon le CONDIZIONI AL CONTORNO imposte
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Una volta risolto il sistema posso determinare le reazioni vincolari nel seguente modo (ovvero usando le equazioni cancellate prima):
0⎡ ⎤⎢ ⎥
( q p )
1y
2x
U
UUR K K K K K K K K K K
⎢ ⎥⎢⎢⎢
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢
⎥⎥⎥⎥2y1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 110
6 61 62 63 64 65 66 67 68 69 610 3x
8 81 82 83 84 85 86 87 88 89 810
UR K K K K K K K K K KR K K K K K K K K K K UR K K K K K K K K K K
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ −δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢
⎥⎥⎥⎥⎥
9 91 92 93 94 95 96 97 98 99 1010 4xR K K K K K K K K K K U00
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢
⎢⎢⎢
⎥⎥⎥⎥⎥
5y
0U⎢⎢⎣ ⎦
⎥⎥
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6. Risoluzione del sistema lineare
Metodi diretti:Metodi diretti:• metodo di eliminazione di Gauss;• …Metodi iterativi (calcolano la soluzione come limite di una successione di vettori):Metodi iterativi (calcolano la soluzione come limite di una successione di vettori):• metodi di Richardson stazionari e non;• …
7. Ricostruzione della soluzione: una volta calcolata la soluzione in termini dispostamenti nodali per un materiale elastico-lineare posso calcolare il campospostamenti nodali, per un materiale elastico lineare, posso calcolare il campodeformativo e di sforzi locali con le seguenti relazioni già viste prima:
( ) ( ) ( )x,x, y xy , y= =e e ee eB Uε B L U( ) ( ) ( ),, y y , ye e ee e
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x,y x, y xx,y x,, y x , yy y x,= = =e e e ee e eD ε D B D BUσ L U
Se invece il comportamento del materiale è elasto-plastico, abbiamo già vistoprima che deformazioni e sforzi si calcolano durante la fase di imposizione dellegame costitutivo
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legame costitutivo.
Il prodotto con le matrici booleane non viene mai eseguito (sarebbe troppo oneroso dal
Osservazione 1:
Il prodotto con le matrici booleane non viene mai eseguito (sarebbe troppo oneroso dalpunto di vista computazionale); semplicemente le matrici di rigidezza e i vettori deicarichi di ciascun elemento vengono assemblati nella matrice di rigidezza e nel vettoredei carichi globali. Ad esempio:
1 2
31
2 3• 3x2 = 6 gradi di libertà ∀ elemento
g p
35 1
3
21
2 33x2 6 gradi di libertà ∀ elemento
• 5x2 = 10 gradi di libertà globali
}
1x1x
UU 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
U⎡ ⎤
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥
U4
2 3 1
1x1y
1y
2x2
UU 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0U 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
U 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
.
.U 22y
3x5x
3y 6 1
U 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0U 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
UU 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
U
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎥
.
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3y 6x15y 10x1
2 6x10
U⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦L14444444244444443
2 2 2 2 2 211 12 13 14 15 16
2 2 2 2 2
K K K K K KK K K K K
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥
( ) ( )x X
Loc. Glob.1 1 2 3= =
22 23 24 25 262 2 2 233 34 35 36
2 2 2244 45 46
K K K K KK K K K
K K K
⎢ ⎥⎢ ⎥
= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
K( ) ( )( ) ( )( ) ( )
y Y
x X
1 2 2 4
2 3 1 1 2 4 1 2
= =
= == =2 2
55 56266
Sym K KK
⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
y Y
x X
y Y
2 4 1 2
3 5 4 73 6 4 8
= =
= == =
2 2 2 2 2 233 34 31 32 35 36
2 2 2 2 244 41 42 45 46
K K K K 0 0 K K 0 0K K K 0 0 K K 0 0
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
Tabella delle 2 2 2 211 12 15 16
2 2 222 25 26
K K 0 0 K K 0 0K 0 0 K K 0 0
0 0 0 0 0 0
⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
incidenze per l’elemento 2
T T1 1 1 3 3
2 255 56
0 0 0 0 0 00 0 0 0 0
K K 0 0
⎢ ⎥= + +⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
K L K L L K L 3
266Sym K 0 0
0 00
⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
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T2 2 2
0⎢ ⎥⎣ ⎦L K L
14444444444244444444443
Osservazione 2:
Gli integrali, che definiscono la matrice di rigidezza e il vettore dei carichi nodalidell’elemento, non sono mai calcolati analiticamente, ma numericamente esolitamente con la tecnica di Gauss:
GT T
e e e e ej ej ej jdv H= ≅∑∫K B D B B D B1e
e e e e ej ej ej jjV =∑∫
GV T Te e e ej ej jdv H= ≅∑∫F N F N F
1e
j j jjV =
∫
1
Gs T Te e e ej ej j
jds H= ≅∑∫F N f N f
1Fe jS =
L’indice j è un indice che va da 1 al numero di punti di Gauss utilizzati per calcolarenumericamente l’integrale. In genere per un elemento triangolare si usano G=1 oG=3 punti di Gauss I valori di H sono i corrispondenti pesi
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G=3 punti di Gauss. I valori di Hj sono i corrispondenti pesi.
Tra le tante tecniche di integrazione numerica, una delle più efficienti è quella diGauss, in quanto la posizione dei punti di Gauss ξj e dei relativi pesi Hj sonoj jdeterminati in modo tale che con n punti di Gauss, un polinomio di ordine 2n-1possa essere integrato esattamente.
( ) ( )1
1 11 = =−
⎛ ⎞ξ ξ ≅ ξ =⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠∑ ∑∫G G
j j j jj j
f d f H f H
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Osservazione 3:
Esistono altre tipologie di elementi finiti, ad esempio quello a 4 nodi o più nodi:
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Osservazione 4: di seguito la tipica struttura di un codice che implementa il metododegli elementi finiti
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