Problema de Transporte e Alocação Luiz Henrique de Campos Merschmann

Problema de Transporte e Alocação

Luiz Henrique de Campos Merschmann

Conteúdo da aula Problemas de transporte:

Definição. Modelagem matemática. Método de solução.

Problema de Alocação

Introdução Os problemas de transporte e de

alocação fazem parte da classe de problemas de fluxos em redes.

Os modelos de P.L. para esses problemas possuem uma estrutura especial que permite o desenvolvimento de algoritmos eficientes e especializados em suas soluções.

Problemas de Fluxos em Redes

Problemas de fluxo em redes aparecem em uma série de serviços,

como entrega postal, entrega de mercadorias, rotas de ônibus

escolar, coleta de lixo industrial, serviço de entregas noturnas, operações de frete, e outros.

Problemas de Fluxos em Redes

Problema de Transporte

Problema de Alocação

Problema de TransporteEm geral, o problema de transporte pode ser visto da seguinte forma:

Conjunto m de pontos de fornecimento. Cada fornecedor i possui uma capacidade de

fornecimento si unidades de material. Conjunto de n pontos de demanda. Cada ponto de demanda j deve receber pelo

menos dj unidades de material. O custo de transporte de cada unidade de

material do fornecedor i para o consumidor j é dado por cij.

Representação Gráfica

Fornecedor 1

Fornecedor 2

Fornecedor 3

Consumidor 1

Consumidor 2

Consumidor 3

Consumidor 4

s1

s2

s3

d1

d2

d3

d4

cij

Exemplo Uma companhia tem três fábricas que produzem

um certo produto que será remetido a quatro centros de distribuição.

As fábricas 1,2 e 3 produzem 12, 17 e 11 remessas por mês, respectivamente.

Cada centro de distribuição precisa receber 10 remessas por mês .

A distância de cada fábrica até os respectivos centros de distribuição é dada abaixo em quilômetros:Fabricas 1 2 3 4

1 800 1.300 400 7002 1.100 1.400 600 1.0003 600 1.200 800 900

Centros de Distribuição

Exemplo (cont.) Quanto deveria ser remetido de cada

fábrica para cada um dos centros de distribuição para minimizar os custos totais de transporte?

Formule este problema como um problema de transporte.

Problema de Transporte Modelo matemático:

mi

i

nj

jijij xc

1 1

min

nj

jiij isx

1

m ..., 2, ,1

n ..., 2, 1, j 1

j

mi

iij dx

j i, 0 ijx

Problema de Transporte

Problema de transporte balanceado.

Oferta = Demanda

Problema de transporte não balanceado.

Oferta ‡ Demanda

Problema de Transporte Balanceado

Método de Solução

Método de Solução Como o problema de transporte é um

problema de P.L., o Simplex pode ser utilizado.

Devido às características específicas do Problema de Transporte, uma versão modificada do Simplex, denominado “Método Simplex de Transporte”, torna a resolução desse tipo de problema muito mais eficiente, quando comparado ao Simplex tradicional.

Representação Tabular do Problema de Transporte

OfertaDestinos

Origens

1

2

3

1 2 3 4

c11

c31

c21 c22

c32

c12 c13

c23

c33 c34

c24

c14

Destinos

Origens

1

2

3

c11

c31

c21 c22

c32

c12 c13

c23

c33 c34

c24

c14

x11

x21

x31

x12

x22

x32

x13

x23

x33

x14

x24

x34

Demanda d1 d2 d3 d4

s1

s2

s3

Método Simplex de Transporte

Seja o seguinte problema de transporte:Destinos

Origens

1

2

3

1 2 3 4

c11

c31

c21 c22

c32

c12 c13

c23

c33 c34

c24

c14

Destinos

Origens

1

2

3

8

14

9 12

9

6 10

13

16 5

7

9

x11

x21

x31

x12

x22

x32

x13

x23

x33

x14

x24

x34

Demanda 45 20 30 30

40

50

35

Oferta

Algoritmo 1º Passo: Solução Inicial

Método do Canto Noroeste. Método de Aproximação de Vogel.

2º Passo: Teste de Otimalidade. 3º Passo: Atualização do Quadro.

Método do Canto NoroesteSolução Inicial

Destinos

Origens

1

2

3

1 2 3

c11

c31

c21 c22

c32

c12 c13

c23

c33 c34

c24

c14

Destinos

Origens

1

2

3

4

8

14

9 12

9

6 10

13

16 5

7

9

35

10 20 20

10 30

Demanda 45 20 30 30

40

50

35

Oferta

2º Passo: Teste de Otimalidade

A cada linha i é associada uma variável auxiliar Ui.

A cada coluna j é associada uma variável auxiliar Vj.

Para cada variável básica xij, que compõe a solução atual, deve-se ter:

Ui + Vj = Cij

2º Passo: Teste de Otimalidade

Para cada variável não básica deve-se calcular:

Pij = Cij - Ui - Vj Se todos os Pij forem não negativos a

solução é ótima, ou A avaliação mais negativa indica a

variável que deve entrar na base.

Método Simplex de Transporte

Teste de otimalidade

14 9 16 5

7

910

1312

68

9

Vj

Ui

8

9

12

0 3 4 - 7

2

- 5

- 6

- 2 8

5

3º Passo: Atualização do Quadro

A entrada de uma variável na base ocasiona uma reação em cadeia para compensar as restrições de linha (oferta) e coluna (demanda).

O valor da variável que entra na base deve ser o maior possível, sem tornar nenhuma variável básica negativa. A variável básica que tiver seu valor anulado como conseqüência da variável que entra na base será a variável que sairá da base.

Método Simplex de Transporte

Traçar caminho e atualizar tabelaDestinos

Origens

1

2

3

1 2 3 4

c11

c31

c21 c22

c32

c12 c13

c23

c33 c34

c24

c14

Destinos

Origens

1

2

3

8

14

9 12

9

6 10

13

16 5

7

9

35

10 20 20

10 30

Demanda 45 20 30 30

40

50

35

Oferta

+

+

-

-10 30

10

Método Simplex de Transporte

Teste de otimalidade

14 9 16 5

7

910

1312

68

9

Vj

Ui

8

9

6

0 3 4 - 1

8

- 5

- 2 2

- 1

6

Método Simplex de Transporte

Traçar caminho e atualizar tabelaDestinos

Origens

1

2

3

1 2 3 4

c11

c31

c21 c22

c32

c12 c13

c23

c33 c34

c24

c14

Destinos

Origens

1

2

3

8

14

9 12

9

6 10

13

16 5

7

9

35

10

10 30

Demanda 45 20 30 30

40

50

35

Oferta

+

+

-

-

10 30

10

25

20

10

Método Simplex de Transporte

Teste de otimalidade

14 9 16 5

7

910

1312

68

9

Vj

Ui

8

9

11

0 -2 4 - 6

3

5

- 2 7

4

1

Método Simplex de Transporte

Traçar caminho e atualizar tabelaDestinos

Origens

1

2

3

1 2 3 4

c11

c31

c21 c22

c32

c12 c13

c23

c33 c34

c24

c14

Destinos

Origens

1

2

3

8

14

9 12

9

6 10

13

16 5

7

9

10 30

Demanda 45 20 30 30

40

50

35

Oferta

+

+

-

-

30

10

25

20

10

45 5

25

Método Simplex de Transporte

Teste de otimalidade

14 9 16 5

7

910

1312

68

9

Vj

Ui

6

9

9

0 0 4 - 4

5

3

2 7

2

3

Método Simplex de Transporte

Solução finalDestinos

Origens

1

2

3

1 2 3 4

c11

c31

c21 c22

c32

c12 c13

c23

c33 c34

c24

c14

Destinos

Origens

1

2

3

8

14

9 12

9

6 10

13

16 5

7

9

10 30

Demanda 45 20 30 30

40

50

35

Oferta

10

10

45 5

25

Problema de Transporte Não Balanceado

Método de Solução

Problema de Transporte Não Balanceado

Se Oferta > Demanda Inserir uma coluna fictícia no quadro com custos

de transporte iguais a zero. Aplicar o Método Simplex de Transporte como visto anteriormente.

Se Demanda > Oferta Inserir uma linha fictícia no quadro com custos de

transporte iguais a zero. Aplicar o Método Simplex de Transporte como visto anteriormente.

Problema de Transporte Não Balanceado

c31 c32 c33

c13

c23c22

c12c11

c21

Destinos

Origens

1

2

3

1 2 3

c34

c24

c14

4

0

0

0

A

Quadro Inicial ( Oferta > Demanda)

ExercícioQuatro postos de gasolina A, B, C e D necessitam de 50, 40, 60 e 40 galões de gasolina, respectivamente. É possível suprir essas demandas partindo dos fornecedores 1, 2 e 3 que dispõem de 80, 100 e 50 galões, respectivamente. Os custos de envio de um galão de gasolina são mostrados no quadro abaixo. Determinar a quantidade de gasolina a ser enviada de cada fornecedor para cada posto de gasolina.A B C D

1 70 60 60 602 50 80 60 703 80 50 80 60

Problema de Transporte Não Balanceado

c31 c32 c33 c34

c24

c14c13

c23c22

c12c11

c21

Destinos

Origens

1

2

3

1 2 3 4

0 0 0 0A

Quadro Inicial ( Demanda > Oferta)

ExercícioUma firma tem fábricas nas cidades A, B, C e D, todas fabricando o mesmo tipo de painel de madeira para residências. Os produtos são atualmente distribuídos pelas fábricas para os revendedores 1, 2 e 3. As capacidades de produção das fábricas nas cidades A, B, C e D são de 5, 20, 12 e 13 caixas de painel, respectivamente. A demanda dos revendedores 1, 2 e 3 são de 8, 32 e 15 caixas, respectivamente. Os custos de transporte são mostrados na tabela abaixo. Quantas caixas devem ser transportadas de cada fábrica para cada revendedor de modo a minimizarmos o custo de transporte?

1 2 3A 6 5 8B 13 12 1C 7 9 5D 10 6 4

FIM