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Problemas de Otimização Combinatória
Socorro Rangel UNESP
São José do Rio Preto - SP
Formulação Geral• Seja o conjunto tal que cada elemento do
conjunto possui um valor, , .
• Considere uma familia, , de subconjuntos viáveis de . O valor de cada subconjunto é dado por: .
NFSNS ,
Nj jc
F
nN ,...3,2,1
Sj
jc
Um problema de OTIMIZAÇÃO COMBINATÓRIA consiste em
determinar um subconjunto viável de F que possua o menor valor total.
Sjj
NSFSc ,min
O Problema da Mochila
• elementos conhecidos:– um conjunto de itens – peso e valor de de cada item – Capacidade da Mochila (peso máximo)
• elementos desconhecidos: um subconjunto de itens a serem incluidos na mochila cuja soma dos pesos é menor ou igual que a capacidade da mochila
• objetivo encontrar o subconjunto de itens com o maior valor possível
O Problema da Mochila
Variáveis de decisão:Seja:j = 1,2,3 : itens disponiveis
jx = 1 se o item j for selecionado 0 caso contrário.
2,1S
3,2,1S
0,1,1 321 xxx
1,1,0 321 xxx
Peso: 3,5,4
Valor: 40,10,15
Capacidade: 10
50 al valor tot, 8 totalpeso
65 al valor tot, 12 totalpeso
}3,2,1{N
Construção de um Modelo de Otimização Binário
RestriçõesA soma dos pesos dos itens selecionados deve ser menor ou igual que a capacidade da mochila
10453 321 xxxOBJETIVOO valor total dos itens incluídos deve ser o maior possível.
321 151040zmax xxx
Modelo de Otimização Binário
Sujeito a 10453 321 xxx
321 101040zmax xxx
1ou 0,, 321 xxx
n 1,..., j 1/ 0 j x
C x p x p x pn n ... 2 2 1 1
n nx v x v x v ... z max2 2 1 1
Sujeito a
O Problema da mochila
O Problema da Designação
ijx = 1 se a pessoa i for designada para a tarefa j
0 caso contrário
pessoas tarefascij
O Problema da Designação
:a sujeito
min1 1
n
i
m
jijij xcz
mixxx inii ,...,2,1,1...21
mjx
mjxxx
ij
mjjj
,...,1i,= 0 ou 1,
,...,2,1,1...21
cada pessoa pode executar apenas uma tarefa:
cada tarefa pode ser executada por apenas uma pessoa:
O Problema do Caixeiro Viajante
• elementos conhecidos:– um conjunto de cidades – custo da viagem entre cada par de cidades
• elementos desconhecidos: um roteiro de viagem que inclua todas as cidades apenas uma vez, e que comece e termine na mesma cidade.
• objetivo encontrar o roteiro de menor custo possivel
Tabela de custos entre pares de cidades
-1614158Franca
16-8143Tanabi
148-126Birigui
151412-10Bauru
83610-SJRP
FrancaTanabiBiriguiBauruSJRPCidadesDe
Para
SJRP 10 6 8 3
Bauru 12 Birigui 15 8 14 14 Franca 16 Tanabi
Este problema pode ser representado pela seguinte figura:
Vejamos dois possíveis roteiros:
Roteiro 1 :
SJRP Birigui Bauru Tanabi Franca SJRPTempo = 6+12+14+16+8 = 56
Roteiro 2 : SJRP Franca Bauru Birigui Tanabi SJRP
Tempo = 8+15+12+8+3 = 46
Para este problema temos um total de (5-1)! (=24) possíveis roteiros.
Comparado todos os roteiros encontramos o seguinte roteiro com o menor tempo de
viagem:
SJRP Tanabi Birigui Bauru Franca SJRP
Tempo Total : 46
Vimos que o número total de roteiros é (n-1)!, onde n é o número de cidades.
Observe que se aumentássemos para 8 o número de cidades do problema teríamos 7!=5040 circuitos para analisar.
Adicionando apenas mais uma cidade, 9 no total, este número iria para 8! = 40320.
Assim, fica inviável analisar todos os
circuitos manualmente!
Vejamos porque o método de enumeração completa não é
eficiente.
n n! Tempo n n! Tempo8 40320 1s 12 479001600 1h 25 min10 3628800 54s 30 2 . 1032* 9 . 1021
milênios*
11 39916800 12 min 50 3 . 1064* 9 . 1053
milênios*
*Da ordem de
Como podemos ver, tentar resolver os problemas de
otimização combinatória pelo método de enumeração
completa é inviável.
Precisamos de técnicas mais avançadas:
• Particionar e limitar (“branch and bound”)
• Planos de corte poliédricos
• Heuristicas
• Combinação dos Métodos acima.
Métodos de Solução de problemas de Otimização Combinatória
Projetos em desenvolvimento na área de Otimização Combinatória
DCCE
Problemas de Corte e empacotamento
L = 200
(1) (1) (3) (4)33 33 40 90 Perda = 4
l1 = 33 l2 = 87 l3 = 40 l4 = 90
x1 = 2 x2 = 0 x3 = 1 x4 = 1 33 33 40 90196 200
}2x33
Restrição Física: 33x1 + 87x2 + 40x3 + 90x4 200
O Problema de Corte Unidimensional
Problemas de dimensões maiores
Empacotamento Tridimensional
corte bidimensional
Problema do Corte Bidimensional
L W
(1)(2)
(3)
(5)
li wi
(4)
(3) (3) (3) (3)
(5)
(2)
(2)(1)
(4) (4)
O Problema de Corte de Estoque
Aplicação:Indústria de Móveis na Região de S.J. Rio Preto
Planejamento da Produção na Indústria de Bebidas
(http://www.cotuba.com/html/)
• 3 linhas de produção• 7 tanques para armazenamento de líquido • Garrafas recicláveis e descartáveis (10 tipos)
•Refrigerantes em 11 sabores, incluíndo água
Uma linha de produção
• Esteira rolante • Máquinas alinhadas em série
• lavar garrafas• encher • fechar• rotular• empacotar
A unidade de produçãoDeterminar a quantidade e a ordem de produção de refrigerantes de forma a satisfazer a demanda do mercado, com objetivo de minimizar os custos deprodução, armazenamento e preparo de máquinas.
Problemas de Localização de Serviços
ORMaps: Uma Solução
Referências• Rangel, S.; Lima, D. ORMAPS:Um SAD para os Problemas de
Localização. In: XXXIV SBPO - SIMPÓSIO BRASILEIRO DE PESQUISA OPERACIONAL, 2002, Rio de Janeiro. Anais do XXXIV SBPO. Sociedade Brasileira de Pesquisa Operacional, 2002. v. 1.
• Rangel, S.; Ferreira, D. Um modelo de dimensionamento de lote para uma fabrica de refrigerantes. In: XXV CNMAC, 2002, Nova friburgo, RJ. Caderno de Resumos do XXV CNMAC. v. 1, p. 149-149.
• Conglian, G. CorteBi - Um Sistema para o corte bidimensional - Projeto Final de Graduação do curso BCC, IBILCE, UNESP, 1991.
• Rangel, S., O Problema do Corte Bidimensional.Dissertação de mestrado, 1989. Mestrado em Matemática Aplicada, UNICAMP.
O Problema do Corte Bidimensional - Exemplo 1
Vamos considerar um problema onde:Tamanho PadrãoL = 85 cmC = 170 cm
Itensl1xc1= 50x20 cm, l2xc2=30x60cm, l3xc3=80x85cm
demanda para os itens menores é:d1= 100, d2=150, d3=130
Problema do Corte Bidimensional Exemplo 1 - Solução
Problema do Corte Bidimensional Exemplo 1 - Solução
Problema do Corte Bidimensional Exemplo 1 - Solução
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