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Josep-Lluis Suñer Martínez Francisco José Rubio Montoya
Vicente Mata Amela José Albelda Vitoria
Juan Ignacio Cuadrado Iglesias
PROBLEMAS RESUELTOS DE TEORÍA DE MÁQUINAS Y
MECANISMOS
EDITORIAL UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE VALÈNCIA
Primera edición, 2001 ▪ reimpresión, 2016 © Josep Lluís Suñer Martínez
Francisco José Rubio Montoya Vicente Mata Amela José Albelda Vitoria Juan Ignacio Cuadrado Iglesias
© de la presente edición: Editorial Universitat Politècnica de València distribución: Telf. 963 877 012 / www.lalibreria.upv.es / Ref.: 4197_01_01_26 Imprime: Byprint Percom, sl ISBN: 978-84-9705-014-2 Impreso bajo demanda La Editorial UPV autoriza la reproducción, traducción y difusión parcial de la presente publicación con fines científicos, educativos y de investigación que no sean comerciales ni de lucro, siempre que se identifique y se reconozca debidamente a la Editorial UPV, la publicación y los autores. La autorización para reproducir, difundir o traducir el presente estudio, o compilar o crear obras derivadas del mismo en cualquier forma, con fines comerciales/lucrativos o sin ánimo de lucro, deberá solicitarse por escrito al correo edicion@editorial.upv.es Impreso en España
�������
���� �� ����������� �������� ����� �������� ............ � 5 ������ �
1. Análisis Cinemático de Mecanismos Planos por Métodos Vectoriales .............. 7
2. Análisis Cinemático de Mecanismos Planos por Métodos Vectoriales .............. 11
3. Análisis Cinemático de Mecanismos Planos por Métodos Vectoriales .............. 15
4. Análisis Cinemático de Mecanismos Planos por Métodos Vectoriales .............. 19
5. Análisis Cinemático de Mecanismos Planos por Métodos Vectoriales .............. 25
6. Análisis Cinemático de Mecanismos Planos por Métodos Vectoriales .............. 29
7. Análisis Cinemático de Mecanismos Planos por Métodos Vectoriales .............. 33
8. Análisis Cinemático de Mecanismos Planos por Métodos Vectoriales .............. 38
9. Análisis Cinemático de Mecanismos Planos por Métodos Vectoriales .............. 42
10. Análisis Cinemático de Mecanismos Planos por Métodos Vectoriales .............. 46
11. Análisis Cinemático de Mecanismos Planos por Métodos Vectoriales .............. 50
12. Análisis Cinemático de Mecanismos Planos por Métodos Vectoriales .............. 57
13. Análisis Cinemático de Mecanismos Planos por Métodos Vectoriales .............. 63
14. Análisis Cinemático de Mecanismos Planos por Métodos Vectoriales .............. 69
15. Análisis Cinemático de Mecanismos Planos por Métodos Vectoriales .............. 73
16. Análisis Cinemático de Mecanismos Planos por Métodos Vectoriales .............. 78
17. Análisis Cinemático de Mecanismos Planos por Métodos Vectoriales .............. 84
18. Análisis Cinemático de Mecanismos Planos por Métodos Vectoriales .............. 86
19. Análisis Cinemático de Mecanismos Planos por Métodos Vectoriales .............. 90
20. Centros Instantáneos de Rotación ....................................................................... 93
21. Centros Instantáneos de Rotación ....................................................................... 95
22. Centros Instantáneos de Rotación ....................................................................... 98
23. Centros Instantáneos de Rotación ....................................................................... 101
24. Centros Instantáneos de Rotación ....................................................................... 103
25. Centros Instantáneos de Rotación ....................................................................... 106
26. Centros Instantáneos de Rotación ....................................................................... 109
27. Centros Instantáneos de Rotación ....................................................................... 112
�������������� ������ �������������������������
2
28. Centros Instantáneos de Rotación ....................................................................... 115
29. Centros Instantáneos de Rotación ....................................................................... 118
30. Análisis Cinemático de Mecanismos Planos por Métodos Numéricos............... 120
31. Análisis Cinemático de Mecanismos Planos por Métodos Numéricos............... 124
32. Análisis Cinemático de Mecanismos Planos por Métodos Numéricos............... 128
33. Análisis Cinemático de Mecanismos Planos por Métodos Numéricos............... 131
34. Análisis Cinemático de Mecanismos Planos por Métodos Numéricos............... 134
35. Análisis Cinemático de Mecanismos Planos por Métodos Numéricos............... 137
���� �������������� ������� ����� �������� ................. 141 ������
1. Análisis de Fuerzas ............................................................................................. 143
2. Análisis de Fuerzas ............................................................................................. 147
3. Análisis de Fuerzas ............................................................................................. 151
4. Análisis de Fuerzas ............................................................................................. 155
5. Análisis de Fuerzas .............................................................................................. 164
6. Análisis de Fuerzas ............................................................................................. 169
7. Análisis de Fuerzas ............................................................................................. 173
8. Análisis de Fuerzas ............................................................................................. 182
9. Análisis de Fuerzas ............................................................................................. 185
10. Análisis de Fuerzas ............................................................................................. 190
11. Análisis de Fuerzas ............................................................................................. 195
12. Análisis de Fuerzas ............................................................................................. 199
13. Análisis de Fuerzas ............................................................................................. 204
14. Análisis de Fuerzas ............................................................................................. 208
15. Análisis de Fuerzas ............................................................................................. 212
16. Análisis de Fuerzas ............................................................................................. 217
17. Análisis de Fuerzas ............................................................................................. 222
18. Análisis de Movimiento ...................................................................................... 226
19. Análisis de Movimiento ...................................................................................... 229
20. Análisis de Movimiento ...................................................................................... 237
21. Análisis de Movimiento ...................................................................................... 242
�������
3
22. Análisis de Movimiento ...................................................................................... 246
23. Análisis de Movimiento ...................................................................................... 252
24. Análisis de Movimiento ...................................................................................... 256
25. Análisis de Movimiento ...................................................................................... 261
26. Análisis de Movimiento ...................................................................................... 266
27. Análisis de Movimiento ...................................................................................... 270
28. Análisis de Movimiento ...................................................................................... 274
���� �������������������................................................................. 279 ������ �
1. Diagrama de Desplazamiento del Seguidor de Leva .......................................... 281
2. Diagrama de Desplazamiento del Seguidor de Leva .......................................... 286
3. Diagrama de Desplazamiento del Seguidor de Leva .......................................... 290
4. Análisis Cinemático de Trenes de Engranajes Epicicloidales ............................ 295
5. Análisis Cinemático de Trenes de Engranajes Epicicloidales ............................ 297
6. Análisis Cinemático de Trenes de Engranajes Epicicloidales ............................ 299
7. Análisis Cinemático de Trenes de Engranajes Epicicloidales ............................ 301
8. Análisis Cinemático de Trenes de Engranajes Epicicloidales ............................ 303
9. Análisis Cinemático de Trenes de Engranajes Epicicloidales ............................ 305
10. Análisis Cinemático de Trenes de Engranajes Epicicloidales ............................ 307
11. Análisis Cinemático de Trenes de Engranajes Epicicloidales ............................ 309
12. Análisis Cinemático y Dinámico de Trenes de Engranajes Epicicloidales ........ 313
13. Análisis Cinemático y Dinámico de Trenes de Engranajes Epicicloidales ........ 315
14. Análisis Cinemático y Dinámico de Trenes de Engranajes Epicicloidales ........ 319
15. Análisis Cinemático y Dinámico de Trenes de Engranajes Epicicloidales ........ 321
16. Análisis Cinemático y Dinámico de Trenes de Engranajes Epicicloidales ........ 326
17. Diseño de Trenes Ordinarios............................................................................... 329
�������������������������� ��������������������������� ............................................................................................................................. 331
���� ��
��������������� ��������� ������ ��
����������� � ������������������ �� ����� �
7
���������
Dado el mecanismo de la figura en la configuración señalada, obtener: a) Velocidades lineales de los puntos �2, �4 y velocidad angular de la barra 4. b) Aceleraciones lineales de los puntos �2, �4 y aceleración angular de la barra 4.
Datos geométricos: �� �2� = 30 mm, �4� = 60 mm, ∠��4�� = 60º.
Datos cinemáticos: θ2 = 15º��ω2 = 15 rad/s, constante con sentido antihorario��θ4 = 165º, �� = 60 mm.
X
Y
�
��
�
� ��
�
�
�
2
ω�
�������� ��� ����� ������������������� �������� �� �
8
������ � a) Velocidades lineales de los puntos �2, �4 y velocidad angular de la barra 4. La velocidad angular de la barra 2 es rad/s152 �
�
� ⋅=ω .
De los datos del problema se deduce que:
( ) ( )( ) ( )mm76,798,2815sen15cos3022
����� ������
� ⋅+⋅=⋅°+⋅°⋅=
La velocidad del punto � por pertenecer a la barra 2 es:
( )mm/s67,43447,116
076,798,28
1500222 2 ��
���
�� �����
���
��� ⋅+⋅−==×= ω
La velocidad del punto ��por pertenecer a la barra 3 es:
23�� ���� =
En esta configuración, la relación entre las velocidades del punto � considerado como perteneciente a la barra 4 y a la barra 3 es:
3/43434
����� �������� ++= [1]
La velocidad del punto � por pertenecer a la barra 4 es:
444 4 ��� ����� ×= ω
La diferencia de velocidades entre los puntos �3 y �4 es:
04334 3
�
��� =×= �� ω
La velocidad relativa del punto �4 respecto de un sistema de referencia solidario con la barra 3, se puede expresar así:
33/3/ 44
��� �� ⋅= , siendo 3�
�
un vector unitario en la dirección del movimiento relativo (en
este caso de la guía ��).
Sustituyendo las velocidades en la ecuación [1] se llega a esta otra:
33/24 42244���� ����� ⋅+×=× ωω [2]
����������� � ������������������ �� ����� �
9
Del esquema del mecanismo se puede comprobar que:
( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) �����
���
�������
��
� �����
�����
���
�������
⋅+⋅=⋅°+⋅°=
⋅+⋅−=
⋅°+⋅°⋅+⋅°+⋅°⋅=+=
71,071,045sen45cos
mm96,5753,15
45sen45cos60165sen165cos60
3
44
4444
Las incógnitas son 4ω� y 3/4
���
y se obtendrán desarrollando la ecuación vectorial [2] en
sus componentes escalares:
( ) ( )������
�����
����
���
⋅⋅+⋅⋅+⋅+⋅−=−
3/3/4 4471,071,067,43447,116
096,5753,15
00 ω
Haciendo operaciones, se tendrá:
�������� ��
������
⋅⋅+⋅⋅+⋅+⋅−=⋅⋅−⋅⋅− 3/3/44 4471,071,067,43447,11653,1593,57 ωω
Separando las componentes escalares según ��
y ��
y resolviendo el sistema resultante:
⎩⎨⎧
−==
⇒⎪⎭
⎪⎬⎫
⋅+=⋅−
⋅+−=⋅−mm/s21,900
rad/s00,13
71,067,43453,15
71,047,11693,57
3/
4
3/4
3/4
44
4
��
�
��
� ωωω
En forma vectorial resulta:
( ) ( )( )mm/s88,20104,753
mm/s54,63654,63671,071,021,900
rad/s00,13
4
4 3/
4
���
�����
�
�
�
���
�����
�
�
⋅−⋅−=
⋅−⋅−=⋅+⋅⋅−=
⋅=ω
b) Aceleraciones lineales de los puntos �2, �4 y aceleración angular de la barra 4. La velocidad del punto � por pertenecer a la barra 2 es:
( ) ( ) 22
222
22
mm/s03,747.100,520.675,798,28152
2222222
�����
����
�����
�����
⋅−⋅−=⋅+⋅⋅−=
⋅−=×+⋅−= ωαω
Se cumple la siguiente ecuación entre las aceleraciones del punto � considerando que per-
tenece a la barra 4 y a la barra 3:
� � ����� ���������� +++= 3/43434
[3]
�������� ��� ����� ������������������� �������� �� �
10
Por pertenecer el punto � a la barra 3:
( )0
mm/s03,747.100,520.6
434334
23
323
2
=×+⋅−=
⋅−⋅−==
������
��
���
��������
����
αω
La aceleración relativa del punto � considerando que pertenece a la barra 4 respecto de un
sistema de referencia ligado a la barra 3 es:
33/3/ 44��� ���� ⋅=
La aceleración de Coriolis es:
( ) 343/4 con24
ωωω ����� =×⋅= �� � � ��
Por pertenecer el punto � a la barra 4:
44444 424 ����� ���
���� ×+⋅−= αω
Sustituyendo las expresiones anteriores en [3], queda:
( ) ( )3/43/224
24 44444444
271,071,0 ���������
������ ×⋅+⋅+⋅⋅+⋅−=×+⋅− ωωαω
y sustituyendo de nuevo las expresiones conocidas:
( )054,63654,636
00,1300271,071,0
03,747.100,520.653,1596,5756,794.940,624.2
3/
44
4
−−⋅+⋅+⋅⋅+
+⋅−⋅−=⋅⋅−⋅⋅−⋅−⋅
���
���
������
�
���
��
������
αα
Operando y separando las componentes escalares, se llega al siguiente sistema de ecua-ciones:
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
−=⇒
⎪⎭
⎪⎬⎫
=⋅+⋅
−=⋅+⋅2
3/
24
3/4
3/4
mm/s89,258.20
rad/s95,374
53,502.87071,0529,15
67,405.77071,0956,57
44
4
��
�
��
� ααα
En forma vectorial:
( ) ( )( ) 2
23/
24
mm/s90,971.324,355.24
mm/s20,325.1420,325.1471,071,089,258.220
rad/s95,374
4
4
���
�����
�
���
�����
�
�
⋅−⋅=
⋅+⋅=⋅+⋅⋅=
⋅−=α
����������� � ������������������ �� ����� �
11
������� �
Dado el mecanismo de la figura, calcular para la posición indicada en la figura: a) Velocidad y aceleración del punto �3. b) Velocidad y la aceleración del punto � de la barra 4.
Datos geométricos: �� �2� = 48 cm, �� = 46 cm, θ 4 25= º . La dirección del par prismático de guía recta que
conecta las barras 3 y 4 forma 90º con la del par prismático entre las barras 1 y 4.
Datos cinemáticos: θ 2 320= º ,ω 2 4= ⋅
�
� rad / s , α 2 8= ⋅�
� rad / s2 .
�
�
�
�
ω 2
θ 2
θ 4
�
�
α 2
�
�
�������� ��� ����� ������������������� �������� �� �
12
������ � a) Velocidad y aceleración del punto �3. La velocidad del punto �2, por pertenecer a la barra 2 es:
� � �
� �� � �
2 22= ×ω
Sustituyendo:
( ) ( )( )
( )m/s4708,12341,1
cm/s08,14741,123
0320sen48320cos48
400
2
2
���
��
���
�
�
�
���
��
���
�
⋅+⋅=
⋅+⋅=°⋅°⋅
=
La aceleración del punto �2 por pertenecer a la barra 2 es:
� � � �
� � �� � � � �
2 2 222
2= − ⋅ + ×ω α
Sustituyendo:
( ) ( ) ( )( )( ) ( )
( ) ( )m/s8782,74149,3cm/s82,78749,341
0320sen48320cos48
800320sen48320cos484
2
2
2
�����
���
���
�
�
�����
���
���
⋅+⋅−=⋅+⋅−=
°⋅°⋅+⋅°⋅+⋅°⋅⋅−=
Al haber un par de revolución en el punto � que conecta las barras 2 y 3 se cumple que:
( )( )m/s8782,74149,3
m/s4708,12341,1
23
23
����
����
��
��
����
����
⋅+⋅−==
⋅+⋅==
b) Velocidad y la aceleración del punto � de la barra 4. La ecuación de velocidades del movimiento relativo en el punto � es:
� � �
� � �� � �
4 3 4 3= + / [1]
La velocidad del punto �4 será la misma que la del punto �4, al tener la barra un movi-
miento de traslación rectilínea, y será, por pertenecer a la barra 4:
� � �
� � � � �
4 4 41 1= ⋅ = ⋅
����������� � ������������������ �� ����� �
13
Con�
� �
� � �1 25 25= ° ⋅ + ° ⋅cosb g b gsen
Donde
� �
� � �� �4 43 3 4/ /= ⋅ , siendo
�
�4 un vector unitario en la dirección del movimiento rela-
tivo (en este caso de la guía). Por tanto:
�� � � �
� � � � �4 4 490 90 115 115= + ° ⋅ + + ° ⋅ = ° ⋅ + ° ⋅cos cosθ θb g b g b g b gsen sen
Sustituyendo las velocidades en la ecuación [1] llegamos a esta otra:
� � � � � �� �4 41 3 4123 41 147 08⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅�
� ��
, , / [2]
Las incógnitas son � �
4 y � �
4 3/ y se obtendrán desarrollando la ecuación vectorial [2] en
sus componentes escalares:
���������� ����
������
⋅⋅+⋅⋅−⋅+⋅=⋅⋅+⋅⋅ 3/3/ 44449063,04226,008,14741,1234226,09063,0
Separando las componentes escalares según
�
� y�
� , y resolviendo el sistema de ecuaciones resultante, se obtiene:
⎩⎨⎧
−==
⇒⎪⎭
⎪⎬⎫
=⋅−⋅
=⋅+⋅cm/s14,81
cm/s00,174
08,1479063,04226,0
41,1234226,09063,0
3/3/
3/
4
4
44
44
�
�
��
��
�
�
��
��
En forma vectorial:
( ) ( )( ) ( )( )
44
44
m/s7354,05770,1
cm/s54,7370,15725sen25cos00,1741
��
��
����
��������
���
������
=⋅+⋅=
⋅+⋅=⋅°+⋅°⋅=⋅=
Para el cálculo de aceleraciones se establece la ecuación de aceleraciones del movimiento
relativo en el punto �:
� � � �
� � � �� � � �4 3 4 3= + +/ [3]
La aceleración relativa del punto �4 considerando que pertenece a la barra 4 respecto de
un sistema de referencia ligado a la barra 3 es:
� �� �
� � � � � �� � �4 4 43 3 3 115 115/ / / cos= ⋅ = ⋅ ° ⋅ + ° ⋅b g b gc hsen
La aceleración de Coriolis es:
� � �
� � � � �= ⋅ × =2 03 34ω /d i ya que
�
ω 3 0=
Por pertenecer el punto �4 a la barra 4:
� �� �
� � � � � �� � �4 4 41 25 25= ⋅ = ⋅ ° ⋅ + ° ⋅cosb g b gc hsen
�������� ��� ����� ������������������� �������� �� �
14
Sustituyendo las expresiones anteriores en [3], queda: � � � � � � � �� �
4 425 25 3415 787 76 115 1153⋅ ° ⋅ + ° ⋅ = − ⋅ + ⋅ + ⋅ ° ⋅ + ° ⋅cos , , cos/b g b gc h b g b gc h
� � � � � �
sen sen
Operando y separando las componentes escalares, se obtiene el siguiente sistema de ecua-ciones, que resuelto da:
⎪⎩
⎪⎨⎧
−==
⇒⎪⎭
⎪⎬⎫
=⋅−⋅
−=⋅+⋅2
3/
2
3/
3/
cm/s30,858
cm/s42,23
76,7879063,04226,0
50,3414226,09063,0
4
4
44
44
�
�
��
��
�
�
��
��
En forma vectorial:
( ) ( )( ) ( )( ) 2
21
m/s0990,02123,0
cm/s90,923,2125sen25cos42,23
4
44
���
�������
�
��
���
������
⋅+⋅=
⋅+⋅=⋅°+⋅°⋅=⋅=
4AB aa !!=
����������� � ������������������ �� ����� �
15
���������
Sea el mecanismo de cuatro barras que se muestra en la figura. En él se aprecia que las barras 3 y 4 están unidas por un par prismático, mientras que la barra 4 está unida a la barra fija mediante un par de revolución (no se ve en el dibujo). El accionamiento se realiza a tra-vés de la barra 2. Se pide: a) Velocidad angular de la barra 4 (en rad/s). b) Aceleración angular de la barra 4 en (rad/s2).
Datos geométricos: �� �2� = 75 mm; �2� = 50 mm; �� = 100 mm; Datos cinemáticos: �� θ2 = 290º; ω2 = 40 rad/s, antihoraria y constante.
�
�
� �
� �
����
�
�
�
�
�
�������� ��� ����� ������������������� �������� �� �
16
������ � a) En primer lugar se resolverá la geometría del problema.
De esta figura se tendrá que:
( ) ( )( ) ( ) ⎩
⎨⎧
°==
⇒⎭⎬⎫
=−⋅+⋅=⋅+⋅
5995,238
mm8223,32
0sensen
0coscos
32322
322
θθθθθ ��
������
����
La ecuación de velocidades se obtendrá relacionando las velocidades de los puntos �3 y �4. Evidentemente, la velocidad de este último punto es nula. Suponiendo un sistema de referencia móvil ligado a la barra ! y con origen en el punto �3, se tendrá que:
� � � �
� � � �� � � � �4 3 4 3 4 3= + + /
que será:
3333 4344330 ������� ��������
������� ⋅+=⋅+×+= ω [1]
�2
θ2
75 mm
�
�
�
3
4
2
θ3
����������� � ������������������ �� ����� �
17
Por otra parte se tendrá que:
� � � � � � �
� � � � �� � � � � � � �3 3 3 3 22 3= + = × + ×ω ω
por lo que la expresión [1] quedará como sigue:
3332 420 ���� ��� ���
����� ⋅+×+×= ωω [2]
La orientación del vector
�
�� 2
viene dada por el ángulo θ 2 290= º , mientras que la orien-
tación del vector�
� � vendría dada por θ 3 238 5995= , º . En consecuencia se tendrá que:
�� � � �
�� � � �
� � � � �
� � � � �
�
�
250 290 290 17 1010 46 9846
32 8223 238 5995 238 5995 17 1010 28 0154
= ⋅ ° ⋅ + ° ⋅ = ⋅ − ⋅
= ⋅ ° ⋅ + ° ⋅ = − ⋅ − ⋅
cos , ,
, cos , , , ,
b g b gc h c h
b g b gc h c h
sen mm
sen mm
y el vector unitario en la dirección �� será:
�� � � �
� � � � �3 238 5995 238 5995 0 5210 0 8535= ° ⋅ + ° ⋅ = − ⋅ − ⋅cos , , , ,b g b gsen
Sustituyendo en [2] y operando se tendrá que:
����
����
��
��
����
⋅⋅−⋅⋅−
−⋅⋅−⋅⋅+⋅+⋅=
3/3/
33
448535,05210,0
1010,170154,28040,6843852,879.10 ωω
Separando componentes se tendrá el siguiente sistema lineal de ecuaciones:
⎩⎨⎧
=−==
⇒⎭⎬⎫
⋅−⋅−=⋅−⋅+=
mm/s13,563.1
rad/s0147,38
8535,01010,170400,6840
5210,00154,283852,879.10
3/
43
3/3
3/3
44
4
��
�
��
� ωωωω
El vector velocidad relativa vendrá dada por:
( )mm/s1315,334.13907,8143/4���
�� ⋅−−=
b) Para el cálculo de las aceleraciones se seguirá el mismo procedimiento:
� � � � �
� � � � �� � � � � � � �4 3 4 3 4 3= + + +/
donde:
0 23 4 3 4 43 3 3 3= + + ⋅ + ⋅ ×� � � � �
� � � � �� � � � �/ /ωd i [3]
se tiene que:
� � � �
� � � 4 3 3 4 3 43
23 0= − ⋅ + × =ω α
�������� ��� ����� ������������������� �������� �� �
18
Además se tendrá que:
� � � � � � � � � � � � �
� � � � � � � � � � �� � � � �
�
�
�
� �
�
� �
�
� � � � � � � �
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 222
2 32
3= + = + + + = − ⋅ + × − ⋅ + ×ω α ω α
hay que tener en cuenta que α 2 0= . Sustituyendo la expresión anterior en [3] se tendrá
que: �
0 222
32
3 3 3 3 32 4 4= − ⋅ − ⋅ + × + ⋅ + ⋅ ×ω ω α ω� � � � � � �
� � � � � �� � � � � � � �/ /d i �
y sustituyendo valores numéricos y operando se obtendrá el siguiente sistema de ecuacio-
nes lineales:
⎪⎩
⎪⎨⎧
===
⇒⎭⎬⎫
=+⋅−⋅−=+⋅−⋅
23/
243
3/3
3/3
mm/s7,347.97
rad/s52,525.5
00,578.1778535,01010,17
04,081.1045210,00154,28
44
4
��
� ααα
α
����������� � ������������������ �� ����� �
19
����������
Para el mecanismo representado en la figura, en la posición indicada, se pide: a) Velocidad angular de la barra 4. b) Aceleración angular de la barra 4. Supóngase que entre las barras 2 y 3 se dan las condiciones de rodadura sin desli-zamiento. Datos geométricos: �� �2� = 1,50 cm; �4� = 4,00 cm. �� �2 = 3,00 cm; �3 = 0,50 cm; siendo � � y � � los radios de las barras circulares 2�y 3� Datos cinemáticos: �� �2� = 2,78 cm; �2� = 2,34 cm;�ω2 = 2 rad/s antihorario y constante. �
��
��
!
�
�
���
�
�
�
���� ��
���� ��
� ��
�
�
�������� ��� ����� ������������������� �������� �� �
20
������ � a) Velocidad angular de la barra 4. Para resolver el problema de velocidades se debe tener resuelto el problema de posición. Del triángulo formado por ��2�, se calcula el ángulo existente entre el segmento �2� y
el �2�, que permitirá más adelante obtener el vector de posición ���2
�
.
Utilizando el teorema del coseno, se utiliza la siguiente ecuación:
( )1222
222
22 cos2 α⋅⋅⋅−+= ���������
De donde se despeja 1α :
( )
º45,100
34,25,12
334,25,1
2cos
1
222
22
22
22
22
1
=⋅⋅
−+=⋅⋅
−+=
α
���
�����
!
�
�
���
�
�
�
1αα
β1β
1γ
γ
���� ��
���� ��
����
����������� � ������������������ �� ����� �
21
Finalmente:
( ) º45,40180120 1 =−−= αα y por tanto ( ) ( )( )��� ����
� ⋅°+⋅°⋅= 45,40sen45,40cos34,22
De forma análoga, para expresar el vector � ���
y el ���4
�
se necesita obtener el ángulo β y
el γ. Se calcularán usando el teorema del coseno:
( )
( )
º08,50
6416,035,12
34,235,1
2cos
cos2
1
222
2
22
222
1
1222
22
2
=
=⋅⋅
−+=⋅⋅−+=
⋅⋅⋅−+=
β
β
β
����
������
����������
de donde º92,69º08,50º120 =−=β
Por tanto ( ) ( )( )��� � ���
� ⋅°+⋅°⋅= 92,69sen92,69cos5,0
Similarmente se obtiene:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )949,0
4
92,69cos5,045,40cos34,275,5cos
coscos75,5cos
1
4
21
=°⋅−°⋅−=
⋅−⋅−=
γ
βαγ��
����
º27,181 =γ luego º7,161180 1 =−°= γγ por tanto ( ) ( )( )���
��� ⋅°+⋅°⋅= 7,161sen7,161cos4
4
A partir de este momento se puede pasar a la resolución del problema de velocidades.
Se conoce la velocidad angular de la barra 2 que es rad/s22 ��
� ⋅=ω . La velocidad del punto � por pertenecer a la barra 2 es:
��� ��22 2
��� ×= ω
Resolviendo la ecuación, se tiene que:
( )cm/s56,3036,32
���
��� ⋅+⋅−=
�������� ��� ����� ������������������� �������� �� �
22
Por existir rodadura sin deslizamiento, se cumple que:
23�� ���� =
Pasando al rodillo, se tiene:
3333333 3 ������� ����������� ×+=+= ω
Desarrollando el producto vectorial, se obtiene la ecuación [1]:
( )( ) ( )
( ) ( ) ���
���
���
�
�
���
���
���
⋅⋅++⋅⋅−−=
°⋅°⋅+⋅+⋅−=
33
3
17,056,347,0036,3
092,69sen5,092,69cos5,0
0056,3036,3
3
3
ωω
ω [1]
Por otro lado, al pertenecer el punto � a la barra 4:
( ) ( )( )cm/s8,325,1
07,161sen47,161cos4
00
44
44
4
44
���
���
��
�
���
���
���
���
⋅⋅−⋅⋅−=
°⋅°⋅=×=
ωω
ωω [2]
Igualando las ecuaciones [1] y [2] se obtiene:
( ) ( ) ��������
⋅⋅++⋅⋅−−=⋅⋅−⋅⋅− 3344 17,056,347,0036,38,325,1 ωωωω
Descomponiendo la ecuación anterior en sus componentes escalares se tiene:
⎩⎨⎧
−=−=
⇒⎭⎬⎫
⋅−=⋅+⋅−=⋅−−
rad/s8
rad/s57,0
8,317,056,3
25,147,0036,3
3
4
43
43
ωω
ωωωω
En forma vectorial:
rad/s57,0
rad/s00,8
4
3
�
��
�
�
�
⋅−=
⋅−=
ω
ω
b) Para resolver el problema de aceleraciones Se plantea la siguiente ecuación entre las ace-
leraciones del punto � considerando que pertenece a la barra 2 y a la barra 3:
232323������ ����
���� ++= [3]
����������� � ������������������ �� ����� �
23
Por pertenecer el punto � a la barra 2:
( ) ( )( ) ( ) 22
222
22
cm/s07,612,745,40sen45,40cos34,222
2222222
�����
����
�
�������
�����
�����
⋅−⋅−=⋅°+⋅°⋅⋅−=
⋅−=×+⋅−= ωαω
Además se tiene que 023
�
� =��� .
La aceleración relativa del punto � considerando que pertenece a la barra 3 respecto de un
sistema de referencia ligado a la barra 2 es:
( ) ( )( )2332
232
32
322/
92,69sen92,69cos
3
ωωω
ω
���
���
��
−=⋅°+⋅°=
⋅⋅+⋅=
���
���
���
� �
� ��
Sustituyendo:
( ) ( ) 222/ cm/s27,4065,1410
5,03
5,033
���� � ���
�� ⋅+⋅=⋅−⋅+⋅=
Con lo que:
( ) 2cm/s2,3453,727,4065,1407,612,73
�������
������� ⋅+⋅=⋅+⋅+⋅−⋅−=
Pasando al punto �, por un lado:
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ���
���
���
���
���
��
��
������
����
���
���
���
����
���
⋅−⋅+⋅⋅−−=
°⋅°⋅+
+⋅°+⋅°⋅⋅−−=
×+⋅−=
+=
07,3017,0469,094,10
092,69sen5,092,69cos5,0
00
92,69sen92,69cos5,08
33
3
2
323
3
33
33
333333
333
αα
α
αω
Sustituyendo:
( ) ( )( ) ( ) ���
�����
���
� �
���
�����
���
⋅+⋅+⋅⋅−−=
⋅−⋅+⋅⋅−−+⋅+⋅=
+=
12,417,0469,041,3
07,3017,0469,094,102,3453,7
33
33
3
3
3333
αα
αα [3]
�������� ��� ����� ������������������� �������� �� �
24
Por otro lado:
����� ���443 4
24
���� ×+⋅−= αω
Sustituyendo:
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ���
���
���
�
�
���
���
���
⋅−⋅−+⋅⋅−=
°⋅°⋅+
+⋅°+⋅°⋅⋅−−=
408,08,3255,123,1
07,161sen47,161cos4
00
7,161sen7,161cos457,0
44
4
2
3
3
αα
α [4]
Igualando las ecuaciones [3] y [4], se obtienen las siguientes ecuaciones escalares que re-
sueltas dan las aceleraciones:
⎩⎨⎧
−=
−=⇒
⎭⎬⎫
⋅−−=+⋅⋅−=−⋅−
23
24
43
43
rad/s68,11
rad/s668,0
8,3408,012,417,0
255,123,141,3469,0
αα
αααα
Expresadas en forma vectorial:
23
24
rad/s68,11
rad/s668,0
�
��
�
�
�
⋅−=
⋅−=
α
α
����������� � ������������������ �� ����� �
25
����������
Para el mecanismo representado en la figura, en la posición indicada, se pide: a) Velocidad angular de la barra 4. b) Aceleración angular de la barra 4. Supóngase que entre las barras 2 y 3 se dan las condiciones de rodadura con deslizamien-to. Datos geométricos: �� �2� = 1,50 cm; �4� = 4,00 cm. �� �2 = 3,00 cm; �3 = 0,50 cm; siendo � � y � � los radios de las barras circulares 2 y 3. Datos cinemáticos: �� �2� = 2,78 cm; �2� = 2,34 cm;�ω2 = 2 rad/s antihorario y constante. ��
�
!
�
�
���
�
�
�
���� ��
���� ��
� ��
�
�
�������� ��� ����� ������������������� �������� �� �
26
������ � Los datos del problema de posición son los del problema 4, con lo que en este problema únicamente se mostrarán los cálculos de vectores que no se resolvieron en dicho problema.
( )( ) ( )( )
( )cm287,3202,1
92,69sen92,69cos)5,03(
cm988,1951,1
22
222222
2222
���
�����
�����
��
������
� �����
���
�����
�����
⋅+⋅=
⋅°+⋅°⋅+=+=
⋅+⋅=+=
Se obtendrán la velocidad y aceleración angular de la barra 4 utilizando el punto � y con-siderando que pertenece a la barra 2. a) Velocidad angular de la barra 4.
2/42424����� �������� ++= [1]
Por pertenecer el punto � a la barra 2.
( )
� ���
����
���
���
��
��
���
��
⊥⋅=
=×=
⋅+⋅−==×=
��
�
���
��
���
���
2/2/
2
2
44
4224
222
0
cm/s9,3976,3
0988,1951,1
200
ω
ω
con ( ) ( ) �����
����� ⋅+⋅−=⋅°+°+⋅°+°=⊥ 343,0939,092,6990sen92,6990cos , siendo � ��⊥
�
el vector unitario normal a la dirección que une los puntos � y �.
�
�
�
��
� �⊥
�
�� �
����������� � ������������������ �� ����� �
27
Además, en el punto � de la barra 4:
( ) ( )��
���
�� ���
��
���
��� ⋅⋅−⋅⋅−=°⋅°⋅
=×= 4444 8,325,1
07,161sen47,161cos4
00244
ωωωω [2]
Por lo tanto, igualando [1] y [2], se tiene que:
( )������� �
������
⋅+⋅−⋅+⋅+⋅−=⋅⋅−⋅⋅− 343,0939,09,3976,38,325,1 2/44 4ωω
Ecuación vectorial que da lugar a las dos siguientes ecuaciones escalares y que resueltas dan las velocidades buscadas.
⎩⎨⎧
−=−=
⇒⎪⎭
⎪⎬⎫
⋅+=⋅−
⋅−−=⋅−cm/s00,5
rad/s57,0
342,09,38,3
939,0976,325,1
2/
4
2/4
2/4
44
4
��
�
��
� ωωω
En forma vectorial:
( ) ( )cm/s715,1695,4cm/s343,0939,000,5
rad/s57,0
2/
4
4�����
�
�����
�
�
�
⋅−⋅=⋅+⋅−⋅−=
⋅−=ω
b) Aceleración angular de la barra 4.
� � � � �
� � � � �� � � � � � � 4 2 4 2 4 2= + + +/ [3]
La aceleración del punto � considerando que pertenece a la barra 2 es:
( ) ( ) 222
22 cm/s952,7804,7988,1951,12
22222������� ��
�������� ⋅−⋅−=⋅+⋅⋅−=×+⋅−= αω
La aceleración relativa es:
( ) ( )( )( ) ( )
( ) ( ) ���
���
���
����
��
� �� ��
� ��
� �� �� �
�
�
���
���
���
����
⋅−⋅+⋅⋅−−=
°⋅°⋅+⋅°+⋅°⋅−=
×+⋅+
−=
712,6197,12889,3443,2
062,69sen5,362,69cos5,3
0062,69sen62,69cos5,3
5
2/
2
2/
32
22/
2/
4
4
4
4
αα
α
α
�������� ��� ����� ������������������� �������� �� �
28
La aceleración de Coriolis:
( )( ) ( )
( ) 22/2 cm/s79,1884,6
092,159sen592,159cos5
200224
��
���
�� �� � �
��
���
��� ⋅+⋅=°⋅−°⋅−
⋅=×⋅= ω
Por pertenecer también a la barra 4 la aceleración de � es:
( ) ( )( )
( ) ( ) ���
���
���
���
�
�
�����
���
���
���
����
⋅⋅−−+⋅⋅−=
−+⋅°+⋅°⋅⋅−=
×+⋅−=
44
42
424
8,34077,0255,1234,1
0255,18,3
007,161sen7,161cos457,0
4
4
444
αα
α
αω
[4]
Igualando las ecuaciones [3] y [4] y separando las componentes, se tiene el siguiente sis-tema de ecuaciones, que resuelto da las aceleraciones buscadas.
⎪⎩
⎪⎨⎧
−=
−=⇒
⎭⎬⎫
=⋅−⋅−−=⋅+⋅−
2
24
4
4
rad/s668,1
rad/s668,0
5337,4197,18,3
641,42889,3255,1
� � � �
� �
αα
αααα
En forma vectorial:
2
24
rad/s668,1
rad/s668,0
�
�
� �
�
�
�
�
⋅−=
⋅−=
α
α
Como conclusión al comparar el resultado de este problema con el del problema 4, se comprueba que el resultado de la velocidad y aceleración angular de la barra 4 es el mis-mo. Con esto se muestra que la presencia de una par de rodadura con deslizamiento entre las barras 2 y 3 provoca que el mecanismo tenga un grado de libertad más que si ese par no tiene deslizamiento, pero ese grado de libertad resulta pasivo, al no tener influencia en la relación entrada-salida del mecanismo.
����������� � ������������������ �� ����� �
29
���������
Dado el mecanismo de Cruz de Malta mostrado en la figura, determinar para la configu-ración del mecanismo indicada: a) La velocidad angular de la barra 3. b) La aceleración angular de la barra 3. Datos geométricos del mecanismo: mm8232 =�� , mm602 =�� .
Datos cinemáticos del mecanismo: º1202 =θ , .r.p.m1002 �
�
�
⋅=ω , constante.
��
�
�
�
�
2ω�
�
�
�������� ��� ����� ������������������� �������� �� �
30
������ � a) Velocidad angular de la barra 3. Sea la figura siguiente, obtenida a partir del mecanismo original.
De los triángulos � � �� y � � ��, se deduce inmediatamente que:
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ⎩
⎨⎧
==
⇒⎭⎬⎫
⋅=−°⋅⋅=°⋅
⎭⎬⎫
⋅+=⋅⋅=⋅
mm4536,42
º0367,225
sen82120sen60
cos120cos60
sen82sen
coscos
3
3
33
33
3322
3322
����
��
����
����
θθ
θ
θθθθ
Los vectores posición y unitario necesarios para el análisis de velocidades y aceleraciones
serán:
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )�������
�������
��
��
�����
�����
⋅+⋅−=⋅°+⋅°⋅=
⋅−⋅−=⋅°−⋅°⋅=
mm9615,510,30120sen120cos
mm0385,300,300367,225sen0367,225cos
2
3
2
3
El sistema de referencia móvil se elige sobre la barra 3, { }333 � � − , de modo que la tra-
yectoria relativa del punto �2 respecto dicho sistema de referencia sea una recta coinci-dente con la guía de la propia barra 3. En primer lugar se expresará la velocidad angular de la barra 2 en radianes por segundo,
rad/s4720,102 =ω
�2
�3
�
θ3
�
θ2
( ) ( ) jijiu!!!!!⋅−⋅−=⋅+⋅= 7067,07067,0º0367,225senº0367,225cos3
4� ��
����������� � ������������������ �� ����� �
31
y la relación de velocidades vendrá dada por:
3/23232 ����� �������� ++= [1]
siendo:
( )
( )
( )mm/s7076,07067,0
0
mm/s0,300385,30
00385,300,30
00
mm/s1593,3141396,544
09615,510,30
4720,1000
3/33/3/
3
3333
2
222
2332
333
222
������
��
��
���
��
��
���
��
���
����
���
���
����
���
��
���
���
��
���
���
⋅−⋅−⋅=⋅=
=×=
⋅⋅−⋅⋅=−−
=×=
⋅−⋅−=−
=×=
ω
ωωωω
ω
Sustituyendo en la ecuación [1], se tendrá que: �������� ��
������
⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅=⋅−⋅− 3/3/33 227076,07067,00,300385,301593,3141396,544 ωω
Separando componentes en y en �, se obtendrá el siguiente sistema lineal de ecuacio-nes, con el que se resuelve el problema de velocidades.
⎩⎨⎧
=−=
⇒⎭⎬⎫
⋅−⋅=−⋅−⋅=−
mm/s7675,606
rad/s8396,3
7076,00,301593,314
7067,00385,301396,544
3/
3
3/3
3/3
22
2
��
�
��
� ωω
ω
En forma de velocidades.
( )mm/s34874298026428
rad/s83963
3
3
2�����
����
���
�
�
⋅−⋅−=⋅−=ω
b) La aceleración angular de la barra 3. Manteniendo el mismo sistema de referencia móvil, la ecuación que relaciona las
aceleraciones será:
� ������ ���������� +++= 323232
[1]
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