Prodotti notevoli

Prodotti notevoli(pane quotidiano dell’algebra,

dannazione… degli studenti)

(A+B)(A+B)22 =A=A22 +2AB+B+2AB+B22

(A+B+C)(A+B+C)22=A=A22+B+B22+C+C22+2AB+2AC+2BC

+2AB+2AC+2BC

(A+B)(A-B)=A2-B2

(A+B)(A+B)33=A=A33+3A+3A22B+3ABB+3AB22+B3+B3

(A-B

)(A

-B)

33=A

=A

33-3A

-3A

22B+

3A

BB

+3A

B22-B-B

33

(A+B)(A(A+B)(A22 +AB+B+AB+B22 ) =A) =A33 +B+B33

(A-B)(A-B)22 =A=A22 -2AB+B-2AB+B22

IN QUESTA PRESENTAZIONE SARA’ TRATTATO:

- QUADRATO DEL BINOMIO - - QUADRATO DE TRINOMIO

- DIFFERENZA DI DUE QUADRATI - CUBO DEL BINOMIO

- PRODOTTO DELLA SOMMA O DIFFERENZA DI DUE DUE MONOMI PER IL FINTO QUADRATO DEL

BINOMIO

PREREQUISITI:

-CONOSCENZA DELL’ INSIEME Q E DELLE PROPRIETA’ DELLE SUE OPERAZIONI

-CONOSCENZA DELLE PROPRIETA’ DELLE POTENZE

Vogliamo vedere il prodotto Vogliamo vedere il prodotto (2x+3)(2x+3)(2x+3)(2x+3) a cosa è uguale;a cosa è uguale; svolgiamolo nel modo che svolgiamolo nel modo che conosciamo: 4xconosciamo: 4x22+6x+6x+9, sommiamo i due +6x+6x+9, sommiamo i due monomi uguali 6x e 6x, otteniamo il risultato monomi uguali 6x e 6x, otteniamo il risultato 4x4x22+12x+9. Cosa notiamo? +12x+9. Cosa notiamo? (2x+3)(2x+3)=(2x+3)(2x+3)(2x+3)=(2x+3)22==4x4x22+12x+9+12x+9 invece di invece di avere quattro termini, avere quattro termini, come ci aspetteremmo, come ci aspetteremmo, ne abbiamo tre.ne abbiamo tre.

Proviamo con un altro esercizio Proviamo con un altro esercizio (5x(5x22y-3)y-3)(5x(5x22y-3)=y-3)=

=25x=25x44yy22-15x-15x22y-15xy-15x22y+9= 25xy+9= 25x44yy22-30x-30x22y+9 y+9

Anche in questo caso, invece di avere quattro Anche in questo caso, invece di avere quattro termini, termini, come ci aspetteremmo,come ci aspetteremmo, ne abbiamo tre. ne abbiamo tre.

Consideriamo il prodotto di una somma per Consideriamo il prodotto di una somma per una differenzauna differenzae facciamo lo stesso ragionamentoe facciamo lo stesso ragionamento (2xy+7x)(2xy- (2xy+7x)(2xy-7x)7x)

Svolgiamolo nel modo tradizionale: Svolgiamolo nel modo tradizionale: 4x4x22yy22-14x-14x22y+14xy+14x22y-49xy-49x2 2 , elidendo i due , elidendo i due monomi opposti -14xmonomi opposti -14x22y+14xy+14x22y, possiamo y, possiamo scrivere il risultato finale della moltiplicazione scrivere il risultato finale della moltiplicazione 4x4x22yy2 2 - 49x- 49x22..Anche in questo caso invece di avere quattro Anche in questo caso invece di avere quattro termini, come ci aspetteremmo, ne otteniamo termini, come ci aspetteremmo, ne otteniamo un numero inferiore, due. un numero inferiore, due.

Nel calcolo letterale spesso si incontrano moltiplicazioni tra particolari polinomi, i cui risultati, opportunamente semplificati, hanno una forma ricorrente, facilmente memorizzabile.

A causa della frequenza con cui, si incontrano tali particolari moltiplicazioni, è bene tenere a mente i risultati, applicandoli subito senza passare attraverso l’applicazione delle regole generali.

Questi particolari prodotti si chiamano Questi particolari prodotti si chiamano

““PRODOTTI NOTEVOLIPRODOTTI NOTEVOLI ””

e riguardano: il prodotto di un polinomio per se e riguardano: il prodotto di un polinomio per se stesso, il prodotto di tre binomi uguali, il prodotto stesso, il prodotto di tre binomi uguali, il prodotto della somma di due monomi per la loro della somma di due monomi per la loro differenza, ecc.differenza, ecc.

IL QUADRATO DEL BINOMIOIL QUADRATO DEL BINOMIO

(A+B)(A+B)22=A=A22+2AB+B+2AB+B22

(5ab+2b)(5ab+2b)22=(5ab)=(5ab)22+2(10ab+2(10ab22)+(2b))+(2b)22===25a=25a22bb22+20ab+20ab22+4b+4b22

(A-B)(A-B)22=A=A22-2AB+B-2AB+B22

(5ab-2b)2=(5ab)2+2(-10ab2)+(-2b)2=

=25a2b2-20ab2+4b2

Consideriamo due generici monomi che indichiamo con A e B; la loro somma è il binomio A+B. Per definizione di potenza si ha: XX = X2

analogamente (A+B)(A+B) =(A+B)2

Eseguendo il prodotto

(A+B)(A+B)=A2+AB+BA+B2

e sommando i termini AB e BA, uguali per la proprietà commutativa del prodotto, si ottiene:

(A+B)2= =A2+2AB+B2

Oppure analogamente

(A-B)2= =A2-2AB+B2

Le uguaglianze: Le uguaglianze:

(A+B)(A+B)22=A=A22+2AB+B+2AB+B2 2

(A-B)(A-B)22=A=A22-2AB+B-2AB+B2 2

dicono che:dicono che:

il quadrato di un binomio è uguale al il quadrato di un binomio è uguale al quadrato del primo monomio quadrato del primo monomio AA22, più o , più o meno il doppio prodotto del primo meno il doppio prodotto del primo monomio per il secondo monomio per il secondo 2AB2AB, più il , più il quadrato del secondo monomio quadrato del secondo monomio BB22..

COSA SIGNIFICA COSA SIGNIFICA GEOMETRICAMENTE?GEOMETRICAMENTE?

(A+B)(A+B)22=A=A22+2AB+B+2AB+B22

Per interpretare geometricamente la Per interpretare geometricamente la formula (A+B)formula (A+B)22=A=A22+2AB+B+2AB+B2 2

Supponiamo che A e B siano due numeri Supponiamo che A e B siano due numeri positivi e considerato un quadrato di lato positivi e considerato un quadrato di lato l=A+B, l’area misurerà l=A+B, l’area misurerà AA=(A+B)=(A+B)(A+B)=(A+B)(A+B)=(A+B)2 2

(A+B)2

A + B

A+

B

Come si vede dalla seconda figura, l’area del Come si vede dalla seconda figura, l’area del quadrato si può pensare composta dall’area di quadrato si può pensare composta dall’area di quattro figure, due quadrati disuguali di area quattro figure, due quadrati disuguali di area AA22 e Be B22 e due rettangoli uguali, entrambi di e due rettangoli uguali, entrambi di area ABarea AB

AA =(A+B)(A+B)=(A+B) =(A+B)(A+B)=(A+B)2 2 AA = A = A22+2AB+B+2AB+B2 2

A2 AB

AB B2

(A+B)2

A + B

B

A+

A + B

B B

A +

A

+

A + B

QUADRATO DI UN TRINOMIOQUADRATO DI UN TRINOMIO

(A+B+C)(A+B+C)22=A=A22+B+B22+C+C22+2AB+2AC+2B+2AB+2AC+2BCC

(5ab+2b+1)(5ab+2b+1)22===(5ab)=(5ab)22+(2b)+(2b)2 2 +(1)+(1)22+2(10ab+2(10ab22)+2(5ab)+2(2b)=)+2(5ab)+2(2b)=

=25a=25a22bb22+4b+4b22+1+20ab+1+20ab22+10ab+4b+10ab+4b

Analogamente a quanto appena visto Analogamente a quanto appena visto consideriamo tre generici monomi che consideriamo tre generici monomi che indichiamo con A, B e C; la loro somma è il indichiamo con A, B e C; la loro somma è il trinomio A+B+C. Per definizione di potenza si trinomio A+B+C. Per definizione di potenza si haha

(A+B+C)(A+B+C) =(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C) =(A+B+C)22

Eseguendo il prodotto (A+B+C)(A+B+C)= Eseguendo il prodotto (A+B+C)(A+B+C)= =A=A22+AB+AC+BA+B+AB+AC+BA+B22+BC+CA+CB+C+BC+CA+CB+C2 2 e e sommando i termini AB e BA, AC e CA, BC e sommando i termini AB e BA, AC e CA, BC e CB, uguali per la proprietà commutativa del CB, uguali per la proprietà commutativa del prodotto, si ottiene: (A+B+C)prodotto, si ottiene: (A+B+C)22=(A+B+C)=(A+B+C)(A+B+C)=(A+B+C)==A=A22+B+B22+C+C22+2AB+2AC+2BC+2AB+2AC+2BC

(A+B+C)(A+B+C)22==AA22+B+B22+C+C22+2AB+2AC+2+2AB+2AC+2

BCBC

L’uguaglianza: L’uguaglianza: (A+B+C)(A+B+C)22=A=A22+B+B22+C+C22+2AB+2AC+2BC+2AB+2AC+2BC dice che:dice che:il quadrato di un trinomio è uguale al il quadrato di un trinomio è uguale al quadrato del primo monomio quadrato del primo monomio AA22, più il , più il quadrato del secondo monomio quadrato del secondo monomio BB2 2 e del e del

terzo terzo CC22, più, più il doppio prodotto del primo il doppio prodotto del primo monomio per il secondo monomio per il secondo 2AB, 2AB, più il doppio più il doppio prodotto del primo monomio per il terzo prodotto del primo monomio per il terzo 2AC2AC,, più il doppio prodotto del secondo più il doppio prodotto del secondo monomio per il terzo monomio per il terzo 2BC2BC. .

COSA SIGNIFICA COSA SIGNIFICA GEOMETRICAMENTE?GEOMETRICAMENTE?

(A+B+C)2=A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC

Per interpretare geometricamente la formula Per interpretare geometricamente la formula (A+B+C)(A+B+C)22=A=A22+B+B22+C+C22+2AB+2AC+2BC+2AB+2AC+2BC

Supponiamo che A, B e C siano due numeri Supponiamo che A, B e C siano due numeri positivi e considerato un quadrato di lato positivi e considerato un quadrato di lato l=A+B+C, la cui area misura l=A+B+C, la cui area misura AA=(A+B+C)=(A+B+C)2 2

(A+B+C)2

A + B + CAA

++

BB

++

CC

Come si vede dalla seconda figura, l’area dello Come si vede dalla seconda figura, l’area dello

stesso quadrato, si può pensare composta stesso quadrato, si può pensare composta dall’area di quattro figure, tre quadrati dall’area di quattro figure, tre quadrati disuguali di area disuguali di area A2, BB22, C, C22 e sei rettangoli e sei rettangoli uguali a due a due di area AB, AC, BCuguali a due a due di area AB, AC, BC

AA=(A+B+C)(A+B+C)=(A+B+C)=(A+B+C)(A+B+C)=(A+B+C)22

AA = = A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC

A=(A+B+C)2

A + B + C A + B + C

A2

B2

AB

AB

C2BCAC

AC

BC

AA

++

BB

++

CC

AA

++

BB

++

CC

Una formula perfettamente analoga si trova Una formula perfettamente analoga si trova per il quadrato di un polinomio di quattro o per il quadrato di un polinomio di quattro o più termini e si ottiene così la regola più termini e si ottiene così la regola generale: generale: iil quadrato di un polinomio di l quadrato di un polinomio di un numero di termini qualunque è un numero di termini qualunque è uguale alla somma dei quadrati di tutti uguale alla somma dei quadrati di tutti i termini e dei doppi prodotti di i termini e dei doppi prodotti di ciascuno di essi per ognuno dei termini ciascuno di essi per ognuno dei termini che seguono.che seguono.

PRODOTTO DELLA SOMMA DI PRODOTTO DELLA SOMMA DI DUE MONOMI PER LA LORO DUE MONOMI PER LA LORO

DIFFERENZADIFFERENZA

(A+B)(A-B)=A2-B2

(3ab+2a)(3ab-2a)=(3ab)(3ab+2a)(3ab-2a)=(3ab)22-(2a)-(2a)22=9a=9a22bb2 2 – 4a– 4a22

Siano A e B due generici monomi; calcolando il prodotto della loro somma A+B per la differenza A-B, si ha:

(A+B)(A-B)=A2+AB-BA-B2

Da cui, elidendo i monomi opposti AB e –AB, si ricava

(A+B)(A-B)= A2-B2

(A+B)(A-B) = A(A+B)(A-B) = A22-B-B22

L’ uguaglianza

(A+B)(A-B)= A2-B2

dice che: il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza è uguale al quadrato del primo monomio meno il quadrato del secondo monomio.

COSA SIGNIFICA COSA SIGNIFICA GEOMETRICAMENTE?GEOMETRICAMENTE?

(A+B)(A-B)= A2-B2

Per interpretare geometricamente la Per interpretare geometricamente la formula (A+B)(A-B)= Aformula (A+B)(A-B)= A22-B-B22

supponiamo che A e B siano due numeri supponiamo che A e B siano due numeri positivi e considerato un rettangolo di lati positivi e considerato un rettangolo di lati ll11=A+B e l=A+B e l22=A-B, la cui area misura =A-B, la cui area misura

AA =(A+B)(A-B) =(A+B)(A-B)

l1= A + B

ll22==

AA

--

BB

(A+B)(A-B)

l1 = A + B

l2 = A - B

Come si vede dalla seconda figura, l’area dello stesso rettangolo, si può pensare di ottenerla sottraendo dall’area A2 di un quadrato e dall’area AB di un rettangolo l’area AB dello stesso rettangolo e l’area B2 di un quadrato

AA= (A+B)(A-B)= (A+B)(A-B) AA= = A2+AB-BA-B2 A + B

A2

AB

-B2

B2

AAA=A=(A+B)(A-B)

A + B

AA

--

BB (AB)

A

AA

IL CUBO DEL BINOMIOIL CUBO DEL BINOMIO

(A+B)(A+B)33=A=A33+3A+3A22B+3ABB+3AB22+B+B33

(x +2y)(x +2y)33 =(x)=(x)33+3(x)+3(x)22(2y)+3(x)(2y)(2y)+3(x)(2y)22+(2y)+(2y)33==

=x=x33+6x+6x22y+12xyy+12xy22+8y+8y33

(1-2a)(1-2a)33=(1)=(1)33+3(1)+3(1)22(-2a)+3(1)(-2a)(-2a)+3(1)(-2a)22+(-+(-2a)2a)33==

=1-6a+12a=1-6a+12a22-8a-8a33

(A-B)3=A3-3A2B+3AB2-B3

Consideriamo la somma di due generici monomi che indichiamo con A e B.

Per definizione di potenza si ha:

X2X = X3

Analogamente (A+B)2(A+B)=(A+B)3

Essendo (A+B)2=A2+2AB+B2 moltiplichiamo il quadrato del binomio per la somma (A+B): (A2+2AB+B2) (A+B)==

=A=A33+A+A22B+2AB+2A22B+2ABB+2AB22+AB+AB22+B+B33

sommando i termini simili Asommando i termini simili A22B e 2AB e 2A22B, 2ABB, 2AB22 e e ABAB22, si ottiene:, si ottiene:

(A+B)3= AA33+3A+3A22B+3ABB+3AB22+B+B33

(A+B)3= =A3+3A2B+3AB2+B3

Oppure analogamente

(A-B)3= =A3-3A2B+3AB2-B3

Le uguaglianze Le uguaglianze

(A+B)(A+B)33=A=A33+3A+3A22B+3ABB+3AB22+B+B3 3

(A-B)(A-B)33=A=A33-3A-3A22B+3ABB+3AB22-B-B3 3

dicono che:dicono che:

il cubo di un binomio è uguale al cubo il cubo di un binomio è uguale al cubo del primo monomio del primo monomio AA33, più il triplo , più il triplo prodotto del quadrato del primo prodotto del quadrato del primo monomio per il secondo monomio per il secondo 3A3A22BB, più il triplo , più il triplo prodotto del primo monomio per il prodotto del primo monomio per il quadrato del secondo quadrato del secondo 3AB3AB22, più il cubo , più il cubo del secondo monomio del secondo monomio BB33..

COSA SIGNIFICA COSA SIGNIFICA GEOMETRICAMENTE?GEOMETRICAMENTE?

(A+B)(A+B)33=A=A33+3A+3A22B+3ABB+3AB22+B+B3 3

Per interpretare geometricamente Per interpretare geometricamente la formula la formula (A+B)(A+B)33=A=A33+3A+3A22B+3ABB+3AB22+B+B3 3

Supponiamo che A e B siano due Supponiamo che A e B siano due numeri positivi e considerato un numeri positivi e considerato un

cubo di lato cubo di lato ll=A+B, il cui volume =A+B, il cui volume misurerà V=(A+B)(A+B)misurerà V=(A+B)(A+B)(A+B)=(A+B)(A+B)=(A+B)3 3

A B

AA ++ BB

AA

++ BB

AA ++ BB

VV =(A+B)(A+B)(A+B)=(A+B)=(A+B)(A+B)(A+B)=(A+B)33

Come si vedrà dalla figura che segue il Come si vedrà dalla figura che segue il volume del cubo si può pensare costituito volume del cubo si può pensare costituito dal volume di quattro figure, due cubi dal volume di quattro figure, due cubi disuguali di volume Adisuguali di volume A33 e Be B33 e sei prismi a e sei prismi a tre a tre uguali, di volume Atre a tre uguali, di volume A22B e ABB e AB22

V=AV=A33+3A+3A22B+3ABB+3AB22+B+B33

B + A

B + A

A +

B

A + B

BB33

AA33

ABAB22

A2B

PRODOTTO DELLA SOMMA O PRODOTTO DELLA SOMMA O DIFFERENZA DI DUE DUE DIFFERENZA DI DUE DUE

MONOMI PER IL FINTO MONOMI PER IL FINTO QUADRATO DEL BINOMIOQUADRATO DEL BINOMIO

(A+B)(A2+AB+B2) =A3+B3

(3a+1)(9a 2-3a+1)= (3a)3+(1) 3 =27a3+1

(A-B)(A2-AB+B2) =A3-B3

(x – 2y)(x2+2xy+4y2) =(x)3-(2y)3=x 3– 8y3

Altri prodotti notevoli frequenti e di grossa Altri prodotti notevoli frequenti e di grossa utilità sono il prodotto della somma di due utilità sono il prodotto della somma di due monomi per il finto quadrato di binomiomonomi per il finto quadrato di binomio

(A+B)(A(A+B)(A22+AB+B+AB+B22))

(A-B)(A(A-B)(A22-AB+B-AB+B22))

Effettuando i prodotti e le opportune Effettuando i prodotti e le opportune semplificazioni si ottiene semplificazioni si ottiene

(A+B)(A2-AB+B2) == A3+B3

(A-B)(A2+AB+B2) == A3-B3

Le uguaglianza Le uguaglianza

(A+B)(A(A+B)(A22-AB+B-AB+B22) = A) = A33+B+B33

(A-B)(A(A-B)(A22+AB+B+AB+B22) = A) = A33-B-B33

dicono che:dicono che:

moltiplicando la somma algebrica di due moltiplicando la somma algebrica di due monomi per il trinomio costituito dal monomi per il trinomio costituito dal quadrato del primo monomio meno o più quadrato del primo monomio meno o più il prodotto del primo per il secondo più il il prodotto del primo per il secondo più il quadrato del secondo è uguale al cubo quadrato del secondo è uguale al cubo del primo monomio del primo monomio AA33 più il cubo del più il cubo del secondo monomio secondo monomio BB33..

RICAPITOLANDORICAPITOLANDO

ECCO TUTTI I CASI POSSIBILIECCO TUTTI I CASI POSSIBILI

QUADRATO DEL BINOMIOQUADRATO DEL BINOMIO (A+B)(A+B)22= A= A2 2 + 2AB + B+ 2AB + B22 (A (A−−B)B)22= = AA2 2 − 2AB + B− 2AB + B22

QUADRATO DEL TRINOMIOQUADRATO DEL TRINOMIO (A+B+C)(A+B+C)22= A= A2 2 + B+ B2 2 + C+ C2 2 + 2AB + 2AC + 2BC+ 2AB + 2AC + 2BC

PRODOTTO DELLA SOMMA DI DUE MONOMI PER LA LORO PRODOTTO DELLA SOMMA DI DUE MONOMI PER LA LORO

DIFFERENZADIFFERENZA (A+B)(A−B)=A(A+B)(A−B)=A2 2 −− BB22

CUBO DEL BINOMIOCUBO DEL BINOMIO (A+B)(A+B)33= A= A3 3 + 3A+ 3A22B + 3ABB + 3AB2 2 +B+B33 (A(A−−B)B)33= A= A33 − 3A − 3A22B + 3ABB + 3AB22 − − BB3 3

PRODOTTO DELLA SOMMA O DIFFERENZA DI DUE MONOMI PRODOTTO DELLA SOMMA O DIFFERENZA DI DUE MONOMI PER IL FINTO QUADRATO DEL BINOMIOPER IL FINTO QUADRATO DEL BINOMIO

(A−B)(A(A−B)(A2 2 + AB + B+ AB + B22) = A) = A33− B− B3 3

(A+B)(A(A+B)(A2 2 − AB + B− AB + B22) = A) = A33+ B+ B33

ADESSO PROVACI TUADESSO PROVACI TU