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producto exterior derivación teoremas
Producto exterior y derivación deformas diferenciales
Jana Rodriguez HertzCálculo 3
IMERL
11 de junio de 2012
producto exterior derivación teoremas
producto exterior
producto exterior
producto exteriorω k -forma
η l-forma0 ≤ k + l ≤ 3el producto exterior ω ∧ η se define axiomáticamente:
producto exterior derivación teoremas
producto exterior
producto exterior
producto exteriorω k -formaη l-forma
0 ≤ k + l ≤ 3el producto exterior ω ∧ η se define axiomáticamente:
producto exterior derivación teoremas
producto exterior
producto exterior
producto exteriorω k -formaη l-forma0 ≤ k + l ≤ 3
el producto exterior ω ∧ η se define axiomáticamente:
producto exterior derivación teoremas
producto exterior
producto exterior
producto exteriorω k -formaη l-forma0 ≤ k + l ≤ 3el producto exterior ω ∧ η se define axiomáticamente:
producto exterior derivación teoremas
producto exterior
producto exterior
producto exterior1 cero: 0 k -forma: 0 + ω = ω,
0 ∧ η = 02 distributiva: (fω1 + ω2) ∧ η = f (ω1 ∧ η) + (ω2 ∧ η)3 anticonmutativa: ω ∧ η = (−1)kl(η ∧ ω)4 asociativa: ω1 ∧ (ω2 ∧ ω3) = (ω1 ∧ ω2) ∧ ω3
ω k -forma
producto exterior derivación teoremas
producto exterior
producto exterior
producto exterior1 cero: 0 k -forma: 0 + ω = ω, 0 ∧ η = 0
2 distributiva: (fω1 + ω2) ∧ η = f (ω1 ∧ η) + (ω2 ∧ η)3 anticonmutativa: ω ∧ η = (−1)kl(η ∧ ω)4 asociativa: ω1 ∧ (ω2 ∧ ω3) = (ω1 ∧ ω2) ∧ ω3
η l-forma tal que 0 ≤ k + l ≤ 3
producto exterior derivación teoremas
producto exterior
producto exterior
producto exterior1 cero: 0 k -forma: 0 + ω = ω, 0 ∧ η = 02 distributiva: (fω1 + ω2) ∧ η = f (ω1 ∧ η) + (ω2 ∧ η)
3 anticonmutativa: ω ∧ η = (−1)kl(η ∧ ω)4 asociativa: ω1 ∧ (ω2 ∧ ω3) = (ω1 ∧ ω2) ∧ ω3
f 0-forma
producto exterior derivación teoremas
producto exterior
producto exterior
producto exterior1 cero: 0 k -forma: 0 + ω = ω, 0 ∧ η = 02 distributiva: (fω1 + ω2) ∧ η = f (ω1 ∧ η) + (ω2 ∧ η)3 anticonmutativa: ω ∧ η = (−1)kl(η ∧ ω)
4 asociativa: ω1 ∧ (ω2 ∧ ω3) = (ω1 ∧ ω2) ∧ ω3
ω k -forma, η l-forma
producto exterior derivación teoremas
producto exterior
producto exterior
producto exterior1 cero: 0 k -forma: 0 + ω = ω, 0 ∧ η = 02 distributiva: (fω1 + ω2) ∧ η = f (ω1 ∧ η) + (ω2 ∧ η)3 anticonmutativa: ω ∧ η = (−1)kl(η ∧ ω)4 asociativa: ω1 ∧ (ω2 ∧ ω3) = (ω1 ∧ ω2) ∧ ω3
k1, k2, k3-formas con 0 ≤ k1 + k2 + k3 ≤ 3
producto exterior derivación teoremas
producto exterior
producto exterior
producto exterior5 producto por 0-formas: f ∧ ω = fω
6 producto entre 1-formas:
dx ∧ dy = dxdydy ∧ dz = dydzdz ∧ dx = dzdxdx ∧ dx = dy ∧ dy = dz ∧ dz = 0dx ∧ (dy ∧ dz) = dxdydz
producto exterior derivación teoremas
producto exterior
producto exterior
producto exterior5 producto por 0-formas: f ∧ ω = fω6 producto entre 1-formas:
dx ∧ dy = dxdydy ∧ dz = dydzdz ∧ dx = dzdxdx ∧ dx = dy ∧ dy = dz ∧ dz = 0dx ∧ (dy ∧ dz) = dxdydz
producto exterior derivación teoremas
producto exterior
producto exterior
producto exterior5 producto por 0-formas: f ∧ ω = fω6 producto entre 1-formas:
dx ∧ dy = dxdy
dy ∧ dz = dydzdz ∧ dx = dzdxdx ∧ dx = dy ∧ dy = dz ∧ dz = 0dx ∧ (dy ∧ dz) = dxdydz
producto exterior derivación teoremas
producto exterior
producto exterior
producto exterior5 producto por 0-formas: f ∧ ω = fω6 producto entre 1-formas:
dx ∧ dy = dxdydy ∧ dz = dydz
dz ∧ dx = dzdxdx ∧ dx = dy ∧ dy = dz ∧ dz = 0dx ∧ (dy ∧ dz) = dxdydz
producto exterior derivación teoremas
producto exterior
producto exterior
producto exterior5 producto por 0-formas: f ∧ ω = fω6 producto entre 1-formas:
dx ∧ dy = dxdydy ∧ dz = dydzdz ∧ dx = dzdx
dx ∧ dx = dy ∧ dy = dz ∧ dz = 0dx ∧ (dy ∧ dz) = dxdydz
producto exterior derivación teoremas
producto exterior
producto exterior
producto exterior5 producto por 0-formas: f ∧ ω = fω6 producto entre 1-formas:
dx ∧ dy = dxdydy ∧ dz = dydzdz ∧ dx = dzdxdx ∧ dx = dy ∧ dy = dz ∧ dz = 0
dx ∧ (dy ∧ dz) = dxdydz
producto exterior derivación teoremas
producto exterior
producto exterior
producto exterior5 producto por 0-formas: f ∧ ω = fω6 producto entre 1-formas:
dx ∧ dy = dxdydy ∧ dz = dydzdz ∧ dx = dzdxdx ∧ dx = dy ∧ dy = dz ∧ dz = 0dx ∧ (dy ∧ dz) = dxdydz
producto exterior derivación teoremas
producto exterior
ejemplo 1
ejemplo 1mostrar que dx ∧ dydz = dxdydz
dx ∧ dydz =
dx ∧ (dy ∧ dz) = dxdydz
producto exterior derivación teoremas
producto exterior
ejemplo 1
ejemplo 1mostrar que dx ∧ dydz = dxdydz
dx ∧ dydz =
dx ∧ (dy ∧ dz) = dxdydz
producto exterior derivación teoremas
producto exterior
ejemplo 1
ejemplo 1mostrar que dx ∧ dydz = dxdydz
dx ∧ dydz = dx ∧ (dy ∧ dz)
= dxdydz
producto exterior derivación teoremas
producto exterior
ejemplo 1
ejemplo 1mostrar que dx ∧ dydz = dxdydz
dx ∧ dydz = dx ∧ (dy ∧ dz) = dxdydz
producto exterior derivación teoremas
producto exterior
ejemplo 2
ejemplo 2ω = xdx + ydy
η = zydx + xzdy + xydzcalcular ω ∧ η
ω ∧ η = (xdx + ydy) ∧ (zydx + xzdy + xydz)
= xyz(dx ∧ dx) + zy2(dy ∧ dx) + x2z(dx ∧ dy)xyz(dy ∧ dy) + x2y(dx ∧ dz) + xy2(dy ∧ dz)
= (x2z − y2z)dxdy + xy2dydz − x2ydzdx
producto exterior derivación teoremas
producto exterior
ejemplo 2
ejemplo 2ω = xdx + ydyη = zydx + xzdy + xydz
calcular ω ∧ η
ω ∧ η = (xdx + ydy) ∧ (zydx + xzdy + xydz)
= xyz(dx ∧ dx) + zy2(dy ∧ dx) + x2z(dx ∧ dy)xyz(dy ∧ dy) + x2y(dx ∧ dz) + xy2(dy ∧ dz)
= (x2z − y2z)dxdy + xy2dydz − x2ydzdx
producto exterior derivación teoremas
producto exterior
ejemplo 2
ejemplo 2ω = xdx + ydyη = zydx + xzdy + xydzcalcular ω ∧ η
ω ∧ η = (xdx + ydy) ∧ (zydx + xzdy + xydz)
= xyz(dx ∧ dx) + zy2(dy ∧ dx) + x2z(dx ∧ dy)xyz(dy ∧ dy) + x2y(dx ∧ dz) + xy2(dy ∧ dz)
= (x2z − y2z)dxdy + xy2dydz − x2ydzdx
producto exterior derivación teoremas
producto exterior
ejemplo 2
ejemplo 2ω = xdx + ydyη = zydx + xzdy + xydzcalcular ω ∧ η
ω ∧ η = (xdx + ydy) ∧ (zydx + xzdy + xydz)
= xyz(dx ∧ dx) + zy2(dy ∧ dx) + x2z(dx ∧ dy)xyz(dy ∧ dy) + x2y(dx ∧ dz) + xy2(dy ∧ dz)
= (x2z − y2z)dxdy + xy2dydz − x2ydzdx
producto exterior derivación teoremas
producto exterior
ejemplo 2
ejemplo 2ω = xdx + ydyη = zydx + xzdy + xydzcalcular ω ∧ η
ω ∧ η = (xdx + ydy) ∧ (zydx + xzdy + xydz)= xyz(dx ∧ dx) + zy2(dy ∧ dx) + x2z(dx ∧ dy)
xyz(dy ∧ dy) + x2y(dx ∧ dz) + xy2(dy ∧ dz)
= (x2z − y2z)dxdy + xy2dydz − x2ydzdx
producto exterior derivación teoremas
producto exterior
ejemplo 2
ejemplo 2ω = xdx + ydyη = zydx + xzdy + xydzcalcular ω ∧ η
ω ∧ η = (xdx + ydy) ∧ (zydx + xzdy + xydz)= xyz(dx ∧ dx) + zy2(dy ∧ dx) + x2z(dx ∧ dy)
xyz(dy ∧ dy) + x2y(dx ∧ dz) + xy2(dy ∧ dz)= (x2z − y2z)dxdy + xy2dydz − x2ydzdx
producto exterior derivación teoremas
producto exterior
ejemplo 3
ejemplo 3ω = xdx − ydy
η = xdydz + zdxdycalcular ω ∧ η
ω ∧ η = (xdx − ydy) ∧ (xdydz + zdxdy)
= x2(dx ∧ dydz)− xy(dy ∧ dydz)+xz(dx ∧ dxdy)− yz(dy ∧ dxdy)
= x2dxdydz
producto exterior derivación teoremas
producto exterior
ejemplo 3
ejemplo 3ω = xdx − ydyη = xdydz + zdxdy
calcular ω ∧ η
ω ∧ η = (xdx − ydy) ∧ (xdydz + zdxdy)
= x2(dx ∧ dydz)− xy(dy ∧ dydz)+xz(dx ∧ dxdy)− yz(dy ∧ dxdy)
= x2dxdydz
producto exterior derivación teoremas
producto exterior
ejemplo 3
ejemplo 3ω = xdx − ydyη = xdydz + zdxdycalcular ω ∧ η
ω ∧ η = (xdx − ydy) ∧ (xdydz + zdxdy)
= x2(dx ∧ dydz)− xy(dy ∧ dydz)+xz(dx ∧ dxdy)− yz(dy ∧ dxdy)
= x2dxdydz
producto exterior derivación teoremas
producto exterior
ejemplo 3
ejemplo 3ω = xdx − ydyη = xdydz + zdxdycalcular ω ∧ η
ω ∧ η = (xdx − ydy) ∧ (xdydz + zdxdy)
= x2(dx ∧ dydz)− xy(dy ∧ dydz)+xz(dx ∧ dxdy)− yz(dy ∧ dxdy)
= x2dxdydz
producto exterior derivación teoremas
producto exterior
ejemplo 3
ejemplo 3ω = xdx − ydyη = xdydz + zdxdycalcular ω ∧ η
ω ∧ η = (xdx − ydy) ∧ (xdydz + zdxdy)= x2(dx ∧ dydz)− xy(dy ∧ dydz)
+xz(dx ∧ dxdy)− yz(dy ∧ dxdy)
= x2dxdydz
producto exterior derivación teoremas
producto exterior
ejemplo 3
ejemplo 3ω = xdx − ydyη = xdydz + zdxdycalcular ω ∧ η
ω ∧ η = (xdx − ydy) ∧ (xdydz + zdxdy)= x2(dx ∧ dydz)− xy(dy ∧ dydz)
+xz(dx ∧ dxdy)− yz(dy ∧ dxdy)= x2dxdydz
producto exterior derivación teoremas
derivación
derivada
derivadala derivada de una k -forma es una (k + 1)-forma
para 0 ≤ k ≤ 2.si k = 3 la derivada de una 3-forma es cero
producto exterior derivación teoremas
derivación
derivada
derivadala derivada de una k -forma es una (k + 1)-formapara 0 ≤ k ≤ 2.
si k = 3 la derivada de una 3-forma es cero
producto exterior derivación teoremas
derivación
derivada
derivadala derivada de una k -forma es una (k + 1)-formapara 0 ≤ k ≤ 2.si k = 3 la derivada de una 3-forma es cero
producto exterior derivación teoremas
derivación
derivada
derivada1 f 0-forma:
df = fxdx + fydy + fzdz
2 linealidad: d(ω1 + ω2) = dω1 + dω2
3 d(ω ∧ η) = (dω ∧ η) + (−1)k (ω ∧ dη)4 d2 = 0
producto exterior derivación teoremas
derivación
derivada
derivada1 f 0-forma:
df = fxdx + fydy + fzdz
2 linealidad: d(ω1 + ω2) = dω1 + dω2
3 d(ω ∧ η) = (dω ∧ η) + (−1)k (ω ∧ dη)4 d2 = 0
producto exterior derivación teoremas
derivación
derivada
derivada1 f 0-forma:
df = fxdx + fydy + fzdz
2 linealidad: d(ω1 + ω2) = dω1 + dω2
3 d(ω ∧ η) = (dω ∧ η) + (−1)k (ω ∧ dη)
4 d2 = 0
ω k -forma
producto exterior derivación teoremas
derivación
derivada
derivada1 f 0-forma:
df = fxdx + fydy + fzdz
2 linealidad: d(ω1 + ω2) = dω1 + dω2
3 d(ω ∧ η) = (dω ∧ η) + (−1)k (ω ∧ dη)4 d2 = 0
producto exterior derivación teoremas
derivación
ejemplo 4
ejemplo 4ω = Pdx + Qdy
calcular dω
dω = d(Pdx + Qdy)
= (dP ∧ dx) + (P ∧ d2x) + (dQ ∧ dy) + (Q ∧ d2y)= (Pxdx + Pydy + Pzdz) ∧ dx + (Qxdx + Qydy + Qzdz) ∧ dy= (Qx − Py )dxdy −Qzdydz + Pzdzdx
producto exterior derivación teoremas
derivación
ejemplo 4
ejemplo 4ω = Pdx + Qdycalcular dω
dω = d(Pdx + Qdy)
= (dP ∧ dx) + (P ∧ d2x) + (dQ ∧ dy) + (Q ∧ d2y)= (Pxdx + Pydy + Pzdz) ∧ dx + (Qxdx + Qydy + Qzdz) ∧ dy= (Qx − Py )dxdy −Qzdydz + Pzdzdx
producto exterior derivación teoremas
derivación
ejemplo 4
ejemplo 4ω = Pdx + Qdycalcular dω
dω = d(Pdx + Qdy)
= (dP ∧ dx) + (P ∧ d2x) + (dQ ∧ dy) + (Q ∧ d2y)= (Pxdx + Pydy + Pzdz) ∧ dx + (Qxdx + Qydy + Qzdz) ∧ dy= (Qx − Py )dxdy −Qzdydz + Pzdzdx
producto exterior derivación teoremas
derivación
ejemplo 4
ejemplo 4ω = Pdx + Qdycalcular dω
dω = d(Pdx + Qdy)= d [(P ∧ dx) + (Q ∧ dy)]
= (dP ∧ dx) + (P ∧ d2x) + (dQ ∧ dy) + (Q ∧ d2y)= (Pxdx + Pydy + Pzdz) ∧ dx + (Qxdx + Qydy + Qzdz) ∧ dy= (Qx − Py )dxdy −Qzdydz + Pzdzdx
producto exterior derivación teoremas
derivación
ejemplo 4
ejemplo 4ω = Pdx + Qdycalcular dω
dω = d(Pdx + Qdy)= d [(P ∧ dx) + (Q ∧ dy)]= (dP ∧ dx) + (P ∧ d2x) + (dQ ∧ dy) + (Q ∧ d2y)
= (Pxdx + Pydy + Pzdz) ∧ dx + (Qxdx + Qydy + Qzdz) ∧ dy= (Qx − Py )dxdy −Qzdydz + Pzdzdx
producto exterior derivación teoremas
derivación
ejemplo 4
ejemplo 4ω = Pdx + Qdycalcular dω
dω = d(Pdx + Qdy)= d [(P ∧ dx) + (Q ∧ dy)]= (dP ∧ dx) + (P ∧ d2x) + (dQ ∧ dy) + (Q ∧ d2y)= (Pxdx + Pydy + Pzdz) ∧ dx + (Qxdx + Qydy + Qzdz) ∧ dy
= (Qx − Py )dxdy −Qzdydz + Pzdzdx
producto exterior derivación teoremas
derivación
ejemplo 4
ejemplo 4ω = Pdx + Qdycalcular dω
dω = d(Pdx + Qdy)= (dP ∧ dx) + (P ∧ d2x) + (dQ ∧ dy) + (Q ∧ d2y)= (Pxdx + Pydy + Pzdz) ∧ dx + (Qxdx + Qydy + Qzdz) ∧ dy= (Qx − Py )dxdy −Qzdydz + Pzdzdx
producto exterior derivación teoremas
derivación
ejemplo 4
ejemplo 4ω = Pdx + Qdycalcular dω
dω = d(Pdx + Qdy)= (dP ∧ dx) + (P ∧ d2x) + (dQ ∧ dy) + (Q ∧ d2y)= (Pxdx + Pydy + Pzdz) ∧ dx + (Qxdx + Qydy + Qzdz) ∧ dy= (Qx − Py )dxdy −Qzdydz + Pzdzdx
producto exterior derivación teoremas
derivación
proposición
proposiciónd(dxdy) = 0
d(dydz) = 0d(dzdx) = 0
producto exterior derivación teoremas
derivación
proposición
proposiciónd(dxdy) = 0d(dydz) = 0
d(dzdx) = 0
producto exterior derivación teoremas
derivación
proposición
proposiciónd(dxdy) = 0d(dydz) = 0d(dzdx) = 0
producto exterior derivación teoremas
derivación
demostración
demostración
d(dxdy) = d(dx ∧ dy)
= (d2x ∧ dy)− (dx ∧ d2y)= 0
producto exterior derivación teoremas
derivación
demostración
demostración
d(dxdy) = d(dx ∧ dy)= (d2x ∧ dy)− (dx ∧ d2y)
= 0
producto exterior derivación teoremas
derivación
demostración
demostración
d(dxdy) = d(dx ∧ dy)= (d2x ∧ dy)− (dx ∧ d2y)= 0
producto exterior derivación teoremas
derivación
demostración
demostración
d(dxdy) = d(dx ∧ dy)= (d2x ∧ dy)− (dx ∧ d2y)= 0
producto exterior derivación teoremas
derivación
ejemplo 5
ejemplo 5η = Fdxdy + Gdydz + Hdzdx
calcular dη
dη = d(Fdxdy + Gdydz + Hdzdx)
= dF ∧ dxdy + dG ∧ dydz + dH ∧ dzdx= (Fz + Gx + Hy )dxdydz
producto exterior derivación teoremas
derivación
ejemplo 5
ejemplo 5η = Fdxdy + Gdydz + Hdzdxcalcular dη
dη = d(Fdxdy + Gdydz + Hdzdx)
= dF ∧ dxdy + dG ∧ dydz + dH ∧ dzdx= (Fz + Gx + Hy )dxdydz
producto exterior derivación teoremas
derivación
ejemplo 5
ejemplo 5η = Fdxdy + Gdydz + Hdzdxcalcular dη
dη = d(Fdxdy + Gdydz + Hdzdx)
= dF ∧ dxdy + dG ∧ dydz + dH ∧ dzdx= (Fz + Gx + Hy )dxdydz
producto exterior derivación teoremas
derivación
ejemplo 5
ejemplo 5η = Fdxdy + Gdydz + Hdzdxcalcular dη
dη = d(Fdxdy + Gdydz + Hdzdx)= dF ∧ dxdy + dG ∧ dydz + dH ∧ dzdx
= (Fz + Gx + Hy )dxdydz
producto exterior derivación teoremas
derivación
ejemplo 5
ejemplo 5η = Fdxdy + Gdydz + Hdzdxcalcular dη
dη = d(Fdxdy + Gdydz + Hdzdx)= dF ∧ dxdy + dG ∧ dydz + dH ∧ dzdx
= (Fz + Gx + Hy )dxdydz
dF ∧ dxdy = (Fxdx + Fydy + Fzdz) ∧ dxdy
= Fzdzdxdy = Fzdxdydz
producto exterior derivación teoremas
derivación
ejemplo 5
ejemplo 5η = Fdxdy + Gdydz + Hdzdxcalcular dη
dη = d(Fdxdy + Gdydz + Hdzdx)= dF ∧ dxdy + dG ∧ dydz + dH ∧ dzdx
= (Fz + Gx + Hy )dxdydz
dF ∧ dxdy = (Fxdx + Fydy + Fzdz) ∧ dxdy= Fzdzdxdy
= Fzdxdydz
producto exterior derivación teoremas
derivación
ejemplo 5
ejemplo 5η = Fdxdy + Gdydz + Hdzdxcalcular dη
dη = d(Fdxdy + Gdydz + Hdzdx)= dF ∧ dxdy + dG ∧ dydz + dH ∧ dzdx
= (Fz + Gx + Hy )dxdydz
dF ∧ dxdy = (Fxdx + Fydy + Fzdz) ∧ dxdy= Fzdzdxdy = Fzdxdydz
producto exterior derivación teoremas
derivación
ejemplo 5
ejemplo 5η = Fdxdy + Gdydz + Hdzdxcalcular dη
dη = d(Fdxdy + Gdydz + Hdzdx)= dF ∧ dxdy + dG ∧ dydz + dH ∧ dzdx= (Fz + Gx + Hy )dxdydz
producto exterior derivación teoremas
derivación
ejemplo 5
ejemplo 5η = Fdxdy + Gdydz + Hdzdxcalcular dη
dη = d(Fdxdy + Gdydz + Hdzdx)= dF ∧ dxdy + dG ∧ dydz + dH ∧ dzdx= (Fz + Gx + Hy )dxdydz
producto exterior derivación teoremas
teorema de green
teorema de green
teorema de greenD región de Green
ω = Pdx + Qdy 1-forma⇒ ∫
∂Dω =
∫∫D
dω
producto exterior derivación teoremas
teorema de green
teorema de green
teorema de greenD región de Greenω = Pdx + Qdy 1-forma
⇒ ∫∂Dω =
∫∫D
dω
producto exterior derivación teoremas
teorema de green
teorema de green
teorema de greenD región de Greenω = Pdx + Qdy 1-forma⇒ ∫
∂Dω =
∫∫D
dω
producto exterior derivación teoremas
teorema de stokes
teorema de stokes
teorema de stokesS superficie orientada
∂S orientada en forma coherenteω 1-forma⇒ ∫
∂Sω =
∫∫S
dω
producto exterior derivación teoremas
teorema de stokes
teorema de stokes
teorema de stokesS superficie orientada∂S orientada en forma coherente
ω 1-forma⇒ ∫
∂Sω =
∫∫S
dω
producto exterior derivación teoremas
teorema de stokes
teorema de stokes
teorema de stokesS superficie orientada∂S orientada en forma coherenteω 1-forma
⇒ ∫∂Sω =
∫∫S
dω
producto exterior derivación teoremas
teorema de stokes
teorema de stokes
teorema de stokesS superficie orientada∂S orientada en forma coherenteω 1-forma⇒ ∫
∂Sω =
∫∫S
dω
producto exterior derivación teoremas
teorema de gauss
teorena de gauss
teorema de gauss
W 3
∂W orientado con normal exteriorη 2-forma⇒ ∫∫
∂Wη =
∫∫∫W
dη
producto exterior derivación teoremas
teorema de gauss
teorena de gauss
teorema de gauss
W 3
∂W orientado con normal exterior
η 2-forma⇒ ∫∫
∂Wη =
∫∫∫W
dη
producto exterior derivación teoremas
teorema de gauss
teorena de gauss
teorema de gauss
W 3
∂W orientado con normal exteriorη 2-forma
⇒ ∫∫∂W
η =
∫∫∫W
dη
producto exterior derivación teoremas
teorema de gauss
teorena de gauss
teorema de gauss
W 3
∂W orientado con normal exteriorη 2-forma⇒ ∫∫
∂Wη =
∫∫∫W
dη
producto exterior derivación teoremas
teorema de gauss
fin
fingracias!
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