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©Prof. Lineu MialaretAula 15 - 1/44Cálculo Numérico
Cálculo Numérico – CN Prof. Lineu Mialaret
Aula 15: Sistemas de Equações Lineares (3)
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo - IFSP
Campus de Caraguatatuba
Licenciatura em Matemática
10 Semestre de 2013
©Prof. Lineu MialaretAula 15 - 2/44Cálculo Numérico
No escopo dos Métodos Diretos, destacam-se os Métodos de Eliminação, os quais evitam o cálculo direto da matriz inversa e não possuem problemas de tempo de execução como a Regra de Cramer.
Destaca-se o Método de Eliminação de Gauss, o qual consiste em transformar o sistema linear original num outro equivalente com a matriz dos coeficientes num formato de matriz triangular superior, o que facilita a sua resolução.Lembrar que dois sistemas lineares são considerados
equivalentes quando possuem a mesma solução.
Método de Eliminação de Gauss (1)
©Prof. Lineu MialaretAula 15 - 3/44Cálculo Numérico
Seja o sistema linear Ax = b, onde a matriz A, de tamanho n×n, é uma matriz triangular superior, com os elementos da sua diagonal diferentes de zero.
O sistema pode se descrito como a seguir,
Método de Eliminação de Gauss (2)
©Prof. Lineu MialaretAula 15 - 4/44Cálculo Numérico
Com base na última equação do sistema, tem-se que
Método de Eliminação de Gauss (2)
©Prof. Lineu MialaretAula 15 - 5/44Cálculo Numérico
A incógnita xn-1 pode ser obtida da penúltima equação, como se segue,
Método de Eliminação de Gauss (3)
©Prof. Lineu MialaretAula 15 - 6/44Cálculo Numérico
E sucessivamente, a incógnita x1 pode ser obtida da primeira equação, como se segue,
Método de Eliminação de Gauss (4)
©Prof. Lineu MialaretAula 15 - 7/44Cálculo Numérico
Dado um sistema linear triangular superior n×n com os elementos da matriz A não nulos, as variáveis xn,xn-1, xn-2,...,x2,x1 são obtidas da seguinte forma (Algoritmo 1):1º Passo:
2º Passo:
Método de Eliminação de Gauss (5)
©Prof. Lineu MialaretAula 15 - 8/44Cálculo Numérico
Método de Eliminação de Gauss (6)
©Prof. Lineu MialaretAula 15 - 9/44Cálculo Numérico
Algumas observações:Det(A) ≠ 0.Eliminação feita por colunas.Etapa k ou iteração k ou k-ésima iteração ou k-ésima etapa
é a fase em que se elimina a variável xk das equações k+1, k+2, ..., n.
aij(k) é o coeficiente da linha i e da coluna j no final da k-
ésima etapa.
bi(k) é o i-ésimo elemento do vetor constante b no final da
k-ésima iteração.
Considerando que det(A)≠0, sempre é possível reescrever o sistema linear de modo que o elemento da posição a11 seja diferente de zero, usando a operação elementar i) (lembrar do Teorema 1 anterior).
Método de Eliminação de Gauss (7)
©Prof. Lineu MialaretAula 15 - 10/44Cálculo Numérico
Método de Eliminação de Gauss (8)
©Prof. Lineu MialaretAula 15 - 11/44Cálculo Numérico
Etapa 1:A eliminação da variável x1 das equações i = 2,3,...,n é
realizada da seguinte forma a seguir, Da equação i subtrai-se a 1ª equação multiplicada por mi1.
Observar que para esta eliminação seja realizada, a única escolha possível para mi1 é,
Denomina-se de multiplicadores os elementos
Denomina-se de pivô
Método de Eliminação de Gauss (9)
©Prof. Lineu MialaretAula 15 - 12/44Cálculo Numérico
Ao final dessa etapa (1ª iteração) tem-se,
Onde,
Método de Eliminação de Gauss (10)
©Prof. Lineu MialaretAula 15 - 13/44Cálculo Numérico
Etapa 2:É sempre possível reescrever a matriz A(1), sem alterar a
posição da linha 1, de tal forma que o pivô a22(1) seja não
nulo.Multiplicadores desta etapa (iteração) são
A variável x2 é eliminada das equações i = 3,...,n da seguinte forma, Da equação i subtraí-se a segunda equação multiplicada
por mi2.
Método de Eliminação de Gauss (11)
©Prof. Lineu MialaretAula 15 - 14/44Cálculo Numérico
Ao final dessa etapa (2ª iteração) tem-se,
Onde,
Método de Eliminação de Gauss (12)
©Prof. Lineu MialaretAula 15 - 15/44Cálculo Numérico
Procede-se até a etapa (n-1) e ao final da iteração tem-se,
Onde,
Método de Eliminação de Gauss (13)
©Prof. Lineu MialaretAula 15 - 16/44Cálculo Numérico
Exemplo 1: Seja o sistema linear apresentado a seguir,
1ª Etapa Seja Li a representação do vetor linha formado pela i-ésima
linha da matriz A(k)|b(k), sendo a linha L1 apresentada a seguir,
O objetivo é eliminar x1 das equações 2 e 3.
Método de Eliminação de Gauss (14)
©Prof. Lineu MialaretAula 15 - 17/44Cálculo Numérico
Seja a matriz ampliada do sistema linear a seguir,
Então
Método de Eliminação de Gauss (15)
©Prof. Lineu MialaretAula 15 - 18/44Cálculo Numérico
Na iteração 1 tem-se como resultado final,
2ª Etapa Objetivo é eliminar x2 da equação 3
Método de Eliminação de Gauss (16)
©Prof. Lineu MialaretAula 15 - 19/44Cálculo Numérico
Resolver o sistema Ax=b é equivalente a resolver o sistema abaixo,
A solução do sistema acima é,
Método de Eliminação de Gauss (17)
©Prof. Lineu MialaretAula 15 - 20/44Cálculo Numérico
Algoritmo 2: Solução de Ax=B por meio da Eliminação de Gauss.Hipóteses
Método de Eliminação de Gauss (18)
©Prof. Lineu MialaretAula 15 - 21/44Cálculo Numérico
Algoritmo 2: Solução de Ax=B por meio da Eliminação de Gauss.
Método de Eliminação de Gauss (19)
©Prof. Lineu MialaretAula 15 - 22/44Cálculo Numérico
Número de Operações Primitivas do Algoritmo 2.Fase de Eliminação
Fase de Resolução
Total de operações primitivas
Método de Eliminação de Gauss (20)
©Prof. Lineu MialaretAula 15 - 23/44Cálculo Numérico
Exercício 1: Resolver o sistema a seguir,
Método de Eliminação de Gauss (21)
132
3344
532
321
321
321
xxx
xxx
xxx
132
3344
532
321
321
321
xxx
xxx
xxx
©Prof. Lineu MialaretAula 15 - 24/44Cálculo Numérico
Exercício 1: Resolver o sistema a seguir,
Solução do Exercício 1:x1 = 1
x2 = 2
x3 = 3
Método de Eliminação de Gauss (22)
132
3344
532
321
321
321
xxx
xxx
xxx
132
3344
532
321
321
321
xxx
xxx
xxx
©Prof. Lineu MialaretAula 15 - 25/44Cálculo Numérico
Exercício 2: Resolver o sistema a seguir,
Método de Eliminação de Gauss (23)
9,88,77,57,2
7,115,43,22,4
103,34,55,1
321
321
321
xxx
xxx
xxx
9,88,77,57,2
7,115,43,22,4
103,34,55,1
321
321
321
xxx
xxx
xxx
©Prof. Lineu MialaretAula 15 - 26/44Cálculo Numérico
Exercício 2: Resolver o sistema a seguir,
Solução do Exercício 2:x1 = -1,1918
x2 = 1,7121
x3 = -1,1918
Método de Eliminação de Gauss (24)
9,88,77,57,2
7,115,43,22,4
103,34,55,1
321
321
321
xxx
xxx
xxx
9,88,77,57,2
7,115,43,22,4
103,34,55,1
321
321
321
xxx
xxx
xxx
©Prof. Lineu MialaretAula 15 - 27/44Cálculo Numérico
Sabe-se que para executar o método de Eliminação de Gauss, requer-se o cálculo dos multiplicadores a seguir, em cada k-ésima etapa do algoritmo.
Problemas que podem ocorrer:Pivô nulo
Impossível de se trabalhar.
Pivô próximo de zero Pode conduzir a resultados totalmente imprecisos (erros de
arredondamento).
Deve-se adotar Estratégias de Pivoteamento Adotar um processo de escolha da linha e/ou coluna pivotal.
Estratégias de Pivoteamento
©Prof. Lineu MialaretAula 15 - 28/44Cálculo Numérico
Estratégia de Pivoteamento ParcialNo início da k-ésima etapa da fase de eliminação, escolher
para o pivô o elemento de maior módulo entre os coeficientes
Trocar as linhas k e i, se for necessário.
Pivoteamento Parcial (1)
©Prof. Lineu MialaretAula 15 - 29/44Cálculo Numérico
Exemplo 2: Sejam n = 4 e k = 2, com a matriz ampliada a seguir,
Início da Etapa 2: i) escolher o pivô mais adequado
Pivoteamento Parcial (2)
©Prof. Lineu MialaretAula 15 - 30/44Cálculo Numérico
ii) trocar as linhas 2 e 3, e assim,
Os multiplicadores serão
Pivoteamento Parcial (3)
©Prof. Lineu MialaretAula 15 - 31/44Cálculo Numérico
A escolha do maior elemento em módulo entre os candidatos a pivô faz com que os multipicadores, em módulo, se localizem entre 0 e 1, o que evita a ampliação de erros de arredondamento.
Pivoteamento Parcial (4)
©Prof. Lineu MialaretAula 15 - 32/44Cálculo Numérico
Exercício 3: Resolver o sistema a seguir, utilizando pivoteamento parcial, com 4 casas decimais.
98877572
711543224
10334551
321
321
321
,x,x,x,
,x,x,x,
x,x,x,
98877572
711543224
10334551
321
321
321
,x,x,x,
,x,x,x,
x,x,x,
Pivoteamento Parcial (5)
©Prof. Lineu MialaretAula 15 - 33/44Cálculo Numérico
Exercício 3: Resolver o sistema a seguir, utilizando pivoteamento parcial, com 4 casas decimais.
Solução do Exercício 3:x1 = -1,1919
x2 = 1,7121
x3 = 3,1252
98877572
711543224
10334551
321
321
321
,x,x,x,
,x,x,x,
x,x,x,
98877572
711543224
10334551
321
321
321
,x,x,x,
,x,x,x,
x,x,x,
Pivoteamento Parcial (6)
©Prof. Lineu MialaretAula 15 - 34/44Cálculo Numérico
Estratégia de Pivoteamento CompletoNo início da k-ésima etapa da fase de eliminação, escolher
para o pivô o elemento de maior módulo entre todos os elementos que ainda atuam no processo de eliminação, ou seja,
Pivoteamento Completo (1)
©Prof. Lineu MialaretAula 15 - 35/44Cálculo Numérico
Exemplo 3: Sejam n = 4 e k = 2, com a matriz ampliada a seguir,
Pivoteamento Completo (2)
©Prof. Lineu MialaretAula 15 - 36/44Cálculo Numérico
Início da Etapa 2: i) escolher o pivô mais adequado
Observa-se que o pivô dessa etapa é
O que acarreta a troca das colunas 2 e 4 e em seguida, das linhas 2 e 3.
Pivoteamento Completo (3)
©Prof. Lineu MialaretAula 15 - 37/44Cálculo Numérico
Isso gera a matriz abaixo,
Essa estratégia envolve uma comparação extensa entre os elementos e troca linhas e colunas.
Esforço computacional maior que a estratégia anterior.
Pivoteamento Completo (4)
©Prof. Lineu MialaretAula 15 - 38/44Cálculo Numérico
Exercício 4: Resolver o sistema a seguir, com a estratégia de pivoteamento completo.
132
3344
532
321
321
321
xxx
xxx
xxx
132
3344
532
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Pivoteamento Completo (5)
©Prof. Lineu MialaretAula 15 - 39/44Cálculo Numérico
Exercício 4: Resolver o sistema a seguir, com a estratégia de pivoteamento completo.
Solução do Exercício 4:x1 =
x2 =
x3 =
132
3344
532
321
321
321
xxx
xxx
xxx
132
3344
532
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Pivoteamento Completo (6)
©Prof. Lineu MialaretAula 15 - 40/44Cálculo Numérico
Exemplo 4: Seja o seguinte sistema linear apresentado a seguir,
O referido sistema linear será resolvido de duas formas: Sem pivoteamento parcial; e Com pivoteamento parcial.
Sem Pivoteamento Parcial (1)
©Prof. Lineu MialaretAula 15 - 41/44Cálculo Numérico
Sem pivoteamento parcial e aritmética de três dígitos. O sistema linear é,
Então tem-se,
Sem Pivoteamento Parcial (2)
©Prof. Lineu MialaretAula 15 - 42/44Cálculo Numérico
Etapa 1:
Sem Pivoteamento Parcial (3)
©Prof. Lineu MialaretAula 15 - 43/44Cálculo Numérico
Etapa 1:
Solução do sistema
Sem Pivoteamento Parcial (4)
©Prof. Lineu MialaretAula 15 - 44/44Cálculo Numérico
Solução do sistema
Verifica-se que a solução acima não satisfaz a segunda equação, pois
Sem Pivoteamento Parcial (5)
©Prof. Lineu MialaretAula 15 - 45/44Cálculo Numérico
Com pivoteamento parcial e aritmética de três dígitos. O sistema linear é,
Etapa 1:
Com Pivoteamento Parcial (1)
©Prof. Lineu MialaretAula 15 - 46/44Cálculo Numérico
Etapa 1:
Solução do sistema
Com Pivoteamento Parcial (2)
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