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Distribuicoes de probabilidade
Distribuicoes de probabilidade
Professora Ana Hermınia Andrade
Universidade Federal do AmazonasFaculdade de Estudos Sociais
Departamento de Economia e Analise
Perıodo 2016.2
Distribuicoes de probabilidade
Modelos de distribuicao
Para utilizar a teoria das probabilidades no estudo de um fenomenoconcreto, devemos encontrar um modelo probabilıstico adequado atal fenomeno. Por modelo probabilıstico para uma v.a Xentendemos uma forma especıfica de funcao de distribuicao deprobabilidade que reflita o comportamento de X .
Nesse processo de escolha utilizamos, em muitas situacoes, algummodelo classico. Nos Estudaremos os modelos discretos: Bernoulli,Binomial e Poisson e o modelo continuo: Normal.
Distribuicoes de probabilidade
Distribuicao Bernoulli
Na pratica muitos experimentos admitem apenas dois resultados.
Exemplo
1 Uma peca e classificada como boa ou defeituosa;
2 Cara ou coroa no lancamento de uma moeda;
3 Um servidor de internet esta ativo ou nao ativo;
4 Houve falha ou nao na transmissao de um arquivo;
5 O resultado de um exame medico foi positivo ou negativopara deteccao de uma doenca.
Distribuicoes de probabilidade
Distribuicao Bernoulli
Seja X uma variavel aleatoria com dois resultados possıveis: 1se ocorrer sucesso e 0 se ocorrer fracasso;
Associaremos p, a probabilidade de sucesso (evento que nosinteressa) e 1− p, a probabilidade de fracasso;
Entao X uma v. a. com distribuicao Bernoulli e sua funcao deprobabilidade e dada por:
xi 0 1
p(xi ) 1− p p
ou P(X = xi ) = pxi (1− p)1−xi .
Distribuicoes de probabilidade
Exemplo
Uma lampada e escolhida ao acaso. Considere: X = A lampada edefeituosa (sucesso).
X =
{0 se a lampada nao e defeituosa1 se a lampada e defeituosa
xi 0 1
p(xi ) 4/7 3/7
Distribuicoes de probabilidade
Distribuicao Bernoulli
Notacao: X ∼ Bernoulli(p), indica que a v.a X temdistribuicao de Bernoulli com parametro p.
Se X ∼ Bernoulli(p) pode-se mostrar que:
E(X ) = p e Var(X ) = p(1− p) = pq.
Observacao
Repeticoes independentes de um ensaio de Bernoulli dao origem aomodelo Binomial.
Distribuicoes de probabilidade
Distribuicao Binomial
Considere a repeticao de n ensaios de Bernoulli, sob asmesmas condicoes.
Considere todos os ensaios independentes;
A probabilidade de sucesso p e fracasso 1− p se mantemconstante em todos os ensaios.
A variavel aleatoria X = numero de sucessos nas n realizacoestem distribuicao Binomial.
Distribuicoes de probabilidade
Distribuicao Binomial
Considere 3 ensaios de Bernoulli, n = 3.
P(defeituosa)= p = 3/7
P(perfeita)= (1− p) = 4/7
Seja X = o numero de defeituosas
1 O experimento consiste de tres ensaios de Bernoulli identicos;
2 Os ensaios sao independentes.
3 As probabilidades p e (1-p) sao as mesmas em cada ensaio;
4 A v.a. X tem distribuicao Binomial.
Distribuicoes de probabilidade
Distribuicao Binomial
X = o numero de defeituosas
n = 3⇒ X = {0, 1, 2, 3}P(D) = p = 3/7
P(P) = 1− p = 4/7
P(X = 0) = P(PPP)
P(X = 1) = P(PPD) + P(PDP) + P(DPP)
P(X = 2) = P(DDP) + P(DPD) + P(PDD)
P(X = 3) = P(DDD)
Distribuicoes de probabilidade
Distribuicao Binomial
P(X = 1) = P(PPD) + P(PDP) + P(DPP)
=4
7· 4
7· 3
7+
4
7· 3
7· 4
7+
3
7· 4
7· 4
7
= 3×(
3
7· 4
7· 4
7
)=
(3
1
)(3/7)1(4/7)2
P(X = 2) =
(3
2
)(3/7)2(4/7)1
P(X = 3) =
(3
3
)(3/7)3(4/7)0
P(X = 0) =
(3
0
)(3/7)0(4/7)3
Distribuicoes de probabilidade
Distribuicao Binomial
Considere a repeticao de n ensaios de Bernoulli independentes etodos com a mesma probabilidade de sucesso p. A v.a. que contao numero total de sucessos nos n ensaios de Bernoulli temdistribuicao Binomial com parametros n e p e sua funcao deprobabilidade e dada por:
P(X = x) =
(n
x
)px(1− p)n−x , x = 0, 1, . . . , n
em que
(n
x
)=
n!
x!(n − x)!e lembre-se que 0! = 1.
Distribuicoes de probabilidade
Distribuicao Binomial
Notacao
X ∼ Binomial(n, p) indica que v.a. X tem distribuicao Binomialcom parametros n e p.
A esperanca e a variancia de X sao:
E(X ) = np
Var(X ) = np(1− p)
Distribuicoes de probabilidade
Distribuicao Binomial
Considere uma loja de roupas que receba 3 clientes:
p = o cliente faz compra = 0, 30
(1− p) = o cliente nao faz compra = 0, 70
X : numero de clientes que compram
x p(x)
0 0, 3431 0, 4412 0, 1893 0, 027
P(X = 0) =
(3
0
)(0, 3)0(0, 7)3 = 0, 343
P(X = 1) =
(3
1
)(0, 3)1(0, 7)2 = 0, 441
P(X = 2) =
(3
2
)(0, 3)2(0, 7)1 = 0, 189
P(X = 3) =
(3
3
)(0, 3)3(0, 7)0 = 0, 027
Distribuicoes de probabilidade
Exemplo
O time Sport Clube do Recife tem 1/4 de probabilidade de perdersempre que joga em Recife. Se o time jogar 5 partidas, calcule aprobabilidade:
a) do time perder nenhuma partida.
b) do time perder exatamente 3 partidas.
c) do time perder mais de 3 partidas.
d) do time perder pelo menos uma partida.
e) Se o time jogar 30 partidas, em quantos partidas se esperaque o time perca?
Distribuicoes de probabilidade
Exemplo
X = no de partidas que o time perdeu em casa.p = P(perder)= 1/4 n = 5 partidasX ∼ Binomial(5, 1/4)
a) P(X = 0) =(5
0
) (14
)0 (34
)5= 0, 2373
b) P(X = 3) =(5
3
) (14
)3 (34
)2= 0, 2637
c) P(X > 3) = P(X = 4)+P(X = 5)
=(5
4
) (14
)4 (34
)1+(5
5
) (14
)5 (34
)0= 0, 0156
d) P(X ≥ 1) = 1 - P(X < 1) = 1 - P(X = 0)= 1− 0, 2373 = 0, 7627
e) E(X ) = np E(X ) = 30 ∗ 14
Distribuicoes de probabilidade
Distribuicao de Poisson
Representa a distribuicao de probabilidade de uma variavelaleatoria que registra o numero de ocorrencias em um intervalo detempo ou espaco especıficos.
Carros que passam por um cruzamento por minuto, duranteuma certa hora do dia.
Erros tipograficos por pagina, em um material impresso.
Defeitos em uma peca fabricada por unidade (m2, m, etc).
Lampadas queimadas em uma cidade por dia.
Problemas de filas de espera.
Distribuicoes de probabilidade
Distribuicao de Poisson
Se X uma variavel aleatoria que registra o numero de ocorrenciasem um intervalo especıfico e a probabilidade de uma ocorrencia eindependente e a mesma para quaisquer dois intervalos de tempo,entao a v.a. X tem distribuicao de Poisson com parametro λ e suafuncao de probabilidade e dada por:
P(X = x∣∣λ) =
λxe−λ
x!
λ = valor esperado ou numero medio de ocorrencias em umdado intervalo.
e = 2, 71828
Distribuicoes de probabilidade
Distribuicao de Poisson
Notacao: X ∼ Poisson(λ) indica que v.a. X tem distribuicaoPoisson com parametro λ.
Uma variavel aleatoria de Poisson nao tem limite superior.X = 0, 1, 2, 3, . . .
P(x∣∣λ) = a probabilidade de x ocorrencias em um intervalo
especıfico, considerando λ o numero medio de ocorrencias emtal intervalo.
A esperanca e a variancia de X sao:
Media: E(X ) = λ
Variancia: Var(X ) = λ
Distribuicoes de probabilidade
Exemplo
Em media ha 2 chamadas por hora em um certo telefone. Calculea probabilidade de:
a) receber nenhuma chamada em 1 horas.
b) receber uma chamada em 1 horas.
c) receber uma chamada em 2 horas.
d) receber no maximo 1 chamadas em 2 horas.
e) receber pelo menos 1 chamadas em 2 horas.
Distribuicoes de probabilidade
Exemplo
X = numero chamadas por hora em um certo telefoneλ = 2 chamadas por hora
a) P(X = 0∣∣λ = 2) = 20e−2
0! = 0, 1353
b) P(X = 1∣∣λ = 2) = 21e−2
1! = 0, 2706
c) P(X = 1∣∣λ = 4) = 41e−4
1! = 0, 0732
d) P(X ≤ 1∣∣λ = 4) = P(X = 0
∣∣λ = 4) + P(X = 1∣∣λ = 4)
= 40e−4
0! + 41e−4
1! = 0, 0183 + 0, 0732 = 0.0915
e) P(X ≥ 1∣∣λ = 4) = 1− P(X < 1
∣∣λ = 4)= 1− P(X = 0
∣∣λ = 4) = 1− 0, 0183 = 0, 9817
Distribuicoes de probabilidade
Motivacao: Distribuicao Normal
Exemplo
Observamos o peso (kg) de 1500 pessoas adultas selecionadas aoacaso em uma populacao.O histograma e o seguinte:
Distribuicoes de probabilidade
Motivacao: Distribuicao Normal
A analise do histograma indica que:
a distribuicao dos valores e aproximadamente simetrica emtorno de 70kg;
a maioria dos valores (88%) encontra-se em torno da media,no intervalo (55; 85);
a proporcao das alturas vai diminuindo a medida que osvalores se afastam da media. Existe apenas uma pequenaproporcao de valores abaixo de 48kg (1, 2%) e acima de 92kg(1%).
Distribuicoes de probabilidade
Motivacao: Distribuicao Normal
Vamos definir a variavel aleatoria:
X = peso, em kg, de uma pessoa adulta escolhida ao acaso dapopulacao.
Qual a distribuicao de probabilidade de X?
A curva contınua denomina-se curva Normal.
Distribuicoes de probabilidade
Distribuicao Normal
A distribuicao Normal e uma das mais importantesdistribuicoes contınuas de probabilidade.
Muitos fenomenos aleatorios comportam-se de forma proximaa essa distribuicao. Exemplos:
1 Altura;2 Pressao sanguınea;3 Peso.
Pode ser utilizada para calcular, de forma aproximada,probabilidades para outras distribuicoes, como por exemplo,para a distribuicao Binomial.
Distribuicoes de probabilidade
Distribuicao Normal
Nem todos os fenomenos se ajustam a distribuicao Normal.
Exemplo
Y = Duracao, em horas, de uma lampada.
A distribuicao de Y deve ser assimetrica. Em que, a grandeproporcao de valores esta entre 0 e 500 horas e poucos valoresacima de 1500 horas.
Distribuicoes de probabilidade
Distribuicao Normal
Uma variavel aleatoria X tem distribuicao Normal comparametros µ e σ2 se sua funcao densidade de probabilidade edada por:
f (x) =1
σ√
2πe
− 12 ( x−µ
σ )2
Campo de variacao: −∞ < X < +∞;
E(X ) = µ;
Var(X ) = σ2 (e portanto, DP(X ) = σ).
Distribuicoes de probabilidade
Distribuicao Normal
Notacao
X ∼ N(µ, σ2
)indica que v.a. X tem distribuicao Normal com
parametros µ e σ2.
Propriedades
E simetrica em torno da media µ;
A media e a mediana sao coincidentes;
A area total sob a curva e igual a 1;
x = µ e ponto de maximo de f (x);
f (x)→ 0 quando x → ±∞.
Distribuicoes de probabilidade
Distribuicao Normal Padrao
Se µ = 0 e σ2 = 1, a distribuicao e chamada de distribuicaonormal padrao e a funcao de densidade de probabilidade reduz-sea:
f (z) =1√2π
exp
{−z2
2
}ou seja, Z ∼ N (0, 1).
Distribuicoes de probabilidade
Influencia de µ na curva da Distribuicao Normal
Curvas normais com mesma variancia, porem com mediasdiferentes (µ2 > µ1).
Distribuicoes de probabilidade
Influencia de σ2 na curva da Distribuicao Normal
Curvas normais com mesma media, porem com varianciasdiferentes (σ2
2 > σ21).
Distribuicoes de probabilidade
Calculo das Probabilidades
P(a < X < b) = area sob a curva e acima do eixo horizontal (X )entre a e b.
Problema: O calculo das integrais da funcao de densidadenormal nao tem solucao fechada.
Distribuicoes de probabilidade
Calculo das Probabilidades
Os calculos dessas areas (probabilidades) ja foram obtidosnumericamente e registrados em tabelas.
Pergunta
Se f (x) depende de µ e σ2, entao temos disponıveis umainfinidade de Tabelas, uma para cada par µ e σ2??
Distribuicoes de probabilidade
Uso da Tabela Normal Padrao
Essas probabilidades que estao registradas em tabelas sao paravariaveis que tem distribuicao normal padrao (Z ∼ N (0, 1)).
Essa e a area fornecida pela tabela e e denotada por P(Z ≤ z).
Distribuicoes de probabilidade
Exemplo
P(Z ≥ 1, 5) = 1− P(Z < 1, 5)
= 1− 0, 9332
= 0, 0668
ouP(Z ≥ 1, 5) = P(Z ≤ −1, 5) = 0, 0668
obs: P(Z ≥ z) = P(Z ≤ −z), pela simetria
Distribuicoes de probabilidade
Exemplo
P(0 < Z ≤ 1, 71) = P(Z ≤ 1, 71)− P(Z < 0)
= 0, 9564− 0, 5
= 0, 4564
obs: P(Z < 0) = P(Z > 0) = 0, 5, pela simetria
Distribuicoes de probabilidade
Exemplo
P(1, 32 < Z ≤ 1, 79) = P(Z ≤ 1, 79)− P(Z < 1, 32)
= 0, 9633− 0, 9066
= 0, 0567
Distribuicoes de probabilidade
Exemplo
P(−1, 5 < Z < 1, 5) = P(Z < 1, 5)− P(Z < −1, 5)
= 0, 9332− 0, 0668
= 0, 8664
ou
P(−1, 5 < Z < 1, 5) = 1− 2× P(Z < −1, 5)
= 1− 2× 0, 0668
= 0, 8664
Observacao
P(Z > 1, 5) = P(Z < −1, 5), pela simetria
Distribuicoes de probabilidade
Exemplo
P(−1, 32 < Z < 0) = P(Z < 0)− P(Z < −1, 32)
= 0, 5− 0, 0934
= 0, 4066
Distribuicoes de probabilidade
Exemplo
P(−2, 3 < Z <− 1, 49) =
= P(Z < −1, 49)− P(Z < −2, 3)
= 0, 0681− 0, 0107
= 0, 0574
Distribuicoes de probabilidade
Exemplo
P(−1 < Z < 2) = P(Z < 2)− P(Z < −1)
= 0, 9773− 0, 1587
= 0, 8186
Distribuicoes de probabilidade
Um problema inverso
Em alguns momentos nos sabemos a probabilidade deocorrencia de determinado evento e estamos interessados emsaber quem e esse evento.
A seguir veremos como fazemos para resolver esse tipo desituacao.
Distribuicoes de probabilidade
Exemplo
Como encontrar o valor z da distribuicao N (0, 1), tal queP(Z ≤ z) = 0, 975?
Distribuicoes de probabilidade
Exemplo
Como encontrar o valor z da distribuicao N (0, 1) tal queP(Z ≤ z) = 0, 10?
Distribuicoes de probabilidade
fExemplo
Qual o valor z da distribuicao N (0, 1) tal queP(0 < Z ≤ z) = 0, 4975?
Distribuicoes de probabilidade
Exemplo
Note que
P(Z < z) = P(Z ≤ 0) + P(0 < Z ≤ z)
P(Z < z) = 0, 5 + 0, 4975
P(Z < z) = 0, 9975
Pela tabela, z = 2, 81.
Distribuicoes de probabilidade
Exemplo
Como encontrar o valor z da distribuicao N (0, 1) tal queP(Z ≥ z) = 0, 3?
Distribuicoes de probabilidade
Exemplo
Note que
P(Z ≥ z) = 0, 3
1− P(Z < z) = 0, 3
P(Z < z) = 1− 0, 3
P(Z < z) = 0, 7
Pela tabela, z = 0, 53.
Distribuicoes de probabilidade
Exemplo
Como encontrar o valor z da distribuicao N (0, 1) tal queP(Z ≥ z) = 0, 975?
Distribuicoes de probabilidade
Exemplo
Note que
P(Z ≥ z) = 0, 975
1− P(Z < z) = 0, 975
P(Z < z) = 1− 0, 975
P(Z < z) = 0, 025
Pela tabela, z = −1, 96.
Distribuicoes de probabilidade
Exemplo
Como encontrar o valor z da distribuicao N (0, 1) tal queP(−z ≤ Z ≤ z) = 0, 8?
Distribuicoes de probabilidade
Exemplo
Note que
P(Z ≤ −z) = 0, 1
ou
P(Z ≤ z) = 0, 9
Pela tabela, −z = −1, 28 e z = 1, 28.
Distribuicoes de probabilidade
Distribuicao Normal
Mas como eu faco para calcular as probabilidades quando avariavel nao tem distribuicao normal padrao (N (0, 1))?
Nesses casos as areas (probabilidades) sao calculadas atravesde uma transformacao.
Essa transformacao transforma qualquer variavel normal quetenha qualquer media e qualquer variancia em uma variavelnormal padrao (com media zero e variancia um).
Distribuicoes de probabilidade
Distribuicao Normal Padronizada
Essa transformacao e feita da seguinte maneira:
Seja X ∼ N (µ, σ2), definimos Z =X − µσ
Temos entao: E(Z ) = 0 e Var(Z ) = 1.
Com essa transformacao Z ∼ N (0, 1) (distribuicao normalpadrao).
Distribuicoes de probabilidade
Distribuicao Normal Padronizada
Com isso, podemos determinar as probabilidades de uma v.a.X ∼ N (µ, σ2), com base na tabela da distribuicao normalpadronizada. Portanto,
P (a < X < b) = P (a− µ < X − µ < b − µ)
= P
(a− µσ
<X − µσ
<b − µσ
)= P
(a− µσ
< Z <b − µσ
)
Distribuicoes de probabilidade
Exemplo
Seja X ∼ N (10; 64)(µ = 10, σ2 = 64 e σ = 8
)Calcular P(6 ≤ X ≤ 12)
Distribuicoes de probabilidade
Exemplo
P(6 ≤ X ≤ 12) = P
(6− 10
8≤ X − 10
8≤ 12− 10
8
)= P (−0, 5 ≤ Z ≤ 0, 25)
= P(Z < 0, 25)− P(Z < −0, 5)
= 0, 5987− 0, 3085
= 0, 2902
Distribuicoes de probabilidade
Exemplo
P(X ≤ 8) + P(X > 14) =
= P(Z ≤ 8− 10
8) + P(Z >
14− 10
8)
= P(Z ≤ −0, 25) + P(Z > 0, 5)
= P(Z ≤ −0, 25) + P(Z < −0, 5)
= 0, 7098
Distribuicoes de probabilidade
Um problema inverso quando X ∼ N (µ;σ2)
Existem situacoes em que sabemos a probabilidade deocorrencia de determinado evento de uma v.a. X ∼ N (µ;σ2)e estamos interessados em saber quem e esse evento.
Em tais momentos, podemos obter a v.a.X ∼ N (µ;σ2) por meio da v.a. Z ∼ N (0; 1), atraves datransformacao inversa:
X = µ+ Zσ.
Distribuicoes de probabilidade
Exemplo
Como encontrar o valor x da distribuicao X ∼ N (10; 64) tal queP(X ≥ x) = 0, 05?
Distribuicoes de probabilidade
Exemplo
P(X ≥ x) = 0, 05⇒ P(Z ≥ x−10
8
)= 0, 05
temos que
P(Z ≥ z) = 0, 05
1− P(Z < z) = 0, 05
P(Z < z) = 1− 0, 05
P(Z < z) = 0, 95
Pela tabela, z = 1, 64. Entao,x − 10
8= 1, 64 ⇒ x = 10 + 1, 64× 8 = 23, 12
Distribuicoes de probabilidade
Exemplo
Como encontrar o valor x da distribuicao X ∼ N (10; 64) tal queP(X ≤ x) = 0, 025?
Distribuicoes de probabilidade
Exemplo
P(X ≤ x) = 0, 025⇒ P(Z ≤ x−10
8
)= 0, 025
temos que P(Z ≤ z) = 0, 025
Pela tabela, z = −1, 96. Entao,
x − 10
8= −1, 96 ⇒ x = 10− 1, 96× 8 = −5, 68
Distribuicoes de probabilidade
Exercıcio
O tempo de instalacao de um software tem distribuicao normalcom media de 6 minutos e variancia de 4 minutos.
a) Qual a probabilidade de que um software leve entre 5 e 7minutos para ser instalado?
b) Qual a probabilidade de que um software leve mais que 6,5minutos para ser instalado?
c) Qual a probabilidade de que um software leve menos que 5minutos para ser instalado?
d) Qual o intervalo de tempo, simetrico em torno da media, quedetem uma probabilidade 95% para que o software sejainstalado?
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