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PPrrooggrraammaacciióónn lliinneeaall eenntteerraa--mmiixxttaa
José Manuel Arroyo Sánchez
ÁÁrreeaa ddee IInnggeenniieerrííaa EEllééccttrriiccaa UUnniivveerrssiiddaadd ddee CCaassttiillllaa –– LLaa MMaanncchhaa
1
PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA-MIXTA BIBLIOGRAFÍA
• G. L. NEMHAUSER, L. A. WOLSEY. “INTEGER AND COMBINATORIAL OPTIMIZATION”. JOHN WILEY & SONS. NEW YORK. 1988.
• S. P. BRADLEY, A. C. HAX, T. L. MAGNANTI. “APPLIED MATHEMATICAL
PROGRAMMING”. ADDISON-WESLEY PUBLISHING COMPANY. READING, MASSACHUSETTS. 1977.
• E. CASTILLO, A. J. CONEJO, P. PEDREGAL, R. GARCÍA, N. ALGUACIL.
“BUILDING AND SOLVING MATHEMATICAL PROGRAMMING MODELS IN ENGINEERING AND SCIENCE”. JOHN WILEY & SONS. NEW YORK. 2002.
2
PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA-MIXTA CONTENIDOS
• INTRODUCCIÓN • MÉTODOS DE RESOLUCIÓN • APLICACIONES GENERALES • APLICACIONES EN INGENIERÍA ELÉCTRICA
3
INTRODUCCIÓN ¿QUÉ ES UN PROBLEMA DE PLEM?
• PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN • FUNCIÓN OBJETIVO Y RESTRICCIONES LINEALES • VARIABLES ENTERAS Y CONTINUAS • SI TODAS LAS VARIABLES SON ENTERAS ⇒ PROGRAMACIÓN LINEAL
ENTERA ESTRICTA • SI LAS VARIABLES ENTERAS SON BINARIAS ⇒ PROGRAMACIÓN LINEAL
ENTERA-MIXTA 0/1 ⇒ ¡¡¡INTERÉS PRÁCTICO EN INGENIERÍA ELÉCTRICA!!!
4
INTRODUCCIÓN FORMULACIÓN GENERAL DE UN PLEM
∑=
=n
1jjjxcz MINIMIZAR
SUJETO A:
m1i;bxa i
n
1jjij K==∑
=
n1j;0x j K=≥
n1j ALGÚN PARA;Ix j K=∈
{ }K 2 ,1 ,0I =
5
INTRODUCCIÓN CONJUNTO DE SOLUCIONES FACTIBLES
6
INTRODUCCIÓN EJEMPLO DE UN PLEM
21 x8x5z MAXIMIZAR +=
SUJETO A:
0x1 ≥
0x2 ≥
6xx 21 ≤+
45x9x5 21 ≤+
Ix,x 21 ∈
7
INTRODUCCIÓN EJEMPLO DE UN PLEM. REGIÓN FACTIBLE
8
INTRODUCCIÓN EJEMPLO DE UN PLEM. SOLUCIÓN
PROBLEMA LINEAL RELAJADO
PLEM
ÓPTIMO
REDONDEO
SOLUCIÓN ENTERA MÁS PRÓXIMA
ÓPTIMO
x1
02.25
2
02
00
x2
03.75
4
03
05
z
41.25
INFACTIBLE
34
40
LA SOLUCIÓN FACTIBLE MÁS PRÓXIMA A LA SOLUCIÓN DEL PROBLEMA LINEAL RELAJADO NO ES LA SOLUCIÓN ÓPTIMA DE PLEM NECESIDAD DE TÉCNICAS DE RESOLUCIÓN
9
INTRODUCCIÓN VARIABLES BINARIAS (0/1)
• SÓLO PUEDEN TOMAR LOS VALORES 0 Ó 1 ⇒ ↑↑ COMPLEJIDAD PROBLEMA
LINEAL POR FALTA DE CONTINUIDAD • ÚTILES EN PROBLEMAS EN LOS QUE LAS VARIABLES SÓLO PUEDEN TOMAR
2 VALORES:
LUGAR TIENE NO SITUACIÓN LA
LUGAR TIENE SITUACIÓN LA
0
1x
⇒
⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
10
INTRODUCCIÓN VARIABLES BINARIAS (0/1)
• TAMBIÉN ÚTILES PARA MODELAR NO LINEALIDADES:
CONJUNTOS ALTERNATIVOS DE RESTRICCIONES
RESTRICCIONES CONDICIONALES
FUNCIONES DISCONTINUAS
FUNCIONES LINEALES A TRAMOS Y NO CONVEXAS • EJEMPLOS: PROBLEMA DE LA MOCHILA, PROBLEMA DEL VIAJERO,
PROGRAMACIÓN HORARIA (ARRANQUE Y PARADA DE GRUPOS GENERADORES)
11
INTRODUCCIÓN MÉTODOS DE RESOLUCIÓN
• BRANCH & BOUND (RAMIFICACIÓN Y ACOTACIÓN) • CORTES DE GOMORY • BRANCH & CUT (RAMIFICACIÓN Y CORTES)
12
INTRODUCCIÓN VENTAJAS DE LA PLEM
• CONVERGENCIA AL ÓPTIMO EN UN TIEMPO FINITO • CONOCIMIENTO DE PROXIMIDAD AL ÓPTIMO (DIFERENCIA DE COTAS) • DESARROLLO DE SOFTWARE DE CÁLCULO (CPLEX, XPRESS)
13
PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA-MIXTA CONTENIDOS
• INTRODUCCIÓN • MÉTODOS DE RESOLUCIÓN • APLICACIONES GENERALES • APLICACIONES EN INGENIERÍA ELÉCTRICA
14
BRANCH & BOUND • RESOLUCIÓN DE SECUENCIA ORDENADA DE PROBLEMAS DE
PROGRAMACIÓN LINEAL:
RELAJACIÓN DE RESTRICCIONES DE INTEGRALIDAD
RESTRICCIONES ADICIONALES CUYO NÚMERO CRECE A MEDIDA QUE PROGRESA EL PROCEDIMIENTO ⇒ PROBLEMA CADA VEZ MÁS RESTRINGIDO
CONVERGENCIA FINITA AL ÓPTIMO
15
BRANCH & BOUND • ESTABLECIMIENTO DE:
COTA SUPERIOR (z) ⇒ CUALQUIER SOLUCIÓN FACTIBLE DE PLEM 0/1
COTA INFERIOR (z) ⇒ SOLUCIÓN ÓPTIMA PROBLEMA LINEAL RELAJADO
zzz * ≤≤
• PROCEDIMIENTOS DE RAMIFICACIÓN ⇒ ↓ COTA SUPERIOR, ↑ COTA INFERIOR
• DIFERENCIA ENTRE COTAS ⇒ MEDIDA DE CERCANÍA AL ÓPTIMO
16
ELEMENTOS DEL ALGORITMO DE BRANCH & BOUND • ESTABLECIMIENTO DE COTAS
• RAMIFICACIÓN
• RESOLUCIÓN DE PL CADA VEZ MÁS RESTRINGIDOS • ACTUALIZACIÓN DE COTAS
17
ALGORITMO DE BRANCH & BOUND • PASO 1 (INICIACIÓN):
+∞=z
−∞=z
RESOLUCIÓN DE PROBLEMA LINEAL RELAJADO (PLR):
− INFACTIBLE ⇒ PROBLEMA ORIGINAL INFACTIBLE ⇒ FIN
− FACTIBLE:
SI SE CUMPLE INTEGRALIDAD ⇒ SOLUCIÓN ÓPTIMA ⇒ FIN
SI NO SE CUMPLE INTEGRALIDAD ⇒ Rzz = ⇒ IR A PASO 2
18
ALGORITMO DE BRANCH & BOUND • PASO 2 (RAMIFICACIÓN):
SE ELIGE xk QUE NO CUMPLE INTEGRALIDAD EN PLR ( b.axk = )
GENERACIÓN DE 2 PROBLEMAS LINEALES RELAJADOS:
INCLUSIÓN DE LOS NUEVOS PROBLEMAS LINEALES RELAJADOS EN LA LISTA DE PROBLEMAS A RESOLVER ⇒ RESOLUCIÓN SECUENCIAL O PARALELA ⇒ PASO 3
19
ALGORITMO DE BRANCH & BOUND • PASO 3 (RESOLUCIÓN):
SE RESUELVE EL PRÓXIMO PROBLEMA EN LA LISTA ( )⇒ ALGORITMO SIMPLEX DUAL ACONSEJABLE ⇒ IR A PASO 4
*Rz
• PASO 4 (ACTUALIZACIÓN DE COTAS):
FACTIBLE, SE CUMPLE INTEGRALIDAD Y zz*
R ≤ ⇒ *Rzz = ⇒ SOLUCIÓN
CANDIDATA A MINIMIZADOR ⇒ IR A PASO 5
FACTIBLE, NO SE CUMPLE INTEGRALIDAD Y zzz *R ≤≤ ⇒
− *
Rzz =
− RAMIFICACIÓN E INCLUSIÓN DE NUEVOS PROBLEMAS RELAJADOS EN LA LISTA ⇒ IR A PASO 2
FACTIBLE, NO SE CUMPLE INTEGRALIDAD Y zz*
R ≥ ⇒ IR A PASO 5
INFACTIBLE ⇒ IR A PASO 5 20
ALGORITMO DE BRANCH & BOUND • PASO 5 (PODA):
PODA POR INTEGRALIDAD ⇒ IR A PASO 6
PODA POR COTAS ⇒ IR A PASO 6
PODA POR INFACTIBILIDAD ⇒ IR A PASO 6 • PASO 6 (OPTIMALIDAD):
LISTA DE PROBLEMAS NO VACÍA ⇒ IR A PASO 3
LISTA DE PROBLEMAS VACÍA ⇒ FIN
21
ALGORITMO DE BRANCH & BOUND
22
ALGORITMO DE BRANCH & BOUND ESTRATEGIAS DE RAMIFICACIÓN Y PROCESAMIENTO
ELECCIÓN ADECUADA DE LA VARIABLE CANDIDATA PARA LA RAMIFICACIÓN ⇒ DEPENDE DE LA ESTRUCTURA DEL PROBLEMA
• ESTRATEGIAS EN ANCHURA ⇒ RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS SIMILARES ⇒
VENTAJAS COMPUTACIONALES
• ESTRATEGIAS EN PROFUNDIDAD ⇒ PRODUCE RÁPIDAMENTE zzz *R ≤≤ Y
zzz *R ≤≤ Y PODAS POR INFACTIBILIDAD
• ESTRATEGIAS MIXTAS
BÚSQUEDA EN ANCHURA BÚSQUEDA EN PROFUNDIDAD
23
ALGORITMO DE BRANCH & BOUND
• PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA ESTRICTA ⇒ PUEDE SER NECESARIO
RAMIFICAR TODAS LAS VARIABLES DEL PROBLEMA
• PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA-MIXTA 0/1 ⇒ RAMIFICACIÓN DE VARIABLES 0/1 IMPLICA FIJAR LAS VARIABLES BINARIAS A 0 Ó 1
24
EJEMPLO I PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA ESTRICTA
21 xxz MINIMIZAR −−= SUJETO A:
0x1 ≤−
1x2x2 21 ≤−
9x2 2 ≤
Ix,x 21 ∈
25
EJEMPLO I REGIÓN FACTIBLE
26
EJEMPLO II PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA-MIXTA
21 x2x3z MINIMIZAR +=
SUJETO A:
5.2xx2x 321 =+−
5.1xxx2 421 =++
0x,x,x,x 4321 ≥
Ix,x 32 ∈
27
CORTES DE GOMORY • RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA ORIGINAL RELAJADO (PLR) INCLUYENDO
RESTRICCIONES ADICIONALES LLAMADAS CORTES DE GOMORY • PROCESO ITERATIVO ⇒ 1 CORTE DE GOMORY ADICIONAL POR ITERACIÓN
• SE REDUCE PROGRESIVAMENTE LA REGIÓN FACTIBLE SIN EXCLUIR SOLUCIONES ÓPTIMAS
• CONVERGENCIA FINITA AL ÓPTIMO
28
CORTES DE GOMORY
29
GENERACIÓN DE CORTES DE GOMORY REGIÓN FACTIBLE:
bAx = 0x ≥
EMPLEANDO NOTACIÓN ESTÁNDAR DEL MÉTODO SIMPLEX:
bNxBx NB =+
bBNxBx 1N
1B
−− =+
b~Uxx NB =+ PARA UNA VARIABLE BÁSICA IxBi ∈ QUE NO ES ENTERA EN PLR:
iNjj
ijBi b~xux =+∑
DONDE Ib~i ∉
30
GENERACIÓN DE CORTES DE GOMORY SI SE EXPRESAN uij Y COMO SUMA DE UNA PARTE ENTERA Y UNA PARTE DECIMAL:
ib~
ijijij fiu +=
i i i f~i~b~ +=
DONDE Y 0fij ≥ 0f~i > POR LO TANTO:
( ) i i j
NjijijBi f~i~xfix +=++∑
∑∑ −=−+j
Njiji i j
NjijBi xff~i~xix
31
GENERACIÓN DE CORTES DE GOMORY POR LO TANTO DEBE SER: ∑−
jNjiji xff~
ENTERO, YA QUE i
jNjijBi i~xix −+∑ ES ENTERO
MENOR QUE , QUE ES UNA FRACCIÓN POSITIVA MENOR QUE 1, YA QUE
i f~
0xfj
Njij ≥∑
CONCLUSIÓN: SE DEFINE EL CORTE DE GOMORY ASOCIADO A LA VARIABLE BÁSICA : Bix
0xff~
jNjiji ≤−∑
O IGUALMENTE,
0f~xf i j
Njij ≥−∑
32
ALGORITMO DE CORTES DE GOMORY • PASO 1 (INICIACIÓN): RESOLUCIÓN DE PROBLEMA LINEAL RELAJADO (PLR)
INFACTIBLE ⇒ PROBLEMA ORIGINAL INFACTIBLE ⇒ FIN
FACTIBLE ⇒ IR A PASO 2 • PASO 2 (CONTROL DE OPTIMALIDAD):
SI SE CUMPLE INTEGRALIDAD ⇒ SOLUCIÓN ÓPTIMA ⇒ FIN
SI NO SE CUMPLE INTEGRALIDAD ⇒ IR A PASO 3
33
ALGORITMO DE CORTES DE GOMORY • PASO 3 (GENERACIÓN DE CORTE): SE EMPLEA UNA VARIABLE BÁSICA QUE
HA DE SER ENTERA Y NO LO ES, Y SE GENERA EL CORTE DE GOMORY • PASO 4 (RESOLUCIÓN):
SE AÑADE EL CORTE Y SE RESUELVE EL NUEVO PLR ⇒ IR A PASO 2
MÉTODO SIMPLEX DUAL ACONSEJABLE
34
EJEMPLO I PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA ESTRICTA
21 xxz MINIMIZAR −−= SUJETO A:
0x1 ≤−
1x2x2 21 ≤−
9x2 2 ≤
Ix,x 21 ∈
35
BRANCH & CUT • COMBINACIÓN DE BRANCH & BOUND Y DE GENERACIÓN DE CORTES • USO DE HEURÍSTICOS QUE REDUCEN LA REGIÓN FACTIBLE • REDUCCIÓN ESPECTACULAR DE TIEMPO DE CÁLCULO ⇒ CPLEX, XPRESS
36
PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA-MIXTA CONTENIDOS
• INTRODUCCIÓN • MÉTODOS DE RESOLUCIÓN • APLICACIONES GENERALES • APLICACIONES EN INGENIERÍA ELÉCTRICA
37
RESTRICCIONES LÓGICAS FACTIBILIDAD DE UNA RESTRICCIÓN
¿CUÁNDO SE CUMPLE LA RESTRICCIÓN ( ) bx,,x,xf n21 ≤K ? MODELO PLEM 0/1: ( ) bByx,,x,xf n21 ≤−K
(1)
CUMPLE SE NO NRESTRICCIÓ LA
CUMPLE SE NRESTRICCIÓ LA
1
0y
⇒
⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧= (2)
DONDE B ES UNA CONSTANTE POSITIVA SUFICIENTEMENTE GRANDE TAL QUE CUANDO LA RESTRICCIÓN NO SE CUMPLE, 1y = , (1) NO SE ACTIVA ADECUADA ELECCIÓN DE B ⇒ EVITAR PROBLEMAS NUMÉRICOS
38
RESTRICCIONES LÓGICAS RESTRICCIONES ALTERNATIVAS I
SE DEBE CUMPLIR AL MENOS UNA DE LAS SIGUIENTES RESTRICCIONES: ( ) 1n211 bx,,x,xf ≤K
( ) 2n212 bx,,x,xf ≤K
39
RESTRICCIONES LÓGICAS RESTRICCIONES ALTERNATIVAS I
MODELO PLEM 0/1: ( ) 111n211 byBx,,x,xf ≤−K
(1)
( ) 222n212 byBx,,x,xf ≤−K
(2)
1yy 21 ≤+
(3)
{ }1,0y,y 21 ∈ (4) DONDE B1 Y B2 SON CONSTANTES POSITIVAS SUFICIENTEMENTE GRANDES
40
RESTRICCIONES LÓGICAS RESTRICCIONES ALTERNATIVAS II
SE DEBE CUMPLIR SÓLO UNA DE LAS SIGUIENTES RESTRICCIONES: ( ) 1n211 bx,,x,xf ≤K
( ) 2n212 bx,,x,xf ≤K
MODELO PLEM 0/1 (I): ( ) 111n211 byBx,,x,xf ≤−K
(1)
( ) 222n212 byBx,,x,xf ≤−K
(2)
1yy 21 =+
(3)
{ }1,0y,y 21 ∈ (4) DONDE B1 Y B2 SON CONSTANTES POSITIVAS SUFICIENTEMENTE GRANDES
41
RESTRICCIONES LÓGICAS RESTRICCIONES ALTERNATIVAS II
MODELO PLEM 0/1 (II): ( ) 111n211 byBx,,x,xf ≤−K
(1)
( ) ( ) 212n212 by1Bx,,x,xf ≤−−K
(2)
{ }1,0y1∈ (3) DONDE B1 Y B2 SON CONSTANTES POSITIVAS SUFICIENTEMENTE GRANDES AHORRO DE 1 VARIABLE BINARIA ⇒ ↓↓↓ COMPLEJIDAD COMPUTACIONAL (ÁRBOL DE BÚSQUEDA DEL BRANCH & BOUND REDUCIDO)
42
RESTRICCIONES LÓGICAS RESTRICCIONES ALTERNATIVAS III
SE DEBEN CUMPLIR AL MENOS k DE LAS SIGUIENTES RESTRICCIONES: ( ) jn21j bx,,x,xf ≤K , p1j K=
MODELO PLEM 0/1: ( ) ( ) jjjn21j by1Bx,,x,xf ≤−−K , p1j K=
(1)
kyp
1jj ≥∑
=
(2)
CUMPLE SE NO j NRESTRICCIÓ LA
CUMPLE SE j NRESTRICCIÓ LA
0
1yj
⇒
⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧= , p1j K=
(4)
DONDE Bj SON CONSTANTES POSITIVAS SUFICIENTEMENTE GRANDES
43
RESTRICCIONES LÓGICAS ALTERNATIVAS COMPUESTAS
REGIÓN FACTIBLE DEFINIDA POR CONJUNTOS ALTERNATIVOS DE RESTRICCIONES (NO NECESARIAMENTE DISJUNTOS):
44
RESTRICCIONES LÓGICAS ALTERNATIVAS COMPUESTAS
MODELO PLEM 0/1: ( ) 111211 byBx,xf ≤− (1)
( ) 212212 byBx,xf ≤− (2)
( ) 323213 byBx,xf ≤− (3)
( ) 424214 byBx,xf ≤− (4)
( ) 535215 byBx,xf ≤− (5)
( ) 636216 byBx,xf ≤− (6)
( ) 737217 byBx,xf ≤− (7)
2yyy 321 ≤++ (8)
0x,x 21 ≥ (9)
{ }1,0y,y,y 321 ∈ (10)
DONDE B1 - B7 SON CONSTANTES POSITIVAS SUFICIENTEMENTE GRANDES
45
RESTRICCIONES LÓGICAS RESTRICCIONES CONDICIONALES
( ) 1n211 bx,,x,xf >K IMPLICA QUE ( ) 2n212 bx,,x,xf ≤K (CONDICIÓN IF ... THEN)
EQUIVALENTE A RESTRICCIONES ALTERNATIVAS (AL MENOS UNA SE DEBE CUMPLIR): ( ) 1n211 bx,,x,xf ≤K Y/O ( ) 2n212 bx,,x,xf ≤K
46
MODELADO DE FUNCIONES NO LINEALES DISCONTINUIDAD
( )Bx0 SI
0x SI
cxK
0xf
≤<
=
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=
EJEMPLO PRÁCTICO: COSTES FIJO (K) Y VARIABLE (c) DE UNA CENTRAL ELÉCTRICA
47
MODELADO DE FUNCIONES NO LINEALES DISCONTINUIDAD
MODELO PLEM 0/1: ( ) cxKyxf +=
(1)
Byx ≤
(2)
0x ≥
(3)
{ }1,0y∈ (4) DONDE: B ≡ VALOR MÁXIMO DE x (POTENCIA MÁXIMA NOMINAL) y ≡ VARIABLE 0/1 IGUAL A 0 SI x = 0 (NO SE INCURRE EN EL COSTE FIJO), E IGUAL A 1 EN OTRO CASO (SÍ SE INCURRE EN EL COSTE FIJO) ¡¡¡OJO, SÓLO FUNCIONA SI SE MINIMIZA f(x) Y K > 0!!!
48
MODELADO DE FUNCIONES NO LINEALES FUNCIONES NO CONVEXAS A TROZOS
( ) ( )
( ) ( )⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
≤<
≤<
≤≤
−γ+−β+α
−β+α
α
=
cxb
bxa
ax0
bxaba
axa
x
xf
DONDE:
γ<α<β<0
cba0 <<<
49
MODELADO DE FUNCIONES NO LINEALES FUNCIONES NO CONVEXAS A TROZOS
MODELO PLEM 0/1: ( ) 321 xxxxf γ+β+α=
(1)
321 xxxx ++=
(2)
axay 11 ≤≤
(3)
( ) ( ) 122 yabxyab −≤≤−
(4)
( ) 23 ybcx0 −≤≤
(5)
{ }1,0y,y 21 ∈
(6)
OJO, (4) IMPIDE LA COMBINACIÓN 0y1 = , 1y2 = ⇒ 3 COMBINACIONES POSIBLES
50
MODELADO DE FUNCIONES NO LINEALES FUNCIONES NO CONVEXAS A TROZOS
xj ≡ TROZO j DE x
CASO OTRO EN
ax SI
0
1y
1
1
=
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
CASO OTRO EN
bx SI
0
1y
2
2
=
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
PARA EL CASO GENERAL LA RESTRICCIÓN PARA EL TROZO j ES:
1jjjjj yLxyL −≤≤ DONDE Lj REPRESENTA LA LONGITUD DEL TRAMO j SI LA FUNCIÓN ES CONVEXA Y EL PROBLEMA ES DE MINIMIZACIÓN LAS VARIABLES 0/1 NO SON NECESARIAS
51
MODELADO DE FUNCIONES NO LINEALES FUNCIONES NO CONVEXAS A TROZOS CON
DISCONTINUIDAD INICIAL
( )( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
≤<
≤<
≤<
≤≤
−γ+−β+−α+
−β+−α+
−α+=
dxc
cxb
bxa
ax0
cxbcabf
bxabf
axf
0
xf
0
0
0
DONDE:
γ<α<β<0
cba0 <<<
52
MODELADO DE FUNCIONES NO LINEALES FUNCIONES NO CONVEXAS A TROZOS CON
DISCONTINUIDAD INICIAL
53
MODELADO DE FUNCIONES NO LINEALES FUNCIONES NO CONVEXAS A TROZOS CON
DISCONTINUIDAD INICIAL MODELO PLEM 0/1: ( ) 3210 xxxvfxf γ+β+α+=
(1)
321 xxxvax +++=
(2)
( ) ( )vabxyab 11 −≤≤−
(3)
( ) ( ) 122 ybcxybc −≤≤−
(4)
( ) 23 ycdx0 −≤≤
(5)
{ }1,0y,y,v 21 ∈
(6)
OJO, (3) IMPIDE Y (4) IMPIDE LA COMBINACIÓN vyj > 0y1 = , 1y2 = ⇒ 4 COMBINACIONES POSIBLES
54
MODELADO DE FUNCIONES NO LINEALES APROXIMACIÓN LINEAL A TROZOS
iU
pi
iU u i
Puntos de mejor eficiencia local
Linealización cóncava a trozos
NO CONCAVIDAD ⇒ VARIABLES BINARIAS ↑↑ PRECISIÓN ⇒ ↑↑ TRAMOS LINEALES
55
MODELADO DEL PRODUCTO DE VARIABLES BINARIAS
∏=
=n
1iixz , { }1,0xi ∈
MODELO PLEM 0/1:
0z ≥
(1)
ixz ≤ , n,,1i K=
(2)
1nxzn
1ii +−≥ ∑
=
(3)
{ }1,0xi ∈ (4) (3) SÓLO SE ACTIVA CUANDO TODOS LOS xi SON IGUALES A 1
56
MODELADO DEL PRODUCTO DE UNA VARIABLE BINARIA Y UNA VARIABLE CONTINUA
xpz = , { }1,0x∈ , [ ]maxmin p,pp∈
MODELO PLEM 0/1:
rpz −=
(1)
maxmin xpzxp ≤≤
(2)
( ) ( ) maxmin px1rpx1 −≤≤−
(3)
{ }1,0x∈ (4)
[ ]maxmin p,pr ∈ (5) DONDE r ES UNA VARIABLE CONTINUA AUXILIAR
57
MODELADO DEL PRODUCTO DE LAS CONDICIONES DE COMPLEMENTARIEDAD
0f =π , 0≥π , 0f ≥
MODELO PLEM 0/1 (EXPRESIÓN DE FORTUNY-AMAT):
My≤π
(1)
0≥π (2)
( )y1Mf −≤
(3)
0f ≥
(4)
{ }1,0y∈
(5)
DONDE M ES UNA CONSTANTE POSITIVA SUFICIENTEMENTE GRANDE
58
PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA-MIXTA CONTENIDOS
• INTRODUCCIÓN • MÉTODOS DE RESOLUCIÓN • APLICACIONES GENERALES • APLICACIONES EN INGENIERÍA ELÉCTRICA
59
OPERACIÓN DE UNA CENTRAL TÉRMICA
• LÍMITES MÁXIMO Y MÍNIMO DE PRODUCCIÓN • TIEMPOS MÍNIMOS DE FUNCIONAMIENTO Y DE PARADA • RAMPAS: SUBIDA, BAJADA, ARRANQUE Y PARADA • RESERVA RODANTE • COSTES: DE PRODUCCIÓN (FIJOS Y VARIABLES), DE ARRANQUE Y DE
PARADA
60
OPERACIÓN DE UNA CENTRAL TÉRMICA MODELO BASADO EN LA DEFINICIÓN DE 3 VARIABLES BINARIAS: • v(k): VARIABLE DE ACOPLAMIENTO/DESACOPLAMIENTO EN EL PERIODO k • y(k): VARIABLE DE ARRANQUE AL COMIENZO DEL PERIODO k • z(k): VARIABLE DE PARADA AL COMIENZO DEL PERIODO k
61
OPERACIÓN DE UNA CENTRAL TÉRMICA
P
P
Power(MW)
SU SD
Time (h)01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11
RD RU
k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 v(k) 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 y(k) 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 z(k) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
62
OPERACIÓN DE UNA CENTRAL TÉRMICA
( ) ( ) ( ) ( )1kvkvkzky −−=−
¡¡OJO!! ( ) [ ]1,0kz ∈ ⇒ VENTAJAS COMPUTACIONALES
v(k-1)
v(k)
y(k)
z(k)
0
0
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
1
0
0
1
MINIMIZACIÓN DE
COSTES
63
LÍMITES DE PRODUCCIÓN
POTENCIA MÁXIMA NOMINAL Y MÍNIMO TÉCNICO:
( )
( ) ACOPLADA ESTÁ CENTRAL LA SI
ADESACOPLAD ESTÁ CENTRAL LA SI
PkpP
0kp
⇒
⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤≤
=
MODELO PLEM 0/1:
( ) ( ) ( )kvPkpkvP ≤≤
64
TIEMPO MÍNIMO DE FUNCIONAMIENTO NÚMERO MÍNIMO DE HORAS QUE UNA CENTRAL DEBE MANTENERSE ACOPLADA UNA VEZ PUESTA EN FUNCIONAMIENTO MODELO NO LINEAL: ( )[ ] ( ) ( )[ ] 0kv1kv UT1kx ≥−−−−
(1)
( ) ( ) ( )[ ]{ } ( ) ( ) ( )[ ]{ } ( )[ ]kv1 1kz1 1kxkv 1ky1 1kxkx −−−−++−−=
(2)
UT: TIEMPO MÍNIMO DE FUNCIONAMIENTO (h) x(k): NÚMERO DE HORAS QUE LA CENTRAL LLEVA
ACOPLADA/DESACOPLADA (+/-) AL FINAL DEL PERÍODO k
65
TIEMPO MÍNIMO DE FUNCIONAMIENTO MODELO PLEM 0/1:
( )[ ] 0kv1L
1k
=−∑=
(1)
( ) ( )kyUTiv 1UTk
ki
≥∑−+
=
1UTT1Lk +−+= K (2)
( ) ( )[ ] 0kyivT
ki
≥−∑=
T2UTTk K+−= (3)
( ) ( )[ ]0V UUT,TMinL 0−=
T: NÚMERO DE HORAS DEL HORIZONTE TEMPORAL
0U : TIEMPO QUE LA CENTRAL LLEVA INICIALMENTE ACOPLADA (h)
( )0V : ESTADO INICIAL DE ACOPLAMIENTO
66
TIEMPO MÍNIMO DE PARADA NÚMERO MÍNIMO DE HORAS QUE UNA CENTRAL DEBE ESTAR PARADA UNA VEZ QUE SE DESACOPLA MODELO NO LINEAL: ( )[ ] ( ) ( )[ ] 01kvkv DT1kx ≤−−+−
(1)
( ) ( ) ( )[ ]{ } ( ) ( ) ( )[ ]{ } ( )[ ]kv1 1kz1 1kxkv 1ky1 1kxkx −−−−++−−=
(2)
DT: TIEMPO MÍNIMO DE PARADA (h)
67
TIEMPO MÍNIMO DE PARADA MODELO PLEM 0/1:
( ) 0kvF
1k
=∑=
(1)
( )[ ] ( )kzDTiv1 1DTk
ki
≥−∑−+
=
1DTT1Fk +−+= K (2)
( ) ( )[ ] 0kziv1T
ki
≥−−∑=
T2DTTk K+−= (3)
( )[ ] ( )[ ]{ } 0V1 0SDT,T MinF −−=
( )0S : TIEMPO QUE LA CENTRAL LLEVA INICIALMENTE DESACOPLADA (h)
EXPRESIONES ANÁLOGAS A LAS DEL TIEMPO MÍNIMO DE FUNCIONAMIENTO
68
RAMPAS MÁXIMA VARIACIÓN DE PRODUCCIÓN ENTRE DOS HORAS CONSECUTIVAS • RAMPA DE SUBIDA (RU)
( ) ( )[ ] ( ) RU1kpky1 kp ≤−−− • RAMPA DE BAJADA (RD)
( ) ( )[ ] ( ) RDkpkz1 1kp ≤−−− • RAMPA DE ARRANQUE (SU)
( ) ( ) ( )[ ]ky1P kSUykp −+≤ • RAMPA DE PARADA (SD)
( ) ( ) ( )[ ]kz1P kSDz1kp −+≤−
69
RAMPAS MODELO PLEM 0/1: ( ) ( ) ( )[ ] ( )SD 1kz1kzkvPkp +++−≤
(1)
( ) ( ) ( ) ( )kySU1kvUR1kpkp +−+−≤
(2)
( ) ( ) ( ) ( )kSDzkvDRkp1kp +≤−−
(3)
70
RAMPAS
( )1kv −
( )kv
( )1kv + Restricciones (1)-(3)
1 1 0
( ) SD kp ≤ ( ) ( ) UR1kpkp +−≤ ( ) ( ) DRkp1kp ≤−−
1 1 1
( ) Pkp ≤ ( ) ( ) UR1kpkp +−≤ ( ) ( ) DRkp1kp ≤−−
0 1 0
( ) SD kp ≤ ( ) SU kp ≤ ( ) SDDRkp +≤−
0 1 1
( ) Pkp ≤ ( ) SU kp ≤ ( ) DRkp ≤−
71
RAMPAS
( )1kv −
( )kv
( )1kv + Restricciones (1)-(3)
1 0 0
( ) 0 kp ≤ ( ) ( ) UR1kpkp +−≤ ( ) ( ) DSkp1kp ≤−−
1 0 1
( ) 0 kp ≤ ( ) ( ) UR1kpkp +−≤ ( ) ( ) DSkp1kp ≤−−
0 0 0
( ) 0 kp ≤ ( ) 0kp ≤ ( ) 0kp ≤−
0 0 1
( ) 0 kp ≤ ( ) 0kp ≤ ( ) 0kp ≤−
72
RESERVA RODANTE POTENCIA SINCRONIZADA DISPONIBLE RÁPIDAMENTE EN CASO DE EMERGENCIA CONCEPTO ÚTIL: POTENCIA MÁXIMA DISPONIBLE ( ( )kp ):
( ) ( ) ( )kpkpkRR −= DONDE:
( ) ( ) ( )[ ]{ ( ) ( ) ( ) ( ) } SU ky1kRUv1kp,SD 1kz1kzkvP Minkp +−+−+++−=
73
RESERVA RODANTE
( )1kv −
( )kv
( )1kv +
( )kp
1 1 0
( ){ } RU1kp,SDMin +−
1 1 1
( ){ } RU1kp,PMin +−
0 1 0
{ } SU,SDMin
0 1 1
SU
1 0 0 0
1 0 1 0
0 0 0 0
0 0 1 0
SIMPLIFICACIÓN TRADICIONAL:
( ) ( )kvPkp =
74
RESERVA RODANTE MODELO PLEM 0/1: ( ) ( ) ( )[ ] ( )SD 1kz1kzkvPkp +++−≤
(1)
( ) ( ) ( ) ( )kySU1kvUR1kpkp +−+−≤
(2)
( ) ( )kpkp ≤
(3)
( ) ( ) ( )kpkpkRR −= (4) MODELO EQUIVALENTE SI SE MINIMIZA EL COSTE O SI SE MAXIMIZA EL INGRESO POR RESERVA RODANTE
75
COSTES DE PRODUCCIÓN
FUNCIÓN NO LINEAL, NO CONVEXA Y NO DIFERENCIABLE DE LA POTENCIA DE SALIDA
jP
d(k)
P p(k)
1 2 3
76
COSTES DE PRODUCCIÓN SIMPLIFICACIÓN TRADICIONALMENTE USADA: APROXIMACIÓN CUADRÁTICA
jP
d(k)
jP p(k)
a
( ) ( ) ( )( )[ ] ( )kvkpckbpakd 2++=
77
COSTES DE PRODUCCIÓN APROXIMACIÓN LINEAL POR TRAMOS
F3
F2
F1
T2 T1 jP
d(k)
jP
δ1(k) δ2(k)
δ3(k) A
p(k)
A: TÉRMINO QUE INCLUYE EL COSTE FIJO Y EL COSTE A MÍNIMO TÉCNICO
lF : PENDIENTE DEL BLOQUE DE POTENCIA l
δl(k): POTENCIA PRODUCIDA EN LA HORA k Y EN EL BLOQUE l
78
COSTES DE PRODUCCIÓN APROXIMACIÓN LINEAL POR TRAMOS
( ) ( ) ( )∑
=
δ+=NL
1
k FkAvkdl
ll
(1)
( ) ( ) ( )kvPkkpNL
1
+δ= ∑=l
l
(2)
( ) ( ) ( )kkt PT 111 δ≤−
(3)
( ) ( ) ( )kv PTk 11 −≤δ
(4)
( ) ( ) ( )kkt TT 1 llll δ≤− − 1NL2 −= Kl
(5)
( ) ( ) ( )kt TTk 11 −−−≤δ llll 1NL2 −= Kl
(6)
( ) 0kNL ≥δ
(7)
( ) ( ) ( )kt TPk 1NL1NLNL −−−≤δ
(8)
( ) { }1,0kt ∈l 1NL1 −= Kl
(9)
79
COSTE DE ARRANQUE
FUNCIÓN EXPONENCIAL DEL TIEMPO QUE LA CENTRAL LLEVA DESACOPLADA
CF
s(k-1)
b(k)
CF + CC
( )( )
( )kyCFe1 CCkb1-ks -
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡+
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
α
80
COSTE DE ARRANQUE APROXIMACIÓN LINEAL POR TRAMOS
DISCRETIZACIÓN HORARIA ⇒ COSTE DE ARRANQUE DISCRETO APROXIMACIÓN ASINTÓTICAMENTE CONVERGENTE
3 1 2
Cos
te d
e ar
ranq
ue Exponencial
Lineal a tramos
3K
Tiempo parada (h)
2K1K
81
COSTE DE ARRANQUE APROXIMACIÓN LINEAL POR TRAMOS
SE NECESITA MODELAR UN CONTADOR DEL TIEMPO QUE LA CENTRAL LLEVA DESACOPLADA RESTRICCIÓN CONDICIONAL: • SI ( ) 0kv = ⇒ ( ) ( ) 11ksks +−=
• SI ( ) 1kv = ⇒ ( ) 0ks =
82
COSTE DE ARRANQUE APROXIMACIÓN LINEAL POR TRAMOS
MODELO PLEM 0/1: ( ) ( ) 11ksks +−≤
(1)
( ) ( ) ( ) ( ) 11kskv 1Sks +−≥++
(2)
( ) ( )[ ] 0kv1Sks ≤−−
(3)
( ) 0ks ≥
(4)
DONDE S ES UNA CONSTANTE POSITIVA SUFICIENTEMENTE GRANDE (E.G. EL NÚMERO MÁXIMO DE HORAS QUE LA CENTRAL PUEDE ESTAR DESACOPLADA)
83
COSTE DE ARRANQUE APROXIMACIÓN LINEAL POR TRAMOS
MODELO PLEM 0/1:
( ) ( )kw Kkb~ iND
1i
i∑=
=
(1)
( ) ( )kykwND
1i
i =∑=
(2)
( ) ( ) ( )1kskmkw i 1ND
1i
i −=+∑−
=
(3)
( ) ( ) ( )[ ] 1kykwSkm ND +−≤
(4)
( ) ( )kw NDkm ND≥ (5)
( ) { }1,0kwi ∈ (6)
ND: NÚMERO DE TRAMOS DE LA DISCRETIZACIÓN
84
COSTE DE PARADA
TÍPICAMENTE CONSTANTE:
( ) ( )kCzkc =
85
¿DÓNDE NECESITAMOS ESTOS MODELOS?
• PROGRAMACIÓN HORARIA (UNIT COMMITMENT) ⇒ MARCO CENTRALIZADO
• DESPACHO ECONÓMICO DINÁMICO
• PROCEDIMIENTOS DE CIERRE DE MERCADO (CON O SIN RED) ⇒ MARCO
COMPETITIVO
• AUTO-PLANIFICACIÓN DE PRODUCTORES (MERCADO DIARIO Y/O DE
SERVICIOS COMPLEMENTARIOS, CON O SIN PODER DE MERCADO) ⇒ ESTRATEGIAS DE OFERTA
86
APLICACIÓN MODELOS PLEM 0/1 PROGRAMACIÓN HORARIA
DETERMINACIÓN, PARA CADA HORA DE UN DÍA O UNA SEMANA, DEL PLAN DE ACOPLAMIENTO Y DE LAS PRODUCCIONES DE LOS GRUPOS TÉRMICOS, DE FORMA QUE: • EL COSTE DE EXPLOTACIÓN SEA MÍNIMO • SE CUMPLAN LAS RESTRICCIONES TÉCNICAS DE LOS GRUPOS TÉRMICOS
(LÍMITES DE PRODUCCIÓN, RAMPAS, TIEMPOS MÍNIMOS) • SE SUMINISTRE LA DEMANDA DE ENERGÍA • HAYA POTENCIA DE RESERVA SUFICIENTE
87
APLICACIÓN MODELOS PLEM 0/1 PROGRAMACIÓN HORARIA. FORMULACIÓN MATEMÁTICA
( ) ( ) ( )kckbkd MINIMIZAR iiIi Kk
i ++∑∑∈ ∈
SUJETO A:
iip Π∈ Ii∈∀
( ) ( )kDkpIi
i =∑∈
Kk∈∀
( ) ( ) ( ) ( )kRRkDkpkpIi
ii +≥−∑∈
Kk∈∀
88
APLICACIÓN MODELOS PLEM 0/1 PROGRAMACIÓN HORARIA. COMPLEJIDAD
COMPUTACIONAL
# RESTRICCIONES
# VARIABLES 0/1
# VARIABLES CONTINUAS
( ) T2NL216TNJ ×+×+××
( )NDNL1TNJ ++××
( )NL5TNJ +××
NJ: NÚMERO DE CENTRALES TÉRMICAS T: NÚMERO DE INTERVALOS DEL HORIZONTE TEMPORAL NL: NÚMERO DE TRAMOS DE LA APROXIMACIÓN LINEAL DEL COSTE DE
PRODUCCIÓN ND: NÚMERO DE INTERVALOS DISCRETOS DEL COSTE DE ARRANQUE
89
APLICACIÓN MODELOS PLEM 0/1 PROGRAMACIÓN HORARIA. COMPLEJIDAD
COMPUTACIONAL NJ: 60 T: 24 NL: 3 ND: 3
# RESTRICCIONES
# VARIABLES 0/1
# VARIABLES CONTINUAS
31728
10080
11520
90
EJEMPLO NUMÉRICO
GRUPO
P
(MW)
P
(MW)
RU
(MW/h)
RD
(MW/h)
SU
(MW/h)
SD
(MW/h)
A
(€/h)
1F
(€/MWh)
1F
(€)
C (€)
1
350
50
200
300
200
300
10
0.100
20
0.5
2
200
80
100
150
100
150
17
0.125
18
0.3
3
140 40 100 100 100 100 12 0.150 05 1.0
HORAS
1 2 3 DEMANDA (MW) 150 500 400
RESERVA RODANTE (MW) 015 050 040 INICIALMENTE, TODOS LOS GRUPOS DESACOPLADOS
91
EJEMPLO NUMÉRICO SOLUCIÓN ÓPTIMA
( )kpi (MW) ( )kpi (MW)
HORAS HORAS
150
350
300
200
350
350
000
100
000
000
100
000
GR
UP
OS
000
050
050
GR
UP
OS
000 100 140
COSTE: 189.8 €
92
EJEMPLO NUMÉRICO SI LAS RAMPAS DE ARRANQUE Y PARADA SE DESACTIVAN (IGUALES A P):
SOLUCIÓN ÓPTIMA:
( )kpi (MW) ( )kpi (MW) HORAS HORAS
150
350
320
350
350
350
000
150
080
000
200
200
GR
UP
OS
000
000
000
GR
UP
OS
000 000 000
COSTE: 177.75 €
93
APLICACIÓN MODELOS PLEM 0/1 ALGORITMOS DE CIERRE DE MERCADO
Centrales térmicas
Centrales nucleares
Sistemas hidráulicos
Demanda residencial Otros
consumos
Demanda industrial
Intercambios internacionales
Otros
productores: eólica, solar,
cogeneración, etc.
Red de transporte y
redes de distribución
Demanda comercial
94
ALGORITMOS DE CIERRE DE MERCADO MERCADO BASADO EN UN “POOL” O BOLSA DE ENERGÍA
Operador del mercadoAlgoritmo de cierre de
mercado
Productor 1 Productor i Productor n Estrategia de oferta Estrategia de oferta Estrategia de oferta
Plan de generación y
consumo
Precios de cierre de mercado
Estrategia de ofertaConsumidor 1
Estrategia de oferta Estrategia de oferta Consumidor j
··· ···
··· ···
Consumidor m
95
APLICACIÓN MODELOS PLEM 0/1 ALGORITMOS DE CIERRE DE MERCADO
• LOS PRODUCTORES ENVÍAN OFERTAS DE VENTA ENERGÍA/PRECIO (EN
GENERAL, MONÓTONAMENTE CRECIENTE) • LOS CONSUMIDORES ENVÍAN OFERTAS DE COMPRA ENERGÍA/PRECIO (EN
GENERAL, MONÓTONAMENTE DECRECIENTE) • EL OPERADOR DEL MERCADO USA UN ALGORITMO DE CIERRE DE
MERCADO (SUBASTA) PARA DETERMINAR:
PRECIO DE CIERRE DE MERCADO
OFERTAS DE VENTA ACEPTADAS
OFERTAS DE COMPRA ACEPTADAS
DE FORMA QUE EL BENEFICIO SOCIAL NETO SEA MÁXIMO
96
ALGORITMOS DE CIERRE DE MERCADO FORMULACIÓN GENERAL
MAXIMIZAR BENEFICIO SOCIAL NETO SUJETO A:
LÍMITES DE OFERTAS DE GENERACIÓN
LÍMITES DE OFERTAS DE CONSUMO
FACTIBILIDAD DE GENERADORES (RAMPAS, LÍMITES DE PRODUCCIÓN, TIEMPOS MÍNIMOS, ETC.) ⇒ RESTRICCIONES IDÉNTICAS A LAS DE LA PROGRAMACIÓN HORARIA
FACTIBILIDAD DE CONSUMIDORES
BALANCE DE POTENCIA
97
ALGORITMOS DE CIERRE DE MERCADO FORMULACIÓN GENERAL
Consumers’ surplus
Ofertas aceptadas
Precio de cierre de mercado
Energía
Precio
Producers’ surplus
p p SWIi
NL
1mmi Gmi G
Jj
NQ
1nnj Dnj D
ij
∑∑∑∑∈ =∈ =
λ−λ=
98
ALGORITMOS DE CIERRE DE MERCADO FORMULACIÓN GENERAL
nj Dλ : PRECIO DEL BLOQUE n DE LA DEMANDA j
mi Gλ : PRECIO DEL BLOQUE m DEL GENERADOR i
p nj D : POTENCIA CONSUMIDA DEL BLOQUE n DE LA DEMANDA j
p mi G : POTENCIA GENERADA DEL BLOQUE m DEL GENERADOR i
jNQ : NÚMERO DE BLOQUES DE LA OFERTA DE LA DEMANDA j
i : NÚMERO DE BLOQUES DE LA OFERTA DEL GENERADOR i NL
99
ALGORITMOS DE CIERRE DE MERCADO FORMULACIÓN GENERAL
• LÍMITES DE OFERTAS DE GENERACIÓN:
∑=
=iNL
1mmi Gi pp
Ii∈∀
Pp0 mi GmiG ≤≤
iMmI,i ∈∀∈∀
i1Gi PP =
Ii∈∀
• LÍMITES DE OFERTAS DE CONSUMO:
Pp0 nj Dnj D ≤≤ jNnJ,j ∈∀∈∀
• BALANCE DE POTENCIA:
∑ ∑∑∈ ∈ =
=Ii Jj
NQ
1nnj Di p p
j
100
ALGORITMOS DE CIERRE DE MERCADO FORMULACIÓN GENERAL
• DEFINICIÓN DEL PRECIO DE CIERRE DE MERCADO:
VARIABLE DUAL ASOCIADA AL BALANCE DE POTENCIA
PRECIO DE LA OFERTA DE VENTA ACEPTADA MÁS CARA
101
APLICACIÓN MODELOS PLEM 0/1 TIPOS DE ALGORITMOS DE CIERRE DE MERCADO
• MULTIPERIODO VERSUS MONOPERIODO • CON RED VERSUS NUDO ÚNICO • MODELANDO PÉRDIDAS VERSUS SIN PÉRDIDAS
102
ALGORITMOS DE CIERRE DE MERCADO RESULTADOS
CON RESTRICCIONES
SIN RESTRICCIONES
CASO (# GRUPOS)
SOLUCIÓN ÓPTIMA ($)
TIEMPO CPU (s)
SOLUCIÓN ÓPTIMA ($)
TIEMPO CPU (s)
A (20)
0 320072.65
03.72
0321328.02
02.53
B (40)
0 640320.02
09.94
0642823.60
05.95
C (60)
0960549.09
22.23
0964314.46
07.78
D (80)
1280683.28
34.71
1285704.28
41.10
E (100)
1600914.95
50.31
1607183.90
34.89
103
ALGORITMOS DE CIERRE DE MERCADO RESULTADOS
0 5 10 15 20 250
1000
2000
3000
21.6
21.8
22.0
22.2
TIME (h)
DEM
AN
D (M
W)
MA
RK
ET CLEA
RIN
G PR
ICE ($/M
Wh)
PRICE
DEMAND
104
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