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INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
UNIRESIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO
FACULTAD DE CIENCIAS POLITICAS Y ADMINSITRATIVAS
CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÌA
PROGRAMACIÓN LINEAL
EJERCICIOS EN CLASES
QUINTO SEMESTRE “A”
NOMBRE: JESSICA PÈREZ
DOCENTE: MARLON VILLA VILLA
2014- 2015
QUINTO SEMESTRE “A”
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
PROGRAMACIÓN LINEAL
GRÁFICA DE DESIGUALDADES
EJERCICIO N° 1
2X1 + 4X2 ≤ 12
X1 X2
06
30
1) Escojo un punto de ensayo. Recomendado: P(0,0)
2) Determino si el punto de ensayo satisface la desigualdad
RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO GRÁFICO
EJERCICIO N° 3 Una compañía de auditores se especializa en preparar liquidaciones y auditorías de Empresas. Tienen interés en saber cuántas auditorías y liquidaciones pueden realizar mensualmente para maximizar sus ingresos. Se dispone de 800 horas de trabajo directo y 320 horas para revisión. Una auditoría en promedio requiere de 40 horas de trabajo directo y 10 horas de
QUINTO SEMESTRE “A”
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
revisión, además aporta un ingreso de $300. Una liquidación de impuesto requiere de 8 horas de trabajo directo y de 5 horas de revisión, produce un ingreso de $100. El máximo de liquidaciones mensuales disponible es de 60.
LIQUIDACIONES AUDITORÍAS DISPONGO DE:X1 X2
HORAS DE TRABAJO 8 40 800HORAS DE REVISIÓN 5 10 320
UTILIDAD 100 300
FUNCIÓN OBJETIVO
MAXIMIZAR:
Z=100X1+300X2
S.a. 8X1+40X2 ≤ 800 5X1+10X2 ≤ 320
X1 ≤ 60
Cond. Téc. X1, X2 ≥ 0
8X1+40X2 = 800
X1 X2
0100
200
8(0)+40(0) ≤ 800
0 ≤ 800 VERDADERO
5X1+10X2 = 320
X1 X2
064
320
QUINTO SEMESTRE “A”
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
5(0)+10(0) ≤ 320
0 ≤ 320 VERDADERO
X1 = 60
PUNTO X1 X2 Z
A 0 0 0
B 0 20 6000
C 40 12 7600
D 60 2 6600
E 60 0 6000
Para calcular los puntos C Y D por el método de eliminación
8X1+40X2 = 800
5X1+10X2 = 320 (-4)
QUINTO SEMESTRE “A”
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
8X1 + 40X2 = 800 -20X1 - 400X2 = -1280 -12X1 = - 480 X1 = 40
8(40) + 40X2 = 800 40X2 = 800 -320 X2 = 12
X1 = 60
5(60) + 10X2 = 320 10X2 = 320 – 300 X2 = 2
Solución Óptima (SO): Z =7600
Restricciones Activas (RA): 1,2
Restricciones Inactivas: (RI): 3
Variables Óptimas (VO): X1 = 40; X2 = 12
QUINTO SEMESTRE “A”
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
COMPROBACIÓN 1) 8 X1 + 40 X2 ≤ 800
8(40)+40(12) ≤ 800 320 + 480 ≤ 800 800 ≤ 800 Hay Equilibrio 8 X1 + 40 X2 + h1 = 800
8(40) + 40 (12) + h1 = 800 800 + h1 = 800
h1 = 0
2) 5 X1 + 10 X2 ≤ 320
5(40) + 10(12) ≤ 320 200 + 120 ≤ 320 320 ≤ 320 Hay equilibrio 5 X1 + 10 X2 + h2 = 320
5(40) + 10(12) + h2 = 320 200 + 120 + h2 = 320
h2 = 0
3) X1 ≤ 60
40 ≤ 60 Hay Holgura X1 + h3 = 60 40 + h3 = 60 h3 = 20
Entonces, para maximizar los ingresos se debe hacer 40 liquidaciones y 12 auditorías para tener un ingreso de $7600.
Además existe una holgura de 20 liquidaciones respecto al límite máximo de liquidaciones posibles en el mes.
CONCEPTOS:Maximización: representa el punto más lejos del origen. Minimización: representa el punto más cercano al origen. Arco Convexo: Sector de posibles soluciones limitado por cada contorno de las ecuaciones.
RESTRICCIONES ACTIVAS E INACTIVAS Restricciones Activas.- aquellas rectas que son parte de la solución, se cumple la igualdad al sustituir las variables. Restricciones Inactivas.- aquellas rectas que no forman parte de la solución.
HOLGURA Y EL EXCEDENTE Variable de Holgura.- representa la cantidad de recursos no utilizados, para su cálculo se la anota como +h en el miembro izquierdo de la desigualdad. Variable de excedente.- representa la cantidad por encima de un nivel mínimo requerido. Para su cálculo se la anota como -h en el miembro izquierdo de la desigualdad. Ambas variables deben cumplir con la condición de no negatividad; es decir deben ser diferentes o mayores que cero.
QUINTO SEMESTRE “A”
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
EJERCICIO N°4 Se va a organizar una planta de un taller de automóviles donde van a trabajar electricistas y mecánicos. Por necesidades de mercado, es necesario que haya mayor o igual número de mecánicos que de electricistas y que el número de mecánicos no supere al doble que el de electricistas. En total hay disponibles 30 electricistas y 20 mecánicos. El beneficio de la Empresa por jornada es de 250 euros por electricista y 200 euros por mecánicos. ¿Cuántos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el máximo beneficio, y cuál es este?
FUNCIÓN OBJETIVOMAX: Z= 200X1 + 250X2
VARIABLES: X1= número de mecánicos X2= número de electricistas
X1≥ X2 X1≤ 2X2
Lim. X2≤ 30 X1≤ 20
C.T X1, X2 ≥ 0
X1= X2 X1= 2X2 X2= 30 X1=20
0 ≥ 0 0 ≤ 2(0) 0 ≤ 30 0 ≤ 20 verdadero verdadero verdadero verdadero
PUNTOS X1 X2 ZB 20 10 6500C 20 20 9000
QUINTO SEMESTRE “A”
X1 X2
05
101520
05
101520
X1 X2
010203040
05
101520
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
SOLUCIÓN ÓPTIMA
Z= 9000
V.O.
X1= 20
X2=20
RA=1, 4
RI= 2, 3
COMPROBACIÓN
1. X1≥ X2 20≥20 Hay equilibrio
2. X1≤ 2X220 ≤ 2(20)20 ≤ 40 Hay holgura X1 + H1 = 2X2
20 + H1 = 2(20) 20 + H1 = 40 H1 = 40-20 H1 = 20
3. X2≤ 30 20 ≤ 30 Hay holgura X2 + H2 = 30 20 + H2 = 30 H2 = 10
4. X1≤2020 ≤ 20 Hay equilibrio
PROFESIONALES DISPONIBLES HOLGURA EXCEDENTE
MECÁNICOS 20
ELECTRICISTAS 30 10
QUINTO SEMESTRE “A”
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
EJERCICIO N°5
TIPOS DE SOLUCIONES
Solución única
Función objetivo:
MIN: Z = 2X + 3Y
S.a. -3x+2y ≤ 6
x +y ≤ 10.5
-x+2y ≥ 4
C.T. X, Y ≥ 0
1) -3x+2y =6 2) X +y=10.5 3)-x+2y=4
0 ≤ 6 0 ≤ 105 0 ≥ 4 verdadero verdadero falso
QUINTO SEMESTRE “A”
X1 X2
0-4
20
X1 X2
0-2
30
X1 X2
010.5
10.50
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
PUNTOS X Y Z
A 0 2 6
SOLUCIÓN ÓPTIMA
Z=6
V.O.
X =0
Y= 2
RA=3
RI=1, 2
COMPROBACIÓN:
1) -3x+2y ≤ 6-3(0)+2(2) ≤ 6 4 ≤ 6 Hay holgura -3(0)+2(2)+H1=6 4+H1=6
H1=3
2) x +y ≤ 10.5 0+2 ≤ 10.5 2 ≤ 10.5 Hay holgura (0)+2+H2=10.5
2+H2=10.5 H2=8.5
3) -x+2y ≥ 4-0+2(2) ≥ 4 4 ≥4
QUINTO SEMESTRE “A”
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
EJERCICIO N°5
Solución múltiple
Función objetivo:
MAX: Z = 5/2X1 + X2
S.a.
3x1 + 5x2 ≤ 15
5x1 + 2x2 ≤ 10
C.T. x1; x2 ≥ 0
1) 3x1+5x2 ≤ 15 2)5X1 +2x2 ≤ 10
0 ≤ 15 0 ≤ 10 verdadero verdadero
SOLUCIÓN ÓPTIMA
Z=5
V.O
X1 =20/19
X2= 45/19
RA=1; 2
QUINTO SEMESTRE “A”
X1 X2
05
30
X1 X2
02
50
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
POSIBLES SOLUCIONES ÓPTIMAS
X1 Desde 20/19 Hasta 45/19
20/19 ≤ X1 ≤ 2
X2 0 ≤ X2 ≤ 45/19
DondeZ = 5
Para calcular el Punto C
3x1+5x2 =15 (-2)5X1 +2x2=10(5)
-6x1 - 10x2 =-3025x1 +10x2 =5019x1 0 =20 x1=20/19
3(20/19)+5x2 =1560/19+5x2 =15 x2 =45/19
PUNTO C= (20/19; 45/19)
COMPROBACIÓN:
1) 3x1+5x2 ≤ 15
3(20/19)+5(45/19) ≤ 15
15 ≤ 15
2) 5X1 +2x2 ≤ 10
5(20/19)+2(45/19) ≤ 10
10 ≤10
QUINTO SEMESTRE “A”
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
EJEMPLO N°7
NO ACOTADOUna de las variables de decisión puede asumir calores indefinidamente.
Función objetivo:
MAX: Z= 5000A + 4000B
S.a.
A+B≥5
A-3B≤0
30A+10B≥135
C.T. A; B ≥ 0
1) - A+B = 5 2) A-3B ≤ 0 3) 30A+10B = 135
A=3B
0 ≥ 5 0 ≤ 0 0 ≥ 135 Falso Verdad Falso
QUINTO SEMESTRE “A”
A B
05
50
A B
05
50
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
No acotada no hay solución
EJERCICIO N° 8Un frutero necesita 16 cajas de naranjas, 5 de plátanos y 20 de manzana. Dos mayoristas pueden suministrarle para satisfacer sus necesidades, pero solo venden la fruta en contenedores completos. El mayorista A envía en cada contenedor 8 cajas de naranjas, 1 de plátanos y 2 de manzanas. El mayorista B envía en cada contenedor 2 cajas de naranjas, 1 de plátanos y 7 de manzanas. Sabiendo que el mayorista A se encuentra a 150 Km de distancia y el mayorista B se encuentra a 300 Km, calcular cuántos contenedores habrá que comprar a cada mayorista con objeto de ahorrar tiempo y dinero, reduciendo al mínimo la distancia de lo solicitado.
FUNCIÓN OBJETIVO Z = 150A + 300B
RESTRICCIONES
S.a.
8A + 2B ≥ 16
A + B ≥ 5
2A + 7B ≥ 20
C.T. A, B ≥ 0
1) 8A + 2B ≥ 16 2) A + B ≥ 5 3) 2A + 7B ≥ 20
QUINTO SEMESTRE “A”
A B
02
80
A B
05
50
A B
100
02.86=3
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
0 ≥ 16 0 ≥ 5 0 ≥ 20 Falso Falso Falso
PUNTOS X1 X2 ZB 1 4 1350C 3 2 1050
SOLUCIÓN OBJETIVO
Z= 1050
V.O.
A= 3
B= 2
RA= 2,3
RI= 1
COMPROBACIÓN
1. 8A +2B ≥ 16
8(3)+2(2) ≥ 16
24+4 ≥ 16
28 ≥ 16 Hay Excedente 8A +2B - H1 = 16
8(3)+2(2) - H1= 16
28 – H1 = 16
H1 = 12
QUINTO SEMESTRE “A”
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
2. A + B ≥ 5
3 + 2 ≥ 5
5 ≥ 5
3. 2A+7B ≥ 20
2(3)+7(2) ≥ 20
6+14 ≥ 20
20 ≥ 20
Este es un problema no acotado, pero si tiene solución.
EJERCICIO N°9
PROBLEMAS NO FACTIBLESTienen un conjunto factible vacío
FUNCIÓN OBJETIVO
MAX: Z= 3000E + 4000F
S.a.
E +F ≤ 5
E -3F ≤ 0
10E + 15F ≤ 150
20E + 10F ≤ 160
30E +10F ≥ 150
C.T. E,F ≥0
1.- E +F = 5 2.- E -3F = 0 3.- 10E + 15F = 150
QUINTO SEMESTRE “A”
E F
36
12
E F
05
50
E F
150
010
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
0 ≤ 5 0 ≤ 0 0 ≤ 150 verdadero verdadero verdadero
4.- 20E + 10F = 160 5.- 30E +10F = 150
0 ≤ 160 0 ≥ 150 verdadero falso
No tienen solución
QUINTO SEMESTRE “A”
E F
08
160
E F
05
150
Recommended