View
217
Download
2
Category
Preview:
DESCRIPTION
Programarea liniara
Citation preview
Programarea liniara
PAGE
Programarea liniar
Progamarea liniar, ca disciplin matematic, a aprut la mijlocul secolului nostru, primele lucrri fiind publicate de L. Kantorovici (1939) i F. Hitchcock (1941).
Primele probleme rezolvate se refereau la organizarea optim a transporturilor maritime, necesitile de aprovizionare a frontului, planificarea misiunilor aviaiei de bombardament.
n 1947 G. Dantzig i J. Von Newmann creeaz metoda simplex care st la baza rezolvrii problemelor de programare liniar. Ulterior programarea liniar a cunoscut un mare avnt prin lucrrile unor matematicieni i economiti ca T. Koopmans, L. Ford, D. Fulkerson, W. Cooper, H. Kuhn, gsindu-i un cmp foarte larg de aplicaii n economie.
Necesitile reale ale vieii economice au condus la apariia i dezvoltarea altor tipuri de programri, cum ar fi:
programarea ptratic;
programarea convex;
programarea n numere ntregi;
programarea stohastic;
programarea dinamic;
toate acestea fiind nglobate n termenul generic de programare matematic.
Metodele de programare liniar au o larg rspndire n rezolvarea unor probleme privind optimizarea managementului activitilor economice, astfel:
determinarea structurii optime a sortimentului de producie;
amplasarea optim a unor obiective industiale;
folosirea eficient a resurselor;
utilizarea optim a capacitilor de producie;
optimizarea trasporturilor;
optimizarea produciei i a stocajului
repartizarea optim a sarcinilor de producie.
Exist pentru acest tip de probleme dou ci de rezolvare: una analitic cu ajutorul algoritmului SIMPLEX i alta geometric.
Rezolvarea analitic face posibil operarea cu un numr mai mare de variabile (n mod uzual trei pentru o operare manual), avantajul fiind constituit i de faptul c metoda se preteaz la nglobarea ei n programe specializate sub diferite platforme: turbo pascal, C++ etc.
Rezolvarea pe cale geometric are limitri legate de numrul de variabile (maxim dou), dar i de numrul de restricii i totui este mai utilizat datorit simplitii cu care se opereaz.
Rezolvarea pe cale geometric a unei probleme de programare liniar presupune parcurgerea urmtoarelor etape:
elaborarea modelului de programare liniar cu un numar de m restricii i 2 variabile;
reprezentarea grafic;
determinarea soluiei optime;
concluzii.
Exemple de probleme de programare liniar
a) Problema planului optim de producie.
Fie mainile
care fabric sau consum produsele
, n cantiti date pe unitatea de timp, anume
din
pentru maina
. (Dac
produce n unitatea de timp cantitatea
din
atunci
, dac consum atunci
, iar dac
,
nu produce i nu consum
). Producia (respectiv consumul) produsului
nu trebuie s fie sub limita (respectiv s depeasc)
(respectiv
dac
) pentru
.
Fie
timpul de funcionare al mainii
, iar
beneficiul obinut prin funcionarea lui
n unitatea de timp,
. Un sistem de numere reale
constituie un plan optim de producie, dac maximizez beneficiul total adic funcia:
n condiiile restrictive:
.
Dac
reprezint costul funcionrii mainii
n unitatea de timp, atunci se va cere minimizarea funciei de cost
.
b) Problema dietei (a amestecului).
S se determine cantitile
din alimentele
,
, alctuind o diet
astfel nct costul acesteia
s fie minim, unde
reprezint costul unitar al alimentului
, dac se mai cunoate componena n substane nutritive
(cum ar fi: glucide, lipide, vitamine) a alimentelor
,
, dat prin matricea:
unde
este cantitatea de substan
coninut n unitatea din alimentul
i se cere ca fiecare diet s conin cel puin cantitile
din substana
,
. Deci, matematic problema se transcrie:
c) Problema folosirii optime a resurselor.
O unitate economic trebuie s produc produsele
avnd la dispoziie cel mult cantitile
din resursele
. tiind c producerea unei uniti din produsul
necesit cantitatea
din resursa
i c prin livrarea unei uniti din acelai produs se obine beneficiul
,
se cere s se determine cantitile
din produsele
astfel ca beneficiul s fie maxim. Deci:
d) Problema de transport.
Se dau depozitele
, avnd disponibil o marf n cantitile
; consumatorii
solicitnd marfa n cantitile b'1, b'2, ..., b'm; i costul unitar
de transport al mrfii de la depozitul
la consumatorul
.
Se cere s se gseasc un sistem de numere nenegative
unde
este cantitatea de marf transportat de la
la
, care s fac minim costul de transport, adic funcia
i s nu depeasc disponibilul din nici un depozit, adic:
i s satisfac mcar cererea fiecrui consumator, adic:
Sistemul
care ndeplinete aceste condiii se numete program de transport. Evident, existena unui program de transport impune condiia ca disponibilul total s depeasc sau s fie mcar egal cu cererea total, adic:
Dac restriciile problemei sunt date ca egaliti atunci i relaia (1) devine egalitate, i n acest caz problema de transport se numete echilibrat.
n caz contrar spunem c avem o problem de transport neechilibrat.
Datele problemei de transport pot fi nscrise ntr-un tablou de forma:
Tabelul (T)
Consumatori
Depozite
Disponibil
Cerere
Aplicaia 1
O microntreprindere este specializat n fabricarea de seturi de piese de tipul buce (A) i arbori (B), care fac parte din ansamblul cutie de viteze a unui automobil.
Acestea pot fi utilizate pe trei tipuri de maini unelte universale (U1, U2, U3).
S se determine cantitatea optim de seturi de piese ce trebuie realizat lunar n condiiile realizrii unui beneficiu total maxim.
Sa dau:
norma de timp Tij [min/set piese];
fondurile disponibile Fdi [min/lun];
beneficiul planificat Bj [lei/set piese].
n tabelul urmtor sunt prezentate valorile pentru fiecare dintre aceti parametrii:
Tipuri de produse
Utilaje Tij [min/set piese]Fdi [min/lun]
AB
U11199.900
U27128.400
U36169.600
Bj [lei/set piese]90100-
Rezolvare geometric:
Elaborarea modelului matematic de programare liniar.
Funcia obiectiv este definit de relaia:
(1)
Sistemul de restrictii:
(2)
Condiii de nenegativitate:
(3)
Reprezentarea grafic a ecuaiilor dreptelor din sistemul de restricii i a funciei obiectiv:
(4)
Determinarea soluiei problmei:
Se constat c maximul funciei este atins n punctul B, adic cel care este cel mai ndeprtat punct de dreapta , situat n cmpul soluiilor.
Coordonatele punctului B se obin din ecuaiile dreptelor i care se intersecteaz n punctul B:
(5)
(6)
Concluzii:
Calcularea funciei obiectiv cu soluiile anterior obinute:
(7)
Beneficiul lunar maxim va fi deci, egal cu mrimea funciei obiectiv.
ncrcarea utilajelor va fi:
- utilajul U1:
- utilajul U2:
- utilajul U3:
B
D//D0
PAGE 7
_865168571.unknown
_865226651.unknown
_865230011.unknown
_1011962586.unknown
_1224366045.unknown
_1224366088.unknown
_1224366141.unknown
_1224366159.unknown
_1224366169.unknown
_1224366151.unknown
_1224366108.unknown
_1224366117.unknown
_1224366098.unknown
_1224366069.unknown
_1224366079.unknown
_1224366056.unknown
_1224366015.unknown
_1224366030.unknown
_1011962632.unknown
_1195979035.bin
_865231105.unknown
_865231487.unknown
_865231567.unknown
_865231245.unknown
_865231406.unknown
_865230142.unknown
_865230366.unknown
_865230083.unknown
_865227711.unknown
_865229644.unknown
_865229712.unknown
_865229777.unknown
_865229692.unknown
_865229421.unknown
_865229486.unknown
_865228308.unknown
_865229387.unknown
_865227826.unknown
_865227151.unknown
_865227449.unknown
_865227580.unknown
_865227198.unknown
_865226924.unknown
_865227058.unknown
_865226745.unknown
_865226823.unknown
_865225285.unknown
_865225544.unknown
_865226468.unknown
_865226541.unknown
_865225592.unknown
_865225426.unknown
_865225506.unknown
_865225319.unknown
_865168844.unknown
_865169375.unknown
_865225149.unknown
_865169374.unknown
_865168710.unknown
_865168763.unknown
_865168657.unknown
_865167274.unknown
_865167682.unknown
_865168125.unknown
_865168281.unknown
_865168325.unknown
_865168249.unknown
_865167959.unknown
_865167999.unknown
_865167777.unknown
_865167415.unknown
_865167515.unknown
_865167545.unknown
_865167470.unknown
_865167341.unknown
_865167382.unknown
_865167323.unknown
_865166734.unknown
_865167023.unknown
_865167149.unknown
_865167230.unknown
_865167084.unknown
_865166867.unknown
_865166884.unknown
_865166989.unknown
_865166747.unknown
_865166475.unknown
_865166614.unknown
_865166733.unknown
_865166492.unknown
_865166325.unknown
_865166428.unknown
_865166176.unknown
Recommended