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G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-1
CAP. III – CONDIZIONI QUASI STAZIONARIE - RETI ELETTRICHE IN REGIME
SINUSOIDALE
III.1 Bipoli fondamentali in condizioni quasi stazionarie
Si considerino grandezze variabili nel tempo, ma abbastanza lentamente da poter
“ragionevolmente” considerare le tensioni indipendenti dal percorso tra due morsetti A-B
e l’intensità di corrente indipendente dalla sezione del tratto di conduttore . In tal caso si
parlerà di bipoli in regime variabile quasi stazionario. (1)
Si definirà resistore ideale in tali condizioni il bipolo (fig.III.1.1) per cui valga – con la
convenzione dell’utilizzatore - la relazione v(t)=Ri(t) qualunque siano i valori di tensione e
corrente e qualunque sia l’istante di tempo considerato.
In questo contesto, ogni bipolo per cui valga una relazione algebrica tra tensione e corrente
viene classificato come adinamico; un bipolo che presenti una caratteristica differenziale
viene classificato dinamico.
I bipoli dinamici fondamentali sono il condensatore ideale e l’induttore ideale.
fig. III.1.1 – Resistore, condensatore ed induttore ideali in condizioni quasi stazionarie
Si definirà condensatore ideale, in condizioni quasi stazionarie (2) (fig.III.1.1) il bipolo per
cui valga, con la convenzione dell’utilizzatore, la relazione i(t)=dq/dt=Cdv/dt dove la
intensità di corrente i(t) è correlata alla variazione temporale della carica sulle “armature”
A e B del condensatore. Il coefficiente C (≥0) può essere in prima approssimazione
considerato pari al rapporto tra la carica QA (=-QB) sull’armatura A e la tensione VAB in
condizioni stazionarie (capacità del condensatore).
L’intensità della corrente elettrica in un bipolo condensatore ideale è quindi in relazione
differenziale con la tensione. Tale relazione è lineare, ma non è sufficiente a fornirci le
informazioni per risalire al valore della tensione; infatti, sempre considerando la
convenzione dell’utilizzatore, si ha in un generico istante t1
1 Per richiami ed approfondimenti sulla considerazione di quasi-stazionarietà si veda l’appendice A4.
2 Per un componente reale, questa condizione può essere ragionevolmente assunta se i morsetti A e B sono
sufficientemente “lontani” (ma non troppo) dalla zona occupata dalle armature del condensatore.
R C L
A
B B B
A A
v(t) v(t) v(t)
QA
QB
i(t) i(t) i(t)
Φ(t)
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-2
o
t
t
cccc
c tvdtiC
tvdt
dvCi
1
0
11 (III.1.1)
dove to è un qualsiasi istante di riferimento. Si vede quindi che può essere ricavata la
tensione in un certo istante t1 solo se si conosce il valore della stessa in un istante
precedente e la funzione intensità della corrente nell’intervallo tra gli istanti to e t1. Pur
essendo l’integrale un operatore lineare, la tensione non è quindi funzione lineare
dell’intensità di corrente, salvo che non sia nulla la tensione nell’istante di riferimento
(condensatore a riposo).
Si definirà induttore ideale in condizioni quasi stazionarie(3) il bipolo per cui valga, con la
convenzione dell’utilizzatore, la relazione v(t)= dΦ/dt= Ldi/dt (fig.III.1.1) .
Un induttore “reale” viene realizzato attraverso un avvolgimento costituito da un
elevato numero di spire metalliche (solenoide); la tensione v(t) è correlata alla variazione
temporale del flusso Φ del campo magnetico concatenato con la linea “quasi-chiusa”
costituita dall’avvolgimento stesso. Il coefficiente L può essere in prima approssimazione
considerato pari al rapporto tra flusso concatenato ed intensità di corrente in condizioni
stazionarie (coefficiente di autoinduzione o induttanza).
La tensione ai capi di un induttore è in relazione differenziale con l’intensità della
corrente. Tale relazione è lineare, ma non è sufficiente a fornirci le informazioni per risalire
al valore dell’intensità di corrente; infatti, considerando la convenzione dell’utilizzatore, si
ha in un generico istante t1
o
t
t
LLLL
L tidtvL
tidt
diLv
1
0
11 (III.1.2)
dove to è un qualsiasi istante di riferimento. Si vede quindi che si può conoscere l’intensità
della corrente in un certo istante t1 solo se si conosce il valore della stessa in un istante
precedente e la funzione tensione nell’intervallo tra gli istanti to e t1. Quindi la grandezza
intensità di corrente non è funzione lineare della tensione, salvo che non sia nulla
l’intensità di corrente nell’istante di riferimento (induttore a riposo). Dalle caratteristiche
integrali si deduce che se le tensioni applicate agli induttori e le intensità di corrente nei
condensatori sono limitate (come nei casi reali), la tensione sui condensatori e la corrente
negli induttori sono grandezze continue. Infatti se si considera la condizione t1 to , si avrà
che gli integrali nelle caratteristiche, estesi ad intervalli infinitesimi, sono infinitesimi. In
altri termini,
oLoLoLoLoL
ccccc
tititititi
tvtvtvtvtv
00
0000
000
limlim
limlim
(III.1.3)
La tensione sul condensatore è in ogni istante legata all’energia elettrostatica 3 Per un induttore reale costituito da un avvolgimento cilindrico di N spire di area S ed altezza h questa
condizione può essere ragionevolmente raggiunta se i morsetti A e B sono a distanza molto minore di h e
sono collegati ad un circuito configurando una “spira esterna” di area molto minore di NS. Vedasi appendice
A4 e la nota al §I.24.
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-3
immagazzinata dal condensatore e l’intensità di corrente nell’induttore è legata all’energia
magnetica immagazzinata dall’induttore
22
2
1
2
1)( lmces LiwCvtw (III.1.4)
Tali grandezze sono legate quindi allo stato energetico del bipolo ed anche per tale motivo
vengono spesso indicate come grandezze di stato. Esse possono essere anche considerate
funzioni-memoria.
Tali grandezze di stato sono continue: se non lo fossero, avremmo discontinuità
dell’energia, o meglio una variazione finita dell’energia in un intervallo infinitesimo; ciò
implicherebbe la capacità del bipolo di assorbire o erogare potenza illimitata; ciò non è
concepibile nei casi pratici.
Generatori di potenza illimitata (4) possono essere tuttavia introdotti formalmente per
l’analisi più ampia dei transitori (dinamica) nelle reti con modelli lineari.(5)
III.2 Reti con bipoli e doppi bipoli dinamici
Si definisce ordine di una rete l’ordine del sistema (algebrico-)differenziale completo
associato alla rete in esame. L’ordine di una rete è quindi pari al numero di equazioni
differenziali indipendenti (del primo ordine) del sistema fondamentale.
Una rete costituita da soli bipoli adinamici è di ordine zero. Se la rete è costituita da soli
bipoli adinamici normali essa sarà classificata come rete lineare e ad essa potranno essere
applicate le considerazioni già fatte nel caso stazionario.
Se una rete ha un solo condensatore o un solo induttore, comparirà una sola relazione
differenziale e quindi si avrà una rete del primo ordine.
Se una rete ha più condensatori e/o induttori e/o parametri mutui (capacitivi e/o induttivi)
occorrerà una analisi più attenta della rete per individuare il numero delle equazioni
indipendenti. Ad esempio, occorrerà evidenziare la eventuale presenza di condensatori o
4 A parte i generatori ideali già introdotti
5 Vedere §III.15.6 e seguenti, dove sono introdotti i generatori impulsivi ideali. Esempi di generatori reali
classificati come impulsivi sono effettivamente in grado di erogare tensioni ed intensità di corrente molto
elevate per intervalli di tempo brevissimi. Ad esempio il generatore di tensione ad impulso della Sala Alta
Tensione del DIETI (vedi App.A14) è in grado di erogare tensioni di 2.4 MV e intensità di corrente di 3kA
per qualche microsecondo, con potenze istantanee dell’ordine dei gigawatt; l’energia erogabile tuttavia non
può superare qualche decina di kilojoule (si pensi che una stufetta da 1kW in un’ora consuma 1 kWh,
corrispondente a 3.6 MJ!). In tali casi il modello quasi-stazionario va preso con molta cautela; infatti al
funzionamento di tali dispositivi può essere associata un consistente campo perturbativo elettromagnetico
[come nel caso dei fulmini, per cui si parla di LEMP (ligthning electromagnetic pulse)]; nel caso di tempi con
ordine di grandezza della decina di nanosecondi si parla di “steep front” o fronte ripido [ad esempio nel caso
di particolari transitori con collasso (breakdown) sulle reti di trasmissione dell’energia elettrica] oppure di
NEMP (nuclear electromagnetic pulse) nella sciagurata ipotesi di esplosione nucleare.
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-4
induttori in serie o in parallelo. La “memoria” è legata ad esempio alla sola tensione su un
condensatore, anche se questo può essere a sua volta visto come l’equivalente di numerosi
condensatori in serie o in parallelo.
In una rete dinamica di ordine N, ogni grandezza y(t) (tensione o intensità di corrente)
può essere rappresentata da una equazione differenziale di ordine N; ai fini della unicità
della soluzione stessa a partire da un istante di tempo iniziale, il teorema di Cauchy richiede
la conoscenza di N condizioni iniziali, cioè il valore iniziale della y(t) e delle sue derivate
fino all’ordine (N-1). La ricerca delle condizioni iniziali può essere condotta a partire dai
dati iniziali, ovverosia dai valori delle N grandezze di stato corrispondenti agli N bipoli a
memoria indipendenti.
Si consideri ora un doppio bipolo con convenzione dell’utilizzatore alle due porte,
caratterizzato come segue:
dt
diL
dt
diMv
dt
diM
dt
diLv
2
2
1
2
21
11
(III.2.1)
Tale relazione è tipica del mutuo induttore ideale; in tale componente possono essere
considerati i flussi di campo magnetico concatenati con due circuiti: il flusso concatenato
con un circuito avrà un contributo collegato alla intensità della corrente del primo circuito
(flusso di autoinduzione) ed un contributo legato alla intensità di corrente dell’altro
circuito (flusso di mutua induzione).
221212
212111
iLiM
iMiL
(III.2.2)
Si può dimostrare che i due coefficienti di mutua sono uguali e che
21
2 LLM
L’accoppiamento magnetico tra due circuiti di coefficienti di autoinduzione L1, L2 e mutua
induzione M è valutato dal coefficiente di accoppiamento k=M/√ L1L2. Tale coefficiente è in
valore assoluto non superiore all’unità, dovendo essere non negativa l’energia magnetica,
funzione quadratica delle correnti, con parametri L1, L2,M
21
2
22
2
11212
1
2
1),( iMiiLiLiiwm
(III.2.3)
Nel caso sia 21
2 LLM l’accoppiamento si dice perfetto (k=±1) e l’energia magnetica
diventa un quadrato perfetto di un binomio ed è facile vedere che essa è nulla per infinite
coppie di valori non nulle delle intensità delle correnti. (│ i1/i2│= √L2 /L1); in tal caso il campo
magnetico generato dal mutuo induttore è nullo in tutto lo spazio.
Si vedrà più avanti (§III.14) che il doppio bipolo mutuo induttore è un doppio bipolo
dinamico, equivalente ad un trasformatore ideale con un induttore L1 [L2] in parallelo sulla
prima [seconda] porta. Tale doppio bipolo è equivalente quindi in genere ad un
trasformatore di tensione; per quanto riguarda le intensità delle correnti, rispetto ad un
trasformatore ideale, è presente la corrente a vuoto alla prima [seconda] porta. Tale corrente
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-5
a vuoto è nulla se alla seconda [prima] porta è collegato un bipolo cortocircuito: in tal caso
il doppio bipolo si comporta come un trasformatore di corrente, ma ambedue le tensioni
sono nulle.
Se l’accoppiamento non è perfetto si potrà considerare la scomposizione (a valori non
negativi) L1=L1‘+L1” e L2= L2‘ + L2“ tali che tra L1 “ e L2“ vi sia la condizione di
accoppiamento perfetto. Una delle due induttanze L’ può essere scelta ad arbitrio (ad
esempio nulla). Quindi la scomposizione ha un grado di libertà.
Un doppio bipolo circuito accoppiato è in genere del secondo ordine; nel caso di
accoppiamento perfetto è del primo ordine. Il trasformatore ideale è di ordine zero.
Nel caso di reti di ordine zero, non sia ha ovviamente necessità di valutare alcuna
condizione iniziale (la rete è “a risposta immediata”).
Nel caso di rete di ordine N lineare, cioè costituita da bipoli normali, da condensatori ed
induttori ideali, la soluzione è del tipo (6)
)()(1
tyekty p
N
i
t
ii
(III.2.4)
dove la sommatoria rappresenta l’integrale generale dell’omogenea associata, λi le radici
semplici (7) dell’equazione algebrica associata; i valori delle N costanti “arbitrarie” ki si
determinano attraverso le condizioni iniziali; l’integrale particolare yp(t) si ricava in genere
dalla conoscenza del termine noto (“forzamento”) dell’equazione differenziale.
L’Analisi Matematica ci fornisce numerosi strumenti per la identificazione dell’integrale
particolare; si osserva tuttavia che, nei casi di interesse dell’Ingegneria, per la presenza di
inevitabili parametri dissipativi, le radici λi sono negative (8) o complesse coniugate a parte
reale negativa, per cui l’integrale particolare viene a identificarsi con la soluzione a “tempi
lunghi” ossia con la soluzione “a regime”; questa è di immediata identificazione nei casi
ricorrenti di regime stazionario e (come si vedrà in seguito) sinusoidale.
6 È da ritenere preliminarmente che i coefficienti, ossia i parametri R,L e C siano costanti nel tempo. In
presenza di componenti reali a parametri variabili nel tempo (es. parti in movimento) la soluzione del
sistema fondamentale sarà in genere ardua. 7 Se una radice ha λ molteplicità m, ad essa viene associata la combinazione di integrali indipendenti
m
j
tj
j etk1
1
8 In caso contrario, anche in assenza di generatori, avremmo una crescita dell’”energia” del sistema.
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-6
III.2.1 Esempi di reti del primo ordine
Ogni rete del primo ordine contiene in genere un solo bipolo a memoria indipendente
(induttore o condensatore) oppure configurazioni riconducibili ad un solo bipolo
equivalente (es. serie o parallelo di soli condensatori o soli induttori). Il resto della rete è di
ordine zero e quindi riconducibile ad un generatore reale equivalente (di tensione o di
corrente). Per risolvere quindi qualsiasi rete basterà fare riferimento ad una delle possibili
reti elementari (9) :
a) generatore di tensione reale [generatore di corrente reale] alimentante un
condensatore ideale (circuito RC serie [circuito RC parallelo]);
b) generatore di tensione reale [generatore di corrente reale] alimentante un induttore
ideale (circuito RL serie [circuito RL parallelo]).
a1) Si consideri come esempio il circuito RC serie (fig.III.2.1.1):
fig. III.2.1.1 – Circuito RC serie
Si calcolino vc(t) ed ic(t) nei seguenti casi:
1) e(t)=0 per t<0, e(t)=E=10 V per t>0; C=1 mF; R=10 ;
2) e(t)=-E=-10V per t<0, e(t)=E=10 V per t>0; C=1 mF; R=1-2-10 ;
3) e(t)=-E=-10V per t<0, e(t)=E sen ωt (E=10 V; ω=314 rad/s) per t>0; C=1 mF; R=1-2-10 ;
4) e(t)=E sen ωt (E=10 V; ω=314 rad/s) per t<0, e(t)=E= e(t)=Ecos ωt per t>0; C=1 mF; R=1-2-
10 .
Il sistema fondamentale è il seguente:
9 Negli esempi che seguono saranno prese in esplicito esame solo le grandezze relative all’unico bipolo dinamico;
questo “vede” il resto della rete come un bipolo adinamico quindi riconducibile (teoremi di Thévénin e Norton) ad un
generatore equivalente di tensione o di corrente; se la grandezza su cui indagare è un’altra, ad esempio la tensione su
un resistore qualsiasi, non si può in genere applicare il teorema del generatore equivalente, perché la rete vista dal
resistore non è “algebrica”; in questo caso si valuterà a regime l’integrale particolare, mentre la condizione iniziale si
valuterà risolvendo con metodi “algebrici“ la rete “fotografata” all’istante 0+, in cui è presente per continuità il valore
della grandezza di stata valutata all’istante 0- .
vC
+ R
C
i
e
vR
vg
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-7
dt
dvCi
Riv
tev
vvv
c
R
g
CRg
)(
(III.2.1.1)
Le equazioni differenziali nelle incognite di fig. III.2.1.1 sono
dt
deRC
dt
dvRCv
dt
deC
dt
dvC
R
vdt
deC
dt
diRCi
dt
RiedC
dt
vvdCi
vdt
dvRC)t(e
RR
RR
Rg
Cc
(III.2.1.2)
Come si può osservare, qualunque sia la grandezza incognita in esame, per la linearità del
sistema, l’equazione algebrica associata all’omogenea è
msRC;sRC
RC 101001
01 1 (nel caso 1) (III.2.1.3)
La soluzione è del tipo
)t(iek)t(i
)t(vek)t(v
cp
t
ic
cp
t
vc
(III.2.1.4)
Si osservi che, per t<0, nel primo caso la tensione sul condensatore è sempre nulla, nel
secondo e terzo caso è pari a -10 V, nel quarto caso è sinusoidale e vale (10)
RCarctgsen
CR
CEv
RCarctgtsen
CR
CEtv
c
tc
1
21
1
)0(
1
21
1
)(
2
2
2
2
0
(III.2.1.5)
L’integrale particolare nel primo e nel secondo caso vale vcp(t)=E=10V, nel terzo caso vale
RC
arctgtsen
CR
CEtvcp
1
21
1
)(2
2
(III.2.1.6)
10
Essa può essere ricavata con il principio di identità dei polinomi trigonometrici o più rapidamente col
metodo simbolico di cui nei paragrafi successivi.
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-8
nel quarto caso
RC
arctgt
CR
CEtvcp
1
2cos
1
1
)(2
2
(III.2.1.7)
In tutti i casi la costante vale
)0()0( cpcv vvk (III.2.1.8)
Per quanto riguarda l’intensità di corrente , si osservi ancora che, per t<0, essa è sempre
nulla nei primi tre casi, nel quarto caso è sinusoidale e vale
RC
arctgtsen
CR
E)t(i
tc
1
12
2
0 (III.2.1.9)
L’integrale particolare dell’intensità di corrente nel primo e nel secondo caso è nullo, nel
terzo caso vale
RC
arctgtsen
CR
Eticp
1
1
)(2
2
(III.2.1.10)
nel quarto caso
RC
arctgt
CR
Eticp
1cos
1
)(2
2
(III.2.1.11)
In tutti i casi la costante vale
)0()0()0(
)0()0(
cpc
cpci iR
veiik (III.2.1.12)
Nelle figg. III.2.1.3- III.2.1.6 sono riportati i grafici relativi alla tensione sul condensatore
sul condensatore ed alla intensità di corrente rispettivamente nel caso 1), nel caso 2), nel
caso 3) e nel caso 4)..
fig. III.2.1.3 – caso 1)
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
tempo [s]
tensio
ne s
ul condensato
re [
V]
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
tempo [s]
corr
ente
nel condensato
re [
A]
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-9
fig.III.2.1.4 – caso 2
fig. III.2.1.5 – caso 3
fig. III.2.1.6 – caso 4
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
x 10-5
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
tempo [s]
tensio
ne s
ul condensato
re [
V]
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
x 10-5
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
tempo [s]
corr
ente
nel condensato
re [
A]
-0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
tempo [s]
tensio
ne s
ul condensato
re [
V]
-0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08-4
-2
0
2
4
6
8
10
tempo [s]
corr
ente
nel condensato
re [
A]
-0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
tempo [s]
tensio
ne s
ul condensato
re [
V]
-0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
tempo [s]
corr
ente
nel condensato
re [
A]
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-10
b2) Si consideri come ulteriore esempio il circuito RL parallelo (fig. III.2.1.7):
fig. III.2.1.7 – Circuito RL parallelo
Il sistema fondamentale è il seguente:
dt
diLv
R
vi
tji
iii
LL
LR
g
LRg
)(
(III.2.1.13)
Le equazioni differenziali nelle incognite sono
dt
djL
dt
dv
R
Lvv
R
vj
dt
dLv
idt
di
R
Ltj
LLL
LL
LL)(
(III.2.1.14)
L’equazione algebrica associata all’omogenea è
L
R
R
L 01 ( III.2.1.15)
La soluzione è del tipo
RL
tiekti
tvektv
Lp
t
iL
Lp
t
vL
/
)()(
)()(
(III.2.1.16)
Le costanti arbitrarie si deducono dalla continuità della intensità di corrente nell’induttore
e dal sistema fondamentale, “fotografato” allo 0+.
)0()0(0)0()0(
)0(0)0(
LRvLpvL
LLpiL
ijRRikvkv
iiki (III.2.1.17)
I casi a2 (RC parallelo) e b1 (RL serie) si discutono con le stesse modalità.
III.2.2 Esempi di reti del secondo ordine
In una rete del secondo ordine sono presenti almeno due elementi a memoria
indipendenti: due induttori (non riconducibili ad un induttore equivalente), due
condensatori (non riconducibili a un condensatore equivalente), un induttore ed un
condensatore. In tal caso, l’equazione algebrica caratteristica è di secondo grado; si può
dimostrare (dalle proprietà dei polinomi) che le frequenze naturali sono reali e distinte nel
vL R L
iL
j
iR
ig
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-11
caso di due induttori o di due condensatori; nel caso di un induttore ed un condensatore,
le frequenze naturali potrebbero essere reali e distinte, reali coincidenti(11) oppure
complesse coniugate.
Si consideri come primo esempio il circuito RLC serie (fig. III.2.1.8):
Fig. III.2.1.8– Circuito RC serie
dove il tratteggio indica un eventuale bipolo attivo adinamico equivalente.
Il sistema fondamentale è il seguente:
dt
diLv
dt
dvCi
Riv
tev
vvvv
L
c
R
g
LCRg
)(
(III.2.1.18)
Le equazioni differenziali nelle incognite sono
edt
vdLC
dt
dvRCvvvev
dt
edLC
dt
vdLC
dt
dvRCv
dt
deRC
dt
vdLC
dt
dvRCv
dt
deC
dt
idLC
dt
diRCi
dt
dt
diLRied
Cdt
vvvdCi
vdt
dvLRite
CCCLRC
LLL
RRR
LRg
CL
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)(
(III.2.1.19)
Come si può osservare, qualunque sia la grandezza incognita, per la linearità del sistema,
l’equazione algebrica associata all’omogenea è
11 In questo caso occorrerà considerare un appropriato integrale generale per l’omogenea associata, come già
detto.
+ R
C
i
e
vR
vg vC
vL L
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-12
02
01
2
1
22
01
2
1
2201
2
2
2
L
R
jjL
R
LCL
R
L
R
L
R
LCL
R
L
RLCRC
(III.2.1.20)
L’ultimo caso nella (III.2.2.3) corrisponde alla condizione “critica”
C
LRR c 2 (III.2.1.21)
La soluzione generica y(t) è del tipo
0)()(
0)(sin)()()(
0)()(
21
11
setytekekty
setytketyekeketyekekty
setyekekty
p
tt
p
t
p
tjtj
t
p
tjtj
p
tt
(12)
(III.2.1.22)
Per valori di R non inferiori al valore “critico” la soluzione è aperiodica (doppio
esponenziale, uno “veloce” seguito da uno più “lento”); al diminuire di R (fino al valore
critico) la “velocità” del primo esponenziale aumenta e l’altra diminuisce. Per valori di R
inferiori al valore critico la soluzione si presenta oscillatoria smorzata (funzione
pseudoperiodica di pulsazione ω) . Per R tendente a zero (circuito non dissipativo)
l’oscillazione tende ad essere permanente, con (pseudo)pulsazione massima
LCR
100
(III.2.1.23)
Si calcolino vc(t) ed i (t) nei seguenti casi:
1) generatore a gradino : e(t)=-V0 per t<0 (V0=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 V), e(t)=E=10 V per t>0;
C=1 mF; L=20 mH;
2) commutazione della tensione del generatore da costante a sinusoidale e(t)=-V0 per t<0
(V0=-10,-9,…..,0,1,…,9,10 V), e(t)=E sen ωt (E=10 V; ω=314 rad/s) per t>0; C=1 mF;
Il valore critico della resistenza vale
94.8542C
LRR c
12
Occorre notare che, nel caso di radici complesse coniugate, anche k+ e k- devono essere complesse
coniugate, risultando così “reale” la grandezza y(t).
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-13
Caso 1)
In fig. III.2.1.9 sono riportati, per i diversi casi del valore della tensione sul condensatore a
t=0, i grafici della tensione sul condensatore e della intensità della corrente nell’induttore
nel caso R=10 Ω. In fig. III.2.1.10 sono riportate le corrispondenti caratteristiche tensione
corrente del condensatore (traiettorie) (13) .
In tal caso infatti la soluzione è aperiodica e vale
)()(
)()(
tiekekti
tvekektv
p
t
i
t
i
cp
t
v
t
vc
(III.2.1.24)
L’integrale particolare della tensione sul condensatore è costante e pari a E (l’induttore si
comporta come un cortocircuito), quello dell’intensità di corrente è nullo (il condensatore
si comporta come un aperto). Le costanti di integrazione si ricavano dalle condizioni
iniziali
iiRcg
L
vvc
ii
cvvc
kkRiVE
Lvvv
LL
v
dt
di
kk
C
i
dt
dv
ikki
VvEkkv
)0(1
)0()0()0(10
00
0)0()0(
)0()0(
0
0
0
0
( III.2.1.25)
fig. III.2.1.9– Circuito RLC alimentato con tensione a gradino - Tensione sul condensatore ed intensità di
corrente, caso 1 (transitorio aperiodico)
13 Si nota (per estrapolazione) che tutte le traiettorie tendono al punto (E,0).
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-14
fig. III.2.1.10 – Circuito RLC – Caso aperiodico – Caratteristica tensione- corrente del condensatore
(traiettorie)
In fig. III.2.1.11 è riportato il grafico della tensione sul condensatore al variare di R dal 20%
al 200% del valore critico (con condizioni iniziali di riposo). In tal caso si mettono in
evidenza anche le soluzioni pseudoperiodiche:
cpC
tt
C
cpC
t
C
cpC
tt
C
RRsetvtekektv
RRsetvtketv
RRsetvekektv
)()(
)(sin)(
)()(
21
(III.2.1.26)
Le costanti arbitrarie si determinano con le condizioni iniziali
c
c
cc
cvvc
cC
cC
cC
RRsekk
C
i
dt
dv
EkRRsekC
i
dt
dv
RRsekk
C
i
dt
dv
RRseEkv
RRseEkv
RRseEkkv
21
0
0
0
1
00
,2
)(cos00
00
0)0(
sin0)0(
0)0(
(III.2.1.27)
Per l’intensità di corrente si avrà nel caso aperiodico,
ii
RcgL
ii
kkRiVE
Lvvv
LL
v
dt
di
ikki
)0(1
)0()0()0(10
0)0()0(
0
0
con facile estensione agli altri casi.
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-15
fig. III.2.1.11 – Circuito RLC alimentato da tensione costante- Tensione e intensità di corrente nel
condensatore al variare del valore di R. Condizioni iniziali di riposo.
Nella condizione pseudoperiodica, la tensione sul condensatore può essere superiore (fino
al doppio) della tensione del generatore. In questo caso è evidente che non è verificata la
proprietà di non-amplificazione (14).
Caso 2)
In fig.III.2.1.12 sono riportati, per i diversi casi del valore della tensione sul condensatore a
t=0, i grafici della tensione sul condensatore e della intensità della corrente nell’induttore
nel caso R=10 Ω.
In tal caso infatti la soluzione è aperiodica e vale
)()(
)()(
tiekekti
tvekektv
p
t
i
t
i
cp
t
v
t
vc
(28)
Gli integrali particolari sono sinusoidali e valgono
14
La proprietà di non amplificazione è legata alla proprietà della potenza assorbita 0rsrsiv , che in regime
stazionario coincide con la definizione di passività. In condizioni dinamiche la definizione di passività va
più correttamente legata all’energia piuttosto che alla potenza (come si vedrà, ad esempio, in regime
sinusoidale, la potenza assorbita da un condensatore ideale è sinusoidale, quindi sia positiva che negativa)
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-16
R
CL
arctgsen
CLR
CE
dt
dv
R
CL
arctgsen
CLR
CEv
R
CL
arctgtsen
CLR
CEtv
cp
cp
cp
1
1
/
1
21
1
)0(
1
21
1
)(
2
20
2
2
2
2
(III.2.1.29)
R
CL
arctgsen
CLR
E
dt
di
R
CL
arctgsen
CR
Ei
R
CL
arctgtsen
CLR
Eti
p
p
p
1
21
1
1
)0(
1
1
)(
2
20
2
2
2
2
( III.2.1.30)
fig. III.2.1.12 – Circuito RLC con commutazione della tensione da costante a sinusoidale - Tensione sul
condensatore ed intensità di corrente, caso 2 (transitorio aperiodico)
Le costanti di integrazione si ricavano dalle condizioni iniziali
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-17
0
0
0
00
0
)0(1
)0()0()0(10
00
0)0()0()0(
)0()0()0(
dt
dikkRiVE
Lvvv
LL
v
dt
di
dt
dvkk
C
i
dt
dv
iikki
Vvvkkv
piiRcg
L
cpvvc
pii
ccpvvc
( III.2.1.31)
Anche nel caso 2) si potrà constatare che la tensione sul condensatore può essere maggiore
della tensione prevista a regime, sia nel caso aperiodico che in quello pseudoperiodico;
poiché in quest’ultimo caso è presente una componente oscillante, è opportuno prevedere
(per il dimensionamento dei componenti reali) un valore massimo della tensione pari al
triplo (non più al doppio) della tensione prevista a regime.
III.3 Osservazioni generali sulla dinamica delle reti lineari
Riprendendo quanto già detto in precedenza, il sistema fondamentale per una rete di l lati
consta di l equazioni topologiche (sempre algebriche) e di l equazioni caratteristiche di cui
n=nL+nC equazioni differenziali relative a nL ed nc induttori e condensatori indipendenti,
nonché eventualmente (conto a parte) a bipoli dinamici di altro tipo (es. doppi bipoli
corrispondente a mutuo accoppiamento induttivo o capacitivo).
Nel caso di sistema lineare a coefficienti costanti, la soluzione è nota a meno di n costanti
arbitrarie, che andranno valutate in base alle condizioni di Cauchy (teorema di unicità), cioè
in base alla determinazione del valore iniziale della funzione e delle sue n-1 derivate.
Per ricavare i valori iniziali della funzione (in genere non si tratta di una funzione a
memoria) si considera la scrittura (foto) del sistema all’istante t0=0+.
In tale istante sono incognite i valori delle grandezze, tranne quelli delle n funzioni di
stato, note dallo 0-. Inoltre sono incogniti i valori allo 0+ delle n derivate che compaiono
nelle caratteristiche dinamiche. In definitiva si hanno n equazioni ai valori (algebrici) delle
(l-n) grandezze e delle n derivate allo 0+. Il sistema (fotografia numerica allo 0+) è
determinato e quindi si è in grado di conoscere allo 0+:
- i valori delle n grandezze di stato;
- i valori delle l-n grandezze non di stato
- i valori delle n derivate prime delle grandezze di stato.
Se occorre conoscere le derivate prime delle grandezze non di stato o le derivate seconde
delle grandezze di stato, basta considerare il sistema di 2l equazioni ottenuto derivando
una ad una le equazioni del sistema fondamentale.
In questo sistema derivato, letto allo 0+, si conoscono le derivate delle grandezze di stato
dal ragionamento precedente e quindi si può conoscere allo 0+:
- i valori delle derivate delle l-n grandezze non di stato
- i valori delle n derivate seconde delle grandezze di stato.
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-18
Tale ragionamento può essere ripetuto fino a conoscere il valore iniziale della derivata di
ordine (n-1).
La suddetta formulazione può essere espressa direttamente in forma “circuitale”. Lo
schema elettrico corrisponde infatti al sistema fondamentale e può essere letto in ogni
istante, in particolare allo 0+.
La “foto” del sistema allo 0+ vede quindi i valori delle funzioni note (in genere i
generatori) valutate allo 0+ ed i valori delle grandezze di stato note in quanto continue
dallo 0-.
Per il principio di sostituzione, si possono quindi inserire al posto dei condensatori
generatori di tensione vc(0-), al posto degli induttori, generatori di corrente iL(0-).
La rete in tal modo diventa “resistiva” e ad essa possono essere applicate tutte le proprietà delle reti
lineari.
Possono essere quindi ricavate tutte le grandezze della rete allo (0+). Restano altresì
determinate i valori iniziali delle derivate prime delle grandezze di stato.
Al sistema fondamentale “derivato” corrisponde lo schema “derivato” con gli stessi bipoli
(generatori e resistori), con tensioni e correnti “derivate”; i valori delle derivate per i
generatori sono noti dal primo sistema. Possono quindi essere ricavate le altre grandezze
derivate.
Si procede in tal modo qualunque sia l’ordine del sistema.
III.4 Grandezze periodiche – Grandezze sinusoidali
Le funzioni periodiche del tempo a(t) sono caratterizzate da un periodo T tale che, per ogni
t, sia a(t)=f(t+kT) con k intero qualsiasi. L’inverso del periodo f=1/T viene detto frequenza; f
si misura in hertz [Hz ≡ s-1].
Le funzioni periodiche sono caratterizzate da un valore massimo (o picco positivo) e da un
valore minimo (15), da un valore medio nel periodo e da un valore medio quadratico ( rms:
root mean square) o valore efficace nel periodo
Tt
t
t
t
effrmsmedio
T
dttaT
AAAdttaT
A0
0
0
0
)(1
)(1 2 (III.4.1)
Le funzioni periodiche a valor medio nullo si dicono alternative.
Una funzione alternativa rettangolare ha il valore efficace coincidente con il valore
massimo.
Una funzione sinusoidale del tipo
tsenAftsenAt
TsenAta MMM 2
2)( (III.4.2)
è periodica di periodo T, frequenza f e pulsazione , fase iniziale , è alternativa ed il suo
valore efficace è pari a
15
Ovviamente una funzione costante è un caso banale di funzione periodica.
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-19
MM
eff AA
A ...707,02 (III.4.3)
Il punto di nullo più prossimo allo zero è l’istante t*=-/. Pertanto se =0 la funzione è
tipo seno, se =/2 la funzione è del tipo coseno.
Una funzione b(t)=BM sen(t+) è sfasata dell’angolo (-) rispetto ad a(t); se tale angolo è
positivo (16) , b(t) è sfasata in anticipo rispetto a a(t), se è negativo è sfasata in ritardo rispetto
ad a(t); se il suddetto angolo di sfasamento è nullo, le due grandezze si dicono in fase, se
l’angolo di sfasamento è le due grandezze si dicono in opposizione di fase, se l’angolo è
/2 le due grandezze si dicono in quadratura (in anticipo o ritardo).
Si osserva che
a) il prodotto di una grandezza sinusoidale per una costante positiva [negativa] è una
grandezza sinusoidale della stessa pulsazione ed in fase [opposizione di fase]
;kAPtsenkA)t(katsenP)t(g MMMM
b) la somma o la differenza di due funzioni sinusoidali della stessa pulsazione è una
grandezza sinusoidale della stessa pulsazione
cosBcosA
senBsenAtg;BAC
senBsenAsenC
cosBcosAcosC
sentcosBcostsenBsentcosAcostsenAsentcosCcostsenC
tsenBtsenA)t(b)t(atsenC)t(c
MM
MMMMM
MMM
MMM
MMMMMM
MMM
222
(III.4.4)
c) la derivata di una funzione sinusoidale è una funzione sinusoidale della stessa
pulsazione, in quadratura in anticipo
2
;2
cossin)(
MMMMM ADtsenAtA
dt
datDtd (III.4.5).
III.5 Il metodo simbolico – Operatori complessi
Poiché il sistema fondamentale di una rete lineare prevede relazioni del tipo a),b) e c)
sopra detto, se ne deduce che una soluzione sinusoidale di pulsazione è compatibile con
un sistema in cui i generatori (i termini noti) siano sinusoidali della stessa pulsazione;
applicando il principio di identità dei polinomi trigonometrici, si può anche concludere
che la soluzione è unica; tutte le grandezze incognite hanno pulsazione .
Le grandezze si diversificano quindi solo per l’ampiezza e la fase iniziale; si può quindi
stabilire una corrispondenza biunivoca tra le funzioni sinusoidali e le coppie ordinate di numeri
reali (numeri complessi) ossia i punti del piano cartesiano:
yx
j
MMyMxMM jAAeAAAAAAAtsenAta )sin,cos(),()(
L’operatore di Eulero- De Moivre ej, formalmente definito come
16 Si considera in genere la determinazione principale dello sfasamento, ossia .
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-20
ej =(cos+j sen) ,
è rappresentativo del punto sulla circonferenza di raggio unitario centrata nell’origine
(fig.III.5.1). Esso è un operatore di rotazione: applicandolo ad un vettore Ā (fasore) o punto
del piano della rappresentazione – corrispondente della grandezza sinusoidale a(t)- si
ottiene un vettore Ā’ ruotato di α (17). Se in particolare α=/2, si ha ej=j; un’altra rotazione
di /2 porta al vettore opposto ad Ā: infatti ej=j2=-1 (18); una ulteriore rotazione di /2 ci
porta ad una rotazione complessiva ej3=j3=-j corrispondente ad una rotazione (“negativa”)
di -/2: e-j/2=-j=1/j; una ulteriore rotazione di /2 ci riporta sul vettore originario: ej2=j4=1.
In particolare, quindi, l’operatore j (comunemente detto immaginario) indica una rotazione
di /2 nel piano cartesiano. Per evidenziare questo concetto in modo ancor più elementare,
si può osservare che il punto P≡(a,b)≡a+jb del piano può essere immaginato “raggiunto” a
partire dall’origine percorrendo un tratto a lungo l’asse x (asse “reale”) e quindi un tratto b
lungo una direzione ortogonale (asse y “immaginario”).
L’uso dei vettori del piano (numeri complessi), corrispondenti alle grandezze sinusoidali
nel tempo, prende il nome di metodo simbolico.
Si può facilmente controllare che alle operazioni di addizione, sottrazione e
moltiplicazione per costante nel dominio nel tempo corrispondono addizione, sottrazione
e moltiplicazione per costante nel dominio della rappresentazione simbolica. Tali
operazioni sono corrispondenti alle ordinarie operazioni tra vettori (moltiplicazione di un
vettore per una costante, composizione di vettori con la regola del parallelogramma).
jMyyyxxx eCCBACBACBACtbtatc
AkGtaktg
;)()()(
)()( (III.5.1)
Una importante ulteriore operazione vettoriale elementare è quella di rotazione,
formalmente eseguibile con l’operatore di Eulero. Si può facilmente controllare che
all’operazione di derivazione corrisponde una moltiplicazione per jω ovvero una
rotazione di /2 ed una modifica dell’ampiezza .
N.B. Nella corrispondenza la coppia ordinata di numeri reali può essere sostituita da un valore
univocamente legato all’ampiezza (ad esempio il valore efficace) e da un riferimento angolare qualsiasi.
Ovviamente il fattore di scala deve essere lo stesso per tutte le grandezze.
In generale le operazioni tra fasori corrispondono ad una rotazione e modifica di
ampiezza. L’operatore che le descrive avrà la forma
jMsenMjMMeMM yx
j cos
con M modulo dell’operatore, argomento dell’operatore.
17
In un sistema di coordinate cartesiano (x,y) su un piano, il senso di rotazione “positivo” è quello che porta il semiasse
positivo delle x sul semiasse positivo delle y con una rotazione di π/2; in un sistema levogiro, il senso di rotazione è
quindi antiorario. 18
Questo risultato coincide con la definizione “ scolastica primordiale” di unità immaginaria
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-21
fig.III.5.1– Operatore ejα e sua applicazione ad un vettore del piano.
III.6 Operatori di ammettenza e di impedenza
Nel caso di resistori ideali su cui si è fatta la convenzione dell’utilizzatore, se l’intensità di
corrente è sinusoidale di nota pulsazione ω e fase iniziale αR, anche la tensione è
sinusoidale della stessa pulsazione ω e fase iniziale βR=αR; se si fosse adottata la
convenzione del generatore, tensione e intensità di corrente sarebbero in opposizione di
fase.
Se la tensione su un condensatore è sinusoidale di nota pulsazione e fase iniziale βc,
l’intensità di corrente assorbita ha la stessa pulsazione, ma ha una fase iniziale αc =βc+/2,
quindi in anticipo rispetto alla tensione.
Se l’intensità di corrente in un induttore sinusoidale di nota pulsazione e fase iniziale αL, la
tensione ha la stessa pulsazione, ma ha una fase iniziale incrementata di βL =αL+/2, quindi
in anticipo rispetto alla intensità di corrente.
Le relazioni corrispondenti e la loro presentazione grafica sono appresso riportate
(fig.III.6.1).
2
2
LLLMLMLLL
L
CCCMCMccc
c
RRRMRMRRR
LIVILjVdt
diLv
CVIVCjIdt
dvCi
RIVIRVRiv
(III.6.1)
sen α
cos α
1
x
y
1 -1
α
Ā
Ā’= Ā ejα
α
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-22
fig.III.6.1 – Caratteristiche simboliche per i bipoli fondamentali
Se si considera un circuito semplice costituito da un generatore ideale di tensione
e(t)=EM sen(ωt+),
un resistore di resistenza R ed un condensatore di capacità C (v. fig.III.2.1.1), si ricava per
la corrente erogata dal generatore l’espressione
)()(
)()()(
2222 R
Xarctgtsen
XR
Etie
XR
EeI
jXR
EI
VCjIdt
dvCi
IRVRiv
VVEtvtvte
c
c
Mc
R
Xjarctg
c
Mja
M
c
ccc
c
RRR
cRcR
c
(III.6.2)
dove Xc=1/ωC è la reattanza capacitiva.
Nel metodo simbolico, il legame tra tensione e corrente per un bipolo si esprime nella
forma (legge di Ohm alle grandezze simboliche, convenzione dell’utilizzatore):
VYIoppureIZV (III.6.3)
(operatori di impedenza e di ammettenza)
2222
1
XR
Xj
XR
RjBGe
ZYee
V
I
V
IY
jXRZeeI
V
eI
eV
I
VZ
jj)(j
M
M
j)(j
M
M
j
M
j
M
(III.6.4)
L’argomento , per motivi di cui in seguito, prende il nome di angolo di potenza. La parte
reale R dell’operatore di impedenza è l’operatore di resistenza, il coefficiente della parte
VC
C ĪR
R=R L
VR
ĪL
VL
L
ĪC
C
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-23
immaginaria X è l’operatore di reattanza. L’impedenza ha le stesse dimensioni della
resistenza, cioè ohm [Ω].
La parte reale G dell’operatore di ammettenza è l’operatore di conduttanza; il coefficiente
dell’immaginario è l’operatore di suscettanza. L’ammettenza si valuta in Siemens [S]. Da
notare che G non è l’inverso di R, salvo il caso particolare di cui appresso; B non è mai
l’inverso di X.
Nel caso del resistore ideale si ha Ż=R+j0, 0jGY , con R=1/G pari al valore di
resistenza. La tensione è in fase con l’intensità di corrente.
Nel caso dell’induttore ideale si ha Ż=0+j(XL), )(0 LBjY , dove XL=L è la reattanza
induttiva (mentre BL=1/L è la suscettanza induttiva). La tensione è in quadratura ed in
anticipo rispetto all’intensità di corrente.
Nel caso del condensatore ideale si ha Ż=0+j(-XC), )(0 CBjY , dove XC=1/C è la
reattanza capacitiva (mentre BC=C è la suscettanza capacitiva). La tensione è in
quadratura ed in ritardo rispetto all’intensità di corrente.
Queste considerazioni inducono ad interpretare l’operatore di impedenza come una
“serie” formata da un resistore ideale R e da un reattore ideale X (=XL-XC), ovvero, con un
grado di libertà, come un circuito RLC serie; l’operatore di ammettenza può essere a sua
volta interpretato come un “parallelo” formato da un resistore ideale di conduttanza G e
da un reattore ideale di suscettanza B (=BC-BL), ovvero, con un grado di libertà, come un
circuito RLC parallelo.
Data la relazione tra i due operatori, si deduce che ad ogni circuito RLC serie corrisponde
un circuito RLC parallelo (19).
I casi X=0 e B=0 corrispondono ai circuiti risonanti (serie e parallelo) equivalenti a resistori
ideali (vedi prossimo paragrafo).
Se R=X=0 si è in presenza di un bipolo corto-circuito ideale.
Se G=B=0 si è in presenza di un bipolo aperto ideale.
La (III.6.4) può essere scritta per qualsiasi bipolo formalmente rappresentabile, non solo
del tipo RLC. Può essere scritta anche per un generatore reale o ideale: in tal caso il bipolo
non può essere ricondotto ad un circuito equivalente RLC.( 20)
19
Ovviamente con diversi valori di R,L,C (>0) e con un grado di libertà sulla scelta di L e C. 20 Può tuttavia essere per il caso specifico sostituito da un circuito RLC se risulta R0, G0.
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-24
III. 7 Risonanza serie e parallelo
Un circuito in regime sinusoidale, comunque complesso, nel quale siano presenti
resistenze, induttanze e capacità e un solo elemento attivo si dice in risonanza quando
rispetto al generatore che lo alimenta si comporta come un circuito puramente ohmico.
Si consideri per semplicità il circuito RCL serie illustrato in Fig.III.7.1.
. Fig. III.7.1 – Circuito RLC serie
Si consideri il funzionamento in regime sinusoidale di tale circuito.
Il fasore rappresentativo della corrente è dato da eqZ
EI
dove MEE rappresenta il fasore
relativo alla tensione del generatore e(t) Em sen(t) e Zeq R j L 1
C
è
l’impedenza equivalente della serie del resistore, dell’induttore e del condensatore.
Il modulo del fasore corrente è:
2
2 1
CLR
EI M
M
(III.7.1)
Si consideri, ora, l’andamento del modulo della corrente IM al variare della pulsazione ω.
È immediato verificare che il valore del modulo IM tende a zero per ω→0 e per ω→ ,
mentre assume il suo valore massimo in corrispondenza della pulsazione di risonanza
LC
10
E’ facile verificare che per tale valore della pulsazione la parte immaginaria
dell’impedenza eq
Z è uguale a zero, perché la reattanza capacitiva è uguale a quella
capacitiva, e quindi il modulo di eq
Z assume il valore minimo. Il valore della corrente alla
pulsazione di risonanza è quindi uguale a R
EM , cioè, alla corrente che si avrebbe se nel
circuito vi fosse solo il resistore. Inoltre, alla risonanza è immediato verificare che la
tensione del condensatore CV è l’opposto di quella dell’induttore LV , e quindi la tensione
sul resistore è uguale a quella del generatore.
+ R
C
i
e
vR
vg vC
vL L
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-25
In definitiva, alla pulsazione di risonanza il circuito, rispetto alla tensione che lo alimenta,
si comporta come se fosse puramente ohmico (la serie L-C è equivalente ad un
cortocircuito).
Si osservi che valgono analoghe considerazioni per il circuito RLC parallelo. In questo caso
tuttavia al posto della intensità della corrente va considerata la tensione sui tre bipoli in
parallelo (alla risonanza il parallelo LC si comporta come un circuito aperto).
I circuiti risonanti, almeno da un punto di vista di principio, sono quelli che si utilizzano
nelle telecomunicazioni quando si voglia selezionare un segnale di un data frequenza
presente in tutto lo spettro che il sistema ricevente raccoglie. La selezione avviene facendo
variare la frequenza di risonanza del sistema ricevente che si “accorda” con la frequenza
cercata grazie al fatto che a quella frequenza si ha un picco della intensità della corrente.
Occorre tuttavia ricordare, soprattutto nel caso di impianti di potenza, la tensione sul
condensatore e sull’induttore –RLC serie- [l’intensità di corrente nel caso del circuito
parallelo] potrebbe assumere valori elevati e quindi pericolosi. Infatti il valore efficace
della tensione sul condensatore [dell’intensità di corrente nell’induttore nel caso parallelo]
è, alla pulsazione di risonanza, pari al valore efficace della tensione del generatore
moltiplicato per il fattore di merito
][1
L
RRCQ
RCR
LQ
o
op
o
os
che può assumere valori molto elevati per R tendente a zero [per R tendente a infinito](21).
Un circuito RLC può quindi assumere il ruolo di amplificatore passivo, non valendo più in
generale le ipotesi di non amplificazione valide il regime stazionario (22).
L’esame dei circuiti risonanti (serie o parallelo) può essere ricondotto a grafici
“normalizzati” disponibili nei manuali tecnici in cui si fa riferimento a parametri
adimensionali quali il fattore di merito e lo scostamento relativo dalla pulsazione di
risonanza
0
0
Dalla (III.7.1) si ricava, per piccoli scostamenti dalla pulsazione di risonanza, la curva
universale di risonanza (fig.III.7.2)(23)
21
Si può mostrare che il massimo della tensione sul condensatore non si ha alla pulsazione di risonanza, ma
ad una pulsazione tanto più vicina ad essa quanto più elevato è il fattore di merito. 22 Si può mostrare che la proprietà di non amplificazione continua a valere anche in regime sinusoidale per le
reti resistive e per le reti RL o RC, oppure solo L o solo C. 23
La condizione ξ=0 corrisponde alla risonanza, con valore massimo dell’intensità di corrente; la condizione
ξ=±0,5 corrisponde all’attenuazione di circa il 30% rispetto al massimo ed alla “frequenza di taglio”, che
dipende quindi dal fattore di merito; quando più è alto il fattore di merito, tanto meno differisce la frequenza
di taglio dalla frequenza di risonanza (ovverosia tanto più il circuito è “selettivo”); in elettronica ed acustica
l’attenuazione si misura in decibel (dB) considerando il logaritmo in base 10 del rapporto fra le grandezze in
esame, per cui alla frequenza di taglio corrisponde l’attenuazione “standard” di 3 dB per la valutazione della
“banda passante” in frequenza del dispositivo
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-26
222
0
0
2
0
2
0
2
2
0
0
20
0
21
1
21
1
21
1
1
1
1
1
11
1
s
ss
s
M
MMM
QQQ
QRCR
LZ
R
)(I
)(I;
R
E)(I
Fig. III.7.2 Curva universale di risonanza ed angolo di potenza (argomento dell’impedenza) (da Someda,1967)
Per le considerazioni su esposte, qualsiasi rete passiva, alimentata da un generatore di
tensione o di corrente, sarà rappresentabile con un operatore di impedenza (o di
ammettenza) e quindi presenterà una o più pulsazioni di risonanza (serie o parallelo)
corrispondenti alle soluzioni dell’equazione X(ω)=0 ( ovvero B(ω)=0 ).
Si veda anche il § III.13 .
III.8 Applicazione del metodo simbolico alle reti lineari
L’applicazione del metodo simbolico al sistema fondamentale di una rete lineare
alimentata da generatori isofrequenziali consente di trasformare un sistema differenziale
(trigonometrico) di 2l equazioni in un sistema algebrico vettoriale. Si può operare quindi
indifferentemente sia in forma geometrica (rappresentazione vettoriale) sia in forma
strettamente algebrica (numeri complessi). In apparenza, dal punto di vista
computazionale (anche dal punto di vista dell’impegno dello spazio di memoria di un
calcolatore, a parità di precisione), ciò sembra un aggravio, in quanto si raddoppia il
numero di equazioni “scalari” equivalenti. In realtà, si comprende subito che anche ad
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-27
applicare il principio d’identità dei polinomi trigonometrici si arriva al raddoppio del
numero di relazioni.
L’aspetto più significativo è che le relazioni simboliche sono regolate attraverso operatori
algebrici complessi (ammettenze, impedenze o, in generale, immettenze(24)), analogamente
a quanto avveniva nel caso stazionario (in cui gli operatori algebrici erano reali). Quindi si
possono trasferire le proprietà ricavate sulla base della linearità: sovrapposizione degli
effetti (25), espressioni del partitore di tensione e di corrente, impedenza e ammettenza
equivalente, bipolo equivalente di Thévénin e Norton, metodo dei potenziali nodali e delle
correnti di maglia, matrici descrittive di n-poli e doppi bipoli, ecc.
Non potrà essere applicato il metodo simbolico al caso di bipoli con non-linearità non
eliminabili ovvero alla discussione su proprietà della rete non discendenti dalla linearità
(es. le potenze, vedasi §III.9).
24 Il termine immettenza indica in generale il legame simbolico (operatore) tra due qualsiasi grandezze in una
rete. 25 Va osservato che se i generatori sinusoidali non sono isofrequenziali, si può applicare il metodo simbolico
più volte considerando di volta in volta i generatori di ugual frequenza e quindi sovrapponendo i risultati
nel dominio del tempo.
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-28
III.8.1 Esempi numerici sul metodo simbolico
Data la rete di fig.III.10.1, in regime sinusoidale, determinare iR(t)ed iL(t) nell’intervallo (-,+).
[ e(t)=E cos ωt; R=25; L=0,1 H; C=100 F; E=100 V;ω=250 rad/s]
fig.III.8.1
Occorre sempre considerare sullo sfondo, il sistema fondamentale, valido per ogni t:
dt
dvCi
dt
diLv
Rivev
vvvvv
iii
cLL
RRg
RLgRc
LR
;
;
0;0
0
Si valutano le reattanze
40100250
10125
6
CX;LX CL
Si applica quindi il partitore di corrente
A.)arctgcos()(i)arctgtcos()t(i
)XX
)XX(Rarctgtcos(
XXR)XX(
RE)t(i
jX
IR
jX
VI
)arctgtcos())(
arctgtcos(
)XX
)XX(Rarctgtcos(
XXR)XX(
XE)t(i
)XX(jRXX
jXE
jXR
jX
jXR
jRXjX
E
jXR
jXII
LL
cL
CL
cLCL
L
L
R
L
LL
cL
CL
cLCL
LR
CLCL
L
L
L
L
LC
L
LR
1928
3
73
200
8
3
73
20
8
3
273
20
4025
1525
215254025
2500
2
222
2222
222
iR
+
vL
-
+
e R L
i iL
+
vR
-
+ vC - C
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-29
III.9 Potenze in regime sinusoidale
Si consideri un bipolo di morsetti r-s funzionante in regime sinusoidale. Si consideri la
potenza istantanea assorbita dal bipolo:
)t(pPtcoscosIV
tcoscosIV
tcoscosIV
tsinItsinVtitvtp
frsmrsrsrsrsrsrs
rsrsrsrsrsrs
rsrsrsrsMrsMrs
rsMrsrsMrsrsrsrs
22
2
22 (III.9.1)
La potenza istantanea quindi in genere non è una grandezza sinusoidale, ma è
caratterizzabile da un valore medio Pm (detto potenza media, attiva o reale) e da una potenza
fluttuante pf(t) sinusoidale a pulsazione doppia. Vale il principio di conservazione per la
potenza istantanea, la potenza media e la potenza fluttuante.
L’energia assorbita da un bipolo in un intervallo t pari ad un multiplo intero di periodi
risulta pari a Pmt, in quanto il contributo della potenza fluttuante è nullo. Se l’intervallo
t non fosse esattamente pari ad un multiplo intero di periodi, il contributo all’energia
assorbita fornito dalla potenza fluttuante sarebbe tanto più trascurabile quanto più t è
grande rispetto al periodo.
La potenza media assorbita ha quindi un significato “energetico” e con essa si possono
caratterizzare i bipoli elettrici ed avere significative informazioni sul “consumo”. Essa
viene indicata quindi in watt. Ad esempio una stufa da 500 W, tenuta in funzione per
un’ora, “consuma” 1.8 MJ. L’unità pratica usata per la indicazione dei consumi elettrici è il
kWh (kilowattora); 1 kWh corrisponde al consumo di un’apparecchiatura da 1 kW tenuta
in funzione per un’ora, quindi a 3.6 MJ.
La potenza media si esprime come
coscos2
VIIV
P MMm (III.9.2)
dove il termine cos prende il nome di fattore di potenza e per questa ragione ϕ è detto
angolo di potenza; V ed I sono i valori efficaci della tensione e dell’intensità di corrente.
La potenza fluttuante non ha peso dal punto di vista energetico, ma è purtroppo
significativa da altri punti di vista. Basti pensare che essa ha un valore massimo uguale o
superiore alla potenza media e che, considerando un bipolo reale, le eventuali
sollecitazioni meccaniche sono legate alla potenza istantanea. Ad esempio all’albero di un
motore potrebbe essere applicata una coppia istantanea ben superiore alla coppia media;
ciò porterebbe ad una sollecitazione di torsione intollerabile ovvero ad una sollecitazione
“a fatica” che limiterebbe notevolmente le prestazioni meccaniche a lungo termine, ovvero
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-30
la “vita” della macchina. A ciò si aggiungano le vibrazioni trasmesse ed il rumore acustico
(ronzio tipico a 100 Hz).
Se si trasferisce il problema dai motori industriali (potenze medie 1-100 kW) ai grandi
generatori delle reti elettriche interconnesse sul territorio europeo (potenze medie da 100
MW in su), si comprende come tali sollecitazioni sono del tutto inaccettabili: una rete per il
trasporto di energia elettrica dovrà avere generatori più “articolati” (vedi III.11 Reti trifase).
Nel caso di bipoli resistivi, la potenza media è pari a RI2, dove I è il valore “efficace” (come
se considerassimo un caso stazionario), mentre nel caso di bipoli induttore (=π/2) e
condensatore (=-π/2) la potenza media è nulla . Per un circuito RLC l’angolo di potenza
è compreso tra –π/2 e π/2 ed il fattore di potenza cos tra 0 ed 1. Se risulta cos<0 si è
sicuramente in presenza di un generatore o di un bipolo attivo (un bipolo si dirà quindi
passivo se in ogni condizione di funzionamento la potenza media assorbita risulterà non
negativa)(26).
Si definisce potenza reattiva assorbita da un bipolo la quantità
senVIsenIV
Q MM 2
(III.9.3)
dove è, al solito, la differenza tra le fasi iniziali della tensione (di valore efficace V) e
della intensità di corrente (di valore efficace I).
La potenza reattiva Q assorbita da un bipolo passivo ci dà indicazione se il bipolo è
prevalentemente di tipo ohmico-induttivo (Q>0) o di tipo ohmico-capacitivo (Q<0). La
potenza reattiva non ha un significato energetico, ma può determinare un funzionamento
non ottimale degli elementi di un impianto elettrico oppure costringe ad aumentare i costi
di realizzazione.
Infatti il dimensionamento di un bipolo è legato alla potenza apparente o potenza nominale
(compare sulla targa dei dispositivi)
22 QPVIA (III.9.4)
La potenza apparente è pari al prodotto del valore efficace della tensione per il valore
efficace della corrente; essa è una quantità assoluta (positiva). Il suo valore è direttamente
legato al volume occupato dal dispositivo (la distanza tra i morsetti aumenta con la
tensione mentre la sezione dei conduttori aumenta con l’intensità della corrente) e quindi
al suo costo.
Per ridurre i costi “fissi” occorrerà quindi diminuire (in valore assoluto ed a parità di
potenza media) la potenza reattiva assorbita dal bipolo.
26 In condizioni generali un bipolo si dirà passivo se l’energia assorbita nella sua storia non risulta mai
negativa, cioè se viene verificata la condizione (in realtà un po’ ermetica, ma in molti casi facilmente
verificabile) 0
dttitv
*t
rsrs qualunque sia l’istante t*.
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-31
III.9.1 Potenza complessa – Conservazione
Per ogni bipolo si può introdurre una grandezza complessa formale, detta potenza
complessa, che abbia come modulo la potenza apparente e come argomento l’angolo di
potenza . Considerando ad esempio il prodotto del fasore della tensione per il coniugato
del fasore dell’intensità di corrente si ha
rsrsrsrsrsrs
j
rs
j
rsrsrsrs jQPjsenIVeIeVIVP rsrs
)(cos~
(III.9.5)
Poiché la potenza complessa è una potenza virtuale (27), per il teorema di Tellegen essa si
conserva. Ne consegue la conservazione anche delle potenze reattive in una rete.(28)
E’ necessario l’ammonimento ad evitare ogni confusione ed accostamento tra potenza
reattiva e potenza fluttuante. E’ però interessante notare che la potenza istantanea vale
222212222
222
tsenQtcosPsentsenVIcostcosVIcosVI
tcosVIcosVItcosVIcosVItpP)t(p f
Il termine 221 tcosP corrisponde alla potenza istantanea assorbita dal resistore
nello schema serie R-X; tale termine non è tuttavia pari alla somma delle potenze
istantanee assorbite dai resistori in una rete passiva vista da due morsetti di cui il bipolo
R-X rappresenta l’equivalente.
Ad esempio nel parallelo di fig. III.9.1, se R=XL=Xc, v(t) ed i(t) sono in fase e quindi
221221 2 tcosRItcosP)t(p , i’(t) ed i”(t) sono in quadratura tra
loro e di pari modulo; la somma delle potenze istantanee assorbite dai due resistori è
costante essendo
0
22
222
2
)t(p)t(p
tsen"VItcos"VI)t(p;tsen'VItcos'VI)t(p
"
f
'
f
"
f
'
f
27
Basta considerare le rete in esame, interessata dalle tensioni Vrs , ed un’altra, con lo stesso grafo, in cui si
assegni ad ogni lato l’intensità di corrente rsI~
. Poiché il coniugato ha la stessa parte reale del numero
complesso originario e l’opposto del coefficiente della parte immaginaria, per le intensità di corrente
coniugate vale il I principio di Kirchhoff ai nodi. Ciò basta per affermare che 0 rsrsI~
V
28 Se avessimo considerato il prodotto formale tra il numero complesso rappresentativo della tensione e di
quello rappresentativo dell’intensità di corrente avremmo avuto un’altra potenza complessa con lo stesso
modulo ma con argomento pari a (2α+φ), assolutamente non significativo.
i R Xc
XL
i’
i”
v
R
α”=-π/4
α’=π/4 I
I’
I”
V
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-32
Fig. III.9.1
Si conclude (come del resto già osservato) che non è possibile parlare di “equivalenza”
riferendosi alle potenze.
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-33
III.9.2 Esempi numerici sulle potenze
Esempio n.1
Fig.III.9.2
La rete di fig. III.9.2 è in regime sinusoidale; sia R1=20 Ω, R2=30 Ω, ω=500 rad/s, C=(1/6) mF;
e(t)= EM sen ωt [EM=100 V], io(t)= IM cos ωt [IM=5 A].
Determinare
a) l’intensità di corrente ic(t),
b) la potenza complessa erogata dal generatore ideale di corrente.
Applicando il metodo simbolico si ha
25
60
1230
123012
106
1500
115100
2
2
30
j
j
j
)j(
jXR
jXRZ;
CX;jI;E
c
cRCc
Applicando il teorema i Norton ai morsetti del condensatore, si ha
tsentvjIjXV
ttijj
j
j
jjXZ
ZII
jIR
EI
RR
RRRZ
cccc
c
ceq
eq
ccc
ccpeq
60)(060
cos551
55
125
605
60
55
;55;5
600
121
21
La potenza complessa erogata dal generatore ideale di corrente
VArjIV
P 1502
~0
R1
e C R2 io ic
+
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-34
Esempio n.2
Fig.III.9.3
Si consideri la rete di fig. III.9.3, in regime sinusoidale, alimentata dal generatore di tensione
e(t) = EM sin t .(EM=340 V; =1000 rad/s ;R1=R3=400; R2=200; L=0,1H ; C=5 F)
1) Si valuti la potenza complessa assorbita dal bipolo a destra dei morsetti A-B.
;41720arg
;4
1
10
17arg
172
100
17200
2;5,8
2
100
17100
2;17
2
100
17200
2
5,817210
85
10
4
4
285
2
ˆ
;4
2170
4
1
10
17100200
;4120
;10
4
4
1
10
17
100600
400
4
6
40
17
;4
6
40
17
4
6
800
340
6
4800
100600
)100200(400400
2001051000
11;1001,01000
222
3
3
32
21
1
32
321
6
3
arctgtsenVtsenVtv
arctgtsenItsenIti
VArIX
QVArIX
QWIR
P
jjj
j
jIVP
j
j
jjIXXjRV
jIjXV
j
jjj
j
XXjRR
RII
j
j
j
j
Z
EI
j
j
j
j
XXjRR
XXjRRRZ
CXLX
CCc
LLL
LCC
LLL
LR
VArWLAB
AB
LCLAB
LcC
CL
L
e
CL
CLe
CL
+
e(t)
L
R
1
R
2
L
R
3
C
A
B
L
vc
i1
iL
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-35
Esempio n.3
fig.III.9.4
Si consideri la rete di fig.III.9.4, in regime sinusoidale, alimentata dai generatori di tensione
e1(t) = E 2 sin t, e2(t) = E 2 cos t . (E=1 V; =100 rad/s ; R=2; L=20 mH ; C=10 mF)
1) Si valuti la potenza complessa erogata da ciascuno dei generatori.
La potenza erogata dai due generatori vale
222111
~;
~IEPIEP
Le intensità di corrente possono essere valutate applicando il teorema di scomposizione;
introducendo le impedenze viste dai due generatori agenti singolarmente, si ottiene:
4
3
4
3
12
3
4
3
1
21
4
3
4
1
4
3~
4
3
22
2
1
1
22
2
1
2
3
1
211
~
1
21
11
)12(
2
221
1
)(
222
2)(
/
0122
4
11
;2
21
222
1
1
2
22
111
2
2
1
11
2
1
jj
jj
j
jIII
jj
jIEP
j
j
j
j
j
jXR
jX
Z
E
Z
EI
jj
jIEP
j
j
j
j
j
j
j
j
XXj
jX
Z
E
Z
EI
jjXXj
CLRZ
jj
jj
jXR
jXRjXZ
CXLX
L
L
L
ee
cL
L
ee
cL
e
L
Lce
cL
C
+
+
R
e1(t) +
vL
iL
vC
i1
i2
e2(t) L
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-36
WRIPVAIXQVAIXQ
jIRV
jIjXV
Vvj
IjXV
RCCLLL
RR
LLL
ccC
25.14
5;5.2
2
5;25.2
4
9
2
3
1
3
2
3)0(
2
31
2
2
2
1
2
1
III.10 Il rifasamento dei carichi reattivi
Per ottimizzare il dimensionamento dei sistemi di alimentazione – a parità di potenza
media in gioco e quindi di energia – occorrerebbe che fosse ovunque Q=0. Tutti i bipoli
dovrebbero essere modificati in maniera da avere tensione e correnti in fase. Ciò è in linea
di principio possibile se tutti i generatori ideali sono in fase o in opposizione di fase. In tal
caso sarebbe possibile “aggiungere” (in serie o in parallelo) una reattanza tale che la
reattanza (o suscettanza) equivalente sia nulla, ossia i bipoli siano risonanti (rifasamento
locale serie o parallelo).
In genere questa soluzione risulta molto gravosa. Dal punto di vista industriale, un
compromesso si ottiene considerando l’utenza (quasi sempre di tipo ohmico induttivo con
angolo di potenza >26°) nel suo complesso ed inserendo un bipolo (condensatore in
parallelo al carico) in maniera che l’Ente fornitore “veda” un fattore di potenza cosL>0,9
(L<26°) (fig. III.10.1).
Dal bilancio di potenza complessa o da considerazioni sul diagramma vettoriale delle
grandezze simboliche si ottiene il valore della capacità necessaria a rifasare un carico otto
tensione VAB ( a parità di potenza media Pm )
2
2
0
AB
Lm
LLABmcmL
mL
LLAB
V
)tgtg(PC
tgPVCtgPQQQ
jPP
jQPP
(III.10.1)
φL
Ic
C
φ
Pm
IL
C
I
C C
C
A
C
B
C
φ
φL
Ic
C
I
C
VAB
C
IL
C Fig.III.10.1
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-37
III.10.1 Esempio numerico sul rifasamento - commenti
Fig.III.10.1
Si consideri la rete di fig. III.10.1 in regime sinusoidale; sia R1= R2=50 Ω, L=100 mH, ω=500 rad/s,
C=80μF; e(t)=EM sen ωt [EM=40 V].
Determinare
a) la tensione sull’induttore vL(t) per t∈(-∞,+∞)
b) la potenza reattiva Qe erogata dal generatore
c) a parità di potenza media erogata dal generatore, gli accorgimenti perché risulti Qe=0
Applicando il metodo simbolico si avrà
WPPVAj
jj
j
j
j
jE
RZ
EEIEPIEQ
jRZ
EI
arctgtsentv
jej
j
j
RZ
ZEV
jjj
RCj
L
jZ
CXLXE
e
M
LCR
eeeeMMe
LCR
e
L
arctgj
LCR
LCR
L
LCRcL
6,95
48)Re(;2,3
5
163Im
5
16
5
)2(1Im16
2
1Im
50
800
50100
1
2ImImImImsin
2
1
325
4
;)2
1(58)(
;816582
140
501
50
1
50
40
1
50
50
1
2550
1
1
1;25
1;50;40
*
**2*
1
*
1
)2
1(
1
2
2
2
2
2
2
Poiché risulta Qe<0, si può inserire un induttore (rifasamento generale). Se lo si inserisce in
parallelo al generatore, il valore dell’induttanza dovrà essere tale che
HQ
ELQ
L
EQ
e
Me
ML 5,0
5
165002
1600
22
22
+ R
1 e C L
R
2 vL
ie
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-38
Commenti (*):
Si potrebbe in alternativa operare sul parallelo LC (rifasamento locale); si ricorda che la
condizione Qe=0 corrisponde alla “risonanza” alla pulsazione assegnata. Deve essere
quindi
FCsaràmHLfissatoL
mHLsaràFCCfissato
sCL
4010100
104,100
501080
104,80
][104250000
11
3
6**
6
6**
26
2
**
La condizione suddetta potrà essere ottenuta o disponendo un altro induttore da 100mH
in parallelo ad L oppure disponendo un condensatore da 80 μF in serie a C. L’induttore di
rifasamento è di induttanza molto inferiore al caso precedente.
(N.B. Vi sono infinite altre possibilità inserendo contemporaneamente un induttore in
parallelo ad L ed un condensatore in serie a C).
Inoltre, con la soluzione “locale” avremmo una potenza media erogata dal generatore pari
a
WRR
EP M 8
1002
402/ 2
21
2
inferiore al caso precedente.
Di qui la convenienza (a maggior ragione se la “resistenza equivalente R1” del generatore
non è trascurabile rispetto ad R2) di operare un rifasamento locale. Questo accade ad
esempio nel caso di utenze, nell’ambito di uno stesso impianto, molto lontane dal punto di
fornitura.
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-39
Approfondimenti sull’esercizio – grafici (*)
VARIAZIONE DELLA POTENZA REATTIVA e MEDIA al variare dell’induttanza L
Per L=0,1 H su ritrova il valore di –3,2 Var; per L tendente a 0 (cortocircuito) la potenza
reattiva tende a zero. La potenza reattiva si annulla nuovamente in caso di risonanza
(L=0,05 H). C’è un “worst case” (da studiare)
La potenza media ha un minimo in condizioni di risonanza. Per L tendente a zero, la
potenza media è la massima e corrisponde a quella dissipata in R1, cioè WR
EP M 16
2 1
2
max
.
Per alti valori di L, la potenza media corrisponde al circuito ohmico-capacitivo
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
induttanza [H]
pote
nza r
eatt
iva e
rogata
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.58
9
10
11
12
13
14
15
16
induttanza [H]
pote
nza m
edia
ero
gata
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-40
Wjj
j
j
j
RRjXRR
jXRE
jXR
jXRR
EEIEP
c
cM
c
c
eL
123Re41
2Re8
25002500
2550Re800
Re22
Re2
Re
*
**
*
2121
2
2
*
2
2
1
**
VARIAZIONE DELLA POTENZA REATTIVA e MEDIA al variare della capacità C
Anche in questo caso si riscontra il minimo della potenza media in condizioni di risonanza;
si nota altresì un estremo (negativo) della potenza reattiva (da studiare).
VARIAZIONE DELLA CAPACITÀ DI RIFASAMENTO GENERALE CON IL VALORE
DELL’INDUTTANZA L
0 1 2 3 4
x 10-4
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Capacità[F]
pote
nza m
edia
ero
gata
0 1 2 3 4
x 10-4
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Capacità [F]
pote
nza r
eatt
iva e
rogata
0.05 0.055 0.06 0.065 0.07 0.075 0.08 0.085 0.09 0.095 0.10.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
induttanza L [H]
indutt
anza d
i rifa
s g
enera
le[H
]
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-41
III.10.2 Il rifasamento dei carichi reattivi per limitare le “cadute di tensione” (*)
Considerato un collegamento reale in regime sinusoidale tra un generatore e(t) ed un
carico U (fig.III.10.2.1) attraverso una linea L, si vuole valutare la convenzionale “caduta di
tensione” pari alla differenza tra i valori efficaci della tensione ai morsetti della linea a
vuoto Vuo=E e della tensione a carico Vu: %V
VE%V
u
uu
. Si ottiene facilmente:
Fig. III.10.2.1
%V
QXPR%
V
IsenXcosIR%
V
VE%V
u
uLuL
u
uLuL
u
uu 2
Poiché nella maggior parte dei casi industriali (come in figura) è Qu>0, rifasare il carico
significa anche ridurre la caduta di tensione.
vu
φu
φu
I
E
+ RL
i
e G
LL L
U
Zu
Vu
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-42
III.11 Le reti trifase
Per sistema polifase in regime sinusoidale si intende un collegamento di n-poli
attraverso n linee o fasi caratterizzate da n intensità di correnti di linea ik(t) (k=1,2,…,n)
(fig.III.11.1). L’alimentazione può consistere in n generatori stellati indipendenti, ek(t) con
secondo morsetto 0 (centro stella) in comune. Le tensioni tra i poli v12(t), v23(t),…, vn1(t) si
dicono concatenate.
Considerato un n-polo lineare in regime sinusoidale, i vettori (fasori) rappresentativi delle
tensioni concatenate formano una figura chiusa, perché la somma di dette tensioni è
sempre nulla. Lo stesso si può dire per i vettori rappresentativi delle ik(t).
fig.III.11.1– Sistema polifase (n-polo)
Il sistema di trasmissione e distribuzione dell’energia elettrica in Italia è un sistema trifase.
Esistono, per diverse applicazioni, sistemi con un numero di fasi superiore, in genere un
multiplo di tre (6,12,48,…).
Sistema puro e spurio : se gli n-poli sono a stella di centro stella Y (fig.III.11.2), è possibile
calcolare la tensione tra i centri stella utilizzando gli stessi metodi adoperati nel caso
stazionario; indicando con ŻYk l’impedenza equivalente della singola linea, si ritrova (cfr.
la formula di Millmann)
Yk
Ykkn
Yk
n
Yk
k
YZ
VEI
Z
Z
E
V
0
1
1
0 ;1
(III.11.1);
si nota che in generale la tensione tra i centri stella non è nulla e l’intensità delle corrente di
linea dipende dalle tensioni e dalle impedenze relative alle altre linee. E’ possibile imporre
la condizione di nullo sulla tensione tra i centri stella collegandoli tra loro con un (n+1)-
mo conduttore ( neutro) ideale. In questo caso il sistema si dice spurio (fig. III.11.3) e si avrà:
Yk
k
kYZ
EIjV
;000 (III.11.2)
+
e1(t) +
e2(t)
+
en(t)
1
2
n
i2(t)
i1(t)
in(t)
0
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-43
con intensità delle correnti della linea k indipendenti dai generatori e dalle impedenze
relative alle altre linee.
In Italia, ad esempio, il sistema trifase nazionale di bassa tensione (detto anche sistema di
utilizzazione) è un sistema spurio: oltre ai tre conduttori di fase, normalmente indicati con
la sequenza R-S-T, è disponibile un quarto conduttore “neutro” N (oltre ad un eventuale
ulteriore conduttore di protezione P, normalmente non funzionale al sistema RSTN)(29). Il
sistema di distribuzione in media tensione è invece un sistema puro, con tre sole linee.
Fig.III.11.2- Sistema polifase puro
Fig.III.11.3 - Sistema polifase spurio
Sistemi simmetrici ed equilibrati: un sistema polifase si dice simmetrico (diretto o inverso)
se le tensioni di alimentazione sono simmetriche (dirette o inverse) , ossia se i moduli sono
uguali ed ogni tensione è in ritardo (in anticipo per la simmetria inversa) di 2π/n rispetto
alla tensione che la precede nella sequenza. Se le tensioni sono simmetriche, i fasori
29 Nella realtà il conduttore di neutro potrà essere schematizzato con una impedenza (di neutro)
normalmente di modulo molto piccolo rispetto alle altre impedenze; la tensione tra i centri stella
n
Yk
kNn
NYk
n
Yk
k
YZ
EZ
ZZ
Z
E
V1
1
1
011
risulta piccola rispetto alle tensioni stellate e le intensità delle correnti di linea molto poco dipendenti dal
valore dell’impedenza di neutro
+ vC
- +
e2(t)
+
en(t)
1
2
n
i2(t)
i1(t)
0 Y
+
e1(t) +
e2(t)
+
en(t)
1
2
n
i2(t)
i1(t)
in(t)
0 Y
N
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-44
rappresentano i lati di un poligono regolare (30). Se anche le correnti di linea sono
simmetriche, ossia le impedenze equivalenti sono uguali tra loro, il sistema si dice
equilibrato.
In un sistema simmetrico ed equilibrato l’intensità di corrente nell’eventuale conduttore
neutro è nulla31.
k
kk
n
k
n
k
n
k
n
k
k
YZ
EIj
n
E
Z
n
EZ
Z
Z
E
V
;00
1
111
1
1
0 (III.11.3)
In fig.III.11.4 sono riportate, per un sistema trifase puro simmetrico diretto con impedenze
di carico a stella, le relazioni tra tensioni stellate, tensioni concatenate e correnti di linea. Il
poligono delle tensioni stellate forma un triangolo equilatero. Facendo poi corrispondere
al centro stella 0 un punto del piano della rappresentazione simbolica e riportando a
partire da esso i tre vettori simmetrici rappresentativi delle tensioni stellate del generatore,
si possono rappresentare i punti 1,2 e 3 e quindi costruire le tensioni concatenate che a loro
volta formano un triangolo equilatero e risultano in semplice relazione geometrica rispetto
alle tensioni stellate. Infatti posto
3
4
33
3
2
22
11
3
42
3
22
2
j
j
j
EeEtsenEte
EeEtsenEte
EeEtsenEte
(III.11.4)
si ha
3
4
6233
3
2
6233
6233
31
3
4
6
13
4
1231
12
3
2
6
13
2
1223
126
112
tsenEtveEeVV
tsenEtveEeVV
tsenEtveEV
jj
jj
j
(III.11.5)
30
In un sistema di trasporto dell’energia elettrica (es. quello ENEL, sistema trifase simmetrico diretto) per tensione
nominale si intende il valore efficace della tensione concatenata; ad esempio la tensione nominale del sistema italiano
trifase di utilizzazione in bassa tensione è di 400V, mentre le utenze domestiche hanno a disposizione una linea (fase)
ed il neutro ed vengono alimentate quindi dalla tensione stellata che è quasi sempre pari a 230 V. 31
Questa considerazione è vera anche se il conduttore di neutro non è un cortocircuito ideale; infatti
00
1
1
111
1
1
0 j
ZZ
n
EZ
ZZ
Z
E
V
N
n
k
n
Nk
n
k
k
U
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-45
Il modulo della tensione concatenata si ottiene da quello della tensione stellata
moltiplicandolo per √3. Tipicamente, ad una tensione concatenata di 380-400 V
corrisponde una tensione stellata di 220-230 V.
Con la (III.11.1) è possibile determinare la posizione sul piano del centro stella Y
(spostamento del centro stella), le tensioni sulle impedenze e l’intensità delle correnti di linea
(fig.III.11.4):
kj
Yk
k
Yk
kk
Ykkn
Yk
n
Yk
k
Y
eZ
E
Z
EI
VEE
Z
Z
E
V
''
0
'
1
1
0 ;1
(III.11.6)
Fig.III.11.4 Sistema trifase simmetrico
Se si considera un carico a triangolo (o un carico a triangolo equivalente a quello della
fig.III.11.5), le correnti di lato possono essere ricavate direttamente dalle tensioni
concatenate; le relazioni tra le impedenze a stella e quelle a triangolo possono essere
ricondotte a quelle tra resistenze analoghe.
1I1E
+
Y
+
+
1
2
3
0 2I
3I 3E
2E
3E
2E
1E
12V
31V
23V
x
y
0
YZ1
YZ2
YZ3
Y
'
1E '
3E
'
2E
1
2
3
1I 3I
2I
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-46
Fig.III.11.5- Sistema trifase simmetrico; carico a triangolo
Nel caso di carico equilibrato (fig. III.11.6)
lo spostamento del centro stella è nullo; le intensità delle correnti di linea e di lato sono
simmetriche e si ha JI 3 . Si mantiene nella trasformazione l’angolo di potenza
(nello schema a stella, tra tensione stellata e intensità di corrente di linea; nello schema a
triangolo, tra tensione concatenata e corrente di fase).
Si nota che la simmetria suggerisce di considerare uno schema base, da cui riportare le
altre grandezze simmetriche. La pratica suggerisce di adottare lo schema equivalente
stellato, per la opportunità di indicare con evidenza i centri stella 0 e Y, corrispondenti a
punti fisici.
Lo schema monofase equivalente è una semplificazione dello schema a stella, in cui si
evidenzia un generico generatore stellato ed i carichi a stella o stella equivalente
(fig.III.11.7).
Nelle applicazioni, potranno essere utilmente considerati carichi a triangolo solo se si è in
presenza di carico equilibrato, esempio un motore trifase per sollevamento. La presenza
tuttavia di un centro stella Y accessibile permette – se considerato opportuno – di poter
collegare un conduttore neutro per i seguenti scopi:
YYYYY ZZZZZZZZZ 3; 312312321
3E
2E
1E
12V
31V
23V
x
y
0
1
2
3
1I
3I
1I1E
+
+
+
1
2
3
0 2I
3I 3E
2E12Z
23Z
31Z
31J
23J
12J
12J
2I
23J
31J
12J23J
31J
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-47
a) consentire di mantenere una tensione sui carichi pari alla tensione stellata dei
generatori nel caso di carichi diversi (ad es. tre fabbricati) anche se statisticamente
rappresentabili con carichi “confrontabili”.
b) Consentirebbe di “sentire” un guasto su una linea di un’apparecchiatura che è
rappresentabile (in assenza di guasto) come un carico equilibrato (32).
Fig.III.11.6 Sistema trifase simmetrico ed equilibrato
32
L’analisi dei principali guasti trifase è affrontata in § III.12.5
1I1E
+
+
+
1
2
3
0 2I
3I 3E
2E Z
Z
Z
31J
23J
12J
1I1E
+
Y
+
+
1
2
3
0 2I
3I 3E
2E
x 3E
2E
1E
12V
31V
23V
y
0≡Y
YZ
YZ
YZ
2I
12J
31J
23J
1I
2I
12J
3I
1I
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-48
Fig.III.11.7 - Schema monofase equivalente.
III.11.1 Potenze nei sistemi trifase
In un sistema trifase simmetrico ed equilibrato la potenza fluttuante erogata dai generatori è
nulla. Infatti, in questo caso, con le solite notazioni,
cosEItcosEItcosEItcosEIcosEI
)t(i)t(e)t(i)t(e)t(i)t(e)t(pg
33
82
3
4223
332211
(III.11.1.1)
costituendo i tre termini fluttuanti una terna simmetrica inversa e quindi a somma
(istantanea) nulla.
La potenza istantanea quindi coincide con la potenza media: la sollecitazione meccanica
sull’albero dell’alternatore, legata alla coppia istantanea non ha quindi un termine di
“fatica”, determinando così prestazioni decisamente migliori soprattutto in termini di
durata. Lo stesso dicasi per il tripolo utilizzatore (es. un motore).
Da ciò nasce l’esigenza di pianificare al meglio l’alimentazione di utenze monofasi sulle tre
linee 33.
Un sistema trifase simmetrico ed equilibrato equivale (vedi fig. III.11.7) a tre sistemi
“monofasi”; quindi consentirebbe, a parità di energia trasmessa dal generatore al carico,
un risparmio del 50% sui conduttori rispetto a tre sistemi monofasi. In un sistema spurio,
il carico è di norma “quasi” equilibrato, il conduttore neutro viene realizzato della stessa
sezione dei conduttori di fase e quindi si ha un risparmio di 1/3 rispetto a tre sistemi
monofase.
Teorema di Aron: in un sistema trifase puro (anche dissimmetrico e squilibrato), assegnate
le tensioni (stellate) tra i morsetti ed il centro stella O’ del generatore, la potenza complessa
assorbita da un carico (così come la potenza istantanea) può essere calcolata valutando le
33
Le utenze monofasi vengono distribuite tra le tre linee su base statistica (carichi “ragionevolmente” equilibrati).
I E
Y
+ 1
0
YZ
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-49
tensioni rispetto ad un riferimento qualsiasi O* (teorema di Aron o della invarianza della
potenza rispetto al centro stella). Infatti
3
*
32
*
21
*
1321'*3
*
32
*
21
*
1
3'*
*
32'*
*
21'*
*
13
'
32
'
21
'
1
~~~~~~~~~
~~~~~~
IEIEIEIIIVIEIEIE
IVEIVEIVEIEIEIEP
OO
OOOOOO
(III.11.1.1);
prendendo come riferimento O* il morsetto corrispondente ad una linea k , essa può
essere quindi espressa con somma di solo due termini (essendo nullo *
kE )considerando il
prodotto del fasore delle tensioni concatenate di una delle due linee rispetto alla terza
linea k con il coniugato del fasore della corrente della linea.
Per la misura della potenza media e della potenza reattiva in un sistema puro bastano
quindi due wattmetri e due varmetri.
III.11.2 Rifasamento nei sistemi trifase
Nei sistemi trifase si può procedere a rifasare un carico equilibrato, tipicamente ohmico-
induttivo), che assorba una potenza P=3EIcos inserendo una terna di condensatori a stella
o a triangolo (34); nel primo caso la terna di condensatori assorbirà la potenza reattiva
2
22
333
E
QCEC
X
EQ Y
YY
c ;
nel secondo caso
2
22
333
EV
QCVC
X
VQ
c
A parità di potenza reattiva si ha quindi che la capacità dei condensatori a triangolo è un
terzo della capacità dei condensatori a stella.
Volendo rifasare al valore dell’angolo di potenza, il valore della capacità nella
connessione a triangolo sarà
22 3
)(
33
1
V
tgtgP
V
QCC Y
y
Da tale espressione si evince l’opportunità di valutare la convenienza di un rifasamento a
triangolo (35).
34 nei rari casi di carico ohmico-capacitivo si inseriranno opportuni induttori. 35 Nel caso di tensione-medio alta, tuttavia, potrebbero intervenire considerazioni riguardo all’affidabilità dei
componenti tali da far preferire la configurazione a stella, che comporta sollecitazioni e perdite più contenute
negli isolanti.
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-50
III.11.3 Esempio numerico
Si consideri l’alimentazione costituita da una terna simmetrica diretta e sia e1(t)=EM cos ωt
[EM =200√2 V]; sia (Pa=15 kW,Qa=-15kVAr) un carico equilibrato e un bipolo tra le linee 1 e
3 (Pb=5kW, Qb=5kVAr).
_Valutare l’intensità di corrente i1(t)_
Si può assumere come riferimento la tensione del primo generatore stellato. Il carico (a) è
un carico ohmico-capacitivo (dal segno della potenza reattiva), il carico (b) è un bipolo
ohmico-induttivo inserito tra la linea 1 e la linea 3. Nel complesso il carico non è
equilibrato: i generatori erogano correnti non simmetriche ma sempre a somma nulla.
1I1E
+
+
+
1
2
3
0 2I
3I 3E
2E
x
3E
2E
1E
12V
13V
23V
y
0 a
aI1
aI1
bI
bb QP
a
a
Q
P
a
3
2
1 bI
b
bI
b
bI
aI1
1I 1
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-51
1017,0;8,30)cos(2)(
;8,308,304.53.30
6.193.53
225
131332
125
2
3
2
1
2
1
2
3
3
125
2
2
2
3
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
3
3
225
46sin
46cos
3
225
2525225
4.203
225
23
250
2003
25000
3
4.352252
250
2003
215000
33
4;
4
2
1
2
332003;0200
11111
1017,0
11
12
5
4sin
6cos
4cos
6sin
4sin
6sin
4cos
6cos
3
225
466
4111
22
13
22
1
611311
AItIti
eejIII
je
jj
j
j
eIeIeII
jeeIeII
AE
QP
V
PI
AE
QP
E
PI
jeEVjEte
jj
ba
j
j
j
b
j
b
j
bb
jj
a
j
aa
bbnbb
aanaa
ba
j
bb
aa
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-52
III.11.4 Dissimmetrie nelle reti trifase (*)
La presenza di carichi squilibrati e/o “monofasi”, i guasti transitori e/o ricorrenti, il
comportamento non ideale dei componenti delle linee di trasmissione, distribuzione ed
utilizzazione dell’energia elettrica, portano alla progressiva dissimmetria delle grandezze
man mano che ci si allontana dal generatore. Poiché una terna di correnti non simmetrica
può essere scomposta in terne simmetriche (diretta, inversa ed omopolare), si deve tener
conto, secondo i casi, di grandezze a sequenza inversa ed omopolare. L’uso delle
componenti simmetriche per lo studio generale delle reti trifase è riportato nel § III.12.
III.11. 5 Distorsione di tensioni e correnti (*)
Il comportamento non lineare di alcuni carichi (es. convertitori per l’elettronica di potenza)
e la presenza in rete di componenti non lineari (es. trasformatori in ferro, limitatori di
tensione, ecc) comportano notevoli inconvenienti pratici e metodologici; ad esempio, non è
più corretto l’uso del metodo simbolico. Tuttavia potrebbe essere esaminata la possibilità
della scomposizione in serie di Fourier della grandezza in esame; va ricordato il diverso
comportamento dei bipoli a memoria al variare della frequenza.
Dissimmetrie e distorsioni possono portare serie conseguenze sul funzionamento della
rete; la loro limitazione è lo sforzo degli studiosi e dei tecnici del settore nel nome della
qualità dell’energia.
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-53
III.12 – Studio dei sistemi trifase - Le Componenti Simmetriche (36) (*)
III.12.1 Introduzione
Si consideri, nel piano cartesiano, l’operatore di rotazione (di modulo unitario)
2
3
2
13
2
jej
. Si definiscono le seguenti terne simmetriche di sequenza (unitarie):
terna di sequenza uno o “diretta” ),,1(,, 3
2
3
2
20
jj
d eeS
terna di sequenza due o “ inversa” ),,1(,, 3
2
3
2
20
jj
i eeS
terna di sequenza zero o “omopolare” )1,1,1(,, 000
0 S
Risulta che le componenti di sequenza (diretta o inversa) sono le radici cubiche dell’unità
[(1++2)=1] ed inoltre
6262 31;31;3
jj
eej
; (III.12.1)
Una terna di vettori si dice pura se la somma è nulla (i tre vettori formano una figura
chiusa ossia un triangolo). In caso contrario i vettori costituiscono una terna spuria.
Proprietà di scomposizione delle terne di vettori: è sempre possibile scomporre una terna di
vettori in una terna diretta, una inversa ed una omopolare. Posto infatti
id
id
id
AAAA
AAAA
AAAA
2
01
2
02
01
(III.12.2)
si ricava
)(3
1
)(3
1
)(3
1
32
2
1
3
2
21
3210
AAAA
AAAA
AAAA
i
d
(III.12.3)
La (3) indica anche la costruzione grafica dei primi vettori di sequenza.
Esempio numerico: posto
241
1030
1520
3
2
1
jA
jA
jA
si ha
36 Formulazione introdotta da Fortescue nel 1918
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-54
49,1319,6
45,2781,10
130
jA
jA
jA
i
d
Considerazione: per le terne pure la terna omopolare è costituita da vettori nulli. Quindi
una terna di tensioni concatenate può essere descritta da una terna diretta e da una inversa.
III.12.2 Tensioni nei sistemi trifase
Fig.II.12.2.1
Si consideri un sistema trifase. Per quanto detto, si possono calcolare le terne di sequenza
diretta e inversa di tre tensioni concatenate (fig.II.12.2.1). I primi vettori sono:
d
j
d
EeEEE
EEEEEEVVVV
63
2
21
2
13
2
322131
2
2312
313
1
3
1
3
1
(III.12.4)
(come del resto già sapevamo dalle lezioni precedenti)
i
j
i
EeEEE
EEEEEEVVVV
632
2
1
1332
2
213123
2
12
313
1
3
1
3
1
(III.12.5)
(anche questo risultato era scontato) .
Le tensioni stellate di vertici 1-2-3 hanno quindi tutte la stessa terna diretta e la stessa terna
inversa.
Le tensioni stellate non costituiscono in genere una terna pura. Se la somma delle tensioni
stellate è nulla, il centro stella si trova nel baricentro del triangolo. Quindi tutte le possibili
tensioni stellate di un sistema trifase puro 1-2-3 hanno la stessa terna diretta ed inversa; la
tensione omopolare è pari alla distanza del punto corrispondente al centro stella dal
baricentro del triangolo 1-2-3.
V23
1
2 3
V12
V31
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-55
III.12.3 Correnti nei sistemi trifase
Le correnti di linea in assenza di conduttore neutro costituiscono un sistema puro e quindi
la componente omopolare è nulla. Relazioni analoghe alle (56)-(57) legheranno i primi
vettori di sequenza diretta o inversa delle correnti di linea a quelli omologhi delle correnti
di lato.
III.12.4 Terne di impedenze
Formalmente si possono definire le componenti di sequenza diretta, inversa ed omopolare
a partire da tre operatori di impedenza
32
2
1
3
2
21
3210
3
1
3
1
3
1
ZZZZ
ZZZZ
ZZZZ
i
d
(III.12.6)
Analogamente per le ammettenze.
Nel caso di carico equilibrato sarà diversa da zero solo la componente omopolare.
Considerando le tensioni stellate su un carico squilibrato
333222111 ;; IZEIZEIZE
si possono calcolare le componenti di sequenza delle tensioni stellate.
iddii
iiddd
iddiididid
IZIZIZEEEE
IZIZIZEEEE
IZIZIZIIIZIIIZIIIZ
IZIZIZEEEE
0032
2
1
003
2
21
00
2
03
2
0201
3322113210
)(3
1
)(3
1
3
1
)(3
1)(
3
1
(III.12.7)
Si può constatare che in genere le componenti di sequenza delle tensioni stellate sono legate a
tutte le componenti di sequenza delle correnti di linea.
Nel caso di alimentazione dissimmetrica su una stella di impedenze di ugual valore Z, si
ottiene:
ii
dd
IZE
IZE
IZE
0
0
000
In altre parole, il sistema può essere visto come la “sovrapposizione” di tre sistemi
simmetrici con impedenza Ż=Ż0. Se il sistema è puro (I0=0), anche la componente
omopolare delle tensioni stellate è zero, quindi in tal caso il centro stella del carico
corrisponde al baricentro del triangolo (scaleno) delle tensioni di alimentazione.
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-56
Applicazione 1 : Equilibratura di un carico monofase Z* sotto alimentazione simmetrica diretta
(Ei=E0=0)
I1 Z*
I2
I3
0
3
1
3
1
3
1
3
1
0
0
2
2
2
1
21
321
I
IIII
IIII
IIII
i
d
(III.12.8)
Per “riequilibrare” tale carico basta annullare la componente inversa, ossia collegare un
carico (Z1,Z2,Z3) che, sotto alimentazione diretta, assorba solo una terna inversa di correnti
pari a ii II ' . Se l’alimentazione è simmetrica diretta, le tre tensioni stellate su tale carico
(non equilibrato) potranno essere espresse attraverso lo spostamento del centro stella e
quindi saranno composte da una terna diretta (quella dei generatori) ed una omopolare.
Si riscrivano le (III.12.7) con questo obiettivo:
'
0
'
'
0
ii
iid
id
IZE
IZE
IZE
(III.12.9)
Dovendo essere Ei=0, risulta che la somma delle tre impedenze, pari a Z0/3, dev’essere
nulla. Poiché somma delle parti reali è nulla, non si può pensare a dei bipoli ohmici, ma a
dei bipoli puramente reattivi sia capacitivi che induttivi. La scelta può essere fatta in vari
modi. Ad esempio, se si pone Z1,=-jXc, Z2=Z3=jXL=-jXc/2 , si avrà
d
i
dcid EE
I
EXjZZ 0'2
Il primo vettore di sequenza diretta delle tensioni risulta in tal caso uguale (“allineato”)
alla componente omopolare, per cui risulta agevole il diagramma vettoriale.
2
1
3
Ed
Eo
E2
E3
I’i1
I’i2
I’i3
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-57
1
2
3
N=1’=2’=3’
I
1
I
2
I
3
I
o
III.12.5 Studio sistematico delle reti trifase
I consideri un sistema spurio. In tal caso il carico trifase può essere visto come un triplo-
bipolo con tre morsetti in comune (neutro), per cui si può considerare ad esempio il
modello (alimentazione con tensioni stellate alle porte)
3332321313
3232221212
3132121111
EYEYEYI
EYEYEYI
EYEYEYI
(III.12.10)
Nel collegamento comune sarà
3210 IIII (11)
Si potrà anche considerare un modello in cui le tensioni stellate vengono ricavate dalle
correnti di linea attraverso una matrice d’impedenza (inversa della matrice di
ammettenza).
Nel caso di sistema puro (Io=0) la matrice delle ammettenze è definibile ma non invertibile,
per cui la matrice di impedenza come sopra definita resta senza significato.
Si nota espressamente che il modello dell’N-bipolo, valido per le reti di bipoli, viene in
letteratura esteso anche al caso di “reti equivalenti” a sistemi, accessibili a più morsetti
fisicamente individuabili, contenenti organi in movimento. Nel modello algebrico
(III.12.10) delle “macchine rotanti” non risulta in genere verificata la “reciprocità”, ossia la
matrice delle ammettenze o delle impedenze non è simmetrica.
Per questa ragione tecnica si può anche considerare l’ipotesi che sia srrs YY .
Se si impone l’eguaglianza delle tre autoammettenze e delle ammettenze mutue 12-23-31 e
21-32-13, si possono ricavare le correnti di sequenza dalla (61)
iiii
dddd
ididid
ididid
ididid
EYEYYYIIII
EYEYYYIIII
EYEYYYEYYYYYYYYY
EEEYEEEYEEEY
EEEYEEEYEEEY
EEEYEEEYEEEY
EYEYEYEYEYEYEYEYEY
IIII
21121132
2
1
2112
2
113
2
21
0002112110333231232221131211
2
033
2
032031
2
023
2
022021
2
013
2
012011
333232131323222121313212111
3210
2
)(3
1
)(3
1
3
1
)
(3
1
)(3
1
)(3
1
( III.12.11)
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-58
Si ricavano pertanto tre reti di sequenza indipendenti (reti monofase equivalenti) da cui si
possono ricostruire le correnti e le tensioni effettive.
Le tre ammettenze prendono il nome rispettivamente di
- ammettenza alla sequenza zero (ammettenza omopolare) 0Y
- ammettenza alla sequenza diretta (ammettenza sincrona) dY
- ammettenza alla sequenza inversa (ammettenza asincrona) iY
Nel caso di reti tradizionali, valendo la reciprocità, l’ammettenza asincrona e quella
sincrona sono uguali.
Nel caso di sistemi puri (reti a neutro isolato), essendo nulla la componente omopolare delle
correnti (e di valore qualsiasi quella delle tensioni stellate), l’ammettenza omopolare è
nulla; nel caso di reti tradizionali, l’ammettenza diretta e quella inversa sono uguali alle
ammettenze equivalenti dello schema monofase elementare; i due contributi alle correnti
si ricaveranno dall’applicazione a tale schema una volta della terna diretta ed una volta
della terna inversa.
Una significativa applicazione delle reti di sequenza si ha nello studio di reti trifase in
condizioni di guasto.
III.12.6 Reti di sequenza - Determinazione delle correnti e delle tensioni di guasto
La definizione delle ammettenze ( e delle impedenze) alla sequenza diretta, inversa ed omopolare
comporta che in una rete (di sequenza) a correnti una di una certa sequenza corrispondono
tensioni della stessa sequenza.
Per ovvia estensione, si può affermare che le leggi di Kirchhoff sono soddisfatte, in una
rete simmetrica, separatamente per le singole sequenze (e per gli omologhi vettori
all’interno della stessa sequenza).
Si ha cioè in un nodo:
000 0III id
per una maglia
000 0VVV id
Si potranno quindi studiare separatamente le tre reti (monofase) di sequenza diretta, inversa ed
zero (omopolare). Le correnti della rete reale si potranno dedurre sommando le componenti
delle tre sequenze, ricordando che note le prime componenti di sequenze, le altre due sono
ricavabili con semplici operazioni.
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-59
L’uso delle reti di sequenza risulta di grande aiuto in numerosi casi di notevoli “squilibri”
come nel caso dei guasti (es. guasto traverso come un “cortocircuito” fra fase e terra o fra
fasi, guasto longitudinale quale rottura di un conduttore, ecc). A tale squilibrio
corrisponde, in generale, la presenza di tre correnti non più simmetriche, dotate dunque di
componenti inversa ed omopolare
Se la rete è ordinariamente una rete equilibrata con alimentazione simmetrica, in caso di
guasto esso potrà essere visto come “carico non simmetrico”, mentre la restante rete resta
simmetrica.
Vista dal punto di guasto, la restante rete simmetrica potrà essere studiata (“alla Thévénin
o alla Norton”)in generale a partire da tre reti monofase equivalenti simmetriche diretta
(rete equivalente “a vuoto” cioè in assenza di guasto traverso o “in cortocircuito” cioè in
assenza di guasto longitudinale); il collegamento fra le diverse reti di sequenza sarà
determinata dal particolare guasto. Se l’alimentazione è simmetrica diretta, solo nella rete
di sequenza diretta compariranno i veri generatori; le reti di sequenza inversa ed
omopolare determinano tensioni e correnti di sequenza inversa ed omopolare.
Sezione
di guasto
Rete
simmetri
ca
Rete
simmetric
a
Rete
simmetrica
equivalente
(“a vuoto”)
1
1
2
2
3
3
N
N
“rete”
del
guasto
Rete di seq
diretta
I’1
I’2
I’3
I’N
Rete di seq
inversa
Rete di seq
omopolare
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-60
Caso a) guasto traverso : guasto franco fra fase e neutro ( o terra nei sistemi TN).
In tal caso si ha
0
3
1
3
00
'''
'
'
0
''
''
1
'
3
'
2
'
1
oid
eq
dg
id
g
EEE
Z
EIIII
IIIIE
Si ha quindi che le tre reti di sequenza sono “in serie” e collegate su un cortocircuito.
Nel caso di alimentazione simmetrica diretta, la rete di sequenza diretta contiene il
generatore Ed e l’impedenza Zeq, la rete di sequenza inversa e quella di sequenza zero solo
l’impedenza Zeq.
Caso b) guasto non franco (su impedenza Zg) fra fase e neutro ( o guasto franco fase-terra nei
siatemi TT; nel guasto non franco fase-terra nei sistemi TT va considerata nell’impedenza
di guasto anche l’impedenza di terra).
In tal caso si ha
''
1
'''
'
'
0
''
''
1
'
3
'
2
''
1
3
3
1
3
0
dgoid
geq
dg
id
ggg
IZEEEE
ZZ
EIIII
IIIIIZE
Si ha quindi che le tre reti di sequenza sono “in serie” e collegate su un’impedenza pari a
tre volte l’impedenza di guasto.
E’d E’i E’o
Id= Ii= Io= Ig /3
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-61
Nel caso di alimentazione simmetrica diretta, la rete di sequenza diretta contiene il
generatore Ed e l’impedenza Zeq, la rete di sequenza inversa e quella di sequenza zero solo
l’impedenza Zeq.
Caso c) guasto franco fra due fasi .
In tal caso si ha
0
2
00
20
''
1
'
'
0
'
0
''
'
3
'
2
'
1
''''2''''2'
3
'
2
do
d
id
idd
id
eq
d
id
did
idoidoid
EEE
E
ZZ
ZEE
IIII
Z
E
ZZ
EIIIII
EEEEEEEEEE
Si ha quindi che due delle tre reti di sequenza sono collegate direttamente, la rete
omopolare è isolata e spenta.
Nel caso di alimentazione simmetrica diretta, la rete di sequenza diretta contiene il
generatore Ed e l’impedenza Zeq, la rete di sequenza inversa solo l’impedenza Zeq.
Caso d) guasto non franco fra due fasi (coincide con il caso di carico “monofase” su impedenza
Zg).
Id=- Ii= Ig
E’d
E’i
E’o
E’d E’i E’o
Id= Ii= Io= Ig /3
3Zg
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-62
In tal caso si ha
0
)()(
00
20
''
1
'
''
0
'
0
''
'
3
'
2
'
1
do
gid
idi
gid
gid
d
id
geq
d
gid
d
id
EEE
ZZZ
ZEE
ZZZ
ZZEE
IIII
ZZ
E
ZZZ
EIIIII
Si ha quindi che due delle tre reti di sequenza sono collegate tramite l’impedenza di
guasto, la rete omopolare è isolata e spenta.
Nel caso di alimentazione simmetrica diretta, la rete di sequenza diretta contiene il
generatore Ed e l’impedenza Zeq, la rete di sequenza inversa solo l’impedenza Zeq.
Caso e) guasto franco fra tre fasi .
In tal caso si ha
00
0
''
3
'
2
'
1
'''
3
'
2
'
1
0
IIII
EEEEEid
Si ha quindi che la rete di sequenza diretta e quella di sequenza inversa sono chiuse su un
cortocircuito, la rete di sequenza zero è aperta: il guasto (“equilibrato”) non determina
collegamento tra le reti di sequenza, ossia se vi sono ad esempio solo generatori di
sequenza diretta, si avranno solo correnti di sequenza diretta.
E’d
E’i
E’o
Id=- Ii= Ig
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-63
Caso f) guasto franco fra tre fasi e neutro (terra).
In tal caso si ha
0
00
''
3
'
2
'
1
'
0
'''
3
'
2
'
1
NIIII
EEEEEEid
Si ha quindi che tutte le rete di sequenza sono chiuse su un cortocircuito
E’d
E’i
E’o
E’d
E’i
E’o
Id=- Ii= Ig
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-64
Caso g) guasto tra due fasi e neutro
In tal caso si ha
00
3
10
0
'
1
'
1
'
0
'''
3
'
2
id IIII
EEEEEEid
si ha quindi che tutte le rete di sequenza sono in parallelo
Caso h) guasto longitudinale: apertura di una fase.
Nel caso di guasto di apertura si può procedere in modo duale immaginando che la rete di
guasto abbia N porte (coppie di morsetti) che, in condizioni ordinarie, sono in
cortocircuito. Pensando al teorema di Norton, si può immaginare che le reti di sequenza
derivino dalle condizioni ordinarie (“di cortocircuito”) e dalle condizioni imposte dalla
rete di guasto. Nel caso di apertura di una fase si avrà:
id IIII 0
'
1 0
Le tre reti di sequenza devono pertanto essere collegate tra loro in un nodo
Sezione
di guasto
Rete
simmetri
ca
Rete
simmetric
a
1
2
3
N
E’d
E’i
E’o
E’d E’i E’o
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-65
Caso h) guasto di apertura di due fasi.
In tal caso si ha
'
0
'
'
0
2'
'
03
21
3
0
II
II
III
II
i
d
N
Si ha una situazione analoga alla precedente, ma con un vincolo sulle fasi dei primi vettori
di sequenza diretta ed inversa.
Ovviamente se il neutro è isolato, tutte le correnti sono nulle.
III.12.7 Potenza complessa nei sistemi trifase
Si riscriva l’espressione della potenza complessa assorbita da un carico trifase sotto
alimentazione dissimmetrica, tenendo conto dei componenti simmetrici:
di
iddiiid
ddiid
idiiddid
idiiddid
idiiddid
PPP
IEIEIEIEEE
IEEEIEEE
IIIEIIIEIIIE
IIIEIIIEIIIE
IIIEIIIEIIIEIEIEIEP
0
000
22
2
0
2
0
22
0
2
0
22
0
2
00
2
0
2
0
22
00
00003
'
32
'
21
'
1
~3
~3
~3
~)1()1(3
~)1()1(3
~)1()1(3
)~~~
()~~~
()~~~
(
)~~~
()~~~
()~~~
(
)~~~
()~~~
()~~~
(~~~
dove i tre termini di potenza complessa corrispondono a termini di sequenza omopolare,
inversa e diretta (37).
III.12.8 Potenza fluttuante
La potenza fluttuante assorbita da un bipolo è una grandezza sinusoidale a pulsazione 2
e fase iniziale pari alla somma delle fasi iniziali di tensione e corrente. Essa può essere
rappresentata da un fasore
jj IeVeIVP ˆ
La potenza fluttuante assorbita da un carico trifase vale:
iddi IEIEIEIEIEIEP 333ˆ003
'
32
'
21
'
1
37
E’ da notare infatti che il coniugato di una terna diretta è una terna inversa. Si può inoltre mostrare che il
prodotto di una terna di assegnata sequenza per una terna di altra sequenza è una terna di vettori nulli.
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-66
Questa espressione mostra che condizione necessaria e sufficiente perché un sistema a
neutro isolato alimentato con tensioni simmetriche dia luogo a potenza istantanea costante
(potenza fluttuante nulla) è che dia luogo solo a correnti simmetriche della stessa sequenza
delle tensioni di alimentazione.
III.13 Reti di bipoli reattivi (*)
Si osserva che l’operatore di reattanza di un induttore ideale e quello di un condensatore
ideale sono funzioni monotone crescenti della pulsazione.
L’operatore di reattanza di un bipolo LC serie vale
CLX
1)(
Come si può controllare, anche in questo caso X è una funzione strettamente crescente
della pulsazione nell’intervallo (0,+∞): per valori tendenti a zero (dalla destra), X tende a -
∞; X tende a +∞ per valori della pulsazione tendenti a ∞; X si annulla alla pulsazione di
risonanza (serie)
LC
10
La pulsazione di risonanza costituisce uno zero per la funzione X(ω).
L’operatore di reattanza di un bipolo LC parallelo vale
LC
CL
X
1
1
)(
Come si può controllare, anche in questo caso X è una funzione strettamente crescente
della pulsazione nell’intervallo (0,+∞): per valori tendenti a zero (dalla destra), X tende a 0
per valori positivi; X tende a 0 valori negativi, per valori della pulsazione tendenti a ∞; X
non è definita (discontinuità di seconda specie) alla pulsazione di risonanza (parallela o
antirisonanza)
LC
10
assumendo valori positivi infinitamente grandi a sinistra della pulsazione di antirisonanza
ed negativi (in valore assoluto) infinitamente grandi a destra.
La pulsazione di antirisonanza costituisce un polo per la funzione X(ω).
Si può dimostrare (per induzione o attraverso il teorema di Foster38) che se si ha una
qualsiasi connessione di induttori e condensatori (bipoli reattivi) facenti capo ai morsetti
38
Per la dimostrazione si può prendere a riferimento il teorema di Cohn per le reti in regime stazionario che
stabilisce che la resistenza equivalente ai morsetti AB di una rete resistiva non decresce al variare in aumento
della resistenza di un ramo qualsiasi; poiché l’operatore di reattanza di un bipolo elementare è funzione
strettamente crescente della pulsazione, basterà applicare la regola di derivazione delle funzioni composte
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-67
A-B, l’operatore di reattanza equivalente ai morsetti A-B è funzione strettamente crescente
della pulsazione negli intervalli (aperti) tra i poli. C’è quindi, a partire da pulsazioni molto
basse fino a pulsazioni infinitamente grandi, una alternanza tra poli e zeri.
III. 14 - Circuiti magneticamente accoppiati in regime sinusoidale
Si è visto nel § II.20 che l’accoppiamento magnetico tra due circuiti di coefficienti di
autoinduzione L1, L2 e mutua induzione M è valutato tramite il coefficiente di
accoppiamento magnetico k=M/√ L1L2. Per k=±1, l’accoppiamento si dice perfetto: l’energia
magnetica è nulla (il campo magnetico è nullo in tutto lo spazio) anche se le correnti non sono
nulle, ma nel rapporto │ i1/i2│= √L2 /L1.
Due circuiti accoppiati possono essere studiati in regime sinusoidale con il modello del
doppio bipolo, matrice Z
2
1
2212
2111
LjMj
MjLjZ
ILjIMjV
IMjILjV
Nel caso di accoppiamento perfetto, il doppio bipolo è equivalente ad un trasformatore
ideale con un induttore L1 [L2] in parallelo sulla prima [seconda] porta. Tale doppio bipolo
è equivalente quindi in genere ad un trasformatore di tensione e non è trasparente alla
potenza reattiva; per quanto riguarda le correnti, rispetto ad un trasformatore ideale, è
presente la corrente a vuoto alla prima [seconda] porta. Tale corrente a vuoto è nulla se alla
seconda [prima] porta è collegato un bipolo cortocircuito: in tal caso il doppio bipolo si
comporta come un trasformatore di corrente, ma ambedue le tensioni sono nulle.
L’intensità della corrente a vuoto è tanto più trascurabile (rispetto ad i1 ed i2 ) quanto più
grande è la reattanza ωL1 rispetto al modulo di Z1eq=a2Zu
Se l’accoppiamento non è perfetto si può considerare la scomposizione (a valori non
negativi) L1=L1‘+L1” e L2= L2‘ + L2“ tali che tra L1 “ e L2“ vi sia la condizione di
accoppiamento perfetto. Una delle due induttanze L’ può essere scelta ad arbitrio (ad
esempio nulla). Quindi la scomposizione ha un grado di libertà.
Un doppio bipolo circuito accoppiato è in genere del secondo ordine; nel caso di
accoppiamento perfetto è del primo ordine. Il trasformatore ideale è di ordine zero.
Vedere anche il § IV.1.
(in realtà occorrerà anche considerare che in una rete reattiva, alimentata da un solo generatore, le correnti
sono in fase o in opposizione).
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-68
III.15 Dinamica nelle reti lineari : studio nel dominio del tempo - £-trasformata (*)
III.15.1 Sistema fondamentale – Dati iniziali
Si è precedentemente osservato che il sistema fondamentale per una rete lineare di l lati
consta di l equazioni topologiche (sempre algebriche) e di l equazioni caratteristiche di cui
n=nL+nC+nM*+2nM equazioni differenziali relative a nL ed nc induttori e condensatori
indipendenti, nonché a nM* doppi bipoli ad accoppiamento magnetico perfetto ed a nM
doppi bipoli ad accoppiamento magnetico non perfetto.
Nel caso di sistema lineare a coefficienti costanti, la soluzione è nota a meno di n costanti
arbitrarie, che andranno valutate in base al teorema di unicità di Cauchy, cioè in base alla
determinazione del valore della funzione e delle sue (n-1) derivate.
Considerato lo zero come istante di riferimento, considerato un intervallo infinitesimo (0-
ε,0+ε) nell’intorno dello zero si indicherà con f(0-) ed f(0+) il limite sinistro e destro, per
ε→0, della funzione f(t) nel punto zero.
III.15.2 Condizioni iniziali -Determinazione delle costanti arbitrarie
Per ricavare le condizioni iniziali della funzione (in genere non si tratta di una funzione a
memoria) si considera la scrittura (foto) del sistema all’istante 0+.
In tale istante sono incognite quasi tutti i valori tranne quelli delle n funzioni di stato, note
dallo 0-.Inoltre sono incogniti i valori allo 0+ delle n derivate che compaiono nelle
caratteristiche dinamiche. In definitiva si hanno n equazioni ai valori (algebrici) delle (l-n)
grandezze e delle n derivate allo 0+. Il sistema è determinato e quindi si è in grado di
conoscere allo 0+:
- i valori delle n grandezze di stato;
- i valori delle l-n grandezze non di stato
- i valori delle n derivate prime delle grandezze di stato.
Se occorre conoscere le derivate prime delle grandezze non di stato o le derivate seconde
delle grandezze di stato, basta considerare il sistema di 2l equazioni ottenuto derivando
una ad una le equazioni del sistema fondamentale.
In questo sistema derivato, letto allo 0+, si conoscono le derivate delle grandezze di stato
dal ragionamento precedente e quindi si può conoscere allo 0+:
- i valori delle derivate delle l-n grandezze non di stato
- i valori delle n derivate seconde delle grandezze di stato.
Tale ragionamento può essere ripetuto fino a conoscere il valore iniziale della derivata di
ordine (n-1).
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-69
La suddetta formulazione può essere espressa direttamente in forma “circuitale”. Lo
schema elettrico corrisponde infatti al sistema fondamentale e può essere letto in ogni
istante, in particolare allo 0+.
La “foto” del sistema allo 0+ vede quindi i valori delle funzioni note (in genere i
generatori) valutate allo 0+ ed i valori delle grandezze di stato note in quanto continue
dallo 0-.
Per il principio di sostituzione, si possono quindi inserire al posto dei condensatori
generatori di tensione v(0-), al posto degli induttori, generatori di corrente.
La rete in tal modo diventa “resistiva” e ad essa possono essere applicate tutte le proprietà
delle reti lineari. Possono essere quindi ricavate tutte le grandezze della rete allo (0+).
Restano altresì determinate i valori iniziali delle derivate prime delle grandezze di stato.
Al sistema fondamentale “derivato” corrisponde lo schema “derivato” con gli stessi bipoli
(generatori e resistori), con tensioni e correnti “derivate”; i valori delle derivate per i
generatori sono noti dal primo sistema. Possono quindi essere ricavate le altre grandezze
derivate.
Si procede in tal modo qualunque sia l’ordine del sistema.
III.15.3 Reti di ordine superiore - Determinazione delle frequenze naturali e
dell’integrale particolare
Il principio di sostituzione ci permette di “truccare” la foto del sistema non solo allo 0+
(per la determinazione delle costanti arbitrarie), ma in qualsiasi istante t, sostituendo ai
condensatori un generatore di tensione vc(t) e agli induttori un generatore di corrente iL(t).
La rete diventa in questo modo resistiva e possono essere facilmente valutate, con gli
ordinari metodi:
a) le intensità di corrente ic(t) nei condensatori;
b) le tensioni vL(t) sugli induttori.
Queste grandezze risulteranno quindi in relazione algebrica con le grandezze dei
“generatori”, in particolare con le vc(t) e le iL(t); le relazioni differenziali potranno essere
quindi organizzate come segue:
)()()()()(
)()()()()(
321
321
txbtibtvbdt
diLtv
txatiatvadt
dvCti
gLcL
L
gLc
c
c
dove sono indicate le costanti di proporzionalità dei singoli contributi dovuti ai generatori
noti [indicati genericamente con xg(t)] e ai generatori fittizi corrispondenti ai condensatori
ed agli induttori. Da notare che dalle relazioni del tipo (α) si possono esprimere le correnti
negli induttori in funzione delle tensioni sui condensatori e della loro derivata prima:
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III-70
)()(
1)( 31
2
txadt
dvCtva
ati g
ccL
La sostituzione, nelle equazioni del tipo (β) di una relazione di questo tipo e della sua
derivata
dt
dxa
dt
vdC
dt
dva
adt
di gccL32
2
1
2
1
porta ad equazioni differenziali nelle sole vc ;in un circuito con una sola L ed una sola C,
ad una equazione del secondo ordine in vc
dt
dx
LC
Latx
LC
abbatv
LC
abba
dt
dv
LC
CbLa
dt
vd
txbtxadt
dvCtva
abtvb
dt
dxa
dt
vdC
dt
dva
aL
g
gccc
ggc
cc
gcc
33232121221
2
2
331
2
2132
2
1
2
)()(
)()()(1
)(1
L’integrale particolare, nella vc, può essere valutato a partire dal secondo membro di
quest’ultima equazione, con gli ordinari metodi dell’Analisi matematica; si ricorda che, nel
caso di regime stazionario o sinusoidale, tale integrale può essere valutato per vie più
brevi (es. con il metodo simbolico).
Per quanto riguarda le frequenze naturali, esse possono essere ricavate dalla equazione
algebrica associata all’omogenea delle (α)-(β), ossia
)'(0)()(
)'(0)()(
21
21
tibtvbdt
diL
tiatvadt
dvC
LcL
Lc
c
LC
abba
LC
)CbLa(
LC
)CbLa(
abba)CbLa(CLA
bLb
aaCA
,2121
2
212121
212121
2
21
21
22
0
N.B. Occorre ricordare che, nei circuiti dissipativi, tali radici devono risultare negative o a
parte reale negativa.
I coefficienti della matrice A possono essere ricavate per via “circuitale”. Infatti nella
rete “fotografata” all’istante t generico si può sostituire al condensatore un generatore di
tensione ed all’induttore un generatore di corrente; una volta spenti i generatori “veri”
(equazioni “omogenee”), si ha
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0)(
2
0)(
1
0)(
2
0)(
1
;
;
tvL
L
tic
L
tvL
c
tic
c
CL
CL
i
vCb
v
vb
i
iCa
v
ia
I coefficienti suddetti possono essere considerati parametri ibridi, facilmente calcolabili
(sulla rete “resistiva associata”):
a1 è la conduttanza a vuoto (induttore sostituito da un “aperto”) vista ai morsetti del
condensatore
b1 è la resistenza di cortocircuito (condensatore sostituito da un “corto circuito”) vista ai
morsetti dell’induttore;
a2 è un fattore di partizione (di cortocircuito) della intensità di corrente nel condensatore
rispetto all’intensità di corrente nell’induttore;
b2 è un fattore di partizione di tensione (a vuoto) della tensione condensatore rispetto alla
tensione sull’induttore.
In generale, in presenza di nc condensatori indipendenti e di nL induttori indipendenti, le
(α’)-(β’) e la matrice A potranno essere così riscritte
)"(n......k)t(ib)t(vbdt
diL
)"(n......k)t(ia)t(vadt
dvC
L
n
j
LjL,k
n
i
cic,kLk
k
c
n
j
LjL,k
n
i
cic,kck
k
L
j
c
i
L
j
c
i
10
10
11
11
.
bL....bb....bb
............................
b....bLb....bb
a....aaC....aa
............................
a....aa....aCa
a....aa....aaC
A
LnLLLcnLLL
Lncn
Lncccncccc
Lncn
Lncn
L,nnL,nc,nc,nc,n
L,L,c,c,c,
L,nL,nc,nnc,nc,n
L,L,c,c,c,
L,L,c,c,c,
121
121
121
121
121
111111
222222
111111
Il numero di righe e di colonne di questa matrice è pari al numero degli induttori e dei
condensatori indipendenti. I coefficienti corrispondono a parametri ibridi quali quelli
prima elencati.
Le frequenze naturali sono gli autovalori di questa matrice.
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III-72
III.15.4 Risposte canoniche delle reti lineari (*)
L’esame di una grandezza di risposta y(t) (tensione o intensità di corrente in un ramo) ad
una grandezza di ingresso o forzamento x(t) (es. generatore di tensione o di corrente) può
essere condotta su una rete che abbia le seguenti proprietà:
a) sia tempo-invariante, ossia non si verificano variazioni nella topologia della rete o
nel valore dei parametri caratteristici [ se la rete è tempo-variante, occorrerà
restringere l’esame della dinamica in ogni intervallo in cui la rete sia tempo-
invariante ];
b) sia lineare, ossia costituita da bipoli la cui caratteristica risponda a requisiti di
linearità; se una rete è costituita da bipoli fondamentali resistori, induttori
(inizialmente scarichi) e condensatori (inizialmente scarichi), la rete è lineare;
c) sia passiva, ossia vi sia solo un generatore (ingresso); se vi sono più generatori (più
ingressi), la risposta potrà valutarsi dalla somma dei contributi legati ai singoli
ingressi, se la rete è lineare.
Nei casi suddetti la risposta prende il nome di evoluzione forzata: essa dipenderà dalla
topologia della rete e dal forzamento. Se vi sono più forzamenti, l’evoluzione forzata sarà
pari alla somma dei contributi dei singoli forzamenti.
Nel caso di reti non a riposo nell’istante iniziale di osservazione della dinamica e
sottoposte a forzamento nullo, la risposta prende il nome di evoluzione libera.
Se la rete non è a riposo, essa non è lineare; infatti, nella caratteristica tensione-corrente dei
bipoli a memoria C ed L (convenzione dell’utilizzatore)
o
t
t
ccc
c
c tvdtitvdt
dvCi
1
0
1 (*)
o
t
t
LLLL
L tidtvtidt
diLv
1
0
1 (**)
occorre precisare il “valore iniziale” della variabile di stato; le relazioni suddette sono
lineari solo se tale valore è nullo.
Se la rete non è a riposo e il forzamento è nullo, si potrà tuttavia considerare, ai fini del
calcolo della evoluzione libera per t>0, la rete a riposo allo 0-, inserendo in parallelo ai
condensatori [scarichi] un generatore impulsivo di corrente di valore Qo=C Vo pari alla
carica sulle armature del condensatore per t=0 ed in serie agli induttori [scarichi] un
generatore impulsivo di tensione di valore pari al flusso iniziale ossia LIo. Tale generatore
fittizio, nullo per t<0 e per t>0, ricostruirà allo 0+ le condizioni di carica del bipolo. E’
possibile dimostrare, utilizzando le equazioni del sistema fondamentale e valutazioni
basate sul bilanciamento degli impulsi, che il generatore impulsivo di corrente [di
tensione] caricherà il solo condensatore indipendente in parallelo [induttore indipendente
in serie] e nessun altro bipolo a memoria nella rete.
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III-73
In generale, quindi, se la rete non è a riposo si potrà considerare, ai soli fini della risposta
per t>0, la rete a riposo per t<0 ed aggiungere ai forzamenti ordinari tanti generatori impulsivi
fittizi quanti sono gli elementi a memoria carichi.
I contributi dei generatori impulsivi ricostruiranno l’evoluzione libera, mentre i contributi dei
forzamenti formeranno l’evoluzione forzata.
Si avrà quindi in generale che la risposta è pari alla somma dell’evoluzione libera e
dell’evoluzione forzata.
Nella caratterizzazione dinamica delle reti assumono un ruolo fondamentale sia le
soluzioni della equazione algebrica associata all’omogenea (esprimibili come frequenze
naturali k o attraverso le costanti di tempo k =-1/k, reali o complesse coniugate) sia
l’integrale particolare. Poiché le soluzioni k sono negative o a parte reale negativa nei circuiti
reali (dissipativi), l’integrale particolare può essere costituito, se individuabile, dalla
soluzione secolare (a tempo infinito) ossia dalla soluzione a regime (es. stazionario,
sinusoidale, periodico, etc). Nel caso di forzamento polinomiale, esponenziale o cisoidale
(ossia costituito da una combinazione di funzioni esponenziali, trigonometriche ed
iperboliche), la soluzione secolare sarà del tipo polinomiale, esponenziale o cisoidale; il
principio di identità applicato al sistema differenziale ci permette di valutare completamente
l’integrale particolare e quindi l’integrale completo.
Laddove il forzamento non fosse del tipo suddetto o addirittura non esprimibile
analiticamente (si pensi ad esempio ad una tensione indotta da un fulmine o, più
semplicemente, al segnale derivante da un microfono), l’evoluzione delle grandezze nella
rete potrà essere ricondotta a delle risposte “canoniche” ossia a forzamenti tipo
(“standard”).
Forzamenti-tipo fondamentali sono la sollecitazione “a gradino” e la sollecitazione “ad
impulso”. La prima sembra più “accessibile” anche dal punto di vista sperimentale, la
seconda si presenta più adatta ad una formulazione analitica compatta. Rientrano nelle
sollecitazioni-tipo gli impulsi di ogni ordine, ricavabili per derivazione successiva della
funzione a gradino, nel senso delle distribuzioni.
III.15.5 La funzione a gradino
Per una utile presentazione della funzione a gradino (che ci permetterà di interpretare
meglio la funzione impulsiva), si consideri una funzione continua e generalmente
derivabile del tipo
)(1
)()()(2
1
)(0
)(
0
000
0
0
ttper
tttpertt
ttper
ttU
Si definisce funzione a gradino di valore unitario applicato nel punto t0 la funzione
t0
U
1
t
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)(lim
)(1
)(0
)( 00
0
0
0 ttU
ttper
ttper
ttU
La funzione a gradino risulta discontinua nel punto di applicazione39.
III.15.6 La funzione impulsiva
Si consideri la funzione
)(0
)()(2
1
)(0
)(
0
00
0
0
ttper
tttper
ttper
ttP
Tale funzione può essere considerata la derivata dalla funzione U.
Una proprietà notevole della funzione suddetta è la seguente
1)()(0
0
00
t
t
dtttPdtttP
Al tendere a zero di , il valore di P tende ad infinito, mentre l’integrale resta unitario.
La funzione impulsiva unitaria del 1° ordine (impulso di Dirac nell’istante t0) viene definita nel
modo seguente:
b
abatse
batsedttt
ttper
tt
),(0
),(1)(
0
)(
0
0
0
0
0
Nell’ambito della teoria delle distribuzioni, la funzione impulsiva può essere considerata
la derivata della funzione a gradino.
La funzione P può essere considerata come la differenza tra due funzioni a gradino, uno
di valore 1/2 applicato in t0- e l’altro di valore -1/2 applicato in t0+. Si può quindi
pensare di reiterare il procedimento precedente ed arrivare alla definizione di impulso del
2° ordine (doppietto, costituito da due impulsi del primo ordine “contigui” e di segno
opposto, di valore illimitato) ed alla definizione degli impulsi di ordine superiore.
III.15.7 Campionamento di una funzione
Si consideri una funzione f(t) generalmente continua e derivabile. Volendo descrivere
tale funzione in un intervallo (0,t1) si può immaginare di suddividere l’intervallo in N
sottointervalli di ampiezza = t1/N e di considerare la funzione f*(t) (di tipo “a
scaletta) di valore costante nei sottointervalli e pari al valore della funzione f(t)
nell’estremo sinistro.
39
Si è soliti assegnare alla funzione a gradino nel punto di discontinuità il valore 0,5, desunto dalla UΔ.
t0
P
1/(2
)
t
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III-75
La funzione f*(t) si “compone” con funzioni “finestra” del tipo P(t-k), ma di
ampiezza pari al valore che la funzione f(t) ha nell’estremo sinistro del
sottointervallo:
N
k
kk tPftf1
)()()(*
Per N, 0 e f*(t)f(t). Pertanto si può concludere che la funzione f(t) può
essere descritta, nell’intervallo suddetto, attraverso infiniti “campioni” f() “filtrati”
da impulsi di Dirac (40):
1
0
)()(
t
dttftf
III.15.8 Risposta forzata (integrale di convoluzione)
Considerata una rete lineare passiva, tempo-invariante, a riposo all'istante to,
sollecitata dal forzamento f(t) (in tensione o corrente), la risposta (tensione o corrente
di lato) yf(t) (evoluzione forzata) può quindi essere espressa, per ogni istante t>to, dalla
sovrapposizione “contemporanea” dei contributi dovuti ai termini componenti la f(t) e
quindi dall'integrale di convoluzione
dthfty
t
t
f
0
)()(
dove h(t-) è la risposta ad un forzamento impulsivo unitario centrato nell'istante
generico (to<<t)41.
40 In realtà in questa presentazione non viene considerato il campione nello zero [nell’estremo destro t1]. Per tener conto
di tale campione, occorre considerare inizialmente non il valore nell’estremo sinistro ma al centro del sottointervallo e
considerando di estendere “temporaneamente” l’intervallo (0, t1) di /2 a sinistra dello zero e a destra di t1.
L’espressione del campionamento diventa
1
0
)()(
t
dttftf .
41poiché vale il principio di causalità (ossia la risposta non può dipendere dal forzamento futuro), h(t-) è nulla per t>t1 e
l'integrale di convoluzione può essere riscritto come dthfty f
)()(
t1
f*(t)
f(t)
1
k k+
1
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III-76
Se la rete non è a riposo, essa può essere ricondotta ad una rete a riposo
considerando degli opportuni “forzamenti impulsivi” per la ricostruzione delle variabili di
stato. La risposta a questi forzamenti fittizi (a forzamento f(t)=0) rappresenta l’evoluzione
libera per cui, per una rete non a riposo, la risposta y(t) è la somma dell’evoluzione libera e
dell’evoluzione forzata:
)()()( tytyty liberaf .
L’uso della funzione impulsiva permette quindi:
a) di introdurre propedeuticamente generatori fittizi (impulsivi) per ricostruire “in un
attimo” lo stato di non-riposo di una rete; se si ha interesse a conoscere l’evoluzione delle
grandezze per t>0, basterà inserire in parallelo ad un condensatore C (nella realtà carico ad
una tensione Vo all’istante t=0, ma che si suppone scarico per t<0) un generatore di
corrente
)()( tCVti o (42)
ovvero basterà inserire in serie ad un induttore L (nella realtà carico ad una intensità di
corrente Io all’istante t=0, ma che si suppone scarico per t<0) un generatore di tensione
)()( tLIte o 43
b) di determinare la risposta impulsiva h(t) ad un generico forzamento f(t) applicato ad una
rete a riposo, tramite l’integrale di convoluzione.
Si vuole nel seguito riportare alcune considerazioni generali sulla h(t), che possono essere
di aiuto nelle applicazioni per la determinazione della stessa.
Seguiranno alcuni esercizi per la valutazione della risposta impulsiva basati
essenzialmente sulla osservazione che, nel sistema fondamentale, devono essere bilanciati
gli impulsi di tensione e corrente ( ossia non è possibile che in un’equazione compaia un
solo termine impulsivo); basteranno semplici considerazioni per distinguere le grandezze
impulsive da quelle non impulsive e per valutare eventuali discontinuità delle grandezze
di stato.
42 In tal modo al condensatore viene trasferita, nell’intervallo (0-,0+) una carica Qo=CVo; tale operazione (si
ripete,fittizia) è indipendente dalla presenza del resto della rete, come si potrà anche verificare dagli esercizi
esposti appresso. Si sottolinea comunque che in questa “simulazione” si perde tutta l’informazione
sull’evoluzione reale delle grandezze fino allo 0- (si consideri la rete perfettamente a riposo) ed anche
nell’intervallo infinitesimo (0-,0+), in cui le grandezze di stato raggiungono i valori effettivi. 43 In tal modo nell’induttore viene creato , nell’intervallo (0-,0+) un flusso concatenato Φ=LIo; tale operazione
(si ripete,fittizia) è indipendente dalla presenza del resto della rete, come si potrà anche verificare dagli
esercizi.
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III-77
III.15.9 La risposta impulsiva di reti di ordine zero
Si consideri una rete costituita da soli resistori44. Essa è di ordine zero (nel sistema
fondamentale non vi sono relazioni differenziali).
E' immediato riconoscere che per un forzamento impulsivo f(t)=(t) unitario, ogni
risposta h(t) è impulsiva (fig.III.15.9.1); è da sottolineare che h(t)=0 per t>0, essendo la
rete senza memoria.
f(t)= (t) y(t)=h(t)=k (t)h
fig.III.15.9.1
Quindi la risposta forzata generica è la "copia modificata" attraverso il fattore di
riporto kh (dimensionale o adimensionale a seconda dei casi) (fig.III.15.9.2)
f(t) y(t)= =k f(t)h
fig.III.15.9.2
44 ed altri bipoli, n-poli o n-bipoli di ordine zero quali il trasformatore ideale.
y (t) k f(tf h
f t dt
t
( ) )
0
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III-78
III.15.10 La risposta impulsiva di reti del primo ordine
Si considerano i due casi rilevanti:
a) un solo bipolo condensatore di capacità C (fig.III.15.10.1a);
b) un solo bipolo induttore di induttanza L (fig.III.15.10.1b)(45);
fig.III.15.10.1
Nel caso a) si può affermare, salvo le eccezioni di cui appresso, che l'impulso in ingresso
carica il condensatore. Infatti la rete a monte dei morsetti AB è resistiva e ad essa si può
sostituire il bipolo equivalente di Norton (fig. III.15.10.2a); l'intensità di corrente del
generatore equivalente di Norton e la tensione che si ritrova immediatamente ai capi del
condensatore valgono rispettivamente
iABcc(t)= kABN (t)
dove kABN è il dovuto fattore di riporto sul lato AB; quindi, considerando l'intervallo di
tempo (0-,+)
45Il caso del mutuo induttore ad accoppiamento perfetto si riconduce immediatamente al caso del singolo
induttore:
v 0k
CAB
ABN
vk
C
k
CAB
ABN ABNt e e
t
CR
t
eq c
i kv
Rk
k
CRk
kAB ABN
AB
eq
ABN
ABN
eq
ABN
ABN
c
t tt
t e t e
t
CR
t
eq c
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III-79
fig. III.15.10.2
Avendo completato l'esame delle grandezze nel ramo AB, si consideri la generica risposta
h(t); essa conterrà in genere un termine impulsivo ed un termine smorzato (fig.
III.15.10.3a):
Il termine impulsivo contiene il dovuto fattore di riporto kh; esso sarà nullo se la risposta è
la tensione sul condensatore ovvero qualsiasi grandezza della rete che si può immaginare
"in parallelo" al condensatore (come tensione e correnti della resistenza equivalente del
bipolo equivalente di Norton); negli altri casi tale fattore si determina in una rete di ordine
zero, ottenuta sostituendo al condensatore un corto circuito (46). Il fattore kc si ottiene
invece considerando il “riporto” della tensione sul condensatore alla grandezza di uscita
prescelta (anche in questo caso il calcolo del riporto viene effettuato su una rete di ordine
zero, in cui tra l’altro il forzamento, valutato dallo 0+, è nullo per definizione)(47). Il fattore
kABN dipende invece dalla posizione del condensatore rispetto al forzamento.
a b
fig. III.15.10.3
Le tensioni e correnti della porzione di rete N" nella fig.III.15.10.4a certamente non
contengono termini impulsivi, mentre le grandezze della porzione N' sono genericamente
interessati da termini impulsivi. Una più profonda analisi topologica è necessaria per
meglio determinare il comportamento della porzione N'.
46
La sostituzione con un cortocircuito è legittimata dal fatto che la tensione sul condensatore è comunque
limitata e quindi “trascurabile” rispetto alle altre tensioni impulsive presenti nella rete. 47 In altri termini, la tensione sul condensatore è la sola tensione nota, da “ripartire”.
δ(t
)
δ(t
)
C L
h k k k v kk k
Ch h c AB h
c ABNt t h e t e t e
t t t
c c c
0 0
c
t
ett
0vkkh ABch L
t
ett
0ikkh ABLh
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III-80
a)
f(t)= (t)C
A
B
N' N"
risposte impulsive risposte non impulsive
b)
N"
risposte non impulsive
f(t)= (t)
N'
risposte impulsive
A BL
fig.III.15.10.4
E' tuttavia da sottolineare che vi sono casi banali e "patologici":
- se la corrente di cortocircuito iABcc(t) è nulla (perchè la tensione a vuoto ai morsetti AB è
nulla: ad es. parallelo con un cortocircuito o condensatore inserito sulla diagonale di un
ponte di Weathstone bilanciato), la rete è di ordine zero e senza memoria ( il condensatore
non si carica);
- se lo stesso condensatore è alimentato con un generatore di tensione impulsivo, il
condensatore si carica ad una tensione impulsiva, la corrente nel condensatore è
un'impulso del secondo ordine, le grandezze nella rete sono impulsive come in una rete di
ordine zero e la rete non ha memoria.
Trattasi, come si vede, di casi marginali.
In presenza di un induttore (caso b), l'impulso in ingresso carica l'induttore. Infatti la rete a
monte dei morsetti AB è resistiva e ad essa si può sostituire il bipolo equivalente di
Thévénin (fig.III.15.10.1); la tensione del generatore equivalente di Thévénin e la intensità
della corrente che si ritrova immediatamente nell'induttore valgono rispettivamente
voAB(t)= kABT (t)
iAB(0+)= kABT /L
dove kABT è il dovuto fattore di riporto sul lato AB; quindi, considerando l'intervallo di
tempo (0-,+)
Avendo completato l'esame delle grandezze nel ramo AB, si consideri la generica risposta
h(t); essa conterrà in genere un termine impulsivo ed un termine smorzato :
il termine impulsivo contiene il dovuto fattore di riporto kh; esso sarà nullo se la risposta è
la tensione sul condensatore ovvero qualsiasi grandezza della rete che si può immaginare
"in serie" dall'induttore (come la resistenza equivalente del bipolo equivalente di
ik
L
k
LAB
ABT ABTt e e
tR
L
teq
L
v k R i kk R
Lk
kAB ABT eq AB ABT
ABT eq
ABT
ABT
L
t t t t e t e
tR
L
teq
L
h k k k i kk k
Lh h L AB h
L ABTt t h e t e t e
t t t
L L L
0 0
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-81
Thévénin); negli altri casi tale fattore si determina in una rete i ordine zero, ottenuta
sostituendo all’induttore un circuito aperto. Il fattore kL si ottiene invece considerando il
“riporto” corrente dell’induttore alla grandezza di uscita prescelta (anche in questo caso il
calcolo del riporto viene effettuato su una rete di ordine zero, in cui tra l’altro il
forzamento, valutato dallo 0+, è nullo per definizione). Il fattore kABT dipende invece dalla
posizione dell’induttore rispetto al forzamento.
Le tensioni e correnti della porzione di rete N" nella fig. fig.III.15.10.4b certamente non
contengono termini impulsivi, mentre le grandezze della porzione N' sono genericamente
interessati da termini impulsivi. Una più profonda analisi topologica sarebbe necessaria
per migliorare l'analisi del comportamento della porzione N'.
E' tuttavia da sottolineare che anche qui vi sono casi banali e "patologici":
- se la tensione a vuoto è nulla (perché la corrente di cortocircuito nel ramo AB è nulla: ad
es. serie con un circuito aperto o induttore inserito sulla diagonale di un ponte bilanciato),
la rete è di ordine zero e senza memoria ( l'induttore non si carica);
- se lo stesso induttore è alimentato con un generatore di corrente impulsivo, esso si carica
ad una corrente impulsiva, la tensione sull'induttore è un impulso del secondo ordine, le
grandezze nella rete sono impulsive come in una rete di ordine zero e la rete non ha
memoria.
III.15.11 La risposta impulsiva di reti di ordine superiore
Per le reti del secondo ordine si possono considerare i seguenti casi fondamentali:
a) reti con due condensatori C1 e C2;
b) reti con due induttori L1 ed L2;
c) reti resistive con un accoppiamento magnetico non perfetto M;
d) reti con un induttore ed un condensatore.
Nei primi due casi non si considereranno i casi di bipoli in serie o parallelo, in quanto si
rientrerebbe in problemi del primo ordine.
Nel caso a) si consideri il caso fondamentale di forzamento impulsivo di corrente Qo(t) su
C1 (fig.III.15.11.1). In tal caso C1 si carica istantaneamente alla tensione di valore Qo/C1,
mentre C2 non si carica in quanto le correnti nella rete N” non possono essere impulsive.
La tensione su C2 resta quindi continua. La suddetta osservazione vale anche per il caso
del tipo d) descritto dalla fig.III.15.11.2; in questo vaso infatti, non potendo essere
impulsive neanche le tensioni in N”, non si può dar luogo ad una brusca variazione della
corrente nell’induttore, che resta quindi continua.
Nel caso b) si consideri il caso fondamentale di forzamento impulsivo in tensione o(t)
su L1 (fig.III.15.11.3). In tal caso L1 si carica istantaneamente alla corrente di valore o/L1,
mentre L2 non può caricarsi istantaneamente in quanto tutte le tensioni in N” sono
limitate. La corrente in L2 resta quindi continua. La suddetta osservazione vale anche per il
caso del tipo d) descritto dalla fig.III.15.11.4; in questo vaso infatti, non potendo essere
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-82
impulsive neanche correnti in N”, non si può dar luogo ad una brusca variazione della
tensione sul condensatore, che resta quindi continua.
In generale, nei casi di tipo a) [di tipo b)] occorrerà considerare se le correnti [le tensioni]
nei condensatori [sugli induttori] prodotti dai generatori impulsivi di tensione e di
corrente siano o meno impulsive. Per avere questa informazione, ricordando che le
grandezze di stato – escluso i casi patologici – possono avere nello zero al più un salto
limitato e quindi trascurabile rispetto all’impulso, basterà considerare al posto dei
condensatore [degli induttori] un generatore di tensione [di corrente] di valore trascurabile
e valutare in una rete “praticamente” resistiva la distribuzione delle correnti [delle
tensioni] relativi ai rami dove sono ubicati i suddetti generatori di valore trascurabile. Se le
correnti [le tensioni] risulteranno impulsive di valore Ak, si avranno dei corrispondenti
salti di tensione [di intensità di corrente] pari a Ak/Ck [Ak/Lk]. Tali considerazioni possono
essere estese anche a casi più complessi. Ad esempio, in fig.III.15.11.5A (in fig.III.15.11.5B è
disegnata la rete resistiva associata) l’induttore L1 si carica al valore
321
32
1
)0(1 RRR
RR
LiL
,
il condensatore C1 al valore
3211
1)0(
1 RRRCvC
,
l’induttore L2 al valore
321
2
1
)0(2 RRR
R
LiL
,
mentre il condensatore C2 non si carica nello zero perchè interessato da corrente di
intensità limitata.
I casi del tipo c) rientrano nei casi di due induttori, potendo per un accoppiamento mutuo
non perfetto considerare una rete equivalente contenente un trasformatore ideale (senza
memoria) e quattro induttanze fittizie L’1,L”1,L’2,L”2 (L1=L’1+L”1; L2=L’2+L”2) di cui una (L’1
o L’2) può essere scelta arbitrariamente mentre L”1 ed L”2 danno luogo ad una
accoppiamento perfetto (ossia ad una sottorete del primo ordine).
Si può controllare che i casi a),b),c) danno luogo a frequenze naturali (o a costanti di
tempo) reali e distinte.
Le considerazioni sopra esposte possono essere facilmente estese a reti di ordine superiore
contenenti:
a’) un numero qualsiasi di condensatori;
b’) un numero qualsiasi di induttori;
c’) un numero qualsiasi di mutui accoppiamenti ed induttori;
d’) un numero qualsiasi di condensatori, induttori e mutui accoppiamenti.
In particolare, si può notare che la configurazione di fig.3.6 “protegge” la rete N” da
impulsi di tensione, la rete di fig.3.7 protegge la rete N” da impulsi di corrente.
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-83
Considerando gli impulsi come “disturbi”, le due figure presentano un primo esempio di
“filtri”. Ovviamente il filtro va opportunamente dimensionato.
fig.III.15.11.1
fig.III.15.11.2
fig.III.15.11.3
fig.III.15.11.4
N”
C1
i=Q0δ(
t)
C2
N” i=Q0δ(t)
C1 L
N”
v=Φδ(t)
L1
C2
v=Φδ(t)
L1
L2
N”
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-84
A)
fig.III.15.11.5
B)
fig.III.15.11.6
fig.III.15.11.7
N”
L
C
i=Q0δ(t)
N”
v=Φδ(t)
L
C
+ Φδ(t) R1
R3
R2
C1
L1 L2
C2
+ Φδ(t) R1
R3
R2
C1
L1 L2
C2
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-85
III.15.12 Conclusioni dello studio nel dominio del tempo (*)
La metodologia tipica di valutazione della risposta impulsiva può essere parallelamente
riportata sia per la risposta al gradino (dove potranno essere rapidamente distinte le
grandezze discontinue da quelle continue –non solo di stato-), sia per la risposta a
sollecitazioni impulsive di ordine superiore.
La convenienza di approfondire il caso degli impulsi del primo ordine sta sia nel
considerare tali sollecitazioni di ampio interesse applicativo (basti pensare ai disturbi
transitori veloci introdotti nei circuiti elettrici -tali disturbi sono ovviamente intesi quali
ingressi indesiderati-), oppure, di converso, ai segnali digitali, che sono ingressi voluti di
breve durata e che si vuole siano riportati nella rete quali grandezze di notevole intensità
rispetto ai “rumori” di varia origine).
L’ulteriore convenienza dell’impiego delle funzioni impulsive risiede nella semplicità
delle trasformate integrali lineari quali quella £ di Laplace in cui risulta
0
1)()()(£ dtetsFt st
L’applicazione di trasformate di tale tipo al sistema fondamentale di una rete lineare lo
rende algebrico; con le debite attenzioni, si possono quindi definire in questo caso
(analogamente a quanto visto in regime sinusoidale) operatori quali impedenze ed
ammettenze e si potranno ancora applicare proprietà e teoremi fondamentali quali
sovrapposizione degli effetti ed equivalenze di bipoli attivi e passivi.
L’allievo informatico troverà nel seguito dei suoi studi la sistematica applicazione di
metodi operatoriali del tipo suddetto, che potranno avvalersi di numerosi e consolidati
algoritmi di calcolo automatico.
Ci è sembrato utile in questa sede – data anche la ristrettezza del tempo a disposizione –
insistere, per motivi di formazione, sull’analisi della risposta impulsiva nel dominio del
tempo, che consente una verifica diretta della sintesi personale dell’allievo sulla dinamica
delle reti lineari.
III.15.13 Uso della trasformata di Laplace
La trasformata di Laplace è un operatore lineare che fa corrispondere ad una funzione del
tempo f(t) – nulla per t<0 - una funzione di variabile complessa
js
dtetftfsF st
0
)(£)(
Il valore minimo di α, se esiste, per cui l’integrale converge è detto ascissa di convergenza.
Valgono le seguenti relazioni fondamentali
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-86
)s(G)s(F]d)t(g)(f£[)]t(g*)t(f£[
s
sen)s(costsene£
sse
!n
t£
sse£
s
!nt£
st£
s)t(U£
s)t(£
s)t('£
)t(£
)(f)s(Fsdt
df£
sFcsFctfctfc£
t
n
tsn
ts
n
n
nn
0
22
1
1
1
1
2
22112211
1
1
1
1
1
0
1
1
Le relazioni suddette sono particolarmente utili nell’analisi dei circuiti in regime dinamico
e possono costituire un utile riferimento – senza aggravio di calcoli - per
l’antitrasformazione.
E’ infatti facilmente controllabile che il sistema fondamentale di una rete lineare è £-
trasformabile se sono £-trasformabili le caratteristiche dei generatori.
Si può quindi considerare una rete simbolica alle £-trasformate; le relazioni tensioni-
correnti sono quindi ricavabili dalla risoluzione di un sistema algebrico, in cui compare,
tra i coefficienti, l’operatore s.
Si potranno applicare il principio di sostituzione, i metodi semplificati ed in genere tutti i
teoremi basati sulla linearità quali sovrapposizione, generatore equivalente, ecc.
Il legame tra un forzamento d’ingresso x e una grandezza di interesse y (uscita) per una
rete tempo-invariante, a riposo per t<0, lineare ed alimentata da un solo generatore potrà
quindi essere da un operatore formale (funzione di trasferimento)
)(
)()(
sX
sYsH
che, per quanto detto a proposito della convoluzione, risulta essere la trasformata della
risposta impulsiva.
La funzione di trasferimento risulta anche interpretabile quale operatore formale di
impedenza, ammettenza (o, in generale, immettenza), a seconda delle grandezze in esame.
L’ operatore di impedenza per un resistore vale R, quello per un induttore vale sL;
l’operatore di ammettenza per un condensatore vale sC.
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-87
Se la rete è a riposo per t<0, è pienamente soddisfatta la condizione sulla f(t) ai fini della £-
trasformazione. In tal caso la Y(s) risulta essere la trasformata dell’evoluzione forzata.
La funzione di trasferimento, data la linearità del sistema, risulta essere un rapporto di
polinomi in s, con grado del numeratore N(s) in genere inferiore al grado del
denominatore (48). L’antitrasformazione è immediata se si considerano le radici del
polinomio al denominatore (reali e distinte e/o complesse coniugate, con le loro
molteplicità) (49) .
In caso di rete non a riposo, la tensione del condensatore e l’intensità di corrente
nell’induttore, allo 0+, non potranno essere considerate nulle, quindi le relazioni
)0()()(£)(£
)0()()(£)(£
LLLL
L
cccc
c
LissLIsVdt
diLtv
CvssCVsIdt
dvCti
possono essere interpretate circuitalmente, rispettivamente, come un generatore di
corrente costante (rispetto a s) in parallelo ad un condensatore di ammettenza sC e come
un generatore di tensione costante (rispetto ad s) in serie ad un induttore di impedenza sL.
Nel dominio del tempo, questo modello corrisponde all’attivazione di corrispondenti
generatori impulsivi che istantaneamente caricano condensatori e induttori scarichi.
48
Per averne una idea, basta pensare alla regola di Kramer, per cui la risoluzione di un sistema lineare si
ottiene tramite il rapporto di due determinanti contenenti il parametro s; se i generatori “noti” sono regolari,
le loro trasformate abbassano il grado del numeratore rispetto a quello del denominatore. Se i generatori
sono impulsivi del primo ordine, la funzione di trasferimento può avere la forma
)(
)(
)(
)()(
)(
)()(
sD
sBAs
sD
ssQ
sD
sNsH
dove nel quoziente Q(s) compare il termine B se la risposta impulsiva contiene un termine impulsivo di
valore B; il coefficiente A vale L nel caso di tensione (uscita) sull’induttore di induttanza L con ingresso
impulsivo unitario in corrente; il coefficiente A è pari a C nel caso di corrente (uscita) nel condensatore di
capacità C con ingresso in tensione impulsivo. In questi due casi si è in presenza di un impulso del secondo
ordine (doppietto); come detto, in questo caso il sistema non ha memoria. In tutti gli altri casi A vale zero.
Ovviamente resta un rapporto di polinomi in cui al numeratore c’è un resto.
49 ......)!()('
)(
)()()(
)(£
)(
)(£
1"
'
' '
'
22
1
11 "
1
m
r
rm
r
k
tt
k k
k
mm
r
m rm
tBee
D
N
bassssss
sN
sD
sNkk
r
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-88
III.15.14 Esercizi sulla risposta impulsiva
a. Carica istantanea di un condensatore scarico C e di un induttore scarico L (50)
a) b)
Nel caso a) l’impulso di corrente del generatore deve essere “bilanciato” da almeno un
altro termine nell’equazione al nodo A; la corrente ik nella rete non può essere impulsiva
(escluso i casi patologici di generatore di tensione ideale o di altro condensatore in
parallelo): in tal caso infatti se la rete fosse resistivo e/o induttiva, la tensione v sarebbe
impulsiva (del primo o secondo ordine) e quindi ic sarebbe di ordine superiore e non
bilanciabile nel nodo A. Quindi ik è trascurabile (nello zero) rispetto a i e ic ; la tensione v
sul condensatore diventa:
0
0
0
0
0
0
0
0
)(111
)0( VdttCVC
idtC
dtiC
v c
Nel caso b) l’impulso di tensione del generatore deve essere “bilanciato” da almeno un
altro termine nell’equazione alla maglia; la tensione vk ai capi della rete non può essere
impulsiva (escluso i casi patologici di generatore di corrente ideale o di altro induttore in
serie): in tal caso, infatti, se la rete fosse resistiva e/o capacitiva, la corrente i sarebbe
impulsiva (del primo o secondo ordine) e quindi vL sarebbe di ordine superiore e non
bilanciabile nella maglia. Quindi vk è trascurabile (nello zero) rispetto a e e vL ; l’intensirà
di corrente nell’induttore diventa:
0
0
0
0
0
0
0
0
)(111
)0( IdttLIL
edtL
dtvL
i L
2) Nei casi non riconducibili agli schemi a) e b) di cui sopra, occorre valutare caso per caso
il bilanciamento degli impulsi; nel caso di reti non elementari, potrà essere di notevole
aiuto la considerazione che le tensione sui condensatori è limitata e quindi, nell’ambito di
un bilancio di impulsi, il condensatore può essere considerato un … “quasi” cortocircuito;
inoltre l’intensità della corrente negli induttori, per la presenza di generatori impulsivi,
potrà al più avere un salto limitato e quindi l’induttore può essere considerato un “quasi-
50
Notare che, in relazione alle fissate grandezze di stato, sui generatori “impulsivi” va applicata la
convenzione del generatore.
i(t)=CVoδ(t
) e(t)=LIoδ(t) L
i
Vk
VL
ic
ik
v C
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-89
aperto”. Se l’intensità della corrente nei “cortocircuiti” è impulsiva di valore Q, il
condensatore di capacità C si caricherà alla tensione Vo=Q/C; se la tensione ai capi degli
“aperti” è impulsiva di valore Φ, l’intensità di corrente nell’induttore di induttanza L avrà
un salto Φ/L.
b) Calcolare i1(t) – La rete è a riposo per t<0.
i2
L’espressione generale della risposta è la seguente: tt
ekektAti 21
211 )()(
I valori di λ1 e di λ2 si ricavano dall’equazione caratteristica (51); i valori di k1 e k2 si
ricavano “fotografando” la rete allo 0+ e ricavando i valori in tale istante della intensità di
corrente i1(t) e della sua derivata. Per tale “fotografia” occorre conoscere gli effetti
dell’impulso, ossia quali elementi a memoria si sono caricati allo 0+.
Con riferimento a grandezze impulsive (nello zero), i due condensatori sono assimilabili a
“cortocircuiti” e quindi i due resistori risultano in parallelo; i1 è impulsiva e carica il
condensatore al valore
2121
2
1
0
0 2121
2
1
0
0
21
2121
2
1
0
0
1
1
1
1)(
1)(11)0(
RRRRRR
R
Cdtt
RRRRRR
R
Cdt
RR
RRR
t
RR
R
Cdti
Cv
Analogamente si carica l’altro condensatore:
2121
1
2
0
0 2121
1
2
0
0
21
2121
1
1
0
0
2
2
2
1)(
1)(11)0(
RRRRRR
R
Cdtt
RRRRRR
R
Cdt
RR
RRR
t
RR
R
Cdti
Cv
51 Nel nostro caso
212121
212121
2
22112211
2,12
4
RRRRRRCC
RRRRRRCCCRRCRRCRRCRR
V1 C1 C2
V2 i1
e=Φδ(t)
R1
R
R2
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-90
La “foto” allo 0+ è la seguente
da cui
1
22
2
1
2
2121
2
2121
1
22
2121
22
1
2121
221
1
1
1
2
2
2
2
1
1
211
)(
)()(
1
)(
1
00)0(
C
RRR
C
RR
RRRRRRRRRRRR
R
CRRRRRR
RRR
C
RRRRRR
RvRRv
RR
R
RR
RRR
V
RR
RRR
Vkki
(52)
Il circuito bloccato allo 0+ per il calcolo della seconda condizione iniziale è il seguente
2121
2'
2
'
1
1
1
1
2
2'
2
2
1
1'
2211
'
1
00)0(
RRRRRR
RvRRv
RR
R
RR
RRR
V
RR
RRR
Vkki
dove
52
Se le tre resistenze hanno ugual valore R e le due capacità ugual valore C, si ha
2221212
22
4219
;0;3
1;
1;
9
2
900
CRkk
RCRCCRC
R
C
R
Rii
, con carica e scarica “simultanea” dei due
condensatori, che (solo) in questo caso risultano sottoposti sempre alla stessa tensione e quindi possono considerarsi in
parallelo. Per il calcolo della costante di tempo τ2 basterebbe quindi considerare la capacità del “parallelo” pari a 2C e la
resistenza vista dal detto parallelo, pari a 3R/2. Si ritrova quindi
2
2
13)
2
3)(2(
RCRC . L’altra costante di tempo
comparirebbe esplicitamente (k1≠0) se i due condensatori, nelle stesse condizioni, non sono inizialmente caricati a
tensioni di valore uguale.
i2
i1
V1
R1 R
R2
V2
V’1
R1 R
R2
V’
2 i’
1
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-91
2
11
1
2
2
212122
2'
2
1
22
2
1
2
212111
1'
1
)(
)(
)0(0
)(
)(
)0(0
C
RRR
C
RR
RRRRRRCC
iv
C
RRR
C
RR
RRRRRRCC
iv
==========================================================
c) Calcolare le gradezze di stato allo 0+ – La rete è a riposo per t<0.
La corrente nell’induttore è limitata, quindi quel ramo può considerarsi “aperto”. Il
condensatore si carica al valore
211
0
0 211
0
0
1
1
1
1)(11)0(
RRCdt
RR
t
Cdti
Cv
Tuttavia anche la tensione sull’”aperto” è impulsiva, a causa della corrente impulsiva su
R1; quindi l’induttore si carica al valore
21
1
0
0 21
1
0
0
11
0
0
1)(111)0(
RR
R
Ldt
RR
tR
LdtiR
Ldtv
Li LL
R2
L i1
V1
e=Φδ(t)
C1
R1
R
iL vL
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-92
d) Il circuito RLM
Si consideri la dinamica di una rete contenente un doppio bipolo mutuo induttore (fig.
RLM1) con alimentazione in tensione. Quanto visto a suo tempo per tale doppio bipolo in
regime sinusoidale, utilizzando anche il doppio bipolo trasformatore ideale, può essere
facilmente esteso al dominio del tempo, ricordando che il trasformatore ideale è di tipo
adinamico (di ordine zero).
Fig. RLM1
Si ha infatti, nel caso di accoppiamento perfetto (Fig. RLM2), detto a il rapporto di
trasformazione del trasformatore ideale e considerando l’intensità io della corrente a vuoto
primaria
o
oo
o
MiiLa
M
dt
diLi
a
iM
dt
diLiiM
dt
d
dt
diL
dt
diMv
aMiiaMLdt
daMiaiMiL
dt
daiMiL
dt
d
dt
diM
dt
diLv
iiiai
i
av
v
122202
220
'
12
21
2
11111
'
11121
11
'
11
2
'
1
2
1
)()(
)(
;;1
;1
Ponendo2
1
LM
ML
a si ha
dt
diLva
Midt
d
aMidt
d
v
v o
o
o
11
2
1 ;
e quindi la rete di fig Fig. RLM1 (sempre nell’ipotesi di accoppiamento perfetto) si può
ricondurre allo schema di fig. Fig. RLM3.
Fig. RLM2
L1, L2 ,M
Ru
+
E(t)
R1
1
1’
2
2’
a
i1
v1
i’1
i2
io
V2
-E
e(t)
E
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-93
Fig.RLM3
In assenza di altri bipoli a memoria, la rete è del primo ordine. La variabile di stato,
continua nei casi ordinari di grandezze limitate, è la corrente io, combinazione delle
correnti al primario e al secondario, misurabile direttamente solo a secondario aperto.
Un esempio: si supponga (fig.RLM1) che la tensione del generatore sia pari a (-E) per t<0 e
pari a (+E) per t>0. Si valuti l’intensità di corrente i1(t). Si avrà
tL
R
u
u
tL
R
tL
R
uu
tL
R
tL
R
uu
u
ut
L
R
ttoo
eRaR
ERaiti
Ra
Re
R
Etititi
eRRa
ER
Ra
tvtie
R
ER
dt
diLtv
eR
Eti
R
E
R
Eik
RaRdoveRR
RRR
R
Eekti
R
E
R
vtEtiti
R
Eiii
tper
R
E
R
vtei
dt
diLtvt
1
1
11
1
*
1
'
12
2
*
1
0
'
11
*
1
22
1'
1
*
1
011
*
1
0
1
01
2'
'
1
'
1
1
*
10
11
110
1
1
11
11
11
*2)(
*2121)()()(
*2)()(;
*2)(
21)(;2
)0(
*;)(
)()()(;)0()0()0(
0
)(;0)(0
Nel caso di accoppiamento non perfetto, si potrà sempre ricondurci al caso
dell’accoppiamento perfetto “spacchettando” i coefficienti di autoinduzione. Si avrà
"
2
"
1
2"
2
'
22
"
1
'
1121 ;;; LLMLLLLLLLLM
1
1’
2
2’
a
i1
v1
i’1
i2
io
V2 L1
+
e(t)
R1
R Ru
G. Lupò – Appunti dalle lezioni di Elettrotecnica - Capitolo III – settembre 2016
III-94
In tal caso la rete diventa come in fig.RLM4. Nonostante la presenza di 3 induttori, la rete è
del 2° ordine (53). Se si conoscono le correnti (misurabili) i1 ed i2, si conosce
immediatamente la io.
Fig.RLM4
53
salvo la presenza di altri bipoli a memoria indipendenti all’esterno del doppio bipolo. E’ appena il caso di notare che, comunque,
eventuali induttori esterni “in serie” (cioè interessati da i1 o da i2) non modificano l’ordine della rete.
1
1’
2
2’
a
i1
v1
i’1
i2
io
V2 L”
1
+
e(t)
R1
L’1
L’2
R
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