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REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE
MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE
SCIENTIFIQUE
Université Hassiba Benbouali de Chlef
Faculté de Technologie
Département de Génie Mécanique
Projet de fin d’etudes
En vue de l’obtention du diplôme de Master
Filière: Génie Mécanique.
Spécialité: Simulation Mécanique et Energétique.
Thème :
Simulation par optimisation de performance des
caractéristique de la lubrification hydrodynamique du
système piston cylindre de moteur à combustion interne
Présenté par : Dirigé par : Bensehila Fatima Pr: TAHAR ABBES Miloud
Promotion: 2011-2012
Remerciements
Nous formulons notre profonde gratitude à Allah tout Puissant, qui
nous a donné la volonté pour la réalisation de ce modeste travail.
J’exprime mes reconnaissances à mon promoteur Mr : TAHAR
ABBES Miloud pour son aide précieuse qu’il m’a consacrée tout au
long de ce modeste travail et surtout ses encouragements.
Je tiens à remercier l’ensemble des enseignants qui ont contribué à
notre formation
Je tiens à remercier mes parents pour m’avoir encouragé durant
toute ma scolarité
Résumé
L’étude de ce master est la simulation par optimisation des caractéristiques de performance
de la lubrification hydrodynamique du système piston cylindre d’un moteur à combustion
interne.
Une application est faite sur le piston de moteur F8L413 monté actuellement sur les camions
TB230 de la SNVI ROUIBA.
L’étude permet à l’aide du développement d’un code de calcul écrit en FORTRAN, de
calculer les excentricités du piston en mouvement secondaire, la vitesse axiale du piston,
l’angle de basculement, l’épaisseur du film lubrifiant, la pression dans le film d’huile aussi
que les frottements hydrodynamiques entre la jupe et l’huile.
Une analyse spécifique montre l’influence de l’angle de pression (l’angle de zone active) du
piston sur les caractéristiques de performance qui sont le frottement, l’épaisseur minimale et
le mouvement secondaire.
L’étude montre que plus l’angle de pression augmente plus les frottements augmente les
autres paramètres ne sont pas influencés.
Dédicaces
Je dédié ce modeste travail
A mes très chers parents
Pour leur persévérance à m’encourager d’aller toujours de l’avant pour ma
réussite et dont je leur fait cadeau en témoignage de toute mon affection.
A tous mes chers frères et sœurs.
A tous ma famille.
A tous mes amis.
A tous mes enseignants de l’école primaire jusqu’à l’université.
1
TABLE DES MATIERES
REMERCIEMENTS
RESUME
DEDICACES
TABLE DES MATIERES …………………………………………………………………….1
LISTE DES FIGURES……………………………………………………………….………4
NOMENCLATURE..................................................................................................................6
Introduction générale…………………………………………………………….……………8
ChapitreI:Etude bibliographique
I.1 introduction ………………… ………………………………………..……..……………..9
I.2 Le piston à travers l’histoire ……………………………………………………………….9
I.3 Le modèle dynamique simplifié. …………………………………………...…..………...11
I.4 Le modèle hydrodynamique ………………………………………………...……………12
I.5 Définition de la lubrification hydrodynamique……………………………….…..……...15
I.6 Les caractéristique de la performance de la lubrification hydrodynamique …………….. 15
I.6.a.La pression ……………………………………………………………….…….……….15
I.6.b. L’épaisseur du film lubrifiant………………………………………….……....……….15
I.6.b.1 La lubrification limite …………………………………….………..…………15
I.6.b.2 La lubrification mixte ……………………………………………...…………16
I.6.b.3La lubrification hydrodynamique …………………..………..………………..16
I.6.c. Le frottement………………………………………………………...……..…………..17
I.7La lubrification hydrodynamique ……………………………………….……..………....17
2
ChapitreII:Formulations de base
II.1 Introduction………………………………………………………………………….…19
II.2 Equations dynamiques couplées ………………………………………………..……19
II.3 Analyse hydrodynamique…………………………...……………………………......24
II.4 La cavitation...………………………………………………………………………..26
II.5 Modèles de cavitation………………………………………………………………………...26
II.5.1Modèle de SOMMERFELD………………………………………….………………….….26
II.5.2 Modèle de GUMBEL……………………………………………………………….…..….27
II.5 3 Modèle de REYNOLDS (SWIFT-STIEBER)…………………………..………….........27
II.6 Equation de Reynolds……………………………………………………….…........28
Conditions aux limites…………………………………………...…………........29
II.7 Equation du film lubrifiant…………………………………………………....….…30
II.8 Equation du film selon la direction circonférentielle……………………..………….…31
ChapitreIII:Méthode de résolution
III.1 Introduction ………………………………………………………………………34
III.2 Méthode de résolution…………………………………………………….………34
III.3 Transformation du repère cylindrique(r,θ, z) en repère cartésien (x ,y)… ……….35
III.4 Calcul des résidus…………………………………………………………..........37
III.4 .1Le résidu de l’équation de Reynolds……………………………………..........37
III.4.2 Résidu de l’équation de dynamique en eb……………………………….……...39
III.4.3 Résidu de l’équation de dynamique en eh………………………………………39
III.5. Calcul du Jacobéen ……………………………………………………………...40
III.5.1 Calcul les termes du Jacobéen……………………………………………….…41
III.6 La méthode de Newton – Raphson………………………………………………43
3
ChapitreIV : Algorithme de résolution
IV.1 Introduction…………………………………………………………..………….46
IV.2 Programme principal « Piston » …………………………………………………46
IV.2.1 Sous-programme « Défaut données» ………………………………………….46
IV.2.2 Le sous programme « LIRE_DONNEES» ………………………….………..48
IV.2.3 Structures sous-programme « calcul » ……………………………………..…...50
ChapitreV: Résultats et interprétations
V.1Introduction ……………………………………………………………………….52
V.2 Vitesse axiale du piston……………………………………………………………52
V.3 Evolution des excentricités eh et eb ……………………………………………….53
V.4 Variation de la pression maximale au cours d’un cycle moteur………....................54
V.5 Comparaison pour les angles fluide θ = 30°et θ = 50°…………………………....56
V.6 Conclusion…………………………………………………………………………..58
Conclusion générale…………………………………………………………….………59
Références bibliographiques…………………………………………………………….60
Liste des figures
4
LISTE DES FIGURES
N. figure Figures Titre Page
1 I .1 La lubrification limite 16
2 I.2 La lubrification mixte 16
3 I.3 La lubrification hydrodynamique 17
4 II.1 Géométrie du système piston 20
6 II.2 Forces et moments agissant sur le piston 21
7 II.3 Condition de pression dans la zone inactive 25
8 II .4 La zone de cavitation dans un film d’huile 26
9 II .5 Modèle de Sommerfeld 27
10 II .6 Modèle de Gumbel 27
11 II .7 Modèle de Reynolds 28
12 II.8 Condition de pression dans la zone inactive 29
13 II.9 Géométrie du film lubrifiant 31
14 II.10 Géométrie du film dans la section du haut de la jupe 31
15 III .1 Géométrie du système piston 35
16 III.2.a Géométrie du film lubrifiant 35
17 III.2.b Maillage 2D du Film lubrifiant développé 36
18 III.3 Discrétisation de jiE , sur le maillage de différence finie 38
19 IV.1 Organigramme principal de résolution 46
20 IV.2 Algorithme du sous programme LIRE_DONNEES. 49
21 V.1 Vitesse axiale du piston en fonction de la rotation du
vilebrequin au cours d’un cycle moteur 52
22 V.2 Excentricités du piston en fonction de la rotation du
vilebrequin au cours d’un cycle moteur 53
23 V.3 Angle de rotation ou basculement sur un cycle moteur 54
24 V.4 Pression maximale de l’huile lubrifiante 54
Liste des figures
5
25 V.5 Epaisseur minimale du film 55
26 V.6 Frottement hydrodynamique du piston 55
27 V.7 Vitesse axiale du piston en fonction de la rotation du
vilebrequin au cours d’un cycle moteur 56
28 V.8 Les excentricités 𝑒ℎ et 𝑒𝑏 56
29 V.9 Angle de basculement sur un cycle moteur 57
30 V.10 Epaisseur minimale de film lubrifiant 57
31 V.11 La variation de la pression 57
32 V.12 Frottement hydrodynamique du piston 57
Nomenclature
6
Nomenclature
A Aire du fond de piston m²
a Distance Verticale entre le sommet de la jupe et l’axe de piston m
b Distance verticale entre le sommet de la jupe et le centre de masse m
c Jeu radial entre le piston et le cylindre à température ambiante m
gC Désaxage du centre de gravité m
PC Désaxage piston – axe m
d Hauteur de la dénivellation à la moitié de la jupe du piston m
he , be Excentricités du haut et du bas de la jupe m
F Portance du film hydrodynamique N
F̂ Force de connexion agissant le long de la bielle
gF Force des gaz de combustion N
𝐹𝑖𝑐 Force d’inertie due à la masse de l’axe du piston N
𝐹𝑖𝑝 Force d’inertie due à la masse de l’axe du piston N
h Epaisseur de film lubrifiant m
pistI Moment d’inertie du piston par rapport à l’axe Kg.m²
L Longueur de la jupe du piston m
Longueur de la bielle m
f Force de frottement N
M Moment hydrodynamique par rapport à l’axe N.m
ICM Moment d’inertie du piston N.m
axem Masse de l’axe kg
pistm Masse de piston kg
P Pression hydrodynamique Pa
gP Pression des gaz de combustion Pa
Nomenclature
7
LP Perte de puissance instantanée W
R Rayon du piston m
r Rayon du vilebrequin m
t Temps s
U Vitesse axiale du piston m/s
y Coordonnée mesurée à partir du haut de la jupe du piston m
Angle de basculement du piston rad
Connexion de la bielle rad
Viscosité dynamique de l’huile Pa.s
Vitesse de translation due au mouvement secondaire
1 , 2 Angle fluide assumé degré
Angle de vilebrequin Degré
Vitesse de rotation du moteur s-1
P Axe de piston
C Axe de cylindre
a Accélération axiale m/s2
𝐹𝑠 ,𝑀𝑠 Forces latérales des parois
r
UU
c
ehh
c
ebb
Rr6
pcp
2
c
hh
Introduction générale
8
Introduction générale
Le but de ce projet est d’étudier la simulation par optimisation des caractéristique de
performance la lubrification hydrodynamique du système piston cylindre du moteur à
combustion interne.
Une application est faite sur le moteur F8L413 de la SNVI Rouïba.
Les principales caractéristiques de performance sont le frottement hydrodynamique entre
l’huile lubrifiante et la paroi du piston, la pression dans le film lubrifiant, l’épaisseur
minimale du film d’huile et l’angle fluide de pression active.
Un code de calcul est développé pour le calcul hydrodynamique du modèle de piston.Isl est
tenu compte de la cavitation dans le film d’huile
Tous les résultats montrent la performance du code de calcul qui peut être utilisé par d’autres
types de moteur comme le moteur à essence.
Chapitre I Etude bibliographique
9
Chapitre I
Etude bibliographique
I.1 Introduction
La lubrification hydrodynamique est un chapitre de la tribologie qui concerne les
contacts pour lesquels un fluide visqueux est intercalé entre les surfaces en présence. Ce
fluide peut être un liquide, pratiquement incompressible, tel que de l’huile, de l’eau ou même
un métal fondu : c’est le cas des paliers et des butées hydrodynamiques.
Ce fluide peut aussi être un gaz compressible, le plus souvent de l’air. En lubrification
hydrodynamique, le film de fluide sépare totalement les surfaces en présence, ce qui suppose
que les aspérités et les défauts de forme des surfaces ont des dimensions inférieures à
l’épaisseur du film. Dans le cas contraire, il y aurait contact en différents points des deux
surfaces ; on parlera alors soit de lubrification mixte, soit de lubrification limite.
La formation et le maintien d’un film de fluide imposent l’existence d’une pression
dans ce film afin d’équilibrer la charge appliquée entre les deux surfaces du mécanisme. Cette
pression qui, en lubrification hydrostatique, est engendrée par un système extérieur au contact
(pompe ou compresseur), est dans le cas hydrodynamique, créée par le déplacement relatif des
surfaces. Le calcul de cette pression permet de déterminer la charge que peut supporter le
contact, le couple ou la force de frottement et le débit de fluide dans le mécanisme.
Ainsi, pour déterminer les caractéristiques de fonctionnement d’un palier ou d’une
butée, il faudra tout d’abord calculer la pression dans le film. Cette pression est obtenue par la
résolution de l’équation de Reynolds qui, sous une forme simplifiée, a été démontrée par ce
dernier en 1886 [1] dans le but d’expliquer les résultats expérimentaux donnés, dans le cas
d’un palier, par Beauchamp Tower en 1885 [2].
I.2 Le piston à travers l’histoire
L'historique bibliographique du piston débuta bien avant la révolution industrielle,
les problèmes de mouvement de piston dans un cylindre étant connus depuis l'époque des
ingénieurs Grecs et Romains.
Cependant,de progrès substantiels dans la technologie du piston ne furent entrepris que
jusqu’au 17 ème et 18 ème siècle et c'est au temps des machines à vapeur que fut élaborée la
forme appropriée de pistons de moteurs à combustion interne.
L'invention du piston moderne, avec segments, est généralement attribuée à John
Ramsbottom vers la moitié du 19ème siècle; il est important de noter que les découvertes
Chapitre I Etude bibliographique
10
faites sur les pistons émergèrent au temps des machines à vapeur plutôt qu'au temps des
moteurs à combustion interne
Le problème du piston intéressa les anciens ingénieurs et inventeurs depuis que celui-
ci effectua son premier déplacement à l'intérieur d'un cylindre pour produire du travail.
L'imagination des civilisations à travers l'histoire a été fascinée par le feu et ses effets sur
l'eau, et il est connu que les Chinois aussi bien que les Romains ont utilisé intelligemment la
vapeur quoique le succès fût moindre. Les Grecs connurent plus de succès dans leur tentative
de créer des mécanismes aussi, un grec d'Alexandrie nommé Ktésibios (285-247 AJ) fut
l'inventeur d'une pompe pour élever de l'eau à un niveau supérieur. Il conçut sa machine avec
des cylindres identiques et traita finement les pistons employés avec de l'huile.
Pendant que de tels développements furent inconnus en Europe durant le moyen âge,
des ingénieurs musulmans traitaient de problèmes similaires et sont amenés à développer
plusieurs machines y compris les pompes à eau dont les pistons conçus étaient fabriqués de
disques en cuivre parallèles auxquels est monté une bielle en fer et sont placés dans un
cylindre. L'espace entre les disques étant rempli de chanvre et tenu hermétiquement ainsi
conçu le piston se place avec un bon ajustement dans un cylindre en cuivre.
Un grand nombre de ces machines connues a été utilisé avec succès au cours du 13ème
siècle. Ce n'est que vers la moitié du 17ème siècle que le premier mécanisme d'entraînement
fut conçu en Europe par Ottonis de Guerricke de Magdeburgh qui inventa en 1654 la pompe à
air qu'il exposa au parlement de Ratisbon. Robert Boyle, intéressé par la pompe à air de
Guericke construit, sa propre pompe à pistons en 1667. C'est en ce temps là en Europe, que le
moteur à combustion interne fut inventé et ce en 1661, Sir Samuel Morland breveta une
machine qui par la force de l'air et de la poudre permit de pomper de l'eau. En 1678 Jean
Hautefeuille d'Orléans reprit l'idée de la poudre et suggéra que la poudre à canon peut
exploser dans un cylindre scellé d'un côté avec un piston et utilisant l'aspiration produite par
la condensation des gaz, l'eau peut être soulevée à une hauteur appréciée. Christian
Huygghens de Zuylichen construisit en 1680 une machine conçue d'après l'idée de Jean
Hautefeuille sur le principe de combustion d'une petite quantité de poudre à canon qui amena
le piston en se déplaçant dans un cylindre vertical muni de valves, très poli, à produire du
travail. Enfin en cette période de la renaissance, Denis Papin de Blois de France, marqua la fin
de cette époque. Il adopta l'arrangement de son maître Huyggens pour inventer une pompe à
air en 1675 où les pistons sont déplacés avec de l'eau mais sa machine ne connu pas de grands
succès avec les risques d'explosion qui l'accompagnaient.
Chapitre I Etude bibliographique
11
Durant la révolution industrielle, c'est le temps d'invention des machines à vapeur
utilisant l'ensemble piston-cylindre produisant un travail durable dans le temps, Thomas
Newcomen et John Cawley en 1705 construisent une machine à vapeur utilisant un principe
similaire à celui de Papin.Il obtient un grand succès. C'est à partir de ce système de
Newcomen que naît la célèbre machine à vapeur de James Watt qu'il développa à partir de
1765 où il utilisa pour la première fois des segments enveloppés de tissu ..." qui ont la grande
aptitude de s'adapter sur de mauvais profils,"... qu'il développa plusieurs fois puis la breveta
en 1769 ..."comme une méthode d'improvisation de consommation de la vapeur et du fuel
dans les moteurs thermiques"... Il étudia pour la première fois le matériau et la lubrification du
piston. Ses recherches aboutirent à la découverte de l'oakum comme matériau et les graisses
animales comme lubrifiant puis il développa en 1779 un piston constitué principalement d'un
ensemble de segments pressés par des ressorts. Ces pistons étaient gigantesques avec des
sections qui dépassaient le mètre. Durant cette période, Edward Cartwright proposa en 1797
un piston avec des segments métalliques pour la première fois. Il étudia puis construisit une
machine avec un piston muni de segments en laiton ou cuivre qui sont pressés contre le
cylindre par des ressorts en acier. Il développa selon le même principe avec Barton un piston
de 1.73 m de section destiné pour le moteur vertical de bateau. Ce type de piston décrit ci-
dessus est en général utilisé jusqu'au début du 20ème siècle. C'est John Ramsbottom qui
utilisa ce piston avec un ensemble de segments connu actuellement. Il utilisa un ensemble de
trois segments sur les pistons moteurs de locomotives en 1854.
Durant cette époque ,apparaissent les moteurs à combustion interne actuels avec les
machines de Lenior en 1860 et Otto en 1876 qui utilisent le principe.
I.3 Le modèle dynamique simplifiée
Ce modèle est analysé sans prendre en considération l’effet de la lubrification sur le
mouvement dynamique. Il a été développé dans le but de déterminer le frottement et le bruit
du moteur puis de réduire leur portée.
A l’origine, puisqu’il est difficile de mesurer la translation du piston, les méthodes
numériques n’ayant pas fait leur apparition, des méthodes analytiques sont utilisées pour la
prédiction du bruit provoqué par les pistons. En 1953, Burreli G et F.G Butler présentent une
méthode analytique sur la dynamique du piston et détermine la position de l’axe du piston qui
peut réduire l’impact du piston contre la paroi du cylindre. Ils concluent qu’avec la longueur
de bielle et la position de l’axe du position prédéterminée, la seule variable par laquelle le
Chapitre I Etude bibliographique
12
clappement du piston est affecté est le désaxage (offset du piston) de l’axe du piston par
rapport à la ligne médiane du piston.
En 1972-73, A, M Laws et al. présentent une analyse expérimentale combinée avec
une analyse par ordinateur du mouvement latéral (transversal) et de rotation du piston. Les
résultats obtenus sont représentés par les vibrations du bloc moteur et le jeu piston-cylindre.
Ces vibrations causées, d’après l’auteur, par l’impact de la force latérale, sont analysées dans
le but d’atténuer le clappement du piston.
La deuxième partie concerne la réduction du frottement mécanique car le piston est
connu comme étant une source importante génératrice de frottement. Ces frottements se
niveau des segments. Des modèles de frottement firent au point. Ces modèles s’appuient
principalement sur des procédures expérimentales. L’analyse du mouvement du piston est
ignorée dans ces travaux.
Les premières mesures se frottement de piston de moteur à combustion interne sont
réalisés par Forbès et Taylor et datent de 1943 S. Furuhama et al. T agiguchi et al. Surmontent
les difficultés expérimentales et réussissent à mesurer les forces de frottement piston-cylindre
dans les conditions de fonctionnement du moteur. Uras et Paterson utilisent la méthode
‘IMIEP’ (méthode qui utilise l’équilibre des forces appliquées sur le corps isolé du piston)
pour déterminer des frottements instantanés. Hoshi et Baba présentent une méthode théorique
pour déterminer les pertes par frottement hydrodynamique de l’ensemble piston-segment.
L’équipement conçu ‘motoring method’ permet le fonctionnement de l’ensemble bielle-
manivelle-piston d’être entraîne par un moteur électrique sans moteur thermique. Ils montrent
que la moitié des pertes par frottement dans un moteur à combustion interne le sont par le
système piston dont 70 à 80 pour cent sont les segments de piston et le reste par la jupe. Il est
en général difficile de savoir à quelle partie de l’ensemble piston-cylindre, les frottements
sont attribués aux segments à la jupe.
I.4 Le Modèle hydrodynamique
Les équations de base de la lubrification hydrodynamique des paliers ont été établies
pour les systèmes de paliers par Osborn Rynolds en 1886 et constituent la base de la
lubrification hydrodynamique. L’analyse hydrodynamique de définit par le fait que la
pression développée dans le film d’huile n’a pas d’effet sur les surfaces en contact
contrairement à l’analyse élastohydrodynamique.
Chapitre I Etude bibliographique
13
Les études sur la lubrification hydrodynamique du piston de moteur à combustion
interne, dont la majorité a trait à la lubrification des segments, débutent avec l’analyse de la
lubrification de la jupe, par des procédés expérimentaux employant des méthodes de
visualisation. Ainsi, l’analyse expérimentale de piston dans des cylindres transparents permet
de visualiser le comportement du piston sous l’effet du lubrifiant. Il est montré, à l’aide de
traces lésées par le film d’huile, l’existence de la force d’impact. Il est montré [LI CH] que
l’injection de lubrification sous pression vers la jupe, réduit substantiellement le bruit émis
dans le moteur Diesel. Il est connu que la jupe a une double fonction : guidage du piston dans
le cylindre et supporter l’impact de la force de poussée dynamique latérale (de l’anglais ‘thust
side’) due au mouvement secondaire. Il est montré que le film d’huile amort le clappement du
piston donc réduit le bruit moteur. En plus, le film d’huile assure une fonction de protection
des surfaces de contact contre le grippage. Ainsi, il est montre que le mouvement du piston et
le clappement qui en résulte sont donc liés directement à la lubrification de la jupe. Dans ces
analyses, les auteurs tenant de prédire l’impact du piston entre la paroi du cylindre, basé sur
les équations d’équilibre ; cependant de bons accords avec les mesures ne sont pas achevés à
cause du manque de consécrations propres sur la lubrification hydrodynamique.
Les études qui prenant en considération l’effet de la lubrification du piston ne prennent
de l’ampleur qu’au début des années 80. Knoll et Peeken [5] développent un modèle de
lubrification hydrodynamique basé sur l’équation de Reynolds couplée avec les équations de
mouvement du piston. Dans ce modèle les forces hydrodynamiques dues au film d’huile entre
la jupe et la paroi du cylindre pour une position et une vitesse donnée du piston, sont
calculées. Cette étude fournit une base pour l’inclusion de l’effet des forces de lubrification
hydrodynamique sur le mouvement primaire et secondaire des pistons.
Li et al performent une analyse dynamique du piston dans laquelle ils incorporent un
modèle de la lubrification hydrodynamique de la jupe. La trajectoire complète du piston et les
forces de frottement en fonction des conditions de fonctionnement du moteur sont ainsi
calculées. Les résultats de cette étude indiquent que l’inclinaison dynamique d’un piston de
moteur à combustion interne influence le comportement au frottement de la jupe de piston.
Cette étude constitue notre référence de base pour l’analyse hydrodynamique du piston.
Mourelatos présente un modèle théorique simplifiée de piston, sans segment, de
moteur LHR’Low-Heat Rejection (à ‘faible rejet de couleur’) à combustion interne type.
Chapitre I Etude bibliographique
14
La particularité de ce moteur, dont la lubrification se fait au moyen de gaz de combustion est
que les frottements inter paroi sont très faibles. L’auteur résout l’équation de Reynolds
compressible à deux dimensions par la méthode des éléments finis. Le modèle ainsi construit
est résolu en le smillant par des forces dynamiques latérales données. La trajectoire du piston
est obtenue à partir d’une solution qausi-statique qui ne prend pas en considération les
équations de mouvement du piston. Il conclut que le piston sans segment ne peut supporter
que de petites charges latérales et que le profil à côtés doubles est plus performant que le
profil à côté unique.
Gommed et Etsion développent un modèle mathématique pour l’analyse dynamique de
piston, sans segment, de moteur de type LHR identique à celui présenté par Mourelatos,
lubrifié par gaz. Le système d’équation complète de mouvement du piston et de la bielle est
formulé simultanément avec l’équation de Reynolds pour les gaz et les équations d’énergie.
Ils montrent que l’incorporation de la dynamique de la bielle joue un rôle important dans le
mouvement du piston. Ils trouvent que la stabilité du mouvement du piston dépend fortement
des conditions thermodynamiques de fonctionnement.
Plus récemment, Li et al présentent un modèle de lubrification mixte hydrodynamique
basé sur l’équation de Reynolds à deux dimensions couplées avec les équations de
mouvement secondaire du piston. Cette étude, basée sur le modèle de Li, tient compte de
l’effet de la rugosité des surfaces en contact. Les résultats obtenus montrent que le profile de
la jupe, la vitesse du moteur, le désaxage (offset) de l’axe du piston ainsi que le jeu radial
piston-cylindre jouent un rôle important dans la détermination du mouvement secondaire du
piston. Ils conclurent aussi que pour des vitesses élevées et un faible jeu, le mouvement
secondaire tend à s’atténuer.
La complexité du modèle de lubrification de la jupe du piston fait que ce sujet
continue d’être traité. Siyoul présente une étude du mouvement dynamique secondaire avec
incorporation de la lubrification. La procédure de construction et de résolution du modèle se
base essentiellement sur l’analyse de Li. Il axe son étude sur les paramètres qui influencent le
mouvement secondaire et principalement le profil de la jupe. Les résultats trouvés montrent
que le profil en tenu de la jupe est le profil qui donne la force d’impact la plus faible.[3]
Chapitre I Etude bibliographique
15
I.5 Définition de la lubrification hydrodynamique
La lubrification hydrodynamique est un domaine important de la tribologie, c’est
l’étude des contacts dans lesquels un film de fluide sépare les surfaces en présence. Dans le
cas où le film de fluide sépare totalement les surfaces, les aspérités et les défauts de forme ont
des dimensions inférieures à l’épaisseur du film.
I.6 Les caractéristique de la performance de la lubrification hydrodynamique
I.6.a. la pression
Un corps liquide ou gazeux enfermé dans un récipient et qu'il remplit entièrement, exerce sur
toutes les parois de celui-ci une force dite de pression. La pression est une grandeur dérivée
du système international. Elle est définie comme le quotient d’une force par une surface.
Ce quotient est indépendant de l'orientation de la surface. La pression s’exerce
perpendiculairement à la surface [4]
I.6.b. L’épaisseur du film lubrifiant
I.6.b.1 La lubrification limite
L'épaisseur du film lubrifiant est insuffisante pour isoler complètement les solides en
contact, si la charge devient trop forte, alors les solides ne sont séparés que d’une couche
quasi mono moléculaire. C'est la solidité de cette dernière qui empêche les contacts métal
métal. L'aptitude du lubrifiant à former une couche adhérente, appelée onctuosité, est ici une
qualité primordiale.
Il concerne les surfaces se déplaçant à faible vitesse pour lesquelles un film d’huile
visqueux continu ne peut se former en raison de pressions de contact trop fortes. Dans les
véhicules, ce régime est prépondérant durant le démarrage ou l’arrêt des mécanismes et au
cours de certaine phase transitoire de fonctionnement comme, par exemple, les contacts
segment-piston-cylindre aux points morts. Est la zone de lubrification qui fait appel à la
physicochimie des surfaces du piston et du cylindre. Molécules d'huile adsorbées (physico-
chimie des surfaces et des lubrifiants).
Chapitre I Etude bibliographique
16
Fig.I.1 : La lubrification limite
I.6.b.2 La lubrification mixte
Le fluide supporte une partie importante des charges mais des contacts subsistent entre les
aspérités. Le frottement est minimal mais ce régime est très instable et il vaut mieux l'éviter.
C’est une séparation progressive des surfaces par un film de lubrifiant fluide, souvent
rencontré dans la pratique, il est intermédiaire entre le régime limite et les régimes de
lubrifiant fluide: hydrodynamique ou élastohydrodynamique.Il existe chaque fois qu’un film
visqueux mince s’établit entre les surfaces dont l’épaisseur est insuffisante pour séparer
totalement les aspérités les plus proéminentes, un certain nombre de contacts directs métal-
métal se produisent alors, ce qui entraine une augmentation du frottement, des températures
de contact et de l’usure adhésive.
Fig. I.2 : La lubrification mixte
I.6.b.3 La lubrification hydrodynamique
Le lubrifiant liquide est entraîné et mis sous pression par le mouvement relatif des surfaces.
Il sépare totalement ces dernières et supporte l'intégralité des charges, grâce à sa viscosité, qui
correspond à sa résistance à l'écoulement. Dans ce cas, les vitesses relatives ne sont pas
faibles mais les pressions restent modérées, de sorte que l'on peut négliger les déformations
des pièces et la compressibilité du lubrifiant.Est un chapitre de la tribologie qui concerne les
contacts pour lesquels un fluide visqueux est intercalé entre les surfaces en présence et exerce
une action sur l'ensemble Piston-cylindre. En lubrification hydrodynamique, le film de fluide
sépare totalement les surfaces en présence, ce qui suppose que les aspérités et les défauts de
Chapitre I Etude bibliographique
17
forme des surfaces aient des dimensions inférieures à l’épaisseur du film.Dans tous les
mécanismes étudiés, le problème peut se schématiser de la façon suivante.
Fig. I.3 : La lubrification hydrodynamique
Un film de fluide visqueux sépare les deux surfaces du mécanisme, il s’agit de calculer :
la charge W que peut supporter le contact.
la force F ou le couple de frottement.
le débit Q du fluide dans le mécanisme.
la puissance P dissipée dans le contact.
I.6 .c. Le frottement
Les frottements ont un effet dominant sur la performance du moteur. Un faible
niveau de frottement permet d'une part des puissances nominales élevées, grâce à
l'augmentation du couple effectif, d'autre part la vitesse maximale à laquelle peut tourner
le moteur d'une manière économique est souvent limitée par une augmentation de la
consommation du carburant causée par une augmentation du frottement. Donc un faible
niveau de frottement donne la possibilité de tourner à haute vitesse et avec une grande
puissance développée.
I.7 La lubrification hydrodynamique
La lubrification est un élément essentiel des sciences technologiques et des
applications mécaniques. Elle joue un rôle important partout où des surfaces sont en
mouvement relatif les unes par rapport aux autres. Tous les systèmes mécaniques comportent,
plus ou moins, des éléments lubrifiés. On peut dire, sans exagération, que bien peu de sujets
ont une incidence aussi importante sur les travaux des ingénieurs… ceci implique des
recherches plus poussées dans le domaine de la lubrification elle-même, une formation plus
répandue et plus approfondie en matière de lubrification… et une prise de conscience plus
Chapitre I Etude bibliographique
18
générale du potentiel important que présente ce problème, dans tous les domaines de
l'industrie [6].
Le principal objectif de la lubrification hydrodynamique est de réduire au maximum le
frottement et l’usure du mécanisme, il s’agit donc de minimiser les résistances passives et les
frottements parasites qui se manifestent dans les organes de liaison, de façon à limiter les
pertes d’énergie et les élévations de températures. A ce rôle essentiel, s’ajoute celui de
l’évacuation de la chaleur produite dans le contact en limitant l’action des différents
mécanismes d’usure décrits précédemment. Pour atteindre ces objectifs, on sépare les surfaces
en mouvement relatif par un lubrifiant. Ce dernier peut être liquide, solide, pâteux ou gazeux.
Les caractéristiques de ce film lubrifiant (température, pression, épaisseur) sont dépendantes
des conditions de fonctionnement telles que la charge appliquée, la vitesse de rotation et la
température d’alimentation du fluide. En particulier, la viscosité du lubrifiant est dépendante
de la température et il conviendra donc de tenir compte des effets thermiques locaux
(dissipation visqueuse et transfert thermique).
Les équations de base de la lubrification hydrodynamique des paliers ont été établies
pour les systèmes de paliers par Osborn Reynolds en 1886 et constituent la base de la
lubrification hydrodynamique.
Les études sur la lubrification hydrodynamique du piston de moteur à combustion
interne, dont la majorité a trait à la lubrification des segments [6], débutent avec l'analyse de
la lubrification de la jupe, par des procédés expérimentale de pistons dans des cylindres
transparents permet de visualiser le comportement du piston sous effet du lubrifiant. Il est
montré, à l'aide de traces laissées par le film d'huile, l'existence de la force d'impact. Il est
montré que l'injection de lubrifiant sous pressions vers la jupe réduit substantiellement le bruit
émis par le moteur diesel. Il est connu que la jupe a une double fonction : guidage du piston
dans le cylindre et supporter l'impact de la force de poussée dynamique latérale (de l'anglais '
thrust side') due au mouvement secondaire. Il est montré que le film d'huile amortie le
claquement du piston donc réduit le bruit moteur. En plus le film d'huile assure une fonction
de protection des surfaces de contact contre le grippage. Ainsi il est montré que le mouvement
du piston et le clappement qui en résulte sont donc liés directement à la lubrification de la
jupe.
Chapitre II Formulations de base
19
Chapitre II
Formulation de base
II.1 Introduction
Le mouvement du piston est décrit par un mouvement oscillatoire axial, un ou mouvement
primaire et un mouvement latéral ou un mouvement secondaire. Le mouvement secondaire,
de faible amplitude ne dépassant pas le jeu radial piston- cylindre, a une grande influence sur
la performance du piston. . Le mouvement secondaire se compose d’un mouvement de
rotation (ou de basculement) du piston autour de son axe et d’un mouvement de translation,
perpendiculaire à l’axe du cylindre
En effet ce mouvement est la source de bruit audible (clappement du piston) qui provoque une
augmentation de frottement, une production de cavitation par érosion dans le film lubrifiant et
un grippage possible des parois du piston et du cylindre. Dans le but de réduire la portée des
phénomènes suscités, la dynamique du piston a fait l’objet d’intenses investigations.
C’est au début des années 40 que furent connus les premiers travaux sur la dynamique du
piston. Les modèles d’analyse sont des modèles simplifiés. L’effet de l’hydrodynamique entre
le piston et le cylindre ne fut pas pris en considération.
Les travaux sur des modèles qui prennent en considération l’effet de la lubrification sur le
mouvement dynamique ont eu lieu début des années 80. Knoll et Peeken [5] développent un
modèle hydrodynamique basé sur les forces de portance du film lubrifiant mais sans prendre
en considération la dynamique du piston. Li et al [7] développent une analyse dynamique qui
prend en considération les forces hydrodynamiques développées dans le film lubrifiant et
déterminent la trajectoire entière du piston sous l’influence des paramètres de design tel le
désaxage et la position de l’axe du piston. Cette analyse constitue la base de référence dont
s’inspire la majorité des auteurs pour le développement de modèles de lubrification
hydrodynamique de la jupe de piston [8, 9].
Cet article présente une analyse du comportement dynamique du piston. L’analyse incorpore
un modèle de lubrification hydrodynamique de la jupe du piston en vue de prédire le
mouvement secondaire. Une application est faite sur le moteur ‘Deutz’ V8 de type F8L413.
II.2 Equations dynamiques couplées
Soit à considérer le mouvement du mécanisme bielle manivelle piston montré dans la figure
(II.1)
Chapitre II Formulations de base
20
Fig. II.1: Géométrie du système piston
Les excentricités he et be du haut et du bas de la jupe, respectivement, sont définies par
rapport à l’axe du cylindre comme le montre la figure ci-dessus. Les excentricités positives
sont dirigées vers le côté de poussée minimale, les excentricités négatives sont dirigées vers le
côté de poussée maximale .L’axe donnant la course du piston, orienté positivement vers le
bas, a son origine confondue avec le Point Mort Haut du piston. La position du piston, la
Chapitre II Formulations de base
21
vitesse de glissement (ou vitesse axiale) et l’accélération le long du cylindre, sont fonction de
l’angle du vilebrequin . L’axe y est introduit pour le calcul hydrodynamique du piston. Il
représente la coordonnée axiale du film lubrifiant. Puisque le film lubrifiant suit à chaque
instant le piston, l’axe y est fixé avec le piston et se déplace en même temps que le piston.
Dans un plan normal à l’axe du piston , contenant les côtés de poussée maximale et minimale,
existe un déséquilibre (contre balancement) des forces et des moments agissant sur le piston.
Comme résultat, le piston exécute de petites oscillations latérales dans le confinement du jeu
piston cylindre. Ces oscillations, dont l’intensité est égale ou inférieure au jeu radial piston-
cylindre, sont représentées par les excentricités )t(eh et )t(eb . La rotation du piston autour
de son axe, est définie par l’angle de basculement . Les angles 1 et 2 sont les angles
fluides de pression de la jupe lorsque le piston bascule du côté de la poussée maximale et du
côté de la poussée minimale respectivement. Dans notre étude les angles 1 et 2 sont égaux
et ont pour valeur empirique 15° [10, 11].
Soit à isoler le corps de piston comme le montre schématiquement la fig. II .2 et à
représenter les différentes forces qui le maintiennent en équilibre avec son entourage à chaque
instant de son mouvement.
Fig. II.2: Forces et moments agissant sur le piston
Chapitre II Formulations de base
22
Les forces et moments agissant sur le piston sont :
-Fg Force due à la combustion des gaz
- F̂ Force de connexion agissant constamment le long de la bielle
-F, M Force et moment résultant de la pression hydrodynamique développée dans le
film d’huile
- ICF , MIC Forces et moments résultant de l’inertie du piston lors de son mouvement
secondaire
-FIP Force résultant de l’inertie de l’axe du piston lors de son mouvement
secondaire. Il est supposé que l’axe du piston ne tourne pas, par conséquent son inertie de
rotation n’est pas considérée( )0MIP .
- ICF , IPF Forces dues à l’inertie du piston et de son axe respectivement lors du
mouvement axial du piston.
L’équilibre des forces et des moments calculées par rapport à l’axe du piston dans le
repère (x, y) se mouvant avec le piston requiert que :
0cosFFFFF ICIPgy
(II.1)
0sinFFFFF ICIPx
(II.2)
0CFCFM)ba(FMM pggICICICaxe (II.3)
L’élimination de F
des équations (II.1) et (II.2) donne l’équation des forces
SICIP FFFF (II.4)
Où SF est la force latérale de paroi, définie comme suit :
𝐹𝑠 = (𝐹𝑔 + 𝐹𝑖𝑝 + 𝐹𝑖𝑐) tan (II.5)
De manière similaire ,on obtient l’équation des moments
Chapitre II Formulations de base
23
SICIC MM)ba(FM (II.6)
où SM est le moment de basculement du piston selon l’angle est défini par
gICpgS CFCFM (II.7)
SF et SM dépendent de l’accélération axiale, la pression des gaz de combustion et de l’angle
.
Pour un moteur tournant à vitesse de rotation stationnaire du vilebrequin, les forces
d’inertie sont ;
aaxeIP .mF (II.8)
apistIC .mF (II.9)
où l’accélération axiale est donnée par[14]
2/122
22
2/322
22
a)B(
sinrBw)coswr(
)B(
)cosBwr(cosrw
(II.10)
dans laquelle
sinrCB p (II.11)
l’angle de connexion de la bielle est donné par :
2/122 )B(
Barctg
(II.12)
Sachant que la force des gaz de combustion est connue ( APF gg , A aire du fond du piston
gP pression des gaz) SF et SM peuvent être aisément déterminées à partir des équations (II.7)
à (II.5).
Les forces et moments d'inertie transversaux dépendent de l’accélération du mouvement
secondaire du piston. Ils sont donnés par:
hbhaxeIP ee
L
ae.mF (II.13)
Chapitre II Formulations de base
24
hbhpistIC ee
L
be.mF (II.14)
L
ee.IM
bhpistIC
(II.15)
Finalement, une substitution des équations ci-dessus dans les équations (II.4) et (II.6) donne
les équations de mouvement
S
S
b
h
pistpist
pistpist
axepistaxepist
MM
FF
e
e
L
b)ba(m
L
I
L
b1)ba(m
L
IL
am
L
bm
L
a1m
L
b1m
(II.16)
Les équations (II.16) constituent les équations de base du mouvement dynamique
secondaire du piston. Ces équations sont couplées simultanément avec l’effet
hydrodynamique décrit par les charges de portance F et M du film fluide.
II.3 Analyse hydrodynamique
La lubrification des parois du système piston cylindre peut être décrite comme un
ensemble de surfaces lubrifiées. Les charges hydrodynamiques équilibrons les charges
dynamiques latérales résultent de l’intégration du champ de pression né dans les zones actives
du film d’huile.
Dans notre cas les forces et moments F et M, sont dues à la pression hydrodynamique
développée dans le film d’huile dans les portions de surfaces limitées par les arcs 1 , 1 et
2 , 22 (fig. II.1). La pression hydrodynamique est régie par l’équation de Reynolds, qui
s’écrit avec les hypothèse d’un film mince incompressible et d’un écoulement laminaire :
cosL
ycos
y
f
L
cosU
y
ph
y
ph
hbh
hb33
(II.17)
h , p , U , h , b , h et b représentent les variables adimensionnelles définies dans la
nomenclature. La condition de pression dans les zones inactives (pas de pression dans ces
zones) est donnée par :
Chapitre II Formulations de base
25
0,yp * 2*
1 (zone inactive) (II.18)
p
1 2
p=0-
-
Fig. II.3 : Condition de pression dans la zone inactive
Aux points 0 et , la pression est maximale et s’exprime par un gradient de pression
nul
0pp
0
(II.19)
La condition de symétrie de pression dans le film est donnée par
),y(p),y(p (II.20)
La pression est nulle sur le haut et le bas de la jupe
0),L(p),0(p , (II.21)
Puisque he et be sont très petits devant L, l'épaisseur dimensionnée du film d'huile est
approchée par [14]:
),y(fcos)y(e)y(eL
ycos)t(ech hbh (II.22)
Chapitre II Formulations de base
26
II.4 La cavitation
La cavitation est la formation de cavités et de bulles de vapeur au sein d'un milieu
liquide initialement homogène à cause des forces hydrodynamiques, phénomène qui est
engendré par le comportement dynamique du fluide. Elle prend des formes très différentes
selon la configuration de l'écoulement, la forme et le mouvement des parois et les propriétés
physiques du fluide.
Fig. II.4: La zone de cavitation dans un film d’huile
II.5 Modèles de cavitation
L'étude et la modélisation des phénomènes de cavitation a fait l'objet de nombreux
travaux. Nous allons tenter de rappeler ici les grandes étapes qui ont permis de progresser dans
la compréhension de ce phénomène. Ces modèles peuvent se diviser en deux catégories selon
qu'ils assurent ou non la conservation du débit massique dans les zones inactives et au passage
des frontières de rupture et de reformation du film.
II.5.1Modèle de SOMMERFELD
Les conditions de Sommerfeld (1904) sont les plus simples qui soient puisqu'elles
conservent intégralement la solution de l'équation de Reynolds (Fig. II.5) sans tenir compte
de la cavitation. Les pressions négatives, du même ordre de grandeur que les pressions
positives, peuvent être considérées comme une impossibilité physique. Ces conditions ne sont
réalistes que pour des paliers fortement pressurisés et/ou très faiblement chargés.
Chapitre II Formulations de base
27
−𝜋 +𝜋
Fig. II.5 : Modèle de Sommerfeld
II.5.2 Modèle de GUMBEL
Les conditions de Gumbel (1914), appelées aussi conditions de demi-Sommer,
considèrent qu'il y a rupture du film dès que la pression au sein du fluide devient négative
(Fig. II.6). Dans le cas d'un palier non pressurisé cela revient à ne considérer comme active
que la partie convergente du palier. Ces conditions ne respectent évidemment p continuité
du débit. De mise en œuvre facile, puisque conservant à l'équation de Reynolds son
caractère linéaire, elles ont été et sont encore très largement utilisées dans
l’algorithmes de résolution.
−𝜋 +𝜋
Fig. II.6 : Modèle de Gumbel
II.5 3 Modèle de REYNOLDS (SWIFT-STIEBER)
Chapitre II Formulations de base
28
Bien quelles aient été établies par SWIFT (1931) puis par STIEBER (1933) qui
arrivèrent à des résultats identiques de façon indépendante, ces conditions sont plus
connues se nom de conditions aux limites de Reynolds .Elles consistent à appliquer
dp/d∆𝑛 =0 on sur la frontière de rupture et P = Pc sur Ω − Ω + Et 0 où n est la direction
normale aux frontières et Pc la pression de cavitation. Notons que ces conditions traduisent
la conservation des débits à travers la frontière de rupture.
- +
Fig. II.7 : Modèle de Reynolds
II.6 Equation de Reynolds
La lubrification des parois du système piston cylindre peut être décrite comme un
ensemble de surfaces lubrifiées. Les charges hydrodynamiques supportant les charges
dynamiques latérales résultent de l’intégration du champ de pression né dans les zones actives
du film d’huile. La pression hydrodynamique est régie par l’équation de Reynolds.
Issue des équations de Navier-Stockes pour les écoulements dans les films minces,
l’équation de Reynolds s’écrit [12] :
𝜕
𝜕𝑥 3 𝑥 ,𝑦 ,𝑡
ɳ
𝜕𝑝 𝑥 ,𝑦
𝜕𝑥 +
𝜕
𝜕𝑦 3 𝑥 ,𝑦 ,𝑡
ɳ
𝜕𝑝 𝑥 ,𝑦
𝜕𝑦 = 6𝑈
𝜕 𝑥 ,𝑦 ,𝑡
𝜕𝑦 + 12
𝜕 𝑥 ,𝑦 ,𝑡
𝜕𝑡 (II. 23)
La géométrie cylindrique du piston fait qu’il est plus intéressant d’utiliser une forme polaire
plutôt qu’une cordonnée curviligne :
pRx
(II. 24)
Chapitre II Formulations de base
29
L’utilisation des valeurs adimensionnelles de la pression de l’épaisseur du film d’huile
et pour les cordonnées spatiales, se fait en introduisant une forme paramétrée au sens
de Sommerfeld définie comme[14] :
c
e
R
yy
c
hh
Rwr
cpp
Pp
,,,...6
2
(II. 25)
Il est aisé de montrer que l’utilisation des variables adimensionnelles permet d’aboutir à une
forme beaucoup plus compacte pour l’équation de Reynolds :
t
D
y
DUF
t
h
y
hU
D
µ
h
RF
y
D
µ
h
yF 212
6
1
6
3
2
3
(II. 26)
Conditions aux limites
Les conditions aux limites utilisées pour la résolution de l’équation de Reynolds sont
basées sur la séparation des zones actives et inactives. C’est dans la zone active que
la pression monte et que l’équilibre avec la charge appliquée se réalise. La zone inactive
est caractérisée par une pression nulle. En conséquence, les conditions aux limites sur la
valeur de la pression sont [13] :
• p<=0 dans la zone inactive,
• p>0 dans la zone active,
p
1 2
p=0-
-
Fig. II.3 : Condition de pression dans la zone inactive
Chapitre II Formulations de base
30
0*, yp 21 * (Zone inactive) (II.27)
La condition de Reynolds sur la dérivée de la pression à la frontière de rupture du film
complet s’énonce comme suit :
00
pp (II.28 )
La condition de symétrie de pression dans le film est donnée par :
),(),( ypyp (II.29)
La pression est nulle sur le haut et le bas de la jupe :
0),(),0( Lpp (II.28)
Puisque he et be sont très petits devant L, l’épaisseur dimensionnée du film d’huile est
approchée:
),(cos)()(cos)(),( yfyeyeL
ytecyh hbh (II.29)
Où c est le jeu radial entre le piston et le cylindre, ),( yf est le profil de la surface de la jupe
du piston. Ce profil est mesuré à partir de la surface d’un cylindre de base de rayon R
représentant le piston. Le profil de la jupe ),( yf est construit dans le but d’obtenir une
lubrification performante de la jupe durant le mouvement alternatif du piston. Ce profil tient
sous forme adimensionnelle l’équation de la surface (II.24) s’écrit :
= 1 + 𝜀 𝑡 𝑐𝑜𝑠𝜃 +𝑦
𝐿 𝜀𝑏 𝑡 − 𝜀 𝑡 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑓 (𝑦 ,𝜃) (II.30)
II.7 Equation du film lubrifiant
Le film d’huile séparant les surfaces du piston et du cylindre est montré sur la figure II.1. Les
excentricités du haut et du bas de la jupe étant différentes à chaque instant, nous permet
d’obtenir un mésalignement du piston dans le cylindre. L’équation du film lubrifiant donnant
l’épaisseur du film est obtenue dans le repère cylindrique (r, 𝜃 , y), r étant compris entre le
rayon du piston R et le rayon du cylindre.
Chapitre II Formulations de base
31
Fig. II.9: Géométrie du film lubrifiant
II.8 Equation du film selon la direction circonférentielle
Considérons la section droite du haut de la jupe (fig.II.10). Pour une configuration donnée,
définie par une excentricité eh dans cette section, correspond un film dont l’épaisseur h varie
d’un point circonférentiel à un autre. Ce point peut être repéré par la coordonnée angulaire
𝜃.En ce point l'épaisseur est donnée par
'MOMO)(h cc (II.31)
Fig. II.10: Géométrie du film dans la section du haut de la jupe
Chapitre II Formulations de base
32
Le premier terme du second membre est donné par
cRMOc (II.32)
Où c est le jeu radial
Appliquons la règle des sinus dans le triangle 'MOO pc , et on détermine le second terme du
second membre
sin
R
sin
e
sin
'MO hc (II.33)
Les différents angles apparaissant dans cette expression, peuvent être facilement déterminés
La propriété des angles alterne externe donne
Soit
(II.34)
d’où sinsin
L’équation (II.33) donne
sinR
esin h
Soit
sin
R
earcsin h
L’équation (II.34) s’écrit
sin
R
earcsin h
D’où :
Chapitre II Formulations de base
33
sin
R
earcsinsin
sin
R'MO h
c
En développant le sinus ,on obtient
cosesin
R
e1R'MO h
2h
c
Soit
coseR'MO hc
D’où
coseRcR)(h h
cosec)(h h
Sachant que
ceh
On obtient alors l’épaisseur du film dans la section transversale
cos1c)(h h (II.35)
Ou sous forme adimensionnelle
cos1)(h h (II.36)
Chapitre. III Méthode de résolution
34
Chapitre III
Méthode de résolution
III.1 Introduction
Dans ce chapitre, on va déterminer les charges de pression hydrodynamique crées aux
différentes nœuds de la paroi.
Le problème hydrodynamique du piston est régi parles équations non linaires suivant :
t
D
y
DUF
t
h
y
hU
D
µ
h
RF
y
D
µ
h
yF 212
6
1
6
3
2
3
tan.)(.)1()1(....
fsbaphap FFFeL
am
L
bme
L
am
L
bm
(III.1)
fsbp
php
pMMMe
L
I
L
bbame
L
bbam
L
I
....
.)(.)1)((
La résolution de ce système permet de déterminer trois variables, la pression p et les
deux excentricitéshe et
be nécessaires pour déterminer l’épaisseur h.
III.2 Méthode de résolution
On obtient un système de trois équations non linéaires à des inconnues qui sont :
he : Excentricités du haut du piston
be : Excentricités du bas du piston
p : La pression représente par pij
Où : (III) est respectivement l’équation de Reynolds et les équations dynamiques du
mouvement secondaire du piston en excentricités he et be .
Chapitre. III Méthode de résolution
35
Fig. III.1: Géométrie du système piston
III.3 Transformation du repère cylindrique(r, , z) en repère cartésien (x ,y)
Fig. III.2.a: Géométrie du film lubrifiant
Chapitre. III Méthode de résolution
36
Fig. III.2.b: Maillage 2D du Film lubrifiant développé
La méthode de résolution du système (III.1) est donne par la méthode de Newton-
Raphson à l’itération k.
he )1( k
he )(k
be
be
1p = 1p -
k
k
J
R
(III.2)
nmp nmp
Chapitre. III Méthode de résolution
37
R est le résidu du système (III.1)
* + {
} (III.3)
, - est la matrice
Jacobéenne
(III.4)
III.4 Calcul des résidus
L’équation de Reynolds s’écrit comme :
jit
D
y
DUF
t
h
y
hU
Dh
RF
y
Dh
yF ,
3
2
3
)2)(1(26
1
6
(III.5)
Si : 0F
III.4 .1 Le résidu de l’équation de Reynolds
1E
Équation de Reynolds du film lubrifiant mince se trouvant entre le piston et le cylindre.
,....),( ,,,1 jijiji phEE
jip , Pression du film d’huile
jih , Epaisseur du film d’huile
Le résidu jiE , s’écrit :
bh
bh
bhKI
e
E
e
E
P
E
e
E
e
E
p
E
e
E
e
E
p
E
J
333
222
111
Chapitre. III Méthode de résolution
38
Discrétisation jiE , projection de
jiE , sur le maillage de différence finie
Fig.III.3 : Discrétisation de jiE , sur le maillage de différence finie
)(2
1,1,yo
y
pp
y
p jhjh
(III.6)
)(2
2
2
1,,1,
2
2
yoy
ppp
y
p jhjhjh
(III.7)
)(2
,1,1
o
ppp jhjh
(III.8)
)(2
2
2
,1,,1
2
2
o
pppp jhjhjh
(III.9)
)(2
1,1,yo
y
hh
y
h jhjh
(III.10)
Avec :
ehbh yfyeyeL
ytech ),(cos)()(cos)(
t
h
y
hU
phphh
Ry
ph
y
p
y
hhE ji
2
66
31
66
32
232
22
232
,
Chapitre. III Méthode de résolution
39
Où :
),( yf : est le profile de la jupe
fCe .
t
tthth
y
hhU
phhhhhR
phhhhhR
py
h
phhhhhy
phhhhhy
E
jhjhjijh
jhjhjhjhjhjh
jhjhjhjhjhjh
jhjh
jhjhjhjhjhjh
jhjhjhjhjhjh
)()(2
2
)2
1
2
1
3
2(
)(4
1
)2
1
2
1
3
2(
)(4
1
))(
1
)(
1(
3
1
)2
1
2
1
3
2(
)(4
1
)2
1
2
1
3
2(
)(4
1
,,1,1,
,1,1
2
,,1
2
,
3
,22
,1,1
2
,,1
2
,
3
,22
,22
3
,
1,1,
2
,1,
2
,
3
,2
1,1,
2
,1,
2
,
3
,21
(III.11)
III.4.2 Résidu de l’équation de dynamique en be
mjni
jjji
ji
mjni
sjijiji
bbb
ap
hhhap
tagm
R
n
L
y
pph
h
UR
Fm
R
n
Lpcp
t
ttettete
L
am
L
bm
t
ttettete
L
am
L
bmE
)2
)22
(2(
2cos)(
)(2)2()(
)(2)2()()1()1(
11,
,
2
,,,
2
22
(III.12)
III.4.3 Résidu de l’équation de dynamique en he
Chapitre. III Méthode de résolution
40
)2
)cos)(22
(2(
2cos))((
)(2)2()()(
)(2)2()()1)((
11,
,
2
,,,
2
23
mjni
p
jjji
ji
mjni
sjijiji
bbbp
p
hhhp
p
m
R
n
LCR
y
pph
h
UR
Mm
R
n
Lyapcp
t
ttettete
L
bbam
L
I
t
ttettete
L
bbam
L
IE
(III.13)
III.5. Calcul du Jacobéen
Le Jacobéen est donnée par :
(III.14)
Avec : kl
nn
n
p
p
p
p
p
p
p
:
:
:
:
:
1
13
12
11
D’où :zouyselonml
selonnk
,1
,1
)2)(2dim(
.................
................
...............
...............
...............
333
12
3
11
3
222
12
2
11
2
1211
121212
12
12
11
12
111111
12
11
11
11
nmnm
e
E
e
E
p
E
p
E
p
E
e
E
e
E
p
E
p
E
p
E
e
E
e
E
p
E
p
E
p
E
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E
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E
p
E
p
E
p
E
e
E
e
E
p
E
p
E
p
E
J
bhnm
bhnm
b
nm
h
nm
nm
nmnnnn
bhnm
bhnm
Chapitre. III Méthode de résolution
41
nn
TPPPpp .............1211
(III.15)
III.5.1 Calcul les termes du Jacobéen
On va calculer les termes de Jacobéen comme suite :
Le terme 11J :
kl
jikl
ji
kl
ji
jijijijiji
ji
kl
ji
jiji
kl
ji
ji
kl
ji
jiji
kl
ji
ji
kl
ji
ji
jijijijiji
ji
kl
ji
jiji
kl
ji
ji
kl
ji
jiji
kl
ji
ji
kl
ji
ji
jiji
kl
ji
ji
jijijijiji
ji
kl
ji
jiji
kl
ji
ji
kl
ji
jiji
kl
ji
ji
kl
ji
ji
jijhjijiji
ji
kl
ji
jiji
kl
ji
ji
kl
ji
jhji
kl
ji
ji
kl
ji
ji
kl
p
h
y
p
h
p
h
U
Coefhhhhh
pp
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p
hhh
p
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p
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Coefhhhhh
pp
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Coefhpp
hh
y
Coefhhhhh
pp
hhh
p
hh
p
hhh
p
hh
p
hh
y
Coefhhhhh
pp
hhh
p
hh
p
hhh
p
hh
p
hh
yP
E
,
1,1,
,1
2
,,1
2
,
3
,
,1
,12
,,1
,
,
,12
,,1
,
,
,2
,22
,1
2
,,1
2
,
3
,
,1
,12
,,1
,
,
,12
,,1
,
,
,2
,22
3
,,
,2
,22
1,
2
,1,
2
,
3
,
1,
1,2
,1,
,
,
1,2
,1,
,
,
,2
,2
1,
2
,1,
2
,
3
,
1,
1,2
,1,
,
,
1,2
,1,
,
,
,2
,2
1
22
5)2
1
2
1
3
2(
)2
1
2
12(
1
)(4
1
4)2
1
2
1
3
2(
)2
1
2
12(
1
)(4
1
)33)()(
1
)(
1(
3
1
2)2
1
2
1
3
2(
)2
1
2
12(
1
)(4
1
1)2
1
2
1
3
2(
)2
1
2
12(
1
)(4
1
Le terme 12J :
ll
kl
yRP
E
cos22
Chapitre. III Méthode de résolution
42
Le terme 13J :
llk
kl
yyaRP
E
cos)(23
Le terme 21J :
tL
y
yL
yyU
phhhhhhhL
y
R
phhhhhhhL
y
R
pyL
yh
pL
yh
hL
yh
L
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L
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y
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hL
yh
L
yhh
L
yh
L
yh
ye
E
ijjj
i
jhijhjhijhijhjhijhijh
j
jhijhjhijhijhjhijhijh
j
jhi
j
jh
jh
j
jh
jh
j
jh
j
jhjh
j
jh
j
jhi
jh
j
jh
jh
j
jh
j
jhjh
j
jh
j
jhi
h
cos)1(2
2cos
)cos2
1coscos
2
1coscos2()1(
1
)(4
1
)cos2
1coscos
2
1coscos2()1(
1
)(4
1
cos))(
1
)(
1)(1(
1
)1(2
1
)1()1(2
1)1()1(2(cos
1
)(4
1
)1(2
1
)1()1(2
1)1()1(2(cos
1
)(4
1
11
,11
2
,,1,1
2
,,1,
2
,22
,11
2
,,1,1
2
,,1,
2
,22
,22
2
,
1,
12
,
1,,
12
,1,,
2
,2
1,
12
,
1,,
12
,1,,
2
,2
1
Le terme 22J :
2
2
)(
)1()1(
t
L
am
L
bm
e
Eap
h
Le terme 23J :
2
3
)(
)1)((
t
L
bbam
L
I
e
Ep
p
h
Chapitre. III Méthode de résolution
43
Le 31J terme :
tL
y
yL
yyU
phhhhhhhL
y
R
phhhhhhhL
y
R
pyL
yh
pL
yhh
L
yh
L
yhh
L
yh
L
yh
y
pL
yhh
L
yh
L
yhh
L
yh
L
yh
ye
E
ijjj
i
jhijhjhijhijhjhijhijh
j
jhijhjhijhijhjhijhijh
j
jhi
j
jh
jh
j
jhjh
j
jh
j
jhjh
j
jh
j
jhi
jh
j
jhjh
j
jh
j
jhjh
j
jh
j
jhi
b
cos2
2cos
)cos2
1coscos
2
1coscos2(
1
)(4
1
)cos2
1coscos
2
1coscos2(
1
)(4
1
cos))(
1
)(
1(
1
2
1
2
12(cos
1
)(4
1
2
1
2
12(cos
1
)(4
1
11
,11
2
,,1,1
2
,,1,
2
,22
,11
2
,,1,1
2
,,1,
2
,22
,22
2
,
1,
12
,1,,
12
,1,,
2
,2
1,
12
,1,,
12
,1,,
2
,2
1
Le terme 32J :
2
2
)( t
L
am
L
bm
e
Eap
b
Le terme 33J :
2
3
)(
)(
t
L
bbam
L
I
e
Ep
p
b
III.6 La méthode de Newton – Raphson
La méthode de résolution de système discret non linéaire (III.1) est donnée par la
méthode de Newton-Raphson qui consiste à trouver la solution après convergence de telle
sorte que la valeur du pas encours soit égale à la valeur du pas précédent avec une certaine
précision.
Chapitre. III Méthode de résolution
44
La méthode de Newton-Raphson est une méthode de point fixe. Le schéma numérique
de la méthode de Newton est :
( )
( )
Où : n est nombre total d’itération
Une fois les systèmes d’équations régissent notre problème résolu, on présente les étapes
de calcul suivies qu’on résume comme suite :
En partant de t=0 à t=T avec un pas de temps ou encore de à
(cycle moteur) avec
En introduit les données :
- Pression des gaz à l'instant t
- Le résultat du pas précédent de ),( jip de h
e et de b
e
On calcule les résidus 1E , 2E et 3E
On calcule du Jacobien J
On résout le système ),( jip ,h
e et b
e pour l'itération en cours en utilisant la méthode
numérique de résolution des systèmes linéaires à plusieurs inconnus (Choleski, Gausse,
SOR,…).
On vérifie le critère de convergence
3
1
2
1
1
1
b
k
b
k
b
h
k
h
k
h
kk
eee
eee
ppp
Où : est la tolérance
Si ce critère est vérifié alors la solution est trouvée.
Pour ce même pas de temps le calcul est refait jusqu'à la convergence. Le résultat est
ensuite stocké dans un fichier de résultat.
Chapitre. III Méthode de résolution
45
On passe ensuite au pas suivant avec une incrémentation de 5° et les mêmes étapes sont
réalisées pour ce nouveau pas.
Une fois le cycle thermodynamique est fini 12 tours de vilebrequin équivaut 720° (ou
encore 144 pas de 5°), tout ces calculs seront refaits pour un certain nombre de cycles
moteur en initialisant, au départ le champ de pression ),( jip , les excentricités h
e et b
e à zéro.
Chapitre. IV Algorithme de résolution
46
Chapitre IV
Algorithme de résolution
IV.1 Introduction
On donne dans ce chapitre la méthode de calcul représentée par la structure du code de
calcul écrit en Fortran utilisé pour résoudre le problème hydrodynamique de la lubrification
du piston de moteur à combustion interne. Le code de calcul se compose d’un programme
principal et des sous programmes.
IV.2 Programme principal « Piston »
Fig. IV.1 : Organigramme principal de résolution
IV.2.1 Sous-programme « Défaut données»
Dans ce sous programme, on va donner les valeurs des variables suivants par défaut :
Debut
diametre_piston = 0.11989 m
rayon_vilebrequin = 0.06200
longueur_bielle = 0.23800
Début
Défaut-données
Lire-Données
Calcul
Fin
Chapitre. IV Algorithme de résolution
47
masse_piston = 1.90000
masse_axe = 0.90000
moment d’inertie piston =0 .00060
jeu_radial_haut jupe = 0.000035
jeu_radial_bas jupe = 0.000030
jeu_radial_central = 0.000025
position_du point centrale = 0.035000
longueur jupe =0.09000
longueur chemise = 0.22000
desaxage piston-axe 0.00150
desaxage piston-graruité 0.00000
distance haut jupe-axe 0.03700
distance haut jupe-Graruité 0.02000
vitesse de rotation2000.00
viscosité dynamique 0.00690
nombre interv circonf 5
nombre de cycles 3
angle 1 fluide 50.00203
angle 2 fluide 50.00203
module young jupe 200.00
module young chemise 200.00
longueur_onde ondul = 0.000250
amplitude ondulations = 0.0000035
Chapitre. IV Algorithme de résolution
48
fin
IV.2.2 Le sous programme «LIRE_DONNEES»
Début
Module MDONNEES
Ovrire (1,FILE='res\donnees.dat')
lire (DIAMETRE_PISTON)
lire(RAYON_IVLEBREQUIN)
lire (LONGUEUR_BIELLE)
lire (MASSE_PISTON)
lire (MASSE_AXE)
lire(DESAXCP)
lire (DESAXCG)
lire (JEU_RADIAL_HAUT)
lire (JEU_RADIAL_BAS)
lire (JEU_RADIAL_CENTRAL)
lire (POSITION_CENTRALE)
lire (MINERTIE_PISTON)
lire (A)
lire (B)
lire ( IVSCOSITE)
lire (IVTESSE_ROTATION)
Chapitre. IV Algorithme de résolution
49
lire ( L_JUPE)
lire (L_CHEMISE)
lire ( n_circ)
lire ( n_axi)
lire ( n_cycle)
lire (tet1a)
lire (tet2a)
lire ( ICHEC_ELAS_JUPE)
lire( ICHEC_ELAS_CHEMISE)
lire ( ICHEC_CAIVTATION)
lire ( YOUNG_JUPE)
lire (YOUNG_CHEMISE)
lire (LONGUEUR_ONDE)
lire ( AMPLITUDE)
ouvrir (1,FILE='res\pression1.dat')
Faire pour I = 1, 144
lire (Pas, ALPHA(Pas), P_GAZ(Pas))
ALPHA(pas) = ALPHA(pas)*PI/180.0
Fin pour
Fin
Fig IV.2 : Algorithme du sous programme LIRE_DONNEES.
Chapitre. IV Algorithme de résolution
50
IV.2.3 Structures sous-programme « calcul »
Ce sous-programme est le plus important car il permet de faire la principale étape de
l’hydrodynamique du piston
Début
Lecture des données : géométrie, maillage, vitesse,…
Initialisation du problème : calcule de ℎ (𝑦,𝜃) et du premier champ de pression
Pour chaque cycle
Pour chaque pas de temps
Tant que partition (Ω), épaisseur h, pression p non stables
Tant que partition (Ω) est non stable
Problème de type 1 :
Calcul de D (équation de Reynolds modifiée)
Mise à jour de la partition
Si D<0 le nœud est éventuellement passé à l’état inactif
Si D≥0 le nœud est éventuellement passé à l’état actif
Fin
Tant que les résidus (p,eh,eb)>(𝜀1,𝜀2, 𝜀3) (méthode de Newton-Raphson)
Calcul des forces et des moments hydrodynamiques
Calcul des résidus des équations (Reynolds et d’équilibre)
Calcul des éléments du Jacobien
Résolution du système 𝑅 + [𝐽].∆= 0 (Méthode numérique de Choleski)
Correction de la pression Ph et des excentricités eh, eb
5 4 3 2 1 Calcul du champ d’épaisseur
Chapitre. IV Algorithme de résolution
51
5 4 3 2 1
Fin
Fin
Fin
Ecriture des résultats : pression, épaisseur du film, excentricités, remplissage,…
Fin
Fin de l’algorithme
Chapitre V Résultats et interprétation
52
Chapitre V
Résultats et interprétations
V.1Introduction
Dans le chapitre III, on a fait un calcul hydrodynamique où on a cherché une solution du
système d’équation constitué de l’équation de Reynolds et des deux équations de la
dynamique du piston pour déterminer les deux degrés de libertés h
e et
be , la pression
hydrodynamique et l’épaisseur du film lubrifie.
On applique le programme du chapitre précédent sur le modèle du piston de moteur à
combustion interne. Les résultats sont obtenus sur un cycle moteur soit une rotation de 720°
du vilebrequin.
Dans ce chapitre on va expliciter les calculs par les résultats obtenus après l’exécution du
code de calcul du programme hydrodynamique.
V.2 Vitesse axiale du piston
Fig. V.1: Vitesse axiale du piston en fonction de la rotation du vilebrequin au cours d’un
cycle moteur
Chapitre V Résultats et interprétation
53
La vitesse du piston est sinusoïdale et atteint sa valeur maximale de 14 m/s au milieu du
parcours.
V.3 Evolution des excentricité eh et eb
Fig. V. 2: Excentricités du piston en fonction de la rotation du vilebrequin au cours d’un
cycle moteur
L’excentricité 𝑒𝑏 atteint sa valeur maximale au cours de l’explosion des gaz durant la détente
Tandis que 𝑒ℎ est constante
Chapitre V Résultats et interprétation
54
Fig. V. 3: Angle de rotation ou basculement sur un cycle moteur
Le piston subit un basculement (rotation) maximal au cours de la détente.
V.4 Variation de la pression maximale au cours d’un cycle moteur
Fig. V.4 : Pression maximale de l’huile lubrifiante
Chapitre V Résultats et interprétation
55
La pression est maximale en fin de compression et début élevé.
Fig. V.5 : Epaisseur minimale du film
Fig. V.6:Frottement hydrodynamique du piston
Chapitre V Résultats et interprétation
56
Les frottements piston huile sont sinusoïdaux et égaux (piston-cylindre).
V.5 Comparaison pour les angles fluide 𝜽 = 𝟑𝟎° et 𝜽 = 𝟓𝟎°
Fig. V.7: Vitesse axiale du piston en fonction de la rotation du vilebrequin au cours
d’un cycle moteur
Les vitesses sont identique pour l’angle fluide 30° et 50
Chapitre V Résultats et interprétation
57
Fig. V.8:excentricité 𝑒ℎ et 𝑒𝑏
Les excentricités ont même tendance mais sont différentes pour les angles fluides 30° et 50°
On remarque que les excentricités sont cependant plus grands pour l’angle fluide 30°.
Fig. V.9:Angle de basculement sur un cycle moteur
Chapitre V Résultats et interprétation
58
L’angle est plus grand dans le cas de l’angle fluide 30°que pour l’angle fluide 50°
Fig. V.10:Epaisseur minimale de film lubrifiant Fig. V.11:La variation de la pression
La pression et l’épaisseur est nettement plus grand dans le cas de l’angle fluide 30° que pour
l’angle fluide 50°.
Chapitre V Résultats et interprétation
59
Fig. V.12: Frottement hydrodynamique du piston
Cependant les frottements sont plus faibles pour l’angle fluide 30° que pour l’angle fluide 50°
V.6 conclusion
Les résultats montrent également que plus l’angle de pression est faible plus les frottements
piston cylindre sont faible et inversement.les autres paramètres de performance ont peut
d’influence sur l’angle de pression.
Conclusion générale
59
Conclusion générale
On a développé dans ce mémoire de master un modèle hydrodynamique de piston de
combustion interne se basant sur une simulation numérique obtenu par la résolution de
l’équation de la dynamique du piston couplée avec l’équation de Reynolds universelle.
Les principales performances de la lubrification hydrodynamique du piston sont simulées sur
un cycle moteur.
On a simulé principalement le frottement piston _ huile_ cylindre, l’angle de pression et la
pression dans le film lubrifiant.
On a également simulé le mouvement secondaire du piston en fonction de la rotation du
vilebrequin sur un cycle moteur.
Pour tous ces calcules ,il est tenu compte de la cavitation dans le film lubrifiant.
Les résultats montrent également que plus l’angle de pression est faible plus les frottements
piston cylindre sont faible et inversement.les autres paramètres de performances ont peut
d’influence sur l’angle de pression.
Référence bibliographique
60
Référence bibliographique
[1] REYNOLDS (O.). – On the theory of lubrication and its application to M. Beauchamp
Tower’s experiments. Phil. Trans. Roy. Soc. (London), A 117, p. 157-234 (1886).
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[3] ElBerkennou .f mémoire 2010. (Simulation EHD de la jupe de piston d’un moteur Dièsel
à injection directe Application au moteur F8L413)
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moteur à combustion interne", mémoire de magister, (2009), université de chlef.
[13] Virgil OPTASANU.," Modélisation expérimentale et numérique de la lubrification des
paliers compliants sous chargement dynamique ", mémoire Pour l'obtention du grade de de
docteur de l'UNIVERSITE de POITIERS, (2000)
Référence bibliographique
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[14] TAHAR ABBES miloud, " Etude d’un piston de moteur à combustion interne sous
chargement dynamique" , Thèse de doctorat , 2005, usto.
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