Propiedades de Divisibilidad

PARTICULAR UNIVERSIDAD

Propiedades de d ivis ib i l idad

Para todo �, �, � ∈ � se t iene que

1) �|�

2) �|� ∧ �|� ⇒ �|� 3) �|0∀� ∈ �

4) Si �|� ⇒ �|� ∀ ∈ �

5) Si �|� ∧ �|� ⇒ �| � � �� ∀ , � ∈ �

En part icular si � 1, � � 1tenemos que si �|� ∧ �|� ⇒ �|� � � En part icular si � �1, � � �1tenemos que si �|� ∧ �|� ⇒ �|� � �

6) Si �|� ⇒ �| � �;��| � �;y – �|�

7) Si �|� ⇒ ��|�� ∀� ∈ �

8) Si �|� y � � 0 ⇒ |�| � |�| 9) Si �|� ∧ �|� ⇒ |�| � |�| ∀� � 0, � � 0 ∈ �

10) Si �|� ∧ �|� ⇒ ��|�. � 11) Si �|� � � ∧ �|� ⟹ �|�

Teorema (consecuencia inmediata del algoritmo de Euclides)

Dados �, � ∈ �, con � � 0, ex isten enteros , � tales que ��, �� � � � � ��

Observación IMPORTANTE!!!

1- Si � � ��, �� ⇒��� .!"#�

∃ , � ∈ �:� � � � �� es verdadero

Si & � � � �� ⇒ & � ��. �� es falso

2- Si � � ��, �� ⇒ , � ∈ �:� � � � �� y , �no son únicos

Propiedad

Sean �, � ∈ �, no simul táneamente nulos, s i '|� ∧ '|�, es deci r ' es común

divisor de � y �, entonces '|��, ��.

Conclusión

Si sabemos que � � ��, �� podemos decir con seguridad que: .

� �|� ∧ �|�

� Si ∃( ∈ �:(|� ∧ (|� ⇒ )� * ((|�

� ∃ , � ∈ �:� � � � ��

PARTICULAR UNIVERSIDAD

Propiedades de d ivis ib i l idad

Definición

Dos enteros �, � ∈ �, se d icen coprimos si ��, �� � 1

Proposición ( la proposición de Euclides)

Sean �, � y � ∈ � s i �|�. � y ��, �� � 1 ⇒ �|�

Sean �, � y � ∈ � s i �|�. � y ��, �� � 1 ⇒ �|�

Proposición

Si �|+ ∧ �|+ y ��, �� � 1 entonces �. �|+

Observación

Si ��, �� � 1 entonces la proposic ión no vale.

Estos es, decir que: �|+ ∧ �|+ y ��, �� � 1 entonces �. �|+ es falso

Proposición (solución de una ecuación diofántica)

Sean ,, -, . ∈ �, , y - no simultáneamente nulos, entonces existen /, 0 ∈ � tal que ,/ � -0 � . ⇔�,, -�|.. Corolario

Sean �, � ∈ �, � y � no s imultáneamente nulos, entonces ex isten , � ∈ � tal

que � � �� � 1 ⇔ ��, ��|1. Sólo con 2 vale la ida y la vuelta!!!!

NUMEROS PRIMOS

Teorema

Si � ∈ �, y � � 1,� � �1 y � � 0, ⇒∃( pr imo posi t ivo que lo div ide (|�

Corolario

Si + ∈ �, y 3 4 1 entonces existe ( pr imo posi t ivo tal que 1 5 ( 5 3

Teorema de Eucl ides

Existen inf ini tos números primos.

Teorema

Sea �,, -� � 6 ∧ 6 � 2 ⇒ ∃7 primo posit ivo tal que 7|6

Proposición

Sea ( pr imo s i ( ∤ � ⇒ ��, (� � 1

Teorema

Sea ( pr imo, si (|�. � ⇒ (|� ∨ (|�

PARTICULAR UNIVERSIDAD

Propiedades de d ivis ib i l idad

OTRAS PROPIEDADES

1. ��, (� � 1 ⇔ ( ∤ �, ( es pr imo posi t ivo

2. ��, �� � 1 ⇔ ∃( pr imo tal que (|� y (|�

3. (|�:. ��… . . �< ⇒ (|�: ∨ (|�� ∨ …… .∨ (|�<

4. ��, �� � 1 ⇒ ��< , �=� � 1∀3, + ∈ >