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Chap4 Proportionnalité

Activité 1p52 Dans les problèmes suivants,• Repérer les deux grandeurs qui interviennent• Dire si elles sont proportionnelles.• Résoudre, si c’est possible, les problèmes.

1°) S’il faut 240 g de riz pour 4 personnes,combien en faut-il pour 6 personnes?

2°) A 13 ans Hervé mesure 1,50 m.combien mesurera-t-il à 39 ans?

3°) Mathieu a 12 ans, son père a 36 ans.Lorsque Mathieu aura 15 ans, quel sera l’âge de son père?

I- Tableau de proportionnalité

Un tableau est un tableau de proportionnalité si on passe d’une ligne à l’autreen multipliant ou en divisant par un nombre, toujours le même.

Ce nombre est appelé le coefficient de proportionnalité

Exemple :

Calcul du coefficient:9 ÷ 6 = 1,5 donc 1,5 est un coefficient de proportionnalité

Cela signifie que 1L coûte 1,5€

Chap4 - Proportionnalité

II - Résoudre un problème de proportionnalité

Pour résoudre un problème de proportionnalité, il faut :

1-Construire le tableau avec l’énoncé (grandeurs, unités, valeurs numériques)2-Calculer à l’aide d’une méthode3-Remplir le tableau.4-Répondre avec une phrase

Voici différentes méthodes de calcul possible:

METHODE 1 : Avec le coefficient de proportionnalité

Exemple : 4kg de pommes coûtent 4,80€.Combien coûtent 1kg, 7kg, et 3kg ?Quelle quantité de pomme a-t-on avec 18€, avec 6€ ?

Calculer le coefficient : ……………………………….

On passe donc de la 1ère ligne à 2ème Vérification : Et on passe de la 2ème ligne à la 1ère

Noter les flèches et Remplir le tableau

Répondre :

1kg de pommes coûtent ………. 7kg de pommes coûtent …… 3kg de pommes coûtent ……

Avec 18€, on achète …………. Avec 6€, on achète ……………….

en multipliant par 1,2

4,80 ÷ 4 = 1,2

4 x 1,2 = 4,8

en divisant par 1,2

x 1,2÷ 1,21,2 8,4 3,6

15 5

1,20 € 8,40€ 3,60€

15kg 5kg

II – Résoudre un problème de proportionnalité

1) Avec le coefficient :Calculer les coefficients et Compléter les tableaux de proportionnalité suivants

Tableau 1

Calcul du coefficient: … ÷ … =

Tableau 2

Calcul du coefficient: … ÷ … =

Problème Dans un paquet de 300g de bonbons, il y a 15 bonbons

a) Compléter le tableau suivant

Calcul du coefficient: … ÷ … =

b) Combien pèsent 20 bonbons?.....…………………………………….

c) Utiliser la dernière colonne du tableau pour dire combien pèsent 6 bonbons …….

METHODE 2 : En raisonnant sur les colonnes

On peut multiplier ou diviser des colonnes entières

x 3

5 x 3 =15

On peut additionner ou soustraire des colonnes entières

+2+6 = 8

5 +15 = 20

2) En raisonnant sur les colonnes

Exercice : Compléter en raisonnant sur les colonnes les tableaux suivants

METHODE 3 : Avec le produit en croix

Exemple: Sur un site on peut acheter 6 chansons pour 7€.Combien coûtent 15 chansons ?

Produit en croix : On multiplie les nombres en diagonaleet on divise par le nombre restant

Dans cet exemple 7 x 15 = 17,5 donc 15 chansons coûtent 17,5€6

3) Avec le produit en croix

Exercice 1 : Compléter les tableaux suivants à l’aide du produit en croix

Exercice 2 : Compléter les tableaux suivants à l’aide du produit en croix

Problème 1 : Pour faire une mousse en chocolat pour 9 personnes, il faut 6 œufs. Combien d’œufs faut-il utiliser pour 15 personnes.

Rédaction possible :

9 personnes 6 œufs

15 personnes ? œufs

Produit en croix : …. x …. = …. Réponse : ……………………………………………….

Problème 2 : Une photocopieuse copie 8 pages en 12 s.a) Combien de temps faut-il pour copier 30 pages ?

b) Combien de pages peut-on copier en 60 secondes ?

Exercice 29 p 61

a) Une photocopieuse copie 40pages en 5minutes.En combien de temps copiera-t-elle 360 pages?

b) Pour 1,20€, j’achète 1,6kg de pommes de terre.Combien coûteront 3kg de pommes de terre?

Reconnaître une situation de proportionnalité

A SAVOIR : Pour reconnaître une situation de proportionnalité, on peut rassembler les informations dans un tableau. Il suffit en suite de vérifier si c’est un tableau de proportionnalité ou pas.

soit en vérifiant que toutes les colonnes ont le même coefficient soit en vérifiant les produits en croix soit en raisonnant sur les colonnes

Exemple 4 : Au rayon parfumerie, un parfum est vendu dans 2 conditionnements différentsLe flacon de 600ml est vendu 4,80€ et le flacon de 1L est vendu 8,20€.

a) Le prix est-il proportionnel à la quantité ?Vous pouvez utiliser le tableau ci dessous, ATTENTION aux unitésb) Quel est le flacon le plus économique ?

Evaluation sur les 3 méthodes

III – Exprimer et convertir des durées

Il y a plusieurs façons d’exprimer une même durée:

• En minutes : 90 min

• En heures et minutes : 1h 30min

• En nombre décimal d’heures : 1,5 h ou « 1 heure et demie »

1) Conversion entre minutes et heures décimales:

Les minutes et les heures décimales sont proportionnelles

Exercice : Effectuer les conversions suivantes

÷ 60 x 604,25h

192min

2) Conversion de durées en heures et minutes en durées en minutes

Il suffit de multiplier les heures par 60 et d’ajouter les minutes

2h 18min =

2 x 60 = 120min

120min + 18min = 138min

3) Conversion de durées en minutes en durée en heures et minutes

Il faut bien connaître la table de 60et faire une division euclidienne (avec un reste)

194min= 180min + 14min= 3x 60min + 14min= 3h et 14min

Exercice Utiliser ces techniques pour les conversions suivantes :

IV- Reconnaître et utiliser un mouvement uniforme

Lorsque la durée d ’un parcours est proportionnelle à la distance parcourue,on dit que le mouvement est uniforme. On peut donc utiliser un tableau de proportionnalité.

Exemple : Un train roule à 140km/h. Quelle distance parcourt-il en 1h15 ?

2 possibilités pour exprimer la durée :

Remarque : Il est en général plus facile d’exprimer la durée dans l’unité la plus petite (seconde, minute, heure)

IV- Reconnaître et utiliser un mouvement uniforme

Exercice 1 :Un cycliste parcourt d’un mouvement uniforme 54km en une heure et demie.Quelle distance peut-il parcourir en 2h45min?Combien de temps mettra-t-il pour parcourir 81km à la même vitesse ?

Phrases-réponses : a)En 2h45min, il parcourt ………..

b) Pour faire 81km, il lui faut ……..

Exercice 2 :Une hirondelle a un mouvement uniforme.Elle parcours en moyenne 1,3km en 1min

Quelle distance parcourt-elle en 30s ? En 3min20s ?Combien de temps lui faut-il pour parcourir 3,9km ? 325m ?

Phrases-réponses : …………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………

Exercice 3 : Calculs de vitessea) Une voiture a parcourue 54km en 25min ?

Quelle distance a-t-elle parcourue en 1h ?

Réponse : ………………………………….

Sa vitesse moyenne est donc de …….km/h

b) Le TGV effectue le trajet Lyon-Marseille (300km) en 1h40min.A quelle vitesse roule-t-il en moyenne ?

Petits problèmes de proportionnalité:Utiliser la méthode que vous préférez pour les résoudre.

Ex1: Une voiture consomme 7L d’essence pour faire 100km.Combien de litres faut-il pour faire 420km?

Ex2: 3,5kg de pommes coûtent 10€.Combien coûtent 5,6kg de pommes?

Ex 3: Une voiture parcours 15km en 12min.Combien parcourt-elle en 1h15min?

Ex 4: Une usine produit 120 pièces en 45min.a) Combien de pièce produit-elle en 3h?b) Combien de temps faut-il pour produire 1000 pièces?

Ex 5: Un vendeur a pour tarif 21€ par heure.Combien gagnera-t-il s’il travaille 2h20min?

Ex 6: Un cycliste a parcouru 195km en 5h12min.Quelle est sa vitesse moyenne?

Ex 7: Un jaguar peut parcourir 100m en 6s.a) S’il pouvait courir à cette vitesse pendant 1min, quelle distance

parcourrait-il?b) Quelle est sa vitesse (en km/h) ?

Exercice : Mach 2Le nombre de mach exprime la vitesse d'un objet par rapport à celle du son dans l'atmosphère (environ 340 m/s).a) Le concorde vole à mach 2 signifie qu'il vole deux fois plus vite que le son.

Quelle est sa vitesse en km/h?b) Au moment de la mise en orbite d'un satellite, une fusée va à 30 000 km/h.

Quelle est sa vitesse en mach? (arrondir au dixième).

Exercice : Ne pas rater son train !Karim part à 7h50 en courant à 10km/h vers la gare distante de 3 km. Arrivera-t-il à la gare avant le départ du train de 8h10 ?