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Prozesskontrolle und Prozessfähigkeit
LiteraturLedolter, Burrill, Statistical Quality Control: Kap.12: Statistical Process Control: Control Charts; Kap.13: Process Capability and Pre-Control Bergman, Klefsjö, Quality: Kap.12: 12: Control Charts; Kap.13: Capability
27.10.2004 Prozesskontrolle 2
Prozesskontrolle
Anwendung der Statistik zur Kontrolle (Beobachtung und Regelung) des Prozesses in Gegenwart von Prozessvariabilität Änderungen des Mittelwertes (Niveau, Level) Änderungen der Prozessvariabilität
Ist der Prozess „in Kontrolle“ (stabil)?
27.10.2004 Prozesskontrolle 3
Zielsetzung der Prozesskontrolle
Rasch entdecken, wenn der Prozess „außer Kontrolle“
Qualitätsverbesserung
27.10.2004 Prozesskontrolle 4
Shewhart-Karte
27.10.2004 Prozesskontrolle 5
Kontrollkarten
Zeitreihen-Darstellung von Prozess- oder Produktcharakteristika
Graphische Hilfe um festzustellen, ob Prozess „in Kontrolle“
Variabilität durch common (usual) causes vs. Variabilität durch special (assignable) causes
Alarm => Suche nach Ursachen Mittel, den Prozess (1) besser zu
verstehen und (2) zu verbessern
27.10.2004 Prozesskontrolle 6
Funnel-Experiment Lasse einen stabilen Prozess unverän-dert! Trichter- (funnel-) Experiment: Kugel rollt
durch Trichter; Ziel ist Nullpunkt, Kugel trifft im k-ten Versuch zk
Strategien: Trichter unverändert Verschiebe Trichter um –zk Verschiebe Trichter nach –zk
(Verschiebe Trichter nach zk)
27.10.2004 Prozesskontrolle 7
Bedeutung der Kontrollkarten
Anwendung heißt: Analyse (und Verstehen) des Prozesses oder Produktes
Produktentstehung ist wichtiger als fertiges Produkt; Produktionsprozess umfasst common causes und special causes (Deming: „nur 6% der Fehler durch special causes“)
Einfache Technik
27.10.2004 Prozesskontrolle 8
Anwendung der Kontrollkarte
Das Beantworten der zu lösenden Fragen gibt wichtige Einsichten:
Was (welche Charakteristika) soll kontrolliert werden?
Welche Standards sind zu erfüllen? Welche Messungen? Welcher Messvorgang? Welche Verarbeitung der Messungen?
27.10.2004 Prozesskontrolle 9
Prozess- vs. Annahmekontrolle Prozesskontrolle (PK) reduziert Fehler
und Kosten, Annahmekontrolle (AK) kommt zu spät
PK gibt Hinweise auf Ursachen für Mängel, bei AK kaum rekonstruierbar
PK erlaubt Verbesserungen PK erlaubt Anpassen an Anforderungen PK erlaubt Robustifizierung
27.10.2004 Prozesskontrolle 10
Kontrollkarten bei Dienstleistungen
Anwendungen bei IBM Kingston Vorschlagswesen (Dauer bis zur
Reaktion auf Vorschlag) Medizinische Einstellungsuntersuchung
(Dauer) Auftragsabwicklung (Anzahl der Fehler) Etc.
27.10.2004 Prozesskontrolle 11
Typen von Kontrollkarten Mittelwerts-Karte ( Karte) s-Karte (Standardabweichung) R-Karte (range) c-Karte (counts) p-Karte (proportion)
Für metrische Merkmale: Mittelwerts-, s- und R-Karte: Mittelwert und Variabilität müssen kontrolliert werden!
x
27.10.2004 Prozesskontrolle 12
Aufbau einer Kontrollkarte
Mittellinie (center line) untere Kontrollgrenze (lower control
limit, LCL) obere Kontrollgrenze (upper control
limit, UCL) Als Kontrollgrenzen sind 3-Grenzen
üblich (siehe unten)
27.10.2004 Prozesskontrolle 13
Verwendung einer Kontrollkarte
1. In regelmäßigen Intervallen: Ziehen einer Stichprobe (n=4 oder 5)
2. Für k-te Stichprobe: MWk, sk, Rk
3. Eintragen in Kontrollkarten
27.10.2004 Prozesskontrolle 14
Beispiel: Mittelwerts-Karte
nach zGWS gilt (näherungsweise): bei stabilem Prozess liegen 99.73% der Mittelwerte im Intervall
Ersetzen von durch , durch gibt
nn
3,
3
x3 3,
s sLCL x UCL x
n n
s
27.10.2004 Prozesskontrolle 15
Beispiel: Mittelwerts-Karte, Forts.
Alternativ schreiben wir mit A3 (aus der Tabelle)
Die Größen und werden in der Initialisierungsphase ermittelt
3 3,LCL x A s UCL x A s
x s
27.10.2004 Prozesskontrolle 16
Mean chart S-chart Range chart
n A3 A2 B3 B4 D3 D4 d2
2 2.659 1.880 0.000 3.267 0.000 3.267 1.128
3 1.954 1.023 0.000 2.568 0.000 2.575 1.693
4 1.628 0.729 0.000 2.266 0.000 2.282 2.059
5 1.427 0.577 0.000 2.089 0.000 2.115 2.326
6 1.287 0.483 0.030 1.970 0.000 2.004 2.534
7 1.182 0.419 0.118 1.882 0.076 1.924 2.704
8 1.099 1.373 0.185 1.815 0.136 1.864 2.847
9 1.032 0.337 0.239 1.761 0.184 1.816 2.970
10 0.975 0.308 0.284 1.716 0.223 1.777 3.078
11 0.927 0.285 0.321 1.679 0.256 1.744 3.173
12 0.886 0.266 0.354 1.646 0.283 1.717 3.258
13 0.850 0.249 0.382 1.618 0.307 1.693 3.336
14 0.817 0.235 0.406 1.594 0.328 1.672 3.407
15 0.789 0.223 0.428 1.572 0.347 1.653 3.472
16 0.763 0.212 0.448 1.552 0.363 1.637 3.532
17 0.739 0.203 0.466 1.534 0.378 1.622 3.588
18 0.718 0.194 0.482 1.518 0.391 1.608 3.640
19 0.698 0.187 0.497 1.503 0.403 1.597 3.689
20 0.680 0.180 0.510 1.490 0.414 1.586 3.735
27.10.2004 Prozesskontrolle 17
s-Karte
Bei stabilem Prozess liegen 99.73% der Standardabweichungen sk zwischen
B3 und B4 aus der Tabelle
3 4,LCL B s UCL B s
27.10.2004 Prozesskontrolle 18
R-Karte
Bei stabilem Prozess liegen 99.73% der Spannweiten Rk zwischen
D3 und D4 aus der Tabelle ist der Mittelwert der Rk aus der
Initialisierungsphase R-Karte ist einfacher, s-Karte zeigt eher
Änderung an
3 4,LCL D R UCL D R
R
27.10.2004 Prozesskontrolle 19
Bewertung von Kontrollkarten
Lauflänge (run length) RL: Zahl der Stichprobenwerte, bis eine Kontrollgrenze überschritten wird (die Kontrollkarte einen Alarm gibt)
Wahrscheinlichkeitsverteilung von RL:P(RL=k) = (1-w)k-1w, k = 1, 2, ...
mitw = P(Stichprobenwert liegt außerhalb Kontrollgrenzen)
27.10.2004 Prozesskontrolle 20
ARL, mittlere Lauflänge
ARL (average run length)ARL = E(RL) = 1/w
27.10.2004 Prozesskontrolle 21
Beispiel: Mittelwerts-Karte
Prozess in Kontrolle mit 0 und w = 1 P(LCL UCL)
= 0.0027und ARL = 1/0.0027 = 370
Prozess außer Kontrolle: = 0 + w = 1 P( 3 n Z 3 n)
x
27.10.2004 Prozesskontrolle 22
Praxis der Kontrollkarten
Konstruktion: Auswahl des Stichproben-Intervalls Auswahl des Stichproben-Umfanges Art der Stichprobe
Verwendung: Kleiner Stichproben-Umfang (4 oder 5): toleriert
kleine Kosten für (1) einzelne Messung, (2) Unterbre-
chung des Prozesses, (3) nicht entdecktes out-of-control Produkt
Stichproben unter homogenen Bedingungen
27.10.2004 Prozesskontrolle 23
Kontrollkarten für Attribute
p- und np-Karte: zur Kontrolle des Anteils von defekten Stücken
c-Karte: bei komplexen Produkte (zB ganzer PKW): zur Kontrolle der Anzahl der Defekte (nonconformities) an einem geprüften Stück
u-Karte: wie c-Karte, aber auf Einheit bezogen; i-te Stichprobe umfasst ni Einheiten
27.10.2004 Prozesskontrolle 24
Variablen- vs. Attributkontrolle
Variablenkontrolle: berücksichtigt mehr Information reagiert „rechtzeitig“ kleinere Stichproben
Attributkontrolle auch auf metrisch-skalierte Variable anwendbar
(brauchbar ja/nein) einfacher mehrere Merkmale gemeinsam robuster
27.10.2004 Prozesskontrolle 25
Mittelwerts-Karte mit Warngrenzen
Bedingungen für „außer Kontrolle“ eine Beobachtung außerhalb 3-Grenze mindestens zwei von drei Beobachtun-
gen in Reihe ober- oder unterhalb CL und außerhalb 2-Grenze
mindestens vier von fünf Beobachtun-gen in Reihe ober- oder unterhalb CL und außerhalb 1-Grenze
mindestens acht Beobachtungen in Reihe ober- oder unterhalb CL
27.10.2004 Prozesskontrolle 26
Warngrenzen: weitere Bedingungen
mindestens 15 Beobachtungen in Reihe innerhalb 1-Grenze ("hugging")
mindestens 15 Beobachtungen in Reihe außerhalb C ("Misch"-Prozess)
lange Folge von hoch-tief Beobachtungen ("Sägezahn")
Zyklen, Trend
27.10.2004 Prozesskontrolle 27
Effekte der Warngrenzen
Prozess außer Kontrolle wird rascher entdeckt (ARL kleiner)
Achtung! Auch ARL bei Prozess in Kontrolle wird kleiner!
27.10.2004 Prozesskontrolle 28
Beispiel: Mittelwertskarte
Entscheidung nach 1.: ARL(0) = 370ARL() = 33.9
Entscheidung nach 1. bis 4.: ARL(0) = 100
ARL() = 9
27.10.2004 Prozesskontrolle 29
Prozessüberwachung Ermittlung von und nur mit
Beobachtungen aus Prozess in Kontrolle Kontrollgrenzen nachjustieren!
Beispiel: Gewicht von Brotlaiben Aus Beobachtungen 1 bis 25: = 100.92 kg, =
1.74 kg, LCL = 98.44, UCL = 103.41 Aus Beobachtungen 1 bis 20: = 100.17 kg, =
1.70 kg, LCL = 97.74, UCL = 102.60
x
x
x
s
s
s
27.10.2004 Prozesskontrolle 30
Spezielle Kontrollkarten Kontrollkarten für Einzelwerte
Gleitende Spannweiten (moving range, MR) Karte: MRi = |xi-xi-1|, i = 1, 2, ..., LCL = 0, UCL = 3.267 MR-bar
Karte für individuelle Beobachtungen, LCL = 3 (MR-bar/1.128), UCL = …
CUSUM-Karte EWMA-Karte (: Glättungsparameter)
EWMAi = xi + (-l) EWMAi-1
x
27.10.2004 Prozesskontrolle 31
EWMA- und CUSUM-Karten
Vorteil: kleines ARL bei kleinen Störungen
Nachteil: komplizierter
27.10.2004 Prozesskontrolle 32
Neuere Entwicklungen
Kontrollkarten für seriell korrelierte Qualitäts-Charakteristika
Kontrollkarten für multivariate Qualitäts-Charakteristika
Kosten-optimale Kontrollkarten
27.10.2004 Prozesskontrolle 33
Prozessfähigkeit
Fähigkeit des (Produktions-) Prozesses, die Anforderungen des Kunden zu erfüllen
Anforderungen des Kunden Zielwert (Tg, target value) Untere Spezifikationsgrenze (LSL, lower
specification limit) Obere Spezifikationsgrenze (USL, upper
specification limit)
27.10.2004 Prozesskontrolle 34
Prüfen der Prozessfähigkeit
Graphische Darstellung des Prozesses zB Histogramm: optischer Eindruck der Prozessfähigkeit des Anteils, der die Anforderungen nicht
erfüllt Fähigkeitsindizes Pre-control Karte
27.10.2004 Prozesskontrolle 35
Fähigkeitsindizes
sind Indexzahlen, die das Ausmaß messen, in dem ein Prozess die Anforderungen des Kunden erfüllt.
Cp-Fähigkeitsindex Cpk- Fähigkeitsindex Cpm- Fähigkeitsindex CR- FähigkeitsindexEngl.: capability indices
27.10.2004 Prozesskontrolle 36
Cp-Fähigkeitsindex
Cp = (USL − LSL)/(6)
misst die zulässige Streuung des Prozesses als Anteil an der tatsächlichen Streuung
27.10.2004 Prozesskontrolle 37
Cp-Fähigkeitsindex: Beispiel
Normalverteilte Qualitätsvariable wenn = Tg, enthält der ±3-Bereich
99.73% der Produkte Cp = 1 bedeutet: 0.27% sind defekt
wenn = Tg
Achtung! Cp sagt nichts darüber aus, wie groß der Anteil der defekten tatsächlich ist!
27.10.2004 Prozesskontrolle 38
Cp und Anteil der Defekten
Cp Bereich Def.ppm
1.00 ±3 2699.93
1.33 ±4 63.37
1.67 ±5 0.57
2.00 ±6 0.002
27.10.2004 Prozesskontrolle 39
Cp-Fähigkeitsindex: Forts.
Viele Unternehmen verlangen ein Cp von 1.33!
Schätzung von Cp: wird durch s ersetzt
Cp-hat = (USL − LSL)/(6s) Beispiel:
Cp-hat(Breite) = (4.03-3.97)/6(0.008) = 1.25; Cp-hat(Stärke) = (0.265-0.235)/6(0.00421) =
1.19.
27.10.2004 Prozesskontrolle 40
Cpk-Fähigkeitsindex
Cpk = Min {USL − , − LSL}/(3)
geschätzter Cpk: und werden durch x-bar und s ersetzt
Cpk-hat = Min {USL − x-bar, x-bar − LSL}/(3s)
27.10.2004 Prozesskontrolle 41
Cpk-Fähigkeitsindex: Beispiel
Cpk-hat(Breite) = Min{4.03-3.9947, 3.9947-3.97}/3(0.008) =Min {0.0353, 0.0247}/0.024 = 1.03
Cpk-hat(Stärke) = Min {0.265-0.24894, 0.24894-0.235}/3(0.00421) = 1.10.
27.10.2004 Prozesskontrolle 42
Cpm-Fähigkeitsindex
Cpm = (USL − LSL)/(6)
mit (*)2 = 2 + ( − Tg)2 Es gilt
Cpm = Cp /√[1 + ( − Tg)2/ 2] je größer | − Tg|, umso kleiner wird Cpm
gegenüber Cp
27.10.2004 Prozesskontrolle 43
Cpm-Fähigkeitsindex: Schätzung
Cpm-hat = (USL − LSL)/(6s)
mit (s*)2 = i (xi − Tg)2/(n − 1), oder
Cpm-hat = (USL − LSL)/{6√[s2 +
(x-bar − Tg)2]}
27.10.2004 Prozesskontrolle 44
Cpm-Fähigkeitsindex: Beispiel
Cpm-hat(Breite) = (4.03−3.97)/ {6√[(0.008)2 + (3.9947−4.00)2]} = 1.04
Cpk-hat(Stärke) = (0.265−0.235)/ {6√[(0.00421)2 +(0.24894−0.25)2]} = 1.15.
27.10.2004 Prozesskontrolle 45
CR-Fähigkeitsindex, Target-Z
Fähigkeitsverhältnis (capability ratio)
CR = 1/Cp
Anteil der zulässigen Streuung des Prozesses, den die tatsächliche Streuung ausnützt
Target-Z: Maß für Abweichung zwischen und Tg
Target-Z = (Tg − )/
27.10.2004 Prozesskontrolle 46
CR-Fähigkeitsindex, Target-Z
CR und Target-Z gemeinsam erlauben die Beurteilung der Prozessfähigkeit
je kleiner CR und je kleiner |Target-Z|, umso besser
Beispiel: Procter & Gamble: CR < 0.75 (entspricht Cp > 1.33);
|Target-Z| < 0.5 ( muss innerhalb von /2 von Tg liegen)
27.10.2004 Prozesskontrolle 47
CR und Target-Z: Beispiel
CR-hat(Breite) = 0.8 Target-Z-hat(Breite) =
(4.00−3.9947)/(0.008) = 0.66
CR-hat(Stärke) = 0.84 Target-Z-hat(Stärke) =
(0.25−0.24894)/(0.00421) = 0.25
27.10.2004 Prozesskontrolle 48
Six Sigma
Teil des TQM-Konzepts von Motorola Anforderungen:
so, dass LSL und USL mindestens 6 von Tg (USL−Tg, Tg−LSL ≥ 6)
höchstens 1.5 von Tg (| – Tg| < 1.5) Prozess mit normalverteilter Qualitäts-
variabler produziert maximal 3.4 defekte Stücke per Million!
27.10.2004 Prozesskontrolle 49
Six Sigma: Forts.
Bei X ~ N(Tg + 1.5, 2)
P(defektes Stück)= 1 – P(Tg−6 X Tg+6)
= 1 – P(-7.5 X 4.5) 1 – (4.5) = 0.0000034
Beachte! Cp=2; Cpk = 1.5, wenn = Tg + 1.5
27.10.2004 Prozesskontrolle 50
Fähigkeitsindizes in der Praxis
Gutes Instrument zur Dokumentation Wahl von LSL und USL entscheidend Normalverteilungsannahme Stabiler Prozess vs. fähiger Prozess Schätzung der Fähigkeitsindizes
27.10.2004 Prozesskontrolle 51
Normalverteilungsannahme
Bei Nichtzutreffen irreführend! Beispiel
X ~ U(-1, 1), so dass = 0, = 0.577 seien LSL = -1.5, USL = 1.5 die Wahrscheinlichkeit für defekte Produktion ist
Null! Aber Cp = 3/(6*0.577) = 0.87!
Achtung! Bei light-tail Verteilungen ist der Prozess fähiger, als es Fähigkeitsindizes anzeigen; und umgekehrt.
27.10.2004 Prozesskontrolle 52
Schätzung der Fähigkeitsindizes
einfache Stichprobe nicht ausreichend aus Prozesskontrolle:
(n) (A3) (s-bar)/3 oder (n) (A2) (R-bar)/3 als Schätzer für (besser als s-bar!)
x-barbar als Schätzer für Voraussetzung: stabiler Prozess!
27.10.2004 Prozesskontrolle 53
Konfidenzintervall für Cpk
Cpk {1 ± 2√[1/(9nCpk2)+1/(2(n-1))]}
n: Zahl der Beobachtungen zum Schätzen von Cpk
Voraussetzung: Normalverteilter Prozess
27.10.2004 Prozesskontrolle 54
Pre-Control Karte Kontrolle der Fähigkeit; analog zur
Mittelwertskarte CL: Tg PC-lines: Tg ± |USL- Tg|/2 schließen grüne
Zone ein Gelbe Zonen: PC-line bis LSL bzw. USL Rote Zonen: außerhalb LSL bis USL
27.10.2004 Prozesskontrolle 55
Pre-Control Karte: Verfahren Probelauf (PLauf):
5x in GrZ: Beginne Standardprüfung Wiederhole, wenn 1x in GeZ Justiere, wenn 2x in GeZ oder 1x in RZ
Standardprüfung: Ziehen von Paaren 2 in GrZ oder je 1x in GrZ und GeZ: OK 2 in gleicher GeZ: justiere Niveau, PLauf 2 in versch. GeZ: justiere Prozess, PLauf ≥1 in RZ: justiere Prozess, PLauf
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