prueba usil

Semana 5 Sistemas de ecuaciones

Matemática Básica

Ecuaciones lineales con dos variables

a. Resuelva la siguiente ecuación: x + y = 7.

b. Resuelva la siguiente ecuación: x y = 3.

¿Existe alguna solución común para ambas ecuaciones?

Hay varias soluciones: x=3, y=4; x=5, y=2; x=-1, y=8.

Hay varias soluciones: x=4, y=1; x=5, y=2; x=8, y=5.

Sí: x=5, y=2.

Sistemas de ecuaciones

30813291114

Un sistema de ecuaciones es la reunión de dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas.

Ejemplos:

3289521

Solución de un sistema de ecuaciones

La solución de un sistema de ecuaciones es un grupo de valores de las incógnitas que satisface todas las ecuaciones del sistema.

Para resolver un sistema de ecuaciones es necesario llegar a una sola ecuación con una sola incógnita.

Métodos para resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

En este curso veremos tres métodos:

Método de igualación

Método de sustitución

Método de reducción o eliminación

MÉTODO DE IGUALACIÓN

Resuelva el sistema:

374835

Despejamos de las dos ecuaciones la misma variable, igualamos y obtenemos una ecuación con una sola variable, y luego resolvemos dicha ecuación.

Verificamos las respuestas.

374835

Despejemos x de las dos ecuaciones:

835 yx5

374 yx4

yy )37(5)83(4 yy

15353212 yy

14242 yy1x

La solución es un par ordenado: (1; -1).

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

25432527

Despejamos una variable de una de las ecuaciones, la sustituimos en la otra y resolvemos la ecuación.

25432527

Despejemos x de la primera ecuación:

112515 y

Sustituyamos este valor de x en la segunda ecuación: 25)

73252(4

1757)3252(4 yy

175713008 yy75y 25x

La solución es un par ordenado: (25; -75).

MÉTODO DE REDUCCIÓN o ELIMINACIÓN

29523635

Multiplicamos las dos ecuaciones por dos números distintos con la intención de reducir o eliminar una de las variables al sumar las ecuaciones resultantes.

29523635

Si queremos eliminar las “y” multiplicaremos la primera ecuación por 5, que es el coeficiente de “y” en la segunda ecuación; y multiplicaremos la segunda ecuación por 3, que es el coeficiente de “y” en la primera ecuación.

)2952(3)3635(5

1801525yxyx

Al sumar las dos ecuaciones resultantes se eliminan las “y” y queda que: 31x = -93, lo cual nos da que x = -3; con lo cual obtenemos que y = 7, lo cual nos

da el par ordenado (-3; 7).

Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones

4(y 2)

1431652yxyx

Utilizaremos el método de eliminación y eliminaremos las “y”.

1431652yxyx

)143(5)1652(4

5201564208

La solución es un par ordenado: (3; 2).

Lo primero que haremos es escribir cada una de las ecuaciones en una forma más simple. Vamos a multiplicar ambos miembros de la primera ecuación por 15 y ambos miembros de la segunda ecuación por 12.

4(y 2)

36)3(2)53(315)2(12)52(5

36621591524122510

57291125

3421254)5729(611251125

yxyxyxyx

3;73734349

ordenadoParyxx

Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones

6161024159

301510421812yxyx

6161024159

1610624159

)16106(15)24159(10

2401509024015090

Al sumarse las dos ecuaciones, se eliminan las dos variables, y queda 0 = 0, lo cual es verdadero, lo que implica que el sistema de ecuaciones tienen infinitas soluciones formadas por pares ordenados.

301510421812yxyx

301510421812

)301510(12)421812(10

)360180120420180120

Al sumarse las dos ecuaciones, se eliminan las dos variables, y queda 0 = 60, lo cual es falso lo que implica que el sistema de ecuaciones no tiene solución.

Modelaciones con sistemas de ecuaciones

1. En el cine Tumi, los días martes y jueves, el boleto para adultos cuesta $ 7 y para niños cuesta $ 5. Para una determinada función se venden en total 172 boletos. Si se recaudó en total $ 1130, ¿cuántos adultos y cuántos niños asistieron al cine?

1. Solucionario:

Supongamos que se compran “x” boletos para adultos e “y” boletos para niños.

172 yx113057 yx

Al resolver este sistema de ecuaciones por alguno de los métodos vistos en las diapositivas anteriores (podría ser eliminación) se obtiene que x = 135, y que y = 37, con lo cual podemos afirmar que asistieron al cine 135 adultos y 37 niños.

2. La gerente de un restaurante desea adquirir 200 juegos de platos. Un diseño cuesta $ 25 por juego y otro cuesta $ 45 por juego. Si ella sólo desea gastar $ 7400, ¿cuántos juegos de cada diseño debe adquirir?

2. Solucionario:

Supongamos que se compran “x” juegos de $ 25 e “y” juegos de $ 45.

200 yx74004525 yx

Al resolver este sistema de ecuaciones por alguno de los métodos vistos en las diapositivas anteriores (podría ser sustitución) se obtiene que x = 80, y que y = 120, con lo cual podemos afirmar que se compraron 80 juegos de $ 25 cada uno y 120 juegos de $ 45 cada uno.

3. El perímetro de un cuarto rectangular es de 18 m; se sabe que 4 veces el largo equivale a 5 veces el ancho. Calcule las dimensiones del cuarto.

3. Solucionario:

Supongamos que el ancho mide “x” metros y que el largo mide “y” metros. Las dos ecuaciones que se forman son:

1822 yx

9 yx xy 9

xx 5)9(4

xx 5436 x936

El cuarto mide 5 metros de largo y 4 metros de ancho.

4. El perímetro de una sala rectangular es de 56 m. Si el largo se disminuye en 2 m y el ancho se aumenta en 2 m, la sala se hace cuadrada. Calcule las dimensiones de la sala.

Solucionario 4: Supongamos que el ancho mide “x” metros y que el largo mide “y” metros. Las ecuaciones que se forman son:

28;5622 yxyx22 xy

Al resolver el sistema de ecuaciones se obtiene x = 12 e y = 16; con lo cual el ancho mide 12 metros y el largo mide 16 metros.

5. Si sumamos 8 a ambos términos de una fracción obtenemos una fracción equivalente a 9/11, y si en cambio restamos 3 a ambos términos de la fracción obtenemos una fracción equivalente a 8/11. Calcule la fracción original.

5. Solucionario:

)8(9)8(11 yx

)3(8)3(11 yx

2483311 yx

Supongamos que la fracción original es: yx

7298811 yx16911 yx

9811 yx

Al resolver el sistema se obtiene x = 19; y = 25.

6. El señor Rodríguez deposita un total de $ 8000 en dos cuentas de ahorro. Una cuenta le paga una tasa de 10% de interés anual y la otra cuenta le paga una tasa de 8% de interés anual. Encuentre la cantidad colocada en cada cuenta si recibe por concepto de intereses un total de $ 750 al cabo de un año.

Solucionario 6: Supongamos que el Señor Rodríguez deposita “x” dólares a la

tasa de 10% de interés anual e “y” dólares a la tasa de 8% de interés anual.

Las ecuaciones que modelan el problema son:

8000 yx750

Al resolver el sistema se obtiene x = $ 5500; y = $ 2500.

7. Una agencia especializada en alquilar vehículos cobra una tarifa diaria y una tarifa por kilómetro recorrido. El señor Gálvez pagó $ 85 por dos días y 100 kilómetros y el señor Montes pagó $ 165 por tres días y 400 kilómetros. ¿Cuál es la tarifa diaria de la agencia y cuál es su tarifa por kilómetro?

Solucionario 7: Supongamos que la tarifa diaria de la agencia es de “x” dólares y que la

tarifa por kilómetro es de “y” dólares.

Las ecuaciones que modelan el problema son:

851002: yxGálvez1654003: yxMontes

Al resolver el sistema se obtiene x = $ 35; y = $ 0,15.

8. Un vendedor de electrodomésticos gana mensualmente un salario fijo más un porcentaje de las ventas como comisión. Cierto mes su ingreso por ventas valorizadas en $ 4000 fue de $ 660. En el mes siguiente su ingreso por ventas valorizadas en $ 6000 fue de $ 740. Encuentre el salario mensual fijo y el porcentaje de comisión del vendedor.

Solucionario 8: Supongamos que el vendedor tiene un salario

mensual fijo de “x” dólares y que su comisión de ventas es de “y%”. Las ecuaciones que modelan el problema son:

6604000100

7406000100

Al resolver el problema se obtiene que x = 500 y que y = 4; con lo cual el salario fijo del vendedor es de 500 dólares y gana 4% de comisión en las ventas que hace.

Ecuaciones de segundo grado o ecuaciones cuadráticas

Ecuaciones de segundo grado (o ecuaciones cuadráticas)

donde a, b y c son coeficientes numéricos cualesquiera con a ≠ 0; y donde “x” es la incógnita o variable.

02 cxbxa

Término lineal

Término independiente

Término cuadrático

Son ecuaciones donde el mayor exponente de la incógnita es dos, es decir, son ecuaciones de la forma general:

Ejemplos de ecuaciones cuadráticas

a. x2 + 24 = 5xb. 2x2 + 3x = 65c. 5x2 = 20d. 4x2 = 9x

En todos las ecuaciones de arriba observamos que se tiene a la variable o incógnita “x” elevada al cuadrado en alguno de sus términos. Todas estas ecuaciones se pueden expresar en la forma general de una ecuación cuadrática.

a. x2 + 5x + 24 = 0b. 2x2 + 3x 65 = 0

c. 5x2 20 = 0d. 4x2 9x = 0

Ejemplos de ecuaciones cuadráticas

x2 + 5x + 24 = 0;

2x2 + 3x 65 = 0;

5x2 20 = 0;

4x2 9x = 0;

a = 1; b = 5; c = 24

a = 2; b = 3; c = 65

a = 5; b = 0; c = 20

a = 4; b = 9; c = 0

Determine los valores de a, b y c en las ecuaciones de la diapositiva anterior.

Propiedad básica de ecuaciones

A × B = 0

El producto de dos factores es igual a cero si y sólo si alguno de los factores es igual a cero.

A = 0 ó B = 0

Resolución de ecuaciones cuadráticas incompletas

02 cxa ; b = 0Caso 1:

0812 xSe expresa la ecuación en su forma general:

0)9()9( xxSe factoriza por diferencia de cuadrados:

09 x 09 xóSe aplica la propiedad básica:

91 x 92 xSe resuelve cada ecuación: ó

812 xResuelva la siguiente ecuación:

91 x 92 xLa ecuación dada tiene dos raíces: ó

812 xOtra forma de resolver la ecuación:

02 cxa ; b = 0Caso 1:

0254 2 xSe expresa la ecuación en su forma general:

0)52()52( xxSe factoriza por diferencia de cuadrados:

1 x 5,225

2 xSe resuelve cada ecuación: ó

254 2 xResuelva la siguiente ecuación:

5,21 x 5,22 xLa ecuación dada tiene dos raíces: ó

254 2 xOtra forma de resolver la ecuación:

5,21 x 5,22 xLa ecuación dada tiene dos raíces: ó

25,64252 x

02 bxax ; c = 0Caso 2:

052 xxSe expresa la ecuación en su forma general:

0)5( xxSe factoriza por factor común:

0x 05 xóSe aplica la propiedad básica:

xx 52 Resuelva la siguiente ecuación:

02 bxax ; c = 0Caso 2:

032 2 xxSe expresa la ecuación en su forma general:

0)32( xxSe factoriza por factor común:

0x 032 xóSe aplica la propiedad básica:

0x 32 2 xSe resuelve cada ecuación: ó

xx 32 2 Resuelva la siguiente ecuación:

01 x 5,12 xLa ecuación dada tiene dos raíces: ó

Propiedades Se observa que las ecuaciones incompletas

de la forma: ax2 + c = 0, tienen dos raíces numéricamente iguales pero de signo contrario.

Se observa que las ecuaciones incompletas de la forma: ax2 + bx = 0, tienen dos raíces, de las cuales una vale cero.

Resolución de ecuaciones cuadráticas completas

0104 xxSe factoriza por aspa simple:

40142 xxResuelva la siguiente ecuación:

Caso 3: Factorización por aspa simple

La ecuación dada tiene dos raíces: ;41 x 102 x

07253 xxSe factoriza por aspa simple:

1 x 27

35116 2 xxResuelva la siguiente ecuación:

Caso 3: Factorización por aspa simple

La ecuación dada tiene dos raíces: ;3211 x 5,32 x

Caso 4: Factorización por trinomio cuadrado perfecto

Se factoriza por trinomio cuadrado perfecto: 0)3( 2 x

La ecuación dada tiene dos raíces repetidas: 321 xx

Caso 4: Factorización por trinomio cuadrado perfecto

Se factoriza por trinomio cuadrado perfecto: 0)56( 2 x

La ecuación dada tiene dos raíces repetidas: 65

Resolución de ecuaciones cuadráticas utilizando la fórmula general

,02 cxbxaToda ecuación de la forma:

tiene dos raíces que se pueden determinar utilizando la fórmula general:

aacbbx

donde la cantidad b2 4ac se conoce como el discriminante de la ecuación y se representa por Δ.

Consecuentemente si:

la fórmula general se puede reescribir de la siguiente manera:

,42 acb

Vamos a resolver algunas de las ecuaciones que ya hemos resuelto factorizando, pero con la ayuda de la fórmula general para que vean que obtenemos las mismas raíces.

40142 xxResuelva la siguiente ecuación:

040142 xxPrimero igualamos la ecuación a cero:

Luego identificamos los valores de: a = 1; b = 14; c = 40

Calculamos el determinante: Δ = b2 4ac

36)40)(1(4)14( 2

)1(236)14(

;10220

Consecuentemente como ya sabemos que:

las raíces las obtenemos con la fórmula general:

La ecuación dada tiene dos raíces: x1 = 10; x2 = 4.

035116 2 xxPrimero igualamos la ecuación a cero:

961)35)(6(4)11( 2

123111

)6(2961)11(

;5,327

123111

0256036 2 xxPrimero igualamos la ecuación a cero:

0)25)(36(4)60( 2

)36(2060

0812 xPrimero igualamos la ecuación a cero:

324)81)(1(402

)1(23240

182180

x 9218

052 xxPrimero igualamos la ecuación a cero:

25)0)(1(4)5( 2

)1(2255

Caso especial de ecuaciones cuadráticas

Lo cual no es cierto ya que: 52 + 25 = 25 + 25 = 50 ≠ 0; y también tenemos que: (5)2 + 25 = 25 + 25 = 50 ≠ 0.

51 x 52 xEn esta ecuación muchos alumnos me responden que: ó

252 xEstamos en el Caso 1 con lo cual se podría escribir:

Con lo cual: 25x

.25 realnúmerounesnoPero

Leonhard Euler resuelve en el año 1777 el impasse surgido con las raíces cuadradas de números negativos al definir la unidad imaginaria “i” de la siguiente manera:

1)1(: 22 icualloCon

Leonhard Euler inventa los números imaginarios y los escribe en términos de “i”.

49)1(497)7( 222 ii

64)1(64)8()8( 222 ii

Con la definición dada por Euler para el número “i” se pueden elevar números imaginarios al cuadrado y obtener números negativos.

Con la definición dada por Euler para el número “i” se puede calcular la raíz cuadrada de números negativos.

i121144)1(144144

i161256)1(256256

Resuelva la ecuación: 0252 x252 xSe puede escribir:

ix 5252

ixix 5;5 21

Resolución de ecuaciones cuadráticas

Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas.

0122 xx1.

0144 2 xx3.

02082 xx5.

)1110(.2 xx

xxxxx 265133214 4.

0122 xx1. 1,2;1 cba

844)1)(1(422

)1(282

21;21 21 xxEstas dos raíces son números

irracionales.

)1110(.2 xx 3)1110( xx

031110 2 xx 3;11;10 cba

1)3)(10(4)11( 2

0144 2 xx3. 1;4;4 cba

0)1)(4(4)4( 2

)4(20)4(

Cuando en una ecuación el discriminante sale cero es porque el trinomio es un trinomio cuadrado perfecto y las raíces son repetidas.

xxxxx 265133214 4.

xxxxxxx 26515332128 22

51233108 22 xxxx

0225 2 xx 36)2)(5(4)2( 2

iix 6,02,010

02082 xx5.

16)20)(1(4)8( 2

iix 242

ixix 24;24 21

Estas dos raíces que tienen una parte real y una parte imaginaria se llaman raíces complejas conjugadas.

Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas

2251 xxx

3442 22 xx

2;4 21 xx

1;7 21 xx

21ixix

Propiedades del discriminanteSi el discriminante es positivo (Δ > 0) la ecuación tiene dos raíces reales distintas.

Si el discriminante es igual a cero (Δ = 0) la ecuación tiene dos raíces reales iguales y el trinomio es un trinomio cuadrado perfecto.Si el discriminante es negativo (Δ < 0) la ecuación tiene dos raíces imaginarias o dos raíces complejas conjugadas.

Propiedades del discriminante

Si el discriminante es un cuadrado perfecto el trinomio se puede factorizar y las raíces son números racionales.

Si el discriminante no es un cuadrado perfecto el trinomio no se puede factorizar y las raíces son números irracionales.

Modelaciones con ecuaciones cuadráticas

1. Alfredo es 11 años mayor que Rosita y la suma de los cuadrados de ambas edades es 4385. Calcule ambas edades.

Supongamos que Rosita tiene “x” años con lo cual Alfredo tendrá “x + 11” años. La ecuación que modela la pregunta es: 4385)11( 22 xxAl resolver esta ecuación se obtienen dos valores para x: x1 = 52; x2 = 41. Se elimina la respuesta negativa ya que una edad no puede ser negativa, con lo cual Rosita tiene 41 años y Alfredo tiene 52 años.

2. La longitud de un rectángulo excede al triple del ancho en 5 m y el área mide 182 metros cuadrados. Calcule el perímetro del rectángulo.

Si consideramos que el ancho del rectángulo mide “x” metros, entonces el largo medirá “3x + 5”, con lo cual la ecuación que modela la pregunta será:

182)53( xx

Al resolver esta ecuación se obtienen dos valores para x: x1 = 8,6666….; x2 = 7. Se elimina la respuesta negativa ya que una dimensión de un rectángulo no puede ser negativa, con lo cual el ancho mide 7 metros y la longitud mide 26 metros. El perímetro mide 66 metros.

3. La suma de dos números es 37 y su producto es 322. Calcule los números.

Supongamos que los números son “x” e “y”; con los datos de la pregunta se formará un sistema de ecuaciones.

322)37( xx

32237 2 xx 322370 2 xx

14;23 11 yx 23;14 22 yx

4. César compra una determinada cantidad de artículos por un total de $ 450. Después de un tiempo regresa a comprar con la misma cantidad de dinero, pero se da con la sorpresa que cada artículo ha subido $ 3, por lo que se vio obligado a comprar 5 artículos menos. Determine la cantidad de artículos que compró al inicio y su precio.

César compró al inicio “x” artículos a “y” dólares cada uno; con los datos de la pregunta se formará un sistema de ecuaciones.

450)3)(5( yx

4501553 yxxy

4501553450 yx

01553 yx3

155 yx

450)3)(5( yx

155( yy

1350155 2 yy

01350155 2 yy 027032 yy

18;15 21 yy 30;15 xy

5. Un colegio parroquial necesita un total de $ 3600 para obras y un grupo de alumnos del primer ciclo de CPEL decide hacer la donación en partes iguales. Enterados los del tercer ciclo, dos de ellos ofrecen colaborar y con ello se reduce el aporte de cada uno en $ 150. Determine el total de alumnos que realizaron la donación.

Supongamos que inicialmente son “x” alumnos y que cada uno aporta “y” dólares. Las ecuaciones que modelan el problema son:

3600xy 3600)150)(2( yx

Al resolver el sistema se obtiene que x = 6 e y = 600; lo cual significa que al principio eran 6 alumnos que iban a aportar $ 600 cada uno. Al final fueron 8 alumnos que realizaron la donación y cada uno aportó $ 450.

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