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Problemas de razonamientoSistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas
Punto de Equilibrio.G. Edgar Mata Ortiz
licmata@hotmail.com
http://licmata-math.blogspot.com/
http://www.scoop.it/t/mathematics-learning
http://www.slideshare.net/licmata/
http://www.facebook.com/licemata
Twitter: @licemata
“In mathematics, the art of proposing a
question must be held of higher value than
solving it ”George Cantor (1845 – 1918)
Problemas de razonamiento
Estos problemas muestran algunas de
las aplicaciones de la matemática a
diferentes situaciones de la vida real.
Problemas de razonamiento
En el presente documento se plantea un tema
relacionado con la vida profesional; el uso de
la matemática para la elección de un curso de
acción o toma de decisiones.
Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas
Algunos aspectos a tener en cuenta
El problema real está simplificado para que pueda ser
solucionado empleando solamente las herramientas
matemáticas que se están estudiando: Sistemas de dos
ecuaciones con dos incógnitas
Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas
Algunos aspectos a tener en cuenta
Debe prestarse atención a dos aspectos del problema:
El planteamiento y la resolución.
Punto de equilibrio
La base teórica de este problema es el punto de
equilibrio entre los costos en que se incurre para
producir un artículo, y los ingresos por su venta.
Se le llama punto de equilibrio a la cantidad de
artículos que deben producirse y venderse para
que no haya pérdidas ni ganancias.
Se asume que todos los artículos que se producen, son vendidos.
Ejemplo (Parte 1)
En la fábrica de
computadoras HAL se
incurre en costos fijos de
$750,000 mensuales
para fabricar el modelo
Netbook-9000, la cuál
tiene un costo unitario de
manufactura de $2,800.
Ejemplo (Parte 1)
Si cada unidad
se vende al
distribuidor en
$3,500
¿Cuál es el
punto de
equilibrio?
Ejemplo (parte 2)
Debido a problemas de operación, el costo
unitario de producción de la Netbook-9000
aumentó a $3,020.
Ejemplo (parte 2)
Debido a problemas de operación, el costo
unitario de producción de la Netbook-9000
aumentó a $3,020.
Si no se desea alterar el precio de venta,
¿cuál es el nuevo punto de equilibrio?
Ejemplo (parte 3)
Si el costo fijo se mantiene constante a pesar
del aumento en el costo unitario de
producción, y el pronóstico de ventas indica
que se venderán 1,500 piezas por mes, ¿es
conveniente, económicamente, mantener el
precio de venta? Justifica tu respuesta.
Ejemplo (Parte 4)
Uno de los componentes de la Netbook-9000 se
compra a un proveedor internacional.
Ejemplo (Parte 4)
El jefe de ingeniería propone que, si se deja de
comprar dicho componente para fabricarlo
dentro de la empresa, se aumenta el costo fijo
de la Netbook a $850,000 pero se reduce el
costo unitario de producción a $2,700.
Ejemplo (Parte 4)
Si la demanda pronosticada sigue siendo de
1,500 piezas mensuales, ¿Es conveniente llevar
a cabo el cambio propuesto? Justifica tu
respuesta
Desde el punto de vista del planteamiento y
solución del problema, en realidad se trata de cuatro
problemas que se resolverán consecutivamente.
Resolución de la primera parte
Comprensión del problema
En la fábrica de computadoras HAL se
incurre en costos fijos de $750,000
mensuales para fabricar el modelo Netbook-
2015, la cuál tiene un costo unitario de
manufactura de $2,800.
Resolución de la primera parte
Comprensión del problema
Si cada unidad se vende al distribuidor en
$3,500, ¿cuál es el punto de equilibrio?
Resolución de la primera parte
El primer paso es comprender el problema, esto
significa que debemos:
1. Identificar claramente las cantidades
desconocidas involucradas en el problema
2. Reconocer los datos con los que contamos
3. Determinar las relaciones entre las cantidades
desconocidas y los datos
4. Clarificar: Qué nos preguntan
Resolución de la primera parte
Número de computadoras que
se van a fabricar y vender.
Costo de fabricación de ese
número de computadoras.
Ingresos por las computadores
vendidas.
Resolución de la primera parte
Datos:Costo fijo = $750,000
mensuales
Costo unitario = $2,800
Precio de venta = $3,500
Resolución de la primera parte
Costo total = costo fijo +
costo variable
Ingresos = precio de
venta por número de
piezas fabricadasPunto de equilibrio:
Costo total = Ingresos
Resolución de la primera parte
¿Cuál es el
punto de
equilibrio?
Resumen del primer paso
Comprender el problema
Identificar las cantidades desconocidas:
Número de computadores que se van a fabricar y vender, costo de fabricación e ingreso.
Datos disponibles:
Costo fijo = $750,000 /mes , costo unitario = $2,800, precio de venta = $3,500
Relaciones entre cantidades desconocidas y datos:
Costo total = Costo fijo + Costo variable,
Ingresos=Precio de venta por número de piezas
Punto de equilibrio: Costo total = Ingreso
¿Qué es lo que nos preguntan?
Punto de equilibrio: Cantidad de piezas a fabricar y vender para que no haya pérdidas ni ganancias.
Este primer paso resulta muy largo de explicar
debido a que estamos tratando de poner por
escrito lo que sucede en la mente de la persona
que está analizando el problema.
Más adelante ordenaremos la información de tal
forma que sea posible, para cualquier persona,
seguir la línea de razonamientos que condujo al
planteamiento y resolución del problema.
Resumen del primer paso.
Resolución de la primera parte
El segundo paso es expresar algebraicamente las
cantidades desconocidas y sus relaciones:
1. Identificar una de las cantidades desconocidas
como la incógnita x.
2. Si es posible, expresar alguna(s) de las otras
cantidades desconocidas en términos de x.
3. Identificar otra cantidad desconocida como la
incógnita y.
4. Si es posible, expresar alguna(s) de las otras
cantidades desconocidas en términos de y.
Resolución de la primera parte
Naturalmente, este segundo paso se basa en el
resultado final del paso anterior.
Cantidad desconocida Información o relación con otras
cantidades
Expresión
algebraica
Número de piezas que
se van a fabricar
La primera cantidad desconocida
se toma como incógnita xNúmero de piezas que
se van a vender
Se considera que se vende todo
lo que se fabrica xCosto total de
producción
Se tomará como segunda
incógnita porque no se relaciona,
directamente, con equis.y
Ingresos por ventas En el punto de equilibrio, los
costos y los ingresos son iguales y
Si el primer paso se realizó correctamente, el
segundo paso es una simple traducción.
Debe traducirse entre el lenguaje natural, que es
la forma en que está escrito el problema, y el
lenguaje algebraico, done aparecen relaciones
algebraicas entre unas incógnitas y otras o entre
incógnitas y datos.
Resumen del segundo paso.
TRADUCCIÓN
Resolución de la primera parte
El tercer paso consiste en obtener las dos
ecuaciones con dos incógnitas
1. Mediante conocimientos propios o información
contenida dentro del problema, debemos
relacionar una incógnita con otra y con los
datos del problema.
2. Este proceso se lleva a cabo en dos ocasiones
para obtener el sistema de dos ecuaciones con
dos incógnitas.
Resolución de la primera parte
El tercer paso consiste en obtener las dos
ecuaciones con dos incógnitas
Obtener primera ecuación:
Costo total = Costo fijo + Costo variable
CT = CF + Costo unitario x Número de piezas
CT = CF + CU x NP
y = 750,000 + 2,800(x)
y = 2,800x + 750,000
Esta última expresión algebraica es la ecuación 1.
Resolución de la primera parte
El tercer paso consiste en obtener las dos
ecuaciones con dos incógnitas
Obtener segunda ecuación:
Ingreso = Precio de venta x Núm. de piezas
I = PV x NP
y = 3,500(x)
y = 3,500x
Esta última expresión algebraica es la ecuación 2.
La obtención de las ecuaciones se basa en conocimientos
previos, algún dato del problema o una combinación de
las dos cosas.
En este caso se utilizaron conocimientos acerca de costo
total e ingreso y algunos datos.
El resultado es un sistema de dos ecuaciones con dos
incógnitas
Ecuación 1: y = 2,800x + 750,000
Ecuación 2: y = 3,500x
Resumen del tercer paso.
Resolución de la primera parte
El cuarto paso consiste en resolver el sistema de
dos ecuaciones con dos incógnitas por cualquier
método, como:
1. Método gráfico
2. Método de sustitución
3. Método de reducción
4. Método de igualación
5. Método de Gauss o Gauss Jordan
6. Regla de Cramer
* En este ejemplo se resolverá mediante el método gráfico.
Resolución de la primera parte
El método gráfico requiere que se tabulen las dos
rectas. Primero la ecuación de costo total.
No. De piezas y = 2,800x + 750,000 Costo total
0 2,800(0) + 750,000 = $750,000
300 2,800(300) + 750,000 = $1,590,000
600 2,800(600) + 750,000 = $2,430,000
900 2,800(900) + 750,000 = $3,270,000
1200 2,800(1200) + 750,000 = $4,110,000
1500 2,800(1500) + 750,000 = $4,950,000
1800 2,800(1800) + 750,000 = $5,790,000
Resolución de la primera parte
El método gráfico requiere que se tabulen las dos
rectas. Ahora la ecuación de ingreso.
No. De piezas y = 3,500x Ingreso
0 3,500(0) = $0
300 3,500(300) = $1,050,000
600 3,500(600) = $2,100,000
900 3,500(900) = $3,150,000
1200 3,500(1200) = $4,200,000
1500 3,500(1500) = $5,250,000
1800 3,500(1800) = $6,300,000
Resolución de la primera parte
Con estos valores tabulados se trazan las dos rectas.
Resolución de la primera parte
Determinar, a simple vista, el punto de intersección.
Resolución de la primera parte
Determinar, a simple vista, el punto de intersección.
Resolución de la primera parte
Efectuar la comprobación sustituyendo la solución en ambas
ecuaciones.
Esta es una de las limitaciones del método gráfico; no
siempre es posible obtener el resultado exacto, pero se
considera aceptable si el error es menor a un 2% ó 3%.
2,800 750,000
2,800( ) 750,000
2'996,000 750,000
3'74
3'800,000 1,070
3'800,000
3'800,000
3'800,000 1,070
3'800,000
6
3,500
3,500( )
3'745,000
,000
y
Error aceptable
Error aceptab
y x
x
le
Se resolvió el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
por el método gráfico.
Se acepta un error entre el 2% y el 3% en la comprobación.
Los valores de “x, y” son la solución del problema
Resumen del cuarto paso.
El punto de equilibrio es:
x = 1,070 y = 3’800,000
Lo cuál significa que deben fabricarse y venderse
1,070 piezas para que tanto el costo como el
ingreso sean de 3’800,000 con lo cuál no habrá
pérdidas ni ganancias.
“EXCEPTO PARA LOS NIÑOS (que no
saben lo suficiente como para dejar de
hacer las preguntas importantes), pocos
de nosotros dedicamos mucho tiempo a
preguntarnos por qué la naturaleza es
como es; de dónde viene el cosmos, o si
siempre ha estado allí; si un día el tiempo
irá hacia atrás y los efectos precederán a
las causas; o si hay límites definitivos a
lo que deben saber los humanos.”
Carl Sagan (1934 – 1996)
Fragmento del libro:
El mundo y sus demonios
Gracias por su atención
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