Quest’anno scolastico 2008/2009 al nostro CFP, d · siamo dedicati alle sezioni auree e alle...

Quest’anno scolastico 2008/2009 al nostro CFP, durante le lezioni di DISEGNO TECNICO ci

siamo dedicati alle sezioni auree e alle tavole per la costruzione di un pallone da calcio, in

versione puff di forma sferica, da realizzare in laboratorio TAPPEZZERIA.

Abbiamo scoperto che il pallone da calcio è formato da 12 pentagoni e 20 esagoni.

Quando è ben gonfiato e ci giochiamo sembra una sfera, un solido perfetto; se invece lo

osserviamo con + attenzione scopriamo che la sua superficie è formata da pentagoni ed

esagoni regolari cuciti assieme.

Abbiamo quindi voluto scoprire la sua struttura/origine geometrica e siamo giunti a capire

che il nostro gettonatissimo PALLONE DA CALCIO è un poliedro, chiamato per la precisione

IIICCCOOOSSSAAAEEEDDDRRROOO TTTRRROOONNNCCCAAATTTOOO.

LIMANDO I 12 VERTICI di un ICOSAEDRO,che è costituito da 20 FACCE triangolari(il solido

platonico regolare e perfetto + vicino alla sfera, formato da 20 triangoli equilateri) si

ottengono le 12 facce in più rigorosamente pentagonali , mentre le rimanenti superfici danno

forma agli altri 20 esagoni( al posto dei 20 triangoli)

icosaedro

fase 1

fase 2

fase 3

icosaedro troncato

All’origine degli assi i tre rettangoli aurei

PPPeeerrrccchhhééé DDDIIIVVVIIINNNOOO???

Questo particolare poliedro viene utilizzato per fabbricare

palloni perché, una volta gonfiato, approssima la sfera fino al

95%, eliminando così ogni eventuale rimbalzo imprevisto. Si

potrebbe ritenere indubbiamente il gioco più antico del mondo,

almeno da quando la terra è detta sferica! L’ICOSAEDRO, lo

abbiamo visto, è il solido platonico più vicino alla perfezione

sferica, tuttavia, nonostante la sua complessità, nel 1509 il frate

francescano Luca Pacioli, nel suo libro DDDeee dddiiivvviiinnnaaa ppprrrooopppooorrrzzziiiooonnneee,

rese evidente una tecnica per costruirlo e, insieme,

l’inequivocabile condizione strutturale per la sua ORIGINE

“DIVINA”. Alla base del suo metodo infatti, sta l’utilizzo di TRE

RETTANGOLI AUREI disposti sui tre piani xy, xz e yz e intersecati

tra loro sull’incidenza delle rispettive mediane, all’origine dei tre

assi, centro del solido.

Il primo incontro con la Divina Proporzione

avviene in Geometria. La proposizione 11 del

libro II degli Elementi di Euclide recita così:

“dividere un segmento in modo che il

rettangolo che ha per lati l’intero segmento e la

parte minore sia equivalente al quadrato che ha

per lato la parte maggiore”, la Sezione Aurea

di un segmento, è la parte media proporzionale

tra l’ intero segmento e la parte rimanente.

Collegando alternativamente i vertici del

decagono si ottiene il pentagono regolare

inscritto nel cerchio; tracciatone due diagonali

dallo stesso vertice, essendo l’ angolo alla

circonferenza metà di quello al centro di 2π/5,

si ripropone con il lato opposto al vertice il

triangolo isoscele con angolo al vertice di π/5;

ne segue che in un pentagono regolare il lato

è la sezione aurea della diagonale.

Si può altresì dimostrare che le diagonali si

intersecano secondo le loro sezioni auree.

Per questi motivi alla stella a cinque punte

disegnata sulle diagonali di un pentagono

venivano riconosciuti poteri magici.

UdA- DISEGNO GEOMETRICO- TAPPEZZERIA - MATEMATICA

Durante la preparazione dell’UNITA’ di APPRENDIMENTO ci siamo rivolti anche al professore di Matematica, con la seguente domanda: in che modo, attraverso il ricorso ad un’equazione matematica, possiamo riconoscere la corrispondenza così sorprendente della divina proporzione (sezione aurea), nella costruzione dell’icosaedro? Era necessario CONFERMARE l’identica lunghezza dei lati dei triangoli componenti l’icosaedro costruito sui 3 rettangoli aurei. DIMOSTRIAMO che il lato minore di ciascuno dei 3 rettangoli aurei è = a ciascuna delle diagonali che, a partire dai 2 vertici adiacenti si uniscono al vertice del rettangolo perpendicolare al primo. DATO IL LATO =1 LA PROPORZIONE AUREA SI ESPRIME CON L’EQUAZIONE x /1=1/(x−1) OVVERO: = x+1 1 AB=1; CO= x /2; MO= (x−1)/2 = (x /2)-(1/2) x applichiamo il teorema di Pitagora per trovare CM

√

√

( )

√

√

√

CM=√

(

)

√

applichiamo il teorema di Pitagora per trovare AC

AC=CB =√(

)

(√

)

√

=1=AB

ABBIAMO DIMOSTRATO CHE AB è

LUNGHEZZA UNITARIA UGUALE PER GLI

ALTRI LATI DEL TRIANGOLO EQUILATERO

- MODULO DELL’ICOSAEDRO COSTRUITO

SUI TRE RETTANGOLI AUREI

LE FASI DI REALIZZAZIONE

L’idea di trasformare il pallone da calcio in un puff speciale per il nostro spazio studio, o per il

soggiorno di casa, costruito con le nostre mani ci è piaciuta da subito e abbiamo scelto le

misure definitive rapportandole in scala una volta realizzato il modellino cartaceo. Prima con

le tavole di disegno tecnico e poi in laboratorio TAPPEZZERIA abbiamo anche imparato come

ridurre in scala il disegno del nostro pallone e poi come preparare lo SVILUPPO

BIDIMENSIONALE DEI PEZZI, stesi uno vicino all’altro, affiancandoli ”aperti” su una superficie

piana (vedi disegno). L’importante era mantenere il criterio giusto per l’accostamento. In

partenza sembrava un’impresa impossibile, per le nostre competenze iniziali: 32 pezzi tutti

cuciti insieme, mentre si accostavano, davano forma ad una superficie che andava mano a

mano curvando … Come dimostrano le foto, dal taglio al cucito e infine la definitiva chiusura

tramite lampo, le operazioni di confezionamento del pezzo ci hanno insegnato che solo con

l’applicazione di un criterio e l’esercizio costante è possibile ottenere i risultati con

soddisfazione !

SVILUPPO BIDIMENSIONALE PER LA REALIZZAZIONE DI UN PALLONE DI CALCIO

ALIAS ICOSAEDRO TRONCATO Si distribuiscono secondo una corrispondenza stellare a

partire dal centro del pentagono, che scegliamo come punto di partenza, 20 esagoni + 12 pentagoni.

NB = IL CRITERIO PER ESEGUIRE CORRETTAMENTE l’accostamento è sempre lo stesso: ad ogni esagono si fanno corrispondere alternati sui lati 3 pentagoni e 3 esagoni

MENTRE OGNI PENTAGONO PORTA SUI 5 LATI 5 ESAGONI

Esiste una molecola sferica formata

da anelli esagonali e pentagonali

insieme (come un pallone da calcio)

di atomi di carbonio?

Quella più nota con le

tipiche facce esagonali e

pentagonali si chiama

fullerene C60 (la formula

rappresenta una molecola

costituita da 60 atomi di

carbonio legati tra loro). La

molecola C60 è la più

simmetrica possibile (la più

rotonda) nello spazio

tridimensionale.

La gabbia delle molecole di

fullerene ha un diametro tra

0,7 ed i 1,5 nanometri.

Il C60 ha un diametro di circa

0,7 nanometri, cioè circa 10

volte più grande di un atomo.

Vale anche la pena di

ricordare che il nome

fullerene viene da quello di

Buckmister Fuller,

l’architetto che ha progettato

abitazioni a forma di cupole

geodetiche basate su

pentagoni ed esagoni

DDDeee dddiiivvviiinnnaaa ppprrrooopppooorrrzzziiiooonnneee … dalla matematica alle scienze Anche nel corpo umano troviamo rapporti aurei: l’ ombelico è posto ad una quota che è in rapporto aureo con l’altezza max dell’individuo … Famosa è la rappresentazione di Leonardo dell’UOMO di VITRUVIO, nel quale il corpo è inscritto in un quadro e in un cerchio . Nel quadrato l’h dell’uomo è pari alla distanza tra le estremità delle mani con le braccia distese. La retta xy passante per l’ombelico divide i lati AB e BC esattamente in rapporto aureo tra loro. Siccome è aureo il rapporto tra falangi, tra braccio e avambraccio etc. Ma la sezione aurea si insinua anche nei regni della Natura :Φ è uno di quei misteriosi numeri naturali che sembrano essere alla base della struttura del cosmo. Ma è nei fiori, più che altrove, che la natura ha voluto ricordarci la sua sapienza matematica. Le varie specie di margherite e girasoli hanno petali in numero della successione di Fibonacci che abbiamo visto legata al rapporto aureo. Le curve che si osservano in pigne ed ananas sono spirali logaritmiche, legate anch’ esse alla sezione aurea. Così si succedono gli stami nelle corolle di margherite e girasoli. La dddiiivvviiinnnaaa ppprrrooopppooorrrzzziiiooonnneee è dunque riscontrabile sotto molteplici forme, dalla GALASSIA all’accrescimento spiraliforme del NAUTILUS, nella spaziatura delle foglie lungo lo stelo e nella girandola dei semi di un GIRASOLE, come davvero contasse i cicli di rivoluzione del suo sole. Analogamente, osservando attentamente il firmamento, le spirali delle galassie sono logaritmiche ed è presumibile che tali siano le traiettorie delle stelle attratte al centro della galassia. L’elemento comune nell’evolversi delle forme nel nostro universo, dal DNA alle origini del cosmo, è rappresentato dalla spirale logaritmica, detta anche “spirale aurea”; attraverso la quale lo sviluppo armonico di ogni essere è disegnato in una relazione infinita e continua, dall’infinitamente piccolo all’infinitamente grande!!