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Raices de ECUACIONES NO
LINEALESPRIMER PARCIAL
TEMA 2
introducción
MÉTODO GRÁFICO
PARA ENCONTRAR
LAS RAICES DE
SISTEMAS DE
ECUACIONES
EJEMPLO:
f(x)= 𝑒−𝑥 − 𝑥
A)LA RAIZ ES
DONDE LA
GRAFICA
INTERSECTA EL
EJE “X”
B) LA RAIZ ES
EL PUNTO DE
INTERSECCION
DE LAS DOS
FUNCIONES
COMPONENTES
3 MÉTODOS PARA ENCONTRAR LA
SOLUCIÓN DE EC. NO LINEALES
1.METODO DEL PUNTO FIJO
2.METODO DE NEWTON RAPHSON
3.METODO DE LA SECANTE
3.1 MÉTODO DEL PUNTO FIJO
PASO 1.
realizar
todos los
despejes
posibles de
“x”
EJEMPLO 1
Llamamos
a ese
despeje
x=g(x)
PASO 2. SE TOMA UN VALOR TANTEADO DE X0 . Este valor se puede tomar cercano a alguna
de las raices conocidas, o simplemente un valor cualquiera
PASO 3. Se evalua la función g(x) en el valor tanteado, y posteriormente en los valores
obtenidos de “x”
DIVERGENCIA CONVERGENCIA
Si el valor
converge,
quiere decir
que ese valor
de “x” es una
raíz de la
ecuación
¿Cuántas
iteraciones
hago?
El error “Є” en la raíz
calculada, se obtiene como:
ϵ= 𝑋𝑖+1 − 𝑋𝑖
Є= 1.85115 − 1.85349 = 0.00234Є= 1.85083 − 1.85115 = 0.00032
Si la raíz que encontramos es la correcta,
entonces al sustituirla dentro de la
expresión f(x), el resultado deberá ser
CERO, o muy cercano a él, ya que f(x)=0
CRITERIO 1
CRITERIO 2
Generalmente se
considera BUENO un
error de Є=10-3
EJEMPLO 2. trabajo en clase
Si la raíz que encontramos es la correcta, entonces al
sustituirla dentro de la expresión f(x), el resultado deberá
ser CERO, o muy cercano a él, ya que f(x)=0
CON X0=2
error de Є=10-3
Inciso a
DIVERGE
5 iteraciones
ERROR
#ITERACIONES
Inciso b
5 iteraciones
CONVERGE
ERROR
TAREA/ TRABAJO EN CLASE
IMPLEMENTAR LOS CODIGOS ANTERIORES EN
OCTAVE
CRITERIO PARA RECONOCER LA
CONVERGENCIA, ANTES DE ITERAR
La cual es una condición SUFICIENTE, mas NO NECESARIA para la convergencia
A y b convergencia
c y d convergencia
TAREA/ TRABAJO EN CLASE Con Є=10-3
Para el despeje a,
después de 9
iteraciones
Despeje c
Después de 5
iteraciones, NO
CONVERGE
La condición NO ASEGURA
LA CONVERGENCIA
OTRO DESPEJE
Con Є=10-3
b) Hágalo también tomando X0=1
USAR AL MENOS 6 DECIMALES
4
Con error≤0.001
a)
Problema 6.1. con X0=0.5, como dice el problema sale en
6 iteraciones
ERROR
Problema 6.1. si tomamos X0=1, como dice el problema sale en5 iteraciones (menos que con 0.5)
Problema 2 . Sale en 6 iteraciones
3.2 MÉTODO DE NEWTON-RAPSHON
CONTINUA
Vamos a suponer un valor inicial X0 que se sitúa en el eje horizontal. Trace una
tangente a al curva en el punto (X0, f(x0)) y a partir de ese punto sígase por la
tangente hasta una intersección con el eje x. el punto de corte x es una nueva
aproximación a x (hay que observar que se ha reemplazado la curva f(x) por su
tangente en (X0, f(x0)) ). El proceso se repite comenzando con X, se obtiene una
nueva aproximación X y asi sucesivamente.
Ejemplo 3. Newton-rapshon
Derivada
de la
función
EVALUAMOS LO ANTERIOR EN X0=1
Los resultados al hacer 4 iteraciones
ERROR
RAIZ ENCONTRADA
CON Є≤10-3
PROGRAMA
MATLAB OCTAVE
PARA ENCONTRAR
LA SOLUCION A EC
NO LINEALES, POR
EL METODO DE
NEWTON RAPSHON
FALLAS EN EL METODO DE NEWTON
RAPSHON
Cuando el método de Newton-Raphson converge se obtienen los
resultados en relativamente pocas iteraciones.
Sin embargo, algunas veces el método NO CONVERGE sino que
oscila. Esto puede ocurrir si no hay raíz real, si la raíz es un
punto de inflexión o si el valor inicial está muy alejado de la
raíz.
Éste método requiere la evaluación de la primera derivada de
f(x). En la mayoría de los problemas de los textos este requisito
es trivial, pero éste no es el caso en problemas reales donde,
por ejemplo, la función f(x) está dada en forma TABULAR.
3.3 MÉTODO DE LA SECANTE Consiste en aproximar la derivada f´(x) de la ecuación 2.12 por el cociente
PARA EL MÉTODO DE LA SECANTE SE REQUIEREN
INICIALMENTE DE DOS PUNTOS X0 Y X1
PARA EL MÉTODO DE LA SECANTE NO SE NECESITA SACAR LA DERIVADA
DE LA FUNCIÓN
PARA EL MÉTODO DE LA
SECANTE SE REQUIEREN
INICIALMENTE DE DOS
PUNTOS X0 Y X1
EJEMPLO 4. MÉTODO DE LA SECANTE
X0=0 ; X1=1
PARA 5
ITERACIONES
LOS VALORES
SON:
PROGRAMA MATLAB
OCTAVE PARA LA SOLUCION
DE ECUACIONES NO
LINEALES, POR EL METODO
DE LA SECANTE
TAREA/TRABAJO EN CLASE, métodos N-R y secanteResuelva las siguientes ecuaciones por: a) en método de
Newton Rapshon y el método de la secante. Escoja de
manera adecuada los valores tanteados x0 y/o x1
Parte 1.-
Parte 2.- X0=2 , x1=3
respuestas PARTE 1
a) 4 iter, 0.80903
B) 5 iter , -0.51354
C) 4ite, 0.578713
PARTE 2
A) 3.14619
B)0.8526
C)1.02986
D)0.201639
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