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Rao-Blackwell 定理與最小變異不偏估計式. Rao-Blackwell 定理與最小變異不偏估計式. Rao-Blackwell 定理與最小變異不偏估計式. Rao-Blackwell 定理與最小變異不偏估計式. Rao-Blackwell 定理與最小變異不偏估計式. Rao-Blackwell 定理與最小變異不偏估計式. Rao-Blackwell 定理與最小變異不偏估計式. Rao-Blackwell 定理與最小變異不偏估計式. Rao-Blackwell 定理與最小變異不偏估計式. Rao-Blackwell 定理與最小變異不偏估計式. - PowerPoint PPT Presentation
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MIT STU 2011 四技三─高等統計方法 p.1/15
Rao-Blackwell定理與最小變異不偏估計式
充分統計量在尋找參數的優良估計式之過程中,扮演著重要的角色。若̂為的不偏估計式,而U為的充分統計量,則存在著某一個U的函數亦為的不偏估計式,且其變異數不會大於̂。故若要找出較小變異數的不偏估計式,僅須侷限於充分統計量的函數即可;此即為下列 Rao-Blacklwell定理所述。
MIT STU 2011 四技三─高等統計方法 p.2/15
Rao-Blackwell定理與最小變異不偏估計式
定理 9.5:Rao-Blacklwell定理
令̂為的一個不偏估計式,使得 )ˆ(V 。若U
為的充分統計量,定義 )ˆ(*ˆ UE ,則對所有
而言, *)ˆ(E 及 )ˆ(*)ˆ( VV 。
MIT STU 2011 四技三─高等統計方法 p.3/15
Rao-Blackwell定理與最小變異不偏估計式
任何一個參數可能有多個充分統計量,分解準則能標準地確定統計量U 能總結資料中所有關於參數的資訊,這種統計量稱為最小充分統計量 (Minimal Sufficient Statistics)。從定理 9.5中,利用U不但能得到較小變異數的估計式,事實上亦可得到參數的具有最小變異數的估計式,此類估計式即稱為最小變異不偏估 計 式 (Minimum Variance Unbiased Estimator, MVUE)。
MIT STU 2011 四技三─高等統計方法 p.4/15
Rao-Blackwell定理與最小變異不偏估計式
【範例 9.6】 令 nYYY ,,, 21 為 抽 自 分 配 pYP i )1( 及
pYP i 1)0( 之一組隨機樣本,其中 p為未知,此類隨機變數通常稱為柏努利變數(Bernoulli Variables)。試利用分解定理求出可以歸納已知資料的充分統計量,並求出 p的MVUE(最小變異不偏估計式)。
MIT STU 2011 四技三─高等統計方法 p.5/15
Rao-Blackwell定理與最小變異不偏估計式
【解】
由於 1,0,)1()( 1 i
yyii yppyYP ii ,故可能性
)( pL 為 ),,,(),,,( 2121 pyyyppyyyL nn
nn yyyyyy pppppp 111 )1()1()1( 2211
1)1( ii yny pp 。
MIT STU 2011 四技三─高等統計方法 p.6/15
Rao-Blackwell定理與最小變異不偏估計式
令 ),( pyg i ii yny pp )1( 及 1),,,( 21 nyyyh ,
故由分解定理, iYU 為 p 的充分統計量。又
npUE )( 或 pn
UE
,故 Y
n
U 為 p 的不偏估計
式,因其為充分統計量的函數,因此,估計式 Yp ˆ 為p的最小變異不偏估計式(MVUE)。
MIT STU 2011 四技三─高等統計方法 p.7/15
Rao-Blackwell定理與最小變異不偏估計式
【範例 9.7】 設 nYYY ,,, 21 為抽自韋伯(Weibull)分配之隨機樣本,其機率密度函數定義為
其他 ,0
0 ,2
)(/2
yey
yfy
,試求的MVUE。
MIT STU 2011 四技三─高等統計方法 p.8/15
Rao-Blackwell定理與最小變異不偏估計式
【解】 ),,,(),,,( 2121 nn yyyfyyyL
21
21
2
)(2 iy
n eyyy
)(2
21
12 2
n
yyyye
i
,令 ),( 2 iyg
212
2 iye
及 ),,,( 21 nyyyh )( 1 nyy ,故由分
解定理, 2iYU 為的充分統計量。
MIT STU 2011 四技三─高等統計方法 p.9/15
Rao-Blackwell定理與最小變異不偏估計式
接著對該統計量求出的不偏函數,令 2iYW ,
則
wew
dw
wdwfwf w
W2
1)(
2)( /
0 ,1 /
we w
。亦即 2
iY 為具有參數的指
數分配,又 )()( 2 WEYE i 及 nYE i 2 ,表示
n
iiYn 1
21̂ 為的不偏估計式且為充分統計量 2iY 的
函數,故̂為具有參數的韋伯分配的MVUE。
MIT STU 2011 四技三─高等統計方法 p.10/15
Rao-Blackwell定理與最小變異不偏估計式
【範例 9.8】 設 nYYY ,,, 21 表示抽自未知平均數 及未知變異
數 2 的常態分配之隨機樣本,試求 與 2 的MVUEs。
MIT STU 2011 四技三─高等統計方法 p.11/15
Rao-Blackwell定理與最小變異不偏估計式
【解】
),,,,(),,,,( 221
221 nn yyyfyyyL
22
)(2
1
2
1
iy
n
e
22
22
2
1
2
1
nyyn
ii
e
ii yynn
ee
22
12
222
2
2
1 ,
MIT STU 2011 四技三─高等統計方法 p.12/15
Rao-Blackwell定理與最小變異不偏估計式
故 iY 及 2iY 兩者為 及 2 的充分統計量,又Y 為
的 不 偏 估 計 式 , 及
22 )(1
1YY
nS i
22
1
1YnY
n i
為 2 的不偏估計式,因為兩個估計
式皆為充分統計量的函數,故其為 及 2 的MVUEs。
MIT STU 2011 四技三─高等統計方法 p.13/15
Rao-Blackwell定理與最小變異不偏估計式
【範例 9.9】 設 nYYY ,,, 21 係 由 以 下 的 指 數 分 配
其他 ,0
0 ,1
)(/ ye
yfy
中抽出的隨機樣本,試求
)( iYV 的MVUE。
MIT STU 2011 四技三─高等統計方法 p.14/15
Rao-Blackwell定理與最小變異不偏估計式
【解】
由於 )( iYE 及 2)( iYV ,分解定理隱含 iY 為
的最佳充分統計量。事實上,Y 為的MVUE,故試圖以 2Y 作為 2 的估計式。但
22 )]([)()( YEYVYE 222 11
n
n
n,表示
2Y 為 2 的偏誤估計式,但 2
1Y
n
n
則為 2 的
MVUE,因其為 2 的不偏估計式,且為充分統計量的函數。
MIT STU 2011 四技三─高等統計方法 p.15/15
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