View
25
Download
0
Category
Preview:
DESCRIPTION
Regulatoare Automate - Curs 6
Citation preview
Regulatoare Automate
3.Stabilizarea sistemelor utiliznd o lege de comand dup stare
Scop:
Stabilizarea sistemelor, printr-o lege de comand dup stare;
Controlabilitate i alocabilitate
Algoritmului Ackermann pentru calculul unei legi de comand dup stare;
Regulatoare Automate
O lege de comand dup stare este o relaie de forma:
3.1. Legea de comand dup stare
xKu = mRu - comanda sistemuluinRx - starea sistemuluimxnRK - calcul K determina o lege de comand
( )
xCyuKBAx
==&
Evoluia strilorsistemului rezultant: ( ) ( )( )
=
Zt xKBA
Rt xetx
t
tKBA
0
000 )( == ttxx
starea iniial
- matricea mrimilor de starea sistemului rezultant
BKAA =1Scopul unei legi de comand dup stare este de-a impune care s fie valorile proprii ale sistemului rezultant
Regulatoare Automate
Caz particular: Sisteme cu o singur mrime de comand xku T = nRk 1
[ ]
=
n
n
x
x
x
kkkuM
L 21
21
( )nn xkxkxku +++= L2211
u y ( )CB,A,
nK
1K
2K
_ _
...M
1x 2x nx_
RuLegea de comand dup stare pentru cazul m=1,
( ) =
=xcy
xkbAxT
T&Sistemul rezultant :
Prin aplicarea unei legi de comand dup stare se poate obine:- stabilizarea sistemelor (dac erau iniial instabile) - mbuntirea performanelor
Regulatoare Automate
3.2 Controlabilitate. Alocabilitate
Def. :Un sistem este controlabil dac pentru orice stare x1 dat, exist o comand u(t) care conduce la o evolutie a strii de la valoarea iniial la valoarea x(t)=x100 )( == ttxx
Testatea controlabilitrii unui sistem:
matricea de controlabilitate [ ] )(12 mnnn xRBABABABR + = L dac nRrang =)(
n -dimensiunea sistemuluisistemul este controlabil
Caz particular: Sistem cu o singur mrime de comand, m=1
[ ] nnn xRbAbAbAbR = 12 L matrice ptraticNot: n Matlab, matricea de controlabilitate se obine cu funcia ctrb i rangul unei matrici cu funcia rank
Exemplu:>>A=[0 1 0;0 0 1;2 1 2];>>b=[0;0;1];>>R=ctrb(A,b)R =
0 0 10 1 21 2 5
>> rank(R)ans =
3 Dac un sistem este controlabil, atunci el este i alocabil.
Pentru orice mulime de valori proprii dorite:
se poate determina o lege de comand dup stare
{ }n= ...,,, 21( ) = BKA
xKu =Spectrul matricei sistemului rezultant, adic mulimea valorilor ei proprii.
Regulatoare Automate
3.3 Algoritmul AckemannSisteme cu o singur mrime de comand
Date de intrare:1, nxnxn RbRA } ..., , ,{ n21 =
Legea de comand dup stare se obine cu relaia
( ) )...( 0111 ++++== AAAqAqk nnnTdTT011 ,,..., n - coeficienii polinomului caracteristic dorit pentru sistemul rezultant
Polinomul coracteristic dorit se obine cu relaia:( ) ( ) ( ) ( ) 011121 ... ++++== nnnnd L
=
1...00
qRT [ ] 11...00 = RqT[ ] nnn xRbAbAbAbR = 12 L
Tq soluia ecuaiei:
- matricea de controlabilitate
Regulatoare Automate
Din punct de vedere practic
- Se obine polinomului caracteristic dorit pentru sistemul rezultant ( )d- Se rezolv sistemul de ecuaii:
=
1
00
MqRT [ ]nT qqqq L21=
nRrang =)(- Se calculeaz prin nmuliri succesive produsele [ ]
[ ][ ][ ]
[ ] 1
..............................
...
11
22
1
021
==
===
nTn
nT
T
Tn
T
Aq
Aq
Aq
Aq
qqqq
- Se obine nTkTn
kk
T AqAqk += =
11
1
Obs: Sistemul are o soluie unic numai dac matricea R este inversabil
Regulatoare Automate
Not: n cazul cnd perechea (A, b) a sistemului comandat este n form standard controlabil, prin aplicarea unei legi de comand dup stare matricea
[ ] k...kk - A 1-n10n
=
1
00
10
010
110
1 MKOOOM
10
010
10
010
'1
'1
'0111100
1
=
=
nnn kkk
A
KOOOM
KOOOM
polinomul cararacteristic dorit( ) '0'11' 1 ... ++++= nnndDeterminarea [ ] [ ]101 1'0 ...... = nnTk
1,...,0,' = nii - coeficienii polinomului caracteristic dorit1,...,0, = nii - coeficienii polinomului caracteristic al sistemului controlat
Not: n Matlab, calculul unei legi de comand dup stare se poate face cu funcia acker care aplic algoritmul Ackermann.
Regulatoare Automate
Sisteme cu mai multe mrimi de comand
Cazul sistemelor cu m mrimi de comand
- Se aleg aleator mxnRK 0mRg
Se poate demonstra c dac perechea (A,B) este controlabili perechea este controlabil),( 0 BgBKA
- Se calculeaz Tk
))(()( 011TT gkKBAkbA += TgkKK += 0
mxnRK
= )( 11 TkbA
01 BKAA = Bgb =1
Regulatoare Automate
ExempleS se calculeze o lege de comand dup stare care plaseaz valorile proprii ale sistemului
[ ]010100
,212100010
=
=
= TcbA { }1 ,1 ,1 =
Polinomul caracteristic dorit
( ) ( )( )( ) ( ) 1331111 233 +++=+=+++= dPerechea (A,b) este n form standard controlabil
[ ] [ ] [ ]543212331 ==Tk
Regulatoare Automate
S se calculeze o lege de coamnd dup stare care plaseaz valorile proprii ale sistemului discretizat
]100[,010
,101001010
=
=
= ddd cbA { }0 ,0 ,0=
Soluia 1. Polinomul caracteristic dorit ( ) 3=dMatricea de controlabilitate [ ]
==
100101010
2ddddd bAbAbR
Se rezolv ecuaia:
=
100
qRT
=
100
101001010
3
2
1
qqq
100
3
2
1
===
qqq
Se construiesc produsele urmatoare,
[ ][ ][ ][ ]
[ ] 1121 112
0 111
0 101
0 100
3
2
=====
T
dT
dT
dT
T
k
Aq
Aq
Aq
qi se nmulesc cu coeficienii polinomului caracteristic dorit
Soluia 2. Utiliznd Matlab>>A=[0 1 0;1 0 0;-1 0 1];>>b=[0;1;0];>>P=[0 0 0]; % Valorile proprii dorite>>k=acker(A,b,P) % Apelare algoritm Ackermannk =
2 1 -1
Recommended