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Fuente:www.texasfcqei.com
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[ A p l i c a c i o n e s c o n
T e x a s I n s t r u m e n t s
V o y a g e 2 0 0 ]
2 0 1 0
M a t e r i a p a r a :
I n g e n i e r í a I n d u s t r i a l
I n g e n i e r í a M e c á n i c a
A r m a 2 D & S a x p c
I n v i e r n o 2 0 0 9
EELLAABBOORRAADDOO PPOORR::
II..II.. ÁÁNNGGEELL GGAARRCCÍÍAAFFIIGGUUEERROOAA HHEERRNNÁÁNNDDEEZZ [En este manual podrás encontrar aplicaciones para
diversos temas de Resistencia de Materiales 1, tales
como solucionadores de Armaduras y Vigas, graficación
y animación de armaduras]
Resistencia de Materiales 1
LEER NOTA IMPORTANTE
EN PÁGINA SIGUIENTE
NOTA IMPORTANTE: Para usar las aplicaciones completas contenidas en éste
manual para la materia de Resistencia de Materiales 1 debes haber instalado
los programas “Arma2D” y “saxpc1” con anterioridad en la calculadora. Por
favor consulta el MANUAL DE INSTALACIÓN DE SOFTWARE PARA
CALCULADORAS TEXAS INSTRUMENTS VOYAGE 200, ó también su versión
en DVD, ó dirígete a la página de internet www.texasfcqei.com donde
también puedes descargar los programas y está explicado el cómo
transferirlos a tu calculadora, además en este sitio se encuentra éste mismo
curso en línea con video tutoriales y ejercicios interactivos. Es muy sencillo
instalar el programa y te tomará poco tiempo. Asegúrate de solicitar un cable
TI-USB Silver Link para transferir exitosamente el programa, éste se
encuentra de igual forma en donde solicitaste tu calculadora.
La razón por la cual no instalé el programa en todas las calculadoras es
porque esta materia es una materia exclusivamente para la etapa
disciplinaria de las carreras de Ingeniería Industrial e Ingeniería Mecánica,
por respeto a los estudiantes de otras carreras que pudieran llegar a ocupar
las calculadoras no les sería grato encontrarlas con programas ajenos a sus
carreras y dejarlas sin memoria disponible para otros programas
especializados en su área. Es por esto que también te pido que cuando
termines el préstamo de tu calculadora desinstales el programa ya que la
memoria de la calculadora es limitada.
[ RESISTENCIA DE MATERIALES 1 ] Invierno 2009
Tabla de funciones matemáticas poco usadas para la TI-V200 Página 3
Tabla de funciones matemáticas poco usadas para la TI-V200
Función Forma de
escritura en HOME
Descripción simple Ejemplo.
Valor absoluto
abs(expr)
Sólo debes teclear esta combinación de letras seguido de los respectivos paréntesis de apertura y cierre con la expresión dentro.
Logaritmo log(expr) ó log(expr,base)
Sólo debes teclear esta combinación de letras seguido de los respectivos paréntesis de apertura y cierre con la expresión dentro, seguido de una coma y la base del logaritmo, si se omite se toma como base 10.
Raíz de cualquier
orden
�������
(expr)^(n/m)
Debes teclear primero la expresión que va a elevarse a la raíz dada, luego el símbolo de potencia y entre paréntesis la división correspondiente de la raíz que tengas.
Cosecante csc(expr) Sólo debes teclear esta combinación de letras seguido de los respectivos paréntesis de apertura y cierre con la expresión dentro.
Secante sec(expr)
Cotangente cot(expr)
arc coseno cos-1(expr)
Para las primeras tres funciones simplemente teclea “2nd” + tecla seno coseno ó tangente correspondiente. Para las últimas 3 debes entrar al menú de funciones trigonométrica con “2nd” + número 5 de la parte numérica y entrar al submenú Trig. y dar ENTER sobre la opción deseada.
arc seno sen-1(expr)
arc tangente
tan-1(expr)
arc cosecante
csc-1(expr)
arc secante sec-1(expr)
arc cotangente
cot-1(expr)
[ RESISTENCIA DE MATERIALES 1 ] Invierno 2009
Índice General Página 4
Índice General
I. Introducción…………………………………………………………………………….5
II. Detalle Técnico………………………………………………………………………..7
III. Detalle General de Teclas………………………………………………………..9
IV. Introduciendo datos y expresiones correctamente…………………11
V. Índice de Resistencia de Materiales 1…………………………………….21
VI. Contenido…………………………………………………………………………23-44
VII. Ejercicios propuestos……………………………………………………………..45
VIII. Bibliografía……………………………………………………………………………..48
[ RESISTENCIA DE MATERIALES 1 ] Invierno 2009
Introducción Página 5
Introducción
Bienvenido al curso Texas Instruments Voyage200, éste curso tiene la finalidad de que aprendas
el manejo eficiente y práctico de esta calculadora graficadora muy poderosa, ya que posee un gran
campo de aplicación en todas las ingenierías y por ende en la mayoría de las materias que verás a
lo largo de tu carrera, para que estudies como ingeniero y trabajes como tal.
Esta calculadora si bien tiene mucha funcionalidad y gran ventaja, es importante dejar en claro
que no debe ser usada como un medio de hacer trampa o como un sustituto del aprendizaje
impartido por el maestro, sino de un apoyo claro y específico en cada materia para agilizar
cálculos y para entender mejor los temas vistos en clase. Las materias en las que te puede ayudar
grandemente de tronco común (1°, 2° y 3° semestre) son las siguientes:
1. Química General
2. Algebra Lineal
3. Calculo Diferencial
4. Calculo Integral
5. Ecuaciones Diferenciales
6. Probabilidad y Estadística 1
7. Probabilidad y Estadística 2
8. Física 1
9. Física 2
10. Física 3
11. Fisicoquímica
12. Termodinámica
Y de las demás materias disciplinarias
(Programa Académico de Ingeniería Industrial):
13. Diseño de Experimentos
14. Computación 2
15. Resistencia de Materiales 1
16. Circuitos Eléctricos 1
17. Investigación de Operaciones 1
18. Investigación de Operaciones 2
19. Tecnología de los Materiales
20. Ingeniería Económica 1
21. Ingeniería Económica 2
22. Control Estadístico del Proceso
23. Medición del Trabajo
24. Metrología
25. Administración Financiera
Las materias en Negritas son las
que recomiendo fuertemente para
el uso de esta calculadora porque
facilita mucho el trabajo y también
existen programas específicos y
didácticos para cada una.
[ RESISTENCIA DE MATERIALES 1 ] Invierno 2009
Introducción Página 6
PRÉSTAMO
Existen 54 calculadoras TI-V200 disponibles para préstamo en el resguardo de ésta facultad, tú
puedes pedir que se te preste de forma inmediata una calculadora, se te presta gratuitamente por
espacio de 1 mes y puedes renovar el préstamo cuantas veces desees. Para esto debes acudir con
el encargado del material tecnológico y audiovisual, él se encuentra en el segundo piso de la
facultad casi enfrente del centro de cómputo junto a la jefatura de Ingeniería Industrial, se atiende
de 7:00 A.M. a 2:00 P.M., lo único que necesitas para que te presten la calculadora es lo siguiente:
• Copia de tu credencial de la Universidad
• Copia de tu toma de materias actual
• Copia de tu Inscripción/Reinscripción actual
Como verás es muy sencillo y en definitiva recibes a cambio una gran ayuda.
[ RESISTENCIA DE MATERIALES 1 ] Invierno 2009
Detalle Técnico Página 7
Detalle Técnico
Cuando pidas prestada una calculadora debes fijarte que contenga:
� 1 Calculadora
� 1 Carcasa
� 4 Pilas AAA recargables ó alcalinas (en caso de estar disponibles)
� 1 Bolsita protectora
Este es el préstamo básico, sin embargo si tú deseas instalarle algún programa desde tu
computadora debes solicitar también:
� 1 Cable TI-USB Silver-Link
Para instalación de programas complementarios ó extras, consultar el MANUAL DE INSTALACIÓN
DE SOFTWARE PARA CALCULADORA TEXAS INSTRUMENTS VOYAGE 200.
Pasos al Iniciar sesión:
1. Coloca las 4 pilas AAA adecuadamente. Estas se encuentran dentro de la bolsa protectora de la
calculadora. La parte donde se colocan las pilas es en la parte posterior de la misma.
IMPORTANTE: No muevas la pila de botón.
2. Retira la carcasa de la calculadora:
[ RESISTENCIA DE MATERIALES 1 ] Invierno 2009
Detalle Técnico Página 8
3. Colócala por atrás para protegerla mejor.
[ RESISTENCIA DE MATERIALES 1 ] Invierno 2009
Detalle General de Teclas Página 9
Detalle General de Teclas
La tecla DIAMANTE (una tecla verde al lado de la tecla ON), al presionarla una vez activa todas las
teclas que tengan leyenda verde sobre las teclas normales. Su función es múltiple y generalmente
te permite desplazarte entre programas y configurar ciertas aplicaciones de la parte gráfica.
La tecla 2nd (tecla azul al lado de la tecla DIAMANTE), al presionarla una vez activa todas las teclas
que tengan leyenda azul. Su función principal es complementar las expresiones numéricas, y en
algunos casos entrar a menús avanzados.
Las teclas F1-F8, se pueden utilizar cuando en la pantalla aparezcan opciones variadas en la parte
superior, generalmente se usan sólo para abrir menús en los programas.
Las teclas del Cursor sirven para moverte en gráficas, sobre la línea de entrada y en el historial de
Home, así como en otros programas, te irás familiarizando con el poco a poco.
La tecla APPS, despliega el menú general de la calculadora, donde se encuentran todas las
aplicaciones y programas de la misma.
La tecla MODE, despliega la pantalla para modificar la configuración general de la calculadora.
La tecla Shift, tiene la misma funcionalidad que la tecla shift del teclado de una computadora, al
dejarlo presionado y desplazarte con el cursor de un lado a otro puedes seleccionar una serie de
Cursor
Parte Numérica
Teclado Extendido Teclas especiales Shift,
DIAMANTE, 2nd
Teclas F1-F8
Tecla APPS
Tecla CLEAR Tecla ESC
[ RESISTENCIA DE MATERIALES 1 ] Invierno 2009
Detalle General de Teclas Página 10
datos o expresiones para después copiarlos con la combinación DIAMANTE + letra C, y pegarlos en
cualquier otra aplicación con la combinación DIAMANTE + letra V.
La tecla CLEAR sirve de forma general para borrar la línea de entrada de la calculadora y en
algunas otras aplicaciones borra gráficas y elementos marcados para graficar.
La tecla ESC se usa para cancelar opciones hechas o errores cometidos dentro de un programa.
[ RESISTENCIA DE MATERIALES 1 ] Invierno 2009
Introduciendo datos & expresiones correctamente Página 11
Introduciendo datos y
expresiones
correctamente
Se ha dedicado un capítulo completo a la
explicación de cómo introducir datos y
expresiones correctamente debido a que se
han identificado numerosos errores de
escritura en muchos estudiantes a la hora de
teclear los datos, lo cual es de vital
importancia ya que de teclear
incorrectamente la información nos puede
arrojar resultados incorrectos o muy
diferentes a lo que queremos en realidad,
independientemente del programa en el que
estemos éstas reglas son para cualquier
aplicación en el que se esté trabajando, es
conveniente tomarse un tiempo para
entender y practicar estos sencillos ejercicios
para que escribas correctamente la
información en cada tarea que resuelvas.
Signo Menos
Es importante que a la hora de teclear una
expresión en la calculadora se teclee el signo
menos adecuado en cada caso. Se debe
seguir la siguiente regla:
“Cuando se escriba una expresión en la que
se inicie con signo negativo debe usarse la
tecla con signo negativo entre paréntesis
”. Esto mismo se usa con las
calculadoras científicas habituales. Veremos
un par de ejemplos. Enciende tu calculadora,
tecla ON:
Muévete con el cursor a través de las
aplicaciones y posiciónate en HOME y da
ENTER:
Por ejemplo, si queremos escribir:
�7� 8
Damos ENTER :
Vemos que se despliega correctamente y se
reacomoda en la línea de entrada. Este error
del uso del signo menos es muy común y
debe usarse ya sea en el inicio de una
expresión o en la de un exponente que
queramos a una potencia negativa o después
de que se ha cerrado un paréntesis. Para
borrar la línea de entrada teclea CLEAR.
[ RESISTENCIA DE MATERIALES 1 ] Invierno 2009
Introduciendo datos & expresiones correctamente Página 12
Si se hubiera puesto el otro signo menos
hubiera salido un resultado completamente
diferente e incorrecto. Otro ejemplo:
��
Vemos que se lee correctamente, si
hubiéramos puesto el signo contrario:
Vemos que nos indica que hay un error de
sintaxis en la línea de entrada.
“En cualquier otra posición de una
expresión que no sea el inicio, el signo
negativo que debe usarse es el de la tecla
blanca .”
Por ejemplo:
��� 8� � 13
Para el primer término como esta al inicio se
usa el signo menos de la tecla negra y para el
último término se usa el signo menos de la
tecla blanca:
Como tip podemos decir que en la línea de
entrada el signo menos de la tecla negra está
un poco más pequeño y más arriba que el de
la tecla blanca.
Paréntesis
El uso correcto de los paréntesis es muy
importante ya que de igual manera va a
definir nuestras expresiones. Los paréntesis
dividen expresiones completas en la línea de
entrada de la calculadora, hay algunas
funciones como la función exponencial,
logaritmo natural o las trigonométricas que
cuando lo tecleas inmediatamente te abre un
paréntesis y lo hace con la finalidad de que
definas correctamente lo que va dentro de
esa función. Es importante recordar que
“Todo paréntesis que se abre debe
cerrarse”. Por ejemplo supongamos que
deseamos escribir:
sin 7� 8�� � ln �
Al teclear la función de seno se abre
automáticamente el paréntesis e
inmediatamente después debemos escribir
[ RESISTENCIA DE MATERIALES 1 ] Invierno 2009
Introduciendo datos & expresiones correctamente Página 13
el argumento del seno para después cerrarlo
con el paréntesis de cierre:
Es importante también cerrar
ordenadamente cada paréntesis que se abra,
veamos otro ejemplo:
√cos � � sin 2�
Abrimos la raíz dando en 2nd + tecla de
signo de multiplicación y si te fijas se
abre el paréntesis inmediatamente después
del símbolo de la raíz y luego debemos
escribir la expresión de adentro y cerrar con
el paréntesis final para indicar que todo va
dentro de la raíz:
Fíjate en el orden de los paréntesis, el
primero es el que encierra a todos los demás,
damos ENTER:
Signo de División
Este es otro error algo común a la hora de
escribir las expresiones, y hay que seguir otra
regla muy simple cuando usamos el signo de
división:
“Cuando haya más de un término en el
numerador o denominador en una división,
estas expresiones deben encerrarse entre
paréntesis”
Por ejemplo si deseamos escribir:
3�9� 13
Como hay un solo término en la parte de
arriba no es necesario teclear el paréntesis,
pero como en la parte de abajo hay más de
uno, debemos teclear los paréntesis en la
parte de abajo, la forma de escritura se
podría resumir con este tip:
� �� � !é�#$ %&/� �� � !é�#$ %&
Vemos en la pantalla como se ve
correctamente la escritura de la expresión
que queremos. ¿Qué hubiera pasado si no
ponemos los paréntesis? Observa:
[ RESISTENCIA DE MATERIALES 1 ] Invierno 2009
Introduciendo datos & expresiones correctamente Página 14
Vemos que al dar ENTER la calculadora
entiende otra cosa completamente distinta.
Es un muy buen tip que observes lo que
escribiste al dar ENTER en la parte izquierda
de la pantalla y veas si esa expresión es la
que quieres.
Otro ejemplo:
�� 8��7�� 3� � 15
Como en el numerador y denominador hay
más de un término deben escribirse ambos
paréntesis al inicio y al final de cada
expresión, damos ENTER:
Nótese que en el denominador como la
expresión inicia con un término con signo
negativo se empieza usando el menos de la
tecla negra, y el siguiente es con la tecla
menos blanca. Recordemos que los
paréntesis dividen expresiones completas,
por eso aunque este en medio de la línea de
entrada se usa el signo negativo negro.
También notamos que la calculadora
factoriza la parte de arriba y cambia signos
por comodidad, siendo esto una igualdad
exacta.
Exponentes
Otro error relativamente común son los
exponentes. Por ejemplo si queremos
escribir:
���)
Como veras a simple vista en la calculadora
no existe una tecla con raíz cúbica, solo esta
la de raíz cuadrada, para escribir una raíz del
orden que sea se debe usar el exponente con
la sencilla regla:
√��� * �� +⁄
Cuando se escribe un exponente en
fracciones en la calculadora, de igual
manera debe ponerse entre paréntesis
después del símbolo de exponente:
Al dar ENTER vemos la expresión correcta de
la equis con su exponente. De igual manera
se recalca la importancia de poner entre
paréntesis esta expresión ya que de no
hacerlo la calculadora entenderá otra cosa,
observa:
[ RESISTENCIA DE MATERIALES 1 ] Invierno 2009
Introduciendo datos & expresiones correctamente Página 15
Vemos que al no ponerlo la calculadora
entiende que se trata de una equis cuadrada
entre tres y no es la expresión adecuada. Por
eso es MUY IMPORTANTE el escribir
correctamente la información en la
calculadora ya que de no hacerlo nos dará
resultados incorrectos.
Listas ó Matrices
Cuando escribas en listas o matrices
(generalmente las usaras en materias como
Algebra Lineal, Investigación de Operaciones
1, Ingeniería Económica 1, Ingeniería
Económica 2) es importante que recuerdes
que las comas “,” también dividen
expresiones y por lo tanto si por ejemplo
escribes un dato con signo negativo es como
si iniciara una nueva expresión y debe
teclearse con el signo menos de la tecla
negra.
Por ejemplo al escribir la lista:
-5, �6,8, �2,10
Se abren y cierran las llaves tecleando “2nd”
+ paréntesis de apertura o cierre
:
Vemos que al dar ENTER la lista se crea con
los datos de signo correctos, de poner el otro
signo menos ocurriría un error de sintaxis.
Funciones solve, factor, expand
Si estás trabajando en materias como calculo
diferencial, cálculo integral, algebra lineal es
posible que te sean útiles éstas funciones. En
general se te explicarán en el curso de la
materia que tomes si es que te son de ayuda.
De todas maneras aquí se te explica un poco
de cómo usarlas. Todas estas funciones están
en el menú F2 Algebra, al dar ENTER sobre
cada una se copia a la línea de entrada para
usarse:
Función Solve
La función solve resuelve igualdades o
inecuaciones en la línea de entrada de HOME
lo único que necesitas es introducir la
ecuación en la línea de entrada, la respectiva
igualdad o inecuación, luego la respectiva
coma e inmediatamente después la variable
que deseas que la calculadora encuentre, de
esta forma:
1%23���4�54$ó , 35�$572�&
Por ejemplo nos piden encontrar los valores
de X que satisfacen la expresión:
�� 6�� 5� 30 * 75
[ RESISTENCIA DE MATERIALES 1 ] Invierno 2009
Introduciendo datos & expresiones correctamente Página 16
En la línea de entrada de HOME se debe
introducir de esta forma:
1%23���� 6�� 5� 30 * 75, �&
Ahora simplemente damos ENTER:
Y se llega al resultado.
Función Factor
La función factor como su nombre lo indica
factoriza expresiones (de ser posible) y
devuelve la multiplicación adecuada que
daría como resultado esa expresión. Su
forma de escritura es:
954!%�������1$% &
Como te puedes dar cuenta no tiene ni coma
ni variable a buscar ya que no necesita de
una variable para encontrar, sino que va a
factorizar con las variables que tengas dentro
de la expresión. Por ejemplo te piden
factorizar la siguiente expresión:
�� 9�� � 7� � 63
Para introducirlo en la línea de entrada de
HOME sería así:
954!%���� 9�� � 7� � 6&
Damos ENTER y vemos:
Nos devuelve la factorización adecuada de
binomios que daría como resultado ese
polinomio.
Función Expand
La función expand es la función inversa de
factor, cuando introduzcas una expresión
elevada a una potencia o una multiplicación
de expresiones lo que va a hacer es
desarrollar esa multiplicación para que la
visualices por completo. Su forma de
escritura es similar a la de factor:
���5 �������1$ó &
Por ejemplo supongamos que necesitas
desarrollar la expresión:
�2�� 9&�
En la línea de entrada de HOME se debe de
introducir así:
���5 ���2�� 9&�&
[ RESISTENCIA DE MATERIALES 1 ] Invierno 2009
Introduciendo datos & expresiones correctamente Página 17
Damos ENTER y vemos:
Operador With
El operador “with” es un comando
condicionante, en la calculadora se puede
combinar con varias funciones de la misma
para restringir la búsqueda de una respuesta
ó para sustituir un valor en una variable en
una expresión dada. Su símbolo es |. Tú
puedes combinarlo de la siguiente forma:
1. Pidiéndole que sustituya un valor en una
variable, esto es útil cuando quieres sustituir
un valor cualquiera en una expresión grande
y tendrías que hacer varias operaciones a
mano, por ejemplo:
5� 7��
3�� 12�� � 5�
Y quieres sustituir digamos 7 en donde haya
equis y evaluarlo. Primero debes teclear la
expresión completa en la línea de entrada y
luego teclear este operador, el operador
“with” sale tecleando “2nd” + letra K del
teclado extendido. En la línea de entrada
quedaría así:
Damos ENTER y vemos:
Como puedes ver opera la expresión,
también antes de dar ENTER puedes
presionar DIAMANTE y te devolverá un valor
numérico aproximado.
2. También lo puedes usar para restringir la
búsqueda de respuestas. Por ejemplo buscas
sólo la solución positiva de X para:
�� � 2� � 15 * 0
Para ésta igualdad como sabemos ocupamos
la función solve y al finalizar de escribir la
función restringimos la búsqueda a X>0:
1%23���� � 2� � 15 * 0, �&|� ; 0
En la línea de entrada quedaría así:
Damos ENTER y vemos:
El símbolo de “>” sale con “2nd”+ símbolo de
punto de la parte numérica.
[ RESISTENCIA DE MATERIALES 1 ] Invierno 2009
Introduciendo datos & expresiones correctamente Página 18
Mensajes de Error Comunes
Los mensajes de error comunes suceden
cuando en la línea de entrada cometiste un
error de sintaxis o que falta una variable o
alguna expresión necesaria.
Uno de los más comunes es el mensaje de
“Missing )”:
Nos indica que falta un paréntesis ya sea de
cierre o apertura en la línea de entrada. Este
error hace referencia a la regla que dice
“Cada paréntesis que se abre debe cerrarse”
Otro error común es el de “Syntax”:
Este error nos indica que hemos escrito algo
mal en la línea de entrada, generalmente se
debe a los signos negativos, es decir que
hemos usado los inadecuados.
También tenemos éste otro error, el de “Too
few arguments”
El cual nos indica que hacen falta
argumentos para la función, esto se explicará
con el uso mismo de los programas y
software para que sepas como y donde
ponerlos.
Un último factor importante en el uso de la
calculadora es que después de que le des
una orden ya sea dando ENTER o con
cualquier otra tecla de resolución dejes que
la calculadora “piense” o resuelva lo que le
has pedido, cuando esta “ocupada” lo dice
en la esquina inferior derecha, aparece el
recuadro de BUSY, lo cual indica que esta
ocupada y no debes teclear nada hasta que
te devuelva una respuesta.
Borrando Variables
Es importante que de cuando en cuando
después de haber usado tu calculadora
elimines las variables con valores asignados
que se hayan podido guardar en la memoria,
esto ocurre algunas veces cuando ocupas la
función solve ó cuando usas el Numeric
Solver, para eliminar las variables estando en
HOME simplemente teclea F6 CleanUp y da
ENTER sobre la primera opción “Clear a-z”:
Al hacer esto borras automáticamente todos
los valores que podrían contener las
variables de la “A” a la “Z”. Es importante
que hagas esto cuando inicias un nuevo
problema.
[ RESISTENCIA DE MATERIALES 1 ] Invierno 2009
Introduciendo datos & expresiones correctamente Página 19
Multiplicación Implícita de Variables
Otro error bastante común a la hora de
teclear los datos es que nosotros al escribir a
mano damos por hecho la multiplicación
implícita de variables en una expresión, por
ejemplo al escribir:
�< 3�� � 2<=
Nosotros por intuición y por lo que nos han
enseñado sabemos sin problema que en la
primer y último termino hay una
multiplicación de variables X por Y y Y por Z.
En la Texas debemos especificar ésta división
de variables ya que si las tecleamos juntas la
Texas pensará que se trata de una variable
única llamada XY ó YZ:
La forma correcta es teclear el signo de
multiplicación entre ambas variables:
Podemos ver la diferencia, como tip puedes
observar el pequeño punto entre la X y la Y,
así como entre la Y y la Z indicando la
independencia de cada variable. Es
importante teclear esto correctamente, ya
que en el uso de alguna función podría no
reconocer la variable que quieres que
resuelva, por ejemplo:
Podemos ver que al resolver una igualación a
15 y pedirle encontrar Y, no existe ésta
variable ya que para la Texas solo hay
variables X, XY y YZ, lo correcto sería:
Cuando todo falla
Se ha llegado a ver situaciones en donde la
pantalla se “frizea” ó se queda trabada, esto
ocurre generalmente cuando no esperaste
una respuesta de la misma cuando estaba en
estado BUSY, siempre debes esperar
después de darle un comando de resolución
o respuesta (ya sea ENTER o cualquier otro) a
que te devuelva un valor o mensaje, NO LA
FUERCES, se paciente y siempre fíjate en el
estado de la misma, éste se encuentra
siempre activo en la esquina inferior derecha
de la pantalla, da siempre un teclazo a la vez
y ordenadamente. De todas maneras si se te
llegara a trabar presiona al mismo tiempo
estas 3 teclas “2nd” + ON + tecla de mano:
+ + . Esto reiniciará la
calculadora completamente y sin problemas.
[ RESISTENCIA DE MATERIALES 1 ] Invierno 2009
Introduciendo datos & expresiones correctamente Página 20
Ephy
Pensando en el gran número de usos en el
área de Química y sus modalidades
combinadas (Fisicoquímica, Termodinámica,
Química Orgánica, etc.) instalé en todas las
calculadoras una práctica tabla periódica de
los elementos que puedes consultar. Para
entrar a ella estando en HOME teclea en la
línea de entrada la combinación “EPHY()” y
da ENTER:
Da ENTER nuevamente para continuar:
Y verás:
Y puedes desplazarte por cada elemento, y
para ver su información da ENTER sobre el
símbolo del elemento que deseas ver y verás
su ficha completa:
La desventaja es que está en francés, pero
los símbolos químicos no cambian, son
iguales para todos, además de que es
bastante entendible, la información es
explícita, la información de cada elemento es
la siguiente:
• Nombre
• Masa Atómica
• Electronegatividad
• Densidad (gr/cm3)
• Punto de Ebullición (°C)
• Punto de Fusión (°C)
• Valencia
• Configuración Electrónica
• Radio Atómico
• Por quién fue descubierto y en que
año.
Para salir de la tabla simplemente da ESC:
[ RESISTENCIA DE MATERIALES 1 ] Invierno 2009
Índice de Investigación de Operaciones 1 Página 21
Índice de Resistencia de Materiales 1
C a p í t u l o 1 Armaduras
1.1 Resolviendo armaduras con Arma2D….…………………………………………..23
C a p í t u l o 2 Vigas
2.1 Resolviendo vigas con Saxpc……………………………………………………………39
[ RESISTENCIA DE MATERIALES 1 ] Invierno 2009
Índice de Investigación de Operaciones 1 Página 22
[ RESISTENCIA DE MATERIALES 1
Resolviendo Armaduras con Arma2D
Resolviendo armaduras con Arma2D
Para esta materia en específico, estos 2
programas “Arma2D” y “saxpc1” los van a
amar, ya que son de gran ayuda para
comprobar tus resultados y resultan
didácticos. El programa Arma2D (si
descargaste el programa de internet) ya
viene con un archivo html para que observes
el manual de éste programa, sin embargo en
ocasiones suele ser confusas algunas
explicaciones. Por eso resolver
manual algunos ejemplos específicos y como
debes meter la información a la calculadora.
Este programa fue desarrollado por Germán
Flores Jarquín, un ingeniero civil egresado de
la UNI (Universidad Nacional de Ingeniería)
de Managua, Nicaragua, al cual le debemos
el agradecimiento por parte de muchos
estudiantes que como a mí (hace tiempo) me
ayudo en ésta materia además de comprobar
mis resultados también a entender y
comprender las reacciones y fuerzas
involucradas en las armaduras. Sin más ni
menos empezaremos resolviendo un
ejemplo:
Para la armadura de la figura, hallar la
fuerza en las barras AD, DE y EC, por el
método de los nudos, cuando F1 = 6 kN, F2 =
4kN y cada barra mide 5 m.
Bien lo primero que debemos hacer para
resolver las armaduras es llevar la
información que nos dan a un formato
donde debemos definir claramente la
IALES 1 ]
Resolviendo Armaduras con Arma2D
Resolviendo armaduras con Arma2D
Para esta materia en específico, estos 2
programas “Arma2D” y “saxpc1” los van a
amar, ya que son de gran ayuda para
tus resultados y resultan
didácticos. El programa Arma2D (si
descargaste el programa de internet) ya
viene con un archivo html para que observes
el manual de éste programa, sin embargo en
ocasiones suele ser confusas algunas
explicaciones. Por eso resolveremos en éste
manual algunos ejemplos específicos y como
debes meter la información a la calculadora.
Este programa fue desarrollado por Germán
Flores Jarquín, un ingeniero civil egresado de
Universidad Nacional de Ingeniería)
al cual le debemos
el agradecimiento por parte de muchos
estudiantes que como a mí (hace tiempo) me
ayudo en ésta materia además de comprobar
mis resultados también a entender y
comprender las reacciones y fuerzas
involucradas en las armaduras. Sin más ni
menos empezaremos resolviendo un
Para la armadura de la figura, hallar la
fuerza en las barras AD, DE y EC, por el
método de los nudos, cuando F1 = 6 kN, F2 =
Bien lo primero que debemos hacer para
ras es llevar la
información que nos dan a un formato
donde debemos definir claramente la
información que tenemos antes de correr el
programa. Es
RECOMENDADO (casi obligatorio)
papel y tomarse unos segundos para
transferir la armadura que nos dan a una
armadura donde se deben definir claramente
el número de Nodos y el número de
elementos (barras) que hay en la estructura:
= No. de Nodos. En este caso son 5.
= No. de Elementos. En éste caso son
7 barras ó elementos.
Este es un paso muy importante porque
debes identificar claramente el número de
nodos y barras presentes en el problema.
Luego debes también indicar las
coordenadas de cada nodo
datos que cada barra mide 5m, por lo tanto
por geometría podemos sacar las
coordenadas de cada uno, tomaremos como
punto de origen el nodo 1:
Recuerda que la altura de los triángulos sale
con geometría elemental, los triángulos son
equiláteros, por lo tanto l
Invierno 2009
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información que tenemos antes de correr el
programa. Es AMPLIAMENTE
(casi obligatorio) tomar un
papel y tomarse unos segundos para
transferir la armadura que nos dan a una
armadura donde se deben definir claramente
el número de Nodos y el número de
elementos (barras) que hay en la estructura:
= No. de Nodos. En este caso son 5.
No. de Elementos. En éste caso son
Este es un paso muy importante porque
debes identificar claramente el número de
nodos y barras presentes en el problema.
Luego debes también indicar las
coordenadas de cada nodo. Nos dan de
e cada barra mide 5m, por lo tanto
por geometría podemos sacar las
coordenadas de cada uno, tomaremos como
punto de origen el nodo 1:
Recuerda que la altura de los triángulos sale
con geometría elemental, los triángulos son
equiláteros, por lo tanto los ángulos internos
[ RESISTENCIA DE MATERIALES 1 ] Invierno 2009
Resolviendo Armaduras con Arma2D Página 24
son de 60 grados cada uno, la altura del
triángulo se encuentra exactamente a la
mitad de su base (2.5) y se despeja con la
identidad de tangente = tan(60)x2.5=4.3301
es muy importante claro está que las
unidades desde el inicio sean consistentes en
todos los sentidos, ya sea que trabajes con
pies, o pulgadas o metros (como en este
caso), al igual que las fuerzas que manejes ya
sean kN, o libras fuerza, etc. Una última cosa
que debes considerar es que si tienes fuerzas
actuando en algún punto inclinadas debes
descomponer la fuerza en X e Y para tener
los valores listos para introducirlos (este no
es el caso ya que las fuerzas de nuestro
problema ya están dirigidas una en X y otra
en Y completamente).
Habiendo encontrado las coordenadas de los
nodos y definido claramente los nodos y
elementos que hay en nuestro problema,
estamos listos para correr Arma2D.
Encendemos la calculadora, tecla ON:
Nos dirigimos a HOME, como referencia es
un ícono de una pequeña calculadora.
Damos ENTER para entrar:
Si instalaste el programa con anterioridad
debes saber ya como llamar al programa,
presionamos “2nd” + signo menos para
acceder al menú de carpetas de la
calculadora:
Desplegamos el contenido de ARMA2D
dando a la derecha con el cursor:
Nos posicionamos sobre la primera
aplicación que hace referencia al programa y
damos ENTER para que se copie a la línea de
entrada:
Ahora simplemente completamos el inicio
del programa tecleando el paréntesis de
cierre y damos ENTER:
Nos da la bienvenida al programa. Damos
ENTER nuevamente para continuar:
[ RESISTENCIA DE MATERIALES 1 ] Invierno 2009
Resolviendo Armaduras con Arma2D Página 25
Nos aparece la pantalla del menú general del
programa. Por alguna extraña razón con éste
sistema operativo la pantalla de bienvenida
no se ve adecuadamente, sin embargo todo
lo demás funciona perfectamente. De aquí
en adelante es bueno tener cerca la hoja que
hicimos con los datos de la armadura. Damos
en F1 para ingresar un nuevo problema y nos
pregunta el No. de nodos y No. de elementos
de la armadura:
Tecleamos la información, son 5 nodos y 7
elementos, para moverte de ventana de
datos da arriba o abajo con el cursor, cuando
esté listo da ENTER 2 veces:
Vemos una pequeña explicación de lo que
había mencionado de teclear las
coordenadas de los nodos, es importante
que definas claramente el punto de origen
en tu armadura, recuerda que definimos
nuestro origen en el nodo 1. Damos ENTER:
Como el Nodo 1 es nuestro punto de
referencia sus coordenadas serán 0,0:
Damos ENTER:
El nodo 2 se encuentra en las coordenadas
5,0:
Y así sucesivamente llenamos las
coordenadas de todos los nodos:
[ RESISTENCIA DE MATERIALES 1 ] Invierno 2009
Resolviendo Armaduras con Arma2D Página 26
Luego de introducir los datos de los nodos
nos mostrará los datos de cada nodo
introducido para corroborar y comprobar los
datos. Damos ENTER:
Vemos que hayamos escrito correctamente
la información y damos ENTER:
Nos da la opción en éste punto en hacer
algún cambio ya que al avanzar después ya
no se podrá cambiar la información, si
cambiáramos al opción a “sí” tendríamos que
introducir el nodo que queremos cambiar y
la nueva coordenada. Damos ENTER para
continuar:
Ahora nos da una explicación de nodo inicial
y nodo final en donde se encuentran los
elementos, es decir entre que y que nodo
están las barras o elementos del problema,
cabe señalar que no importa el orden en el
que se meta el nodo inicial o final, si una
barra esta entre el nodo 1 y 2, podemos
poner de igual forma el nodo inicial 1 y el
final 2 ó viceversa sin que haya ningún
problema. Damos ENTER:
De igual forma debemos tener cerca nuestra
hoja y observar cada elemento y decir entre
que y que nodo se encuentra. El primer
elemento se encuentra entre los nodos 4 y 5:
Y así sucesivamente introducimos todos los
elementos:
[ RESISTENCIA DE MATERIALES 1 ] Invierno 2009
Resolviendo Armaduras con Arma2D Página 27
De nuevo nos muestra a continuación la
información que introducimos:
Para ver la tabla completa da con el cursor
hacia abajo. Aquí corroboramos que la
información introducida sea la adecuada.
Damos ENTER para continuar:
De igual forma tenemos opción de hacer
algún cambio a algún elemento en especial
en caso de que nos hayamos equivocado en
alguna expresión. Damos ENTER:
De igual forma nos da una explicación de
cómo introducir los apoyos que tenemos.
Damos ENTER:
Nos pide introducir el número de apoyos que
hay en el problema o visto de otra forma el
número de nodos que tienen apoyos. En
nuestro problema tenemos 2 apoyos:
Damos ENTER:
A continuación debemos teclear el número
de Nodo que tiene el apoyo y después el tipo
de apoyo que tiene. Para introducir ésta
información debes saber el código (tomado
del manual de Arma2D):
Listado abajo están las tres posibilidades de apoyo:
Apoyo Articulado: Código X = 1
Código Y = 1
Apoyo de Rodillo Vertical: Código X = 0
Código Y = 1
[ RESISTENCIA DE MATERIALES 1 ] Invierno 2009
Resolviendo Armaduras con Arma2D Página 28
Apoyo de Rodillo Horizontal: Código X = 1
Código Y = 0
Con esto sabemos que nuestro apoyo en el
nodo 1 corresponde al código X=1 e Y=1, y en
el apoyo del Nodo 3 corresponde a un apoyo
de rodillo vertical con código X=0 e Y=1.
Damos ENTER:
Damos ENTER 2 veces:
De igual forma nos muestra lo introducido y
como sabemos nos da la opción de cambiar
alguna información. Damos ENTER 2 veces:
Ahora debemos introducir las propiedades
geométricas de la armadura, es decir el
módulo de elasticidad y área transversal de
las barras, en la mayoría de los problemas
que vas a resolver dan las armaduras sin
estos datos (esto quiere decir que son
constantes en toda la armadura), cuando
tenemos un caso así debemos teclear
simplemente el valor de 1 en el apartado de
área y 1 en elasticidad, más adelante
resolveremos un ejercicio donde involucre
área determinada en alguna parte de la
armadura para que veas la diferencia.
Esta ventana hace referencia a las secciones
de la armadura que contienen la misma área
y modulo de elasticidad igual, como toda
nuestra armadura es constante tecleamos 1
indicando que la sección es única:
Damos ENTER:
Nos indica lo explicado hace un momento,
damos ENTER:
Como había mencionado en área y
elasticidad tecleamos 1:
[ RESISTENCIA DE MATERIALES 1 ] Invierno 2009
Resolviendo Armaduras con Arma2D Página 29
Damos ENTER:
Como le dijimos que era una sección única
automáticamente tomó todos los elementos
del problema (7) para tomarlos en dicha
sección, así lo dejamos y damos ENTER:
Lo mismo sucede para el número de
elementos que conforman la sección 1, los
cuales van numerados y separados por
comas y entre corchetes, así tal cual damos
ENTER:
Como en los datos anteriores también nos
muestra la información introducida de las
propiedades geométricas:
Todas deben ser 1 porque es constante en
toda la armadura. Damos ENTER 2 veces para
confirmar:
A continuación el programa nos da una
explicación de que puedes introducir las
cargas o fuerzas externas y cuando las
hayamos introducido podemos dar en la
opción terminar para que calcule el
problema. Damos ENTER:
Como puedes ver tienes la opción de
introducir las combinaciones de fuerza que
tengas en tu problema, en la mayoría de
problemas que resolverás en clase sólo veras
fuerzas puntuales, sin embargo si llegara a
darse el caso puedes introducir como ves
desplazamientos nodales, cambios de
temperaturas o longitudes incorrectas. La
opción que hace referencia a las cargas
puntuales es la No.1 de Fuerzas Externas,
damos ENTER en esta opción:
Como en los apoyos de igual forma debemos
introducir el número de fuerzas puntuales
totales que hay en la armadura y que
corresponden a 2:
[ RESISTENCIA DE MATERIALES 1 ] Invierno 2009
Resolviendo Armaduras con Arma2D Página 30
Continuamos dando ENTER:
Debemos introducir el No. de Nodo que
tiene la primera fuerza puntual, en nuestro
ejemplo corresponden al los nodos 5 y 2,
empezaremos con el 5, la fuerza en X es la
descomposición de la fuerza en ése punto,
como la fuerza va completamente sobre el
eje X queda como X=4 e Y=0 (no hay
componentes en Y de esta fuerza).
Manejaremos las fuerzas con la magnitud tal
cual en kN:
Damos ENTER para continuar e introducimos
el segundo nodo que corresponde al nodo
No. 2 y las fuerzas en X e Y en éste punto:
Recuerda que las fuerzas tienen el sistema
de eje coordenado, es por esto que la fuerza
en Y es negativa:
Fuerza Signo � - � + � + � -
Recuerda también que el signo adecuado a
usar es el signo menos de la tecla negra .
Damos ENTER para continuar y de igual
forma nos da la opción de corregir alguna
fuerza mal introducida:
Damos ENTER 2 veces para continuar:
Y nos regresa al menú general, si tuviéramos
más fuerzas o combinaciones de carga para
introducir podríamos aquí seguirlo haciendo,
como hemos terminado de introducir todas
las fuerzas involucradas en la armadura
damos en TERMINAR:
Y nos despliega otro menú para que el
programa calcule la armadura o la grafique
yo RECOMIENDO que primero grafiques la
armadura para ver que la información
introducida haya sido la correcta, damos
ENTER en ésta opción:
[ RESISTENCIA DE MATERIALES 1 ] Invierno 2009
Resolviendo Armaduras con Arma2D Página 31
Vemos correctamente la armadura de los
triángulos. Damos ENTER para continuar y
nos regresa al menú general, ya que lo
hemos comprobado damos en Analizar para
que calcule la armadura:
Puedes ver como avanza en el cálculo de la
armadura:
Es muy importante que no la interrumpas ni
presiones ninguna tecla cuando este en este
proceso. Luego verás:
Damos ENTER:
Este es el menú general de resultados. Cabe
destacar que Arma2D resuelve el sistema de
armaduras con el método de rigideces, un
método que pocos profesores enseñan.
Vemos primero la gráfica, presionamos F2 y
desplegamos el menú de “Graficar” y
seleccionamos la primera opción de
Geometría:
Damos ENTER:
Damos ENTER de nuevo, ahora veremos los
desplazamientos, nuevamente del menú F2 y
la segunda opción:
Ésta es una de las partes didácticas del
programa, ya que muestra el tipo de
reacción que tiene la armadura al aplicarle
las fuerzas puntuales que tenemos, vemos
que en el nodo 2 se crea un desplazamiento
que será donde recaerá más las fuerzas, con
esta simple gráfica podemos deducir que el
número de elementos en los cuales recaerá
más fuerza será en los elementos 6 y 7.
Damos ENTER para continuar. Por último del
mismo menú F2 veremos una pequeña
animación disponible:
[ RESISTENCIA DE MATERIALES 1
Resolviendo Armaduras con Arma2D
Verás como se mueve y se desplaza en X en
el apoyo del nodo No. 3 porque es libre y en
el nodo No. 1 es fijo y no se mueve. Es
importante remarcar que no podrás ver la
animación hasta que primero veas la
geometría y los desplazamientos. Ahora
pasaremos a ver los resultados. Damos en
F1:
Generalmente en clase sólo verás reacciones
en apoyos y fuerzas en los elementos o
“barras”. Damos en la opción 2 de
Reacciones:
Damos ENTER:
Y vemos las reacciones en X e Y de cada
apoyo, solo debes hacer referencia que Nodo
“1” es el nodo A en el problema original y el
nodo “3” es el nodo C del problema original.
Recuerda que como metimos en kN la fuerza
estas reacciones de fuerza en X e Y también
están en kN. Damos ENTER para regre
menú general. Y vemos ahora las fuerzas del
menú F1:
IALES 1 ]
Resolviendo Armaduras con Arma2D
Verás como se mueve y se desplaza en X en
el apoyo del nodo No. 3 porque es libre y en
el nodo No. 1 es fijo y no se mueve. Es
importante remarcar que no podrás ver la
animación hasta que primero veas la
amientos. Ahora
pasaremos a ver los resultados. Damos en
Generalmente en clase sólo verás reacciones
en apoyos y fuerzas en los elementos o
“barras”. Damos en la opción 2 de
Y vemos las reacciones en X e Y de cada
apoyo, solo debes hacer referencia que Nodo
“1” es el nodo A en el problema original y el
nodo “3” es el nodo C del problema original.
Recuerda que como metimos en kN la fuerza
estas reacciones de fuerza en X e Y también
están en kN. Damos ENTER para regresar al
menú general. Y vemos ahora las fuerzas del
Damos ENTER:
Para ver la tabla completa solo baja con el
cursor. Aquí ya tienes todos los resultados,
en el problema original nos pedían los
esfuerzos en las barras
debes hacer la comparación adecuada de los
elementos que corresponden a esas barras,
siempre es bueno cuando llegamos a este
punto (para ahorra tiempo) simplemente
escribir encima de nuestra hoja con la
armadura que interpretamos los nombres de
los nodos originales(A, B, C, D, E):
Para que puedas hacer la relación correcta
de barras que piden con los elementos para
Arma2D:
Barra (problema original)
AD
DE
EC
AB
BC
DB
BE
Invierno 2009
Página 32
Para ver la tabla completa solo baja con el
cursor. Aquí ya tienes todos los resultados,
en el problema original nos pedían los
esfuerzos en las barras AD, DE y EC, solo
s hacer la comparación adecuada de los
elementos que corresponden a esas barras,
siempre es bueno cuando llegamos a este
punto (para ahorra tiempo) simplemente
escribir encima de nuestra hoja con la
armadura que interpretamos los nombres de
nales(A, B, C, D, E):
Para que puedas hacer la relación correcta
de barras que piden con los elementos para
Elemento Arma2D
2
1
5
6
7
3
4
[ RESISTENCIA DE MATERIALES 1 ] Invierno 2009
Resolviendo Armaduras con Arma2D Página 33
Las barras y elementos en negritas son las
barras que pedían en el problema.
Concluimos viendo los resultados que las
fuerzas son:
Barra Fuerza
AD -1.464kN
DE -1.464kN
EC -5.464kN Adjunto la resolución del problema el cual lo
hicieron por el método de Nudos (nodos)
para que observes que está en lo correcto:
Como puedes darte cuenta es relativamente
“largo” y este es un excelente programa para
comprobar tus respuestas sin temor a fallo,
es muy importante claro está que
introduzcas bien la información como se
mostro anteriormente. Damos ENTER para
continuar y regresar al menú general.
También podemos ver los desplazamientos
nodales:
Damos ENTER para continuar. Para salirnos
simplemente damos en F4:
[ RESISTENCIA DE MATERIALES 1
Resolviendo Armaduras con Arma2D
Nos da por último la opción de guardar las
matrices resultado. Estas matrices
resultan de resolver la armadura por el
método de rigideces o matrices, un método
que casi no usarás, sin embargo podrían
serte útil después, es a tu elección guardarlas
o no. Damos ENTER para salir:
Nos despliega la despedida del programa,
damos ENTER para finalizar:
Nos regresa al menú general del programa
donde podemos seguir haciendo más
armaduras si así lo deseamos o para salir del
programa por completo presionamos F3.
IALES 1 ]
Resolviendo Armaduras con Arma2D
Nos da por último la opción de guardar las
matrices resultado. Estas matrices repito
resultan de resolver la armadura por el
método de rigideces o matrices, un método
que casi no usarás, sin embargo podrían
serte útil después, es a tu elección guardarlas
o no. Damos ENTER para salir:
Nos despliega la despedida del programa,
Nos regresa al menú general del programa
donde podemos seguir haciendo más
armaduras si así lo deseamos o para salir del
programa por completo presionamos F3.
Haremos un ejercicio más, pero ahora
considerando un ejemplo un poco más
complejo con variables con área transversal y
modulo de elasticidad:
Calcular los esfuerzos
soportes en la estructura de la siguiente
figura. Considera que las barras AC, CD y DB
tienen un módulo de elasticidad de
E=200,000 MPa y tienen un igual área
transversal A=10cm2, mientras que las
barras AD y BC tienen un módulo de
elasticidad E=150,000 MPa y un área
transversal de 7.5cm2.
De igual forma lo primero que tenemos que
hacer es tomar una hoja y pasar la
información adecuada al No. de nodos con
sus respectivas coordenadas y No. de
elementos de la armadura:
Invierno 2009
Página 34
Haremos un ejercicio más, pero ahora
ejemplo un poco más
complejo con variables con área transversal y
y reacciones en los
en la estructura de la siguiente
figura. Considera que las barras AC, CD y DB
tienen un módulo de elasticidad de
200,000 MPa y tienen un igual área
, mientras que las
barras AD y BC tienen un módulo de
elasticidad E=150,000 MPa y un área
De igual forma lo primero que tenemos que
hacer es tomar una hoja y pasar la
rmación adecuada al No. de nodos con
sus respectivas coordenadas y No. de
elementos de la armadura:
[ RESISTENCIA DE MATERIALES 1 ] Invierno 2009
Resolviendo Armaduras con Arma2D Página 35
Ya que tenemos la información adecuada
para Arma2D otro factor de SUMA
IMPORTANCIA son las unidades que se van a
manejar, en este ejercicio nos dan las
unidades mezcladas (MPa, kN, m, cm2). Es
muy importante que definas desde el inicio
que unidades vas a manejar y seas
consistente en todas ellas. En general sólo
debes hacer cuadrar las unidades para
distancia y área, así como para fuerza y
elasticidad. Generalmente solo hay de 2
sopas, el sistema inglés o el sistema
internacional, yo te recomiendo que
SIEMPRE transformes las unidades que
tengas del problema al sistema en donde
predominen sus unidades. Aquí dejo la tabla
con las unidades correspondientes para cada
sistema, y que son las unidades con las que
se tiene que introducir al programa Arma2D:
Tipo Área Elasticidad Distancia Fuerza
S.I. m2 Pa m N
Inglés ft2 psi ft lbf
La misma Texas puede ayudarte a cuadrar las
unidades que tenemos (en este caso) al
sistema internacional.
Sabemos de primera mano que 1kN equivale
a 1000N, por lo tanto cuadrando las fuerzas
que tenemos son 5000 N y 8000 N
respectivamente, también sabemos que
1MPa = 1, 000,000 Pa, por lo tanto la
elasticidad ajustada a Pascales sería 2x1011 y
1.5x1011 respectivamente y por último nos
queda convertir cm2 a m2. El cual en la Texas
se puede hacer, en la línea de entrada
tecleamos el 10:
Ahora presionamos tecla DIAMANTE +
letra P del teclado extendido y vemos:
Este es el repertorio de unidades que posee
la calculadora, aquí están todas las unidades
que usarás a lo largo de tu carrera, como
puedes ver están divididas por tipo
(constantes, longitud, área, volumen, etc.),
te puedes mover a través del menú con las
flechas de desplazamiento
y para desplegar cualquier submenú de
unidades das un teclazo a la derecha y para
contraerlo con tecla ESC . Como en
nuestro ejercicio hace referencia a una
unidad de medida al cuadrado desplegamos
del menú “Lenght” (longitud) y damos ENTER
en la opción de cm:
[ RESISTENCIA DE MATERIALES 1 ] Invierno 2009
Resolviendo Armaduras con Arma2D Página 36
Y tecleamos la unidad al cuadrado con
para convertir la unidad tecleamos
“2nd” + letra Y del teclado extendido:
Esta pequeña flechita es de conversión,
ahora para no estar llamando al menú de
unidades podemos teclear el guión bajo + la
combinación de letra de la unidad solicitada
a convertir, presionamos “2nd” + letra P del
teclado extendido y sale el guión bajo y
ahora solo tecleamos la m^2:
Damos ENTER:
Y vemos la transformación inmediata a
metros cuadrados. Hacemos lo mismo para
los 7.5:
Ya que tenemos todos nuestros valores
cuadrados al sistema internacional
procedemos a correr el programa Arma2D
nuevamente. Como tip simplemente
desplázate con el cursor por el historial y
posiciónate sobre la línea de arma2d/arma2d
y da ENTER para que se copie a la línea de
entrada y da ENTER nuevamente para que de
inicio. Todo el proceso como en el ejemplo
anterior empieza igual. Indicamos los nodos
y elementos, las coordenadas (en metros) de
los nodos:
Las conectividades de los elementos:
Aquí es importante recordar que el número
de elementos debe especificarlos bien el
problema ya que podría haber una confusión
de un nodo inexistente en el cruce de los
elementos 4 y 5. Luego los apoyos:
Sólo haremos una pausa para indicar la
diferencia en las propiedades geométricas
del problema:
Aquí simplemente tenemos que diferenciar
el número de secciones de la armadura que
tienen las mismas propiedades (área y
[ RESISTENCIA DE MATERIALES 1 ] Invierno 2009
Resolviendo Armaduras con Arma2D Página 37
elasticidad), sabemos que hay 2 tipos,
tecleamos 2 y damos ENTER:
Ahora vamos a definir la sección 1 como las
barras AC, CD y DB, en nuestra hoja las
tenemos como elementos 1, 2 y 3.
Tecleamos las propiedades geométricas
encontradas con las unidades corregidas de
estas barras:
La expresión de la “E” sale con “2nd” +
número 1 de la parte numérica y expresa
“x10n”. Damos ENTER para continuar y nos
va a preguntar el número de barras que
tienen estas propiedades, sabemos que son
3:
Damos ENTER para continuar, y ahora nos va
a preguntar cuales son los elementos que
tienen estas propiedades, debes poner el
número de elemento que le corresponde
separados por comas y entre corchetes
FORZOSAMENTE. Para quitar la sombra de
los corchetes da a la derecha con el cursor
una vez y luego nuevamente a la izquierda
para posicionarte en medio de los corchetes,
sabemos que los elementos son 1, 2 y 3:
Damos ENTER para continuar (en caso de
que hayas borrado accidentalmente los
corchetes debes reescribirlos con “2nd” +
tecla coma y tecla de signo de división). Y de
igual forma nos preguntará ahora las
propiedades de la sección No. 2:
Damos ENTER para continuar y de igual
forma le decimos el número de elementos
que tienen estas propiedades (2):
Damos ENTER para continuar y nuevamente
debemos decirle cuales son los elementos
que tienen estas propiedades, corresponden
a las barras AD y BC, en nuestra hoja las
tenemos como 4 y 5:
Damos ENTER para continuar y vemos los
datos introducidos:
[ RESISTENCIA DE MATERIALES 1 ] Invierno 2009
Resolviendo Armaduras con Arma2D Página 38
De igual forma te dará la opción de corregir
algo o continuar, damos ENTER y lo demás
sigue de la misma forma, introducimos en
Fuerza Externas las fuerzas que actúan sobre
los nodos, recuerda que debe estar en miles
de newtons para que sea consistente con las
demás unidades:
Y damos en TERMINAR y luego en Graficar
para observar que esta bien introducida la
información:
Damos ENTER para continuar y luego a
analizar:
Damos en F1 y vemos los resultados de
reacciones en los apoyos y fuerzas en cada
barra:
Aquí solo debes entender que la Fuerza axial
esta en Newtons y el Esfuerzo está en
Pascales. Al igual que la Reacción en X e Y
están en Newtons. Por último los
desplazamientos nodales:
Los cuales también debes entender que se
encuentran en metros. Damos ENTER para
continuar y luego F4 para salir. Y luego F3
para salir por completo.
Como puedes darte cuenta este es un
excelente programa para corroborar tus
armaduras y comprobar tus resultados. En
resumen lo único que necesitas conocer de
la armadura o calcularlo es:
• Enumerar nodos y elementos(barras)
• Coordenadas de los nodos (x, y)
• Dimensionamiento adecuado de
unidades.
[ RESISTENCIA DE MATERIALES 1 ] Invierno 2009
Resolviendo Vigas con Saxpc Página 39
Resolviendo vigas con Saxpc
El siguiente tema que en general ven en ésta
materia es resolver vigas indeterminadas,
con cargas puntuales, o cargas distribuidas,
momentos y con soportes varios, les piden
encontrar las reacciones en apoyos y
esfuerzos cortantes y graficas de éstos, y
hasta encontrar las ecuaciones de éstas
gráficas, bueno éste programa hace todo eso
y te será de gran ayuda para corroborar tus
respuestas y graficar las vigas que quieras
calcular. Éste programa fue desarrollado por
el I.C. Carlos A. Perez Coca originario de
Managua, Nicaragua, al cual al igual que
Germán le agradecemos su creación,
también viene un manual de uso del
programa en un documento de Word, la
desventaja es que está en inglés, por eso
aquí resolveremos algunos ejercicios. Igual
que en el programa Arma2D, éste programa
te da la opción de poner las propiedades
geométricas de la viga (área transversal y
elasticidad), que de igual forma tú debes
determinar (el problema lo proporciona); hay
otra aplicación en el programa ME-Pro
donde puedes introducir las dimensiones de
la sección transversal de la viga y te calcula
área, momento de inercia, radio de giro y
coordenadas con respecto a los ejes, éstos
datos los ocuparás más adelante cuando
veas vigas donde tengas que encontrar estos
datos para resolver el problema. El programa
mismo de ME-Pro tiene una aplicación para
resolver vigas, sin embargo es limitado y no
puede resolver de todos tipos como saxpc.
Mostraremos un par de ejemplos de todo
esto para mostrar sus usos.
El programa saxpc sólo puede resolver vigas
en plano horizontal, para resolver
combinaciones con vigas verticales se debe
hacer un cambio en la forma de visualizar el
problema para llevarlo a una forma plana.
Veamos un ejemplo de vigas en horizontal:
Encontrar además las reacciones en los
apoyos y encontrar ecuaciones de esfuerzo
cortante y de momento, así como los
diagramas de las mismas.
Este problema a mano nos llevaría algo de
tiempo, con el programa saxpc podemos
encontrar todo esto. A diferencia de
Arma2D, para éstos problemas no necesitas
llevar la información a otra viga para
introducir la información, basta con observar
cuidadosamente la viga que tenemos y que
esté bien dimensionado (con unidades
consistentes) en todos los sentidos. Ya
estando en HOME en la calculadora
tecleamos “2nd” + signo menos , para ir
al menú de las carpetas de la Texas:
Desplegamos la carpeta SAXPC dando a la
derecha con el cursor y damos ENTER sobre
el programa “beamxp”:
[ RESISTENCIA DE MATERIALES 1
Resolviendo Vigas con Saxpc
Cerramos el paréntesis con
ENTER:
Y da la bienvenida al programa, para
empezar a introducir un nuevo problema
damos en F1 y primera opción “Nuevo”:
De aquí en adelante saxpc te irá haciendo
preguntas clave y debes irlas contestando
adecuadamente. En primer lu
entender que para saxpc un “claro” es una
viga, esto se debe a la diferencia cultural, al
parecer en Managua les llaman así, en
segundo lugar el número de “claros” o vigas
va a estar definido por el número de apoyos
que tenga la viga completa, es
apoyos dividen vigas ó “claros”:
IALES 1 ]
Resolviendo Vigas con Saxpc
Cerramos el paréntesis con y damos
Y da la bienvenida al programa, para
empezar a introducir un nuevo problema
damos en F1 y primera opción “Nuevo”:
De aquí en adelante saxpc te irá haciendo
preguntas clave y debes irlas contestando
adecuadamente. En primer lugar debes
entender que para saxpc un “claro” es una
viga, esto se debe a la diferencia cultural, al
parecer en Managua les llaman así, en
segundo lugar el número de “claros” o vigas
va a estar definido por el número de apoyos
que tenga la viga completa, es decir los
apoyos dividen vigas ó “claros”:
En total son 3 claros. Si los apoyos hubieran
estado al inicio y al final de la viga completa
hubiera sido solo un claro, pero como se
encuentran en medio debe ponerse la
división de vigas. Tecleamos 3 y damo
ENTER:
Luego nos pregunta las cargas nodales, esta
pregunta hace referencia a si existen o no
cargas en los “nodos”, es decir si algún nodo
ya tiene una carga positiva que contrarresta
las cargas que halla en los claros, en la
mayoría de los problemas que verás p
ésta materia no habrá cargas positivas en los
nodos, damos cero y ENTER:
Invierno 2009
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En total son 3 claros. Si los apoyos hubieran
estado al inicio y al final de la viga completa
hubiera sido solo un claro, pero como se
encuentran en medio debe ponerse la
división de vigas. Tecleamos 3 y damos
Luego nos pregunta las cargas nodales, esta
pregunta hace referencia a si existen o no
cargas en los “nodos”, es decir si algún nodo
ya tiene una carga positiva que contrarresta
las cargas que halla en los claros, en la
mayoría de los problemas que verás para
ésta materia no habrá cargas positivas en los
nodos, damos cero y ENTER:
[ RESISTENCIA DE MATERIALES 1
Resolviendo Vigas con Saxpc
La pregunta de cuantos apoyos es obvia,
tecleamos 2 y damos ENTER:
Luego nos pregunta las cargas en claros, en
este problema hay 3 cargas distintas,
tecleamos 3 y damos ENTER: (el tipo de
cargas que se deben tomar en cuenta para
incluirlas en esta pregunta son: cargas
puntuales, distribuidas y momentos)
Viene la información de acuerdo a las
distancias en las vigas o claros, para ésta
serie de preguntas debe tomarse desde el
inicio de la viga y de ahí la suma acumulada
de la distancia:
IALES 1 ]
Resolviendo Vigas con Saxpc
La pregunta de cuantos apoyos es obvia,
Luego nos pregunta las cargas en claros, en
este problema hay 3 cargas distintas,
amos ENTER: (el tipo de
cargas que se deben tomar en cuenta para
incluirlas en esta pregunta son: cargas
puntuales, distribuidas y momentos)
Viene la información de acuerdo a las
distancias en las vigas o claros, para ésta
tomarse desde el
inicio de la viga y de ahí la suma acumulada
El primer claro llega hasta 2, tecleamos 2 y
damos ENTER:
Confirmamos dando ENTER. El claro 2 llega
hasta 8:
Y por último el claro 3 llega hasta 10:
Damos ENTER para confirmar:
De igual forma que Arma2D puedes
introducir la información de propiedades
geométricas de cada claro: elasticidad, área e
inercia. Los problemas en los que
ésta información debes asumirlas como 1 en
todos sus valores te mu
con el cursor arriba y abajo; más adelante
veremos la introducción de ésta información
y para calcular también las diferentes
Invierno 2009
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El primer claro llega hasta 2, tecleamos 2 y
Confirmamos dando ENTER. El claro 2 llega
Y por último el claro 3 llega hasta 10:
ENTER para confirmar:
De igual forma que Arma2D puedes
introducir la información de propiedades
geométricas de cada claro: elasticidad, área e
inercia. Los problemas en los que no te den
debes asumirlas como 1 en
todos sus valores te mueves entre ventanas
con el cursor arriba y abajo; más adelante
veremos la introducción de ésta información
y para calcular también las diferentes
[ RESISTENCIA DE MATERIALES 1
Resolviendo Vigas con Saxpc
propiedades geométricas de los diversos
tipos de secciones transversales de las vigas:
Damos ENTER:
Confirmamos dando ENTER de nuevo y
hacemos lo mismo para los otros 2 claros:
Luego nos saldrá una pantalla así:
Ahora tenemos que introducir los tipos de
apoyo que hay en la viga, pulsamos F1:
IALES 1 ]
Resolviendo Vigas con Saxpc
propiedades geométricas de los diversos
secciones transversales de las vigas:
onfirmamos dando ENTER de nuevo y
hacemos lo mismo para los otros 2 claros:
Luego nos saldrá una pantalla así:
Ahora tenemos que introducir los tipos de
apoyo que hay en la viga, pulsamos F1:
Y vemos los diversos tipos de apoyo en las
vigas, debes entender que
apoyo pueden ponerse de las tantas maneras,
pero para la parte del análisis ellos trabajarán
propiamente así cada apoyo que veas es
equivalente:
Seleccionamos el ap
correspondiente al No.2:
Damos ENTER:
Y nos preguntará en que nodo va éste apoyo,
los nodos fueron definidos desde el inicio
cuando determinamos el número de claros y
de apoyos que había, se ve así:
Los nodos se nombran de izquierda a
derecha de forma ordinal (1, 2, 3,.., n)
tomando el inicio de la viga como un nodo.
Automáticamente la calculadora hará este
Invierno 2009
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Y vemos los diversos tipos de apoyo en las
vigas, debes entender que estos tipos de
apoyo pueden ponerse de las tantas maneras,
pero para la parte del análisis ellos trabajarán
cada apoyo que veas es
Seleccionamos el apoyo articulado
correspondiente al No.2:
Y nos preguntará en que nodo va éste apoyo,
los nodos fueron definidos desde el inicio
cuando determinamos el número de claros y
de apoyos que había, se ve así:
Los nodos se nombran de izquierda a
derecha de forma ordinal (1, 2, 3,.., n)
tomando el inicio de la viga como un nodo.
Automáticamente la calculadora hará este
[ RESISTENCIA DE MATERIALES 1
Resolviendo Vigas con Saxpc
tipo de ordenamiento cuando introduzcas los
datos del número de claros, visto de otra
forma:
Si se dividió en 3 claros o vigas es obvio que
tiene 4 puntos clave (inicio y fin y 2 puntos
de unión), es por esto que hace la división
automática, damos a la derecha con el cursor
y seleccionamos el N.2, que hace referencia
al segundo nodo y que corres
localización del apoyo:
Damos ENTER para seleccionarlo y ENTER de
nuevo para confirmar:
Ahora debemos introducirle el segundo
apoyo correspondiente al de rodillo o móvil:
IALES 1 ]
Resolviendo Vigas con Saxpc
tipo de ordenamiento cuando introduzcas los
datos del número de claros, visto de otra
Si se dividió en 3 claros o vigas es obvio que
tiene 4 puntos clave (inicio y fin y 2 puntos
de unión), es por esto que hace la división
automática, damos a la derecha con el cursor
y seleccionamos el N.2, que hace referencia
al segundo nodo y que corresponde con la
Damos ENTER para seleccionarlo y ENTER de
Ahora debemos introducirle el segundo
apoyo correspondiente al de rodillo o móvil:
Damos ENTER:
Y de igual forma seleccionamos el nodo
correspondiente que es el nodo 3:
Damos ENTER
para confirmar:
Lo que sigue para introducir son las cargas en
los claros, en total hay 3, debemos introducir
una por una. Tecleamos F1:
Y vemos las cargas posibles, de forma
general tú sólo usaras las primeras 4 cargas.
Seleccionamos la segunda carga que
corresponde a la carga puntual y damos
ENTER:
Invierno 2009
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Y de igual forma seleccionamos el nodo
spondiente que es el nodo 3:
Lo que sigue para introducir son las cargas en
los claros, en total hay 3, debemos introducir
una por una. Tecleamos F1:
Y vemos las cargas posibles, de forma
las primeras 4 cargas.
Seleccionamos la segunda carga que
corresponde a la carga puntual y damos
[ RESISTENCIA DE MATERIALES 1
Resolviendo Vigas con Saxpc
Para lo que sigue se debe tener mucho
cuidado ya que a diferencia de Arma2D,
saxpc no te deja regresar a hacer
modificaciones en caso de que te haya
equivocado:
En la primera opción debes especificar en
que claro se encuentra la carga, esta primera
carga puntual esta en el claro 1, recuerda
que también los claros se numeran
automáticamente de izquierda a derecha:
Bajamos un nivel con el cursor
es teclear la fuerza de ésta carga puntual,
recuerda que el eje coordenado es así:
Fuerza �
�
�
�
Por lo tanto la fuerza P será -4000:
Recuerda de teclear el signo menos de tecla
negra, y por último la “Distancia A” hace
referencia a que distancia del claro 1 se
encuentra la fuerza a partir del origen de ese
claro, como está al inicio tecleamos cero. Las
IALES 1 ]
Resolviendo Vigas con Saxpc
Para lo que sigue se debe tener mucho
cuidado ya que a diferencia de Arma2D,
saxpc no te deja regresar a hacer
modificaciones en caso de que te hayas
En la primera opción debes especificar en
que claro se encuentra la carga, esta primera
carga puntual esta en el claro 1, recuerda
que también los claros se numeran
automáticamente de izquierda a derecha:
Bajamos un nivel con el cursor y lo que sigue
es teclear la fuerza de ésta carga puntual,
recuerda que el eje coordenado es así:
Signo
-
+
+
-
4000:
Recuerda de teclear el signo menos de tecla
negra, y por último la “Distancia A” hace
referencia a que distancia del claro 1 se
encuentra la fuerza a partir del origen de ese
claro, como está al inicio tecleamos cero. Las
distancias que hagan referencia re
claro iniciaran de nuevo desde cero.
Damos ENTER y continuamos:
Confirmamos dando ENTER nuevamente:
De igual forma tecleamos F1 y seleccionamos
la carga distribuida y damos ENTER:
Lo primero es desplegar del primer menú de
“En Claro” dando a la derecha con el cursor y
seleccionar el segundo claro ya que aquí es
donde se encuentra la carga distribuida:
Invierno 2009
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distancias que hagan referencia respecto al
claro iniciaran de nuevo desde cero.
Damos ENTER y continuamos:
Confirmamos dando ENTER nuevamente:
De igual forma tecleamos F1 y seleccionamos
la carga distribuida y damos ENTER:
Lo primero es desplegar del primer menú de
“En Claro” dando a la derecha con el cursor y
seleccionar el segundo claro ya que aquí es
donde se encuentra la carga distribuida:
[ RESISTENCIA DE MATERIALES 1
Resolviendo Vigas con Saxpc
Bajamos con el cursor para introducir la
carga distribuida.
Ahora bien antes de pasar a introducir la
carga distribuida debo explicarte como
funciona esto de W1 y W2, éstas variables
hacen referencia al peso inicial y final de la
carga distribuida, se puede poner positiva
(carga hacia arriba) o negativa (carga hacia
abajo). Tú puedes combinarlas como desees
en general verás tipos de carga distribuidas
rectangulares, triangulares y trapezoidales.
Tú debes teclear en W1 la carga inicial y en
W2 la carga final de la distribuida, siempre
de izquierda a derecha, por ejemplo:
Si te das cuenta las triangulares
terminarán ó iniciarán en cero, ya que en el
IALES 1 ]
Resolviendo Vigas con Saxpc
Bajamos con el cursor para introducir la
Ahora bien antes de pasar a introducir la
o explicarte como
funciona esto de W1 y W2, éstas variables
hacen referencia al peso inicial y final de la
carga distribuida, se puede poner positiva
(carga hacia arriba) o negativa (carga hacia
abajo). Tú puedes combinarlas como desees
pos de carga distribuidas
rectangulares, triangulares y trapezoidales.
Tú debes teclear en W1 la carga inicial y en
W2 la carga final de la distribuida, siempre
de izquierda a derecha, por ejemplo:
Si te das cuenta las triangulares siempre
terminarán ó iniciarán en cero, ya que en el
punto final ó inicial no habrá carga. Para las
distribuidas constantes en toda su extensión
debe teclearse de igual manera al inicio y al
final su peso de carga distribuida:
Recuerda que las
representan cargas que pudieran “levantar”
la viga en vez de presionarla. Por último las
fuerzas tipo trapezoidales, las de éste tipo en
clase las tendrían que descomponer en 2
cargas distribuidas, aquí con saxpc se puede
hacer todo en 1, por ejemplo:
O de igual forma si fueran cargas positivas, lo
único característico de estas cargas es que
debes fijarte que la carga menor y mayor sea
coherente, la de mayor altura debe tener un
peso mayor. También se puede combinar la
Invierno 2009
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punto final ó inicial no habrá carga. Para las
distribuidas constantes en toda su extensión
debe teclearse de igual manera al inicio y al
final su peso de carga distribuida:
Recuerda que las cargas positivas
representan cargas que pudieran “levantar”
la viga en vez de presionarla. Por último las
fuerzas tipo trapezoidales, las de éste tipo en
clase las tendrían que descomponer en 2
cargas distribuidas, aquí con saxpc se puede
por ejemplo:
O de igual forma si fueran cargas positivas, lo
único característico de estas cargas es que
debes fijarte que la carga menor y mayor sea
coherente, la de mayor altura debe tener un
peso mayor. También se puede combinar la
[ RESISTENCIA DE MATERIALES 1
Resolviendo Vigas con Saxpc
carga distribuida desde con diferentes
signos, por ejemplo:
Las de este tipo son muy poco comunes y
casi no las verás. Ok habiendo explicado esto
y continuando con nuestro ejemplo la carga
distribuida va hacia abajo y va con 600 N/m,
por lo tanto queda así:
La distancia A (inicio) y B (fin) hacen
referencia a la longitud en la que se
encuentra la carga en ese claro, recuerda
que las distancias inician desde cero
nuevamente con cada claro. Como la
distancia de esta carga se encuentra a lo
largo de todo el segundo claro la distancia A
es cero y la B o punto final es 6:
Damos ENTER para continuar: y ENTER
nuevamente para confirmar:
IALES 1 ]
Resolviendo Vigas con Saxpc
distribuida desde con diferentes
Las de este tipo son muy poco comunes y
casi no las verás. Ok habiendo explicado esto
y continuando con nuestro ejemplo la carga
distribuida va hacia abajo y va con 600 N/m,
La distancia A (inicio) y B (fin) hacen
referencia a la longitud en la que se
encuentra la carga en ese claro, recuerda
que las distancias inician desde cero
nuevamente con cada claro. Como la
distancia de esta carga se encuentra a lo
todo el segundo claro la distancia A
es cero y la B o punto final es 6:
Damos ENTER para continuar: y ENTER
Continuamos, pulsamos F1 y la tercera carga
es una carga puntual:
Cambiamos la posición de la carga puntual
claro 3:
Y la cantidad de la carga P es de
porque va hacia abajo:
Por último la distancia A como ya sabemos
hace referencia a la distancia desde el origen
de ese claro al punto donde se encuentra esa
carga, la distancia es 2:
Damos ENTER para continuar y confirmar:
Invierno 2009
Página 46
Continuamos, pulsamos F1 y la tercera carga
Cambiamos la posición de la carga puntual al
Y la cantidad de la carga P es de -3000
Por último la distancia A como ya sabemos
hace referencia a la distancia desde el origen
de ese claro al punto donde se encuentra esa
ER para continuar y confirmar:
[ RESISTENCIA DE MATERIALES 1 ] Invierno 2009
Resolviendo Vigas con Saxpc Página 47
Verás que dibuja la viga adecuadamente con
los soportes y las cargas puntales y
distribuidas adecuadamente, si introdujiste
mal un dato aparecerá error de dominio y
tendrás que empezar todo de nuevo. Te
recomiendo que metas la información con
cuidado para no cometer errores. Es
importante señalar que saxpc ajusta la viga al
tamaño de pantalla. Tecleamos F2 para que
analice el problema, tomará unos cuantos
segundos, deja que termine por completo
hasta que aparezca de nuevo la pantalla con
el dibujo de la viga:
Para visualizar los resultados de reacciones
teclea del menú F2 “Cálculos” y da ENTER en
la primera opción de reacciones:
Da ENTER nuevamente para que aparezcan
las reacciones:
Te puedes desplazar a través d la matriz
dando con el cursor arriba y abajo. Aquí es
bueno tomarnos un momento para explicar
lo que representa. Si te das cuenta Saxpc
divide cada reacción por nodo, Rx:1, Ry:1
Mz:1, hace referencia a Reacción en X del
nodo 1, Ry:1 a reacción en Y del nodo 1, y
Mz:1 momento en el nodo 1. Recuerda que
el nodo 1 y 4 eran el inicio y fin de la viga,
por es por esto que los valores son ceros.
Hay que tomar en cuenta solo las reacciones
en Y de los nodos 2 y 3 que es donde había
soportes:
Vemos que las reacciones en Y de los
soportes don 6133.33 N y 4466.667 N
respectivamente. Para salir damos ENTER y
regresamos al menú principal de resultados.
Ahora tecleamos F1 para desplegar los
resultados de los elementos y seleccionamos
y damos ENTER en la última opción, es aquí
donde se encuentran los resultados de las
gráficas:
[ RESISTENCIA DE MATERIALES 1 ] Invierno 2009
Resolviendo Vigas con Saxpc Página 48
Aquí ya está dividido por menús generales
cada elemento, F1 para esfuerzo cortante,
F2 para momento, F3 para pendiente y F4
para deflexión. Damos en F1 primero para
ver el menú de resultados del esfuerzo
cortante:
Damos ENTER en ecuaciones, y ENTER
nuevamente para ver las ecuaciones:
Nos podemos desplazar para ver toda la
ecuación de la cortante de izquierda a
derecha. Es importante aprender a
interpretar éstas ecuaciones. Si te fijas es
una ecuación por sección o “claro” que había
en el problema, en éste hay 3 ecuaciones o
tramos y nos dice claramente que de x≥0 a
x≤2 la ecuación que le corresponde es -4000.
Para x≥2 y x≤8 la ecuación que le
corresponde es 3333.3333-600x; y por
último para x≥8 y x≤10 la ecuación es 3000.
Éstas son las respuestas importantes y que
debemos copiar inmediatamente para
comprobarlas, ya que de éstas ecuaciones
podremos encontrar el punto máximo de
momento ó deflexión. Damos ENTER para
regresar al menú general de respuestas. Y
hacemos lo mismo para las ecuaciones de
momento:
Aquí es importante hacer un señalamiento,
como el método de solución de SAXPC de
estos problemas es por el método de
rigideces con matrices (métodos numéricos),
es común encontrar expresiones como éstas:
-1E-9, Esta expresión es lo mismo que -1 x10-9
y deben ser tomadas como cero o
simplemente como si no existiera ésta
expresión y no incluirla en las ecuaciones
respuesta. Es conveniente hacer una tabla y
copiar las ecuaciones respuesta de cada
tramo para esfuerzo cortante y para
momento:
Tramo Cortante Momento
x≥0 a x≤2 -4000 -4000x
x≥2 a x≤8 3333.333-600x -300x2+3333.333x-13466.667
x≥8 a x≤10 3000 3000x-30000
Con ésta información ya podemos fácilmente
encontrar el punto crítico de la cortante, y el
momento máximo de la viga. Para hacer esto
podemos simplemente salirnos ya del
programa y hacerlos de forma analítica en
HOME, sin embargo también podemos
hacerlo “al tanteo” en este mismo programa
viendo el diagrama, tecleamos primero del
menú del esfuerzo cortante F1 y
seleccionamos “Diagrama”:
La desventaja de verlo aquí es que en
ocasiones se demora mucho haciendo el
[ RESISTENCIA DE MATERIALES 1 ] Invierno 2009
Resolviendo Vigas con Saxpc Página 49
diagrama, debido a que le toma un poco de
tiempo ajustar la gráfica con las 3 ecuaciones
(alrededor de 3 min). De igual forma
veremos como hacerlas en HOME
analíticamente más adelante para encontrar
rápido los valores importantes. Después de
un momento vemos:
Aquí es importante hacer una aclaración,
siempre que le pidas ver el diagrama la Texas
ajustará la gráfica a la pantalla de la
calculadora. Puedes ver que hay unas
pequeñas líneas horizontales del lado
inferior izquierdo y superior derecho que
apenas se dibujan y que indican que son
parte del diagrama de respuesta, una vez
que ha aparecido el puntero, puedes
desplazarte a través de la gráfica con el
cursor, e ir viendo la coordenada, para
moverte más rápido sólo deja presionada la
tecla “2nd” y desplázate con el cursor. Si
quieres ver un punto en específico sólo
teclea el valor del punto en X que quieres ver
y da ENTER, por ejemplo:
Es importante mencionar que si tecleas un
valor fuera de los límites de la pantalla
ajustada (0≤x≤10) aparecerá un error de
dominio y el programa tronará, es
importante que pidas valores que se
encuentran dentro de la pantalla. El
encontrar los puntos es útil ya que podrás
irte guiando en cada valor para pasar la
gráfica a tu cuaderno, ó simplemente
imprimir esta pantalla con el software TI-
Connect e imprimirla para después pegarla
en tu cuaderno (checar manual de
instalación y software de TI-V200). El punto
de corte crítico es en donde cruza la gráfica
con el eje X, nos desplazamos poco a poco
con el cursor y observamos su valor en yc:
Podemos ver que es casi cero, para ver el
valor lo más exacto posible nos acercamos
en decimales, tecleamos por ejemplo 5.5555
y damos ENTER:
Éste sería el punto de valor crítico de la
cortante aproximada. Damos ESC para salir
de esta pantalla y regresar a los resultados.
Vemos ahora el diagrama de momento:
[ RESISTENCIA DE MATERIALES 1 ] Invierno 2009
Resolviendo Vigas con Saxpc Página 50
Vemos después de un momento la gráfica
adecuada para el momento en la viga, de
igual forma el punto máximo relativo del
momento en el segundo claro será el mismo
punto donde se hizo cero con la recta de la
gráfica de la cortante (5.555), tecleamos este
valor y damos ENTER:
Éste valor es valor del momento máximo
aproximado y corresponde a -4207.407 Nm.
Éste es otro resultado aproximado. De igual
forma aquí te puedes guiar a través de la
gráfica para copiarla a tu cuaderno y
observar los puntos máximos de momento y
de esfuerzo cortante. Ya hemos encontrado
las respuestas a ésta viga, para salirnos
damos ESC 2 veces:
Para salirnos por completo del programa
tecleamos F3:
Nos dará la opción posible si queremos
guardar ésta viga problema para después
volverla a cargar en caso de necesitarla. Esto
es a nuestra elección. Damos ENTER una vez
y luego tenemos la opción de seguir
resolviendo más vigas. Damos en F3 para
salir por completo del programa:
Nos aparece la pantalla de despedida y por
quien fue creada. Damos ENTER nuevamente
para salir:
Ahora aquí mismo en HOME vamos a
resolver los puntos máximos de la ecuación
que obtuvimos. Ésta es otra forma de
encontrarlos si de plano se te hizo muy
tardado verlo en el programa saxpc.
Borramos la línea de entrada con CLEAR, ya
con la ecuación vista en la tabla simplemente
llamamos la función solve del menú de
Algebra tecleando F2:
Damos ENTER para que se copie a la línea de
entrada:
Ahora simplemente tecleamos la función que
encontramos e igualamos a cero:
[ RESISTENCIA DE MATERIALES 1 ] Invierno 2009
Resolviendo Vigas con Saxpc Página 51
Al final debe ir la coma y la variable que
deseamos que encuentre, y damos ENTER:
Vemos que no estábamos muy errados de la
respuesta exacta. También puedes graficar
con el software de la Texas las mismas
ecuaciones y mas rápidamente las funciones.
Tecleamos DIAMANTE + letra W del teclado
extendido:
Y entramos a la graficadora de funciones. Tal
como en las ecuaciones de cortante y
momento debemos teclear las 3 ecuaciones
para representar cada diagrama. Haremos
primero de la cortante. La primera ecuación
quedaría como 0x -4000:
Debe ponerse una X porque aunque no
exista debe tener un punto de referencia.
Ponemos los límites con el operador with,
sale con “2nd” + letra K del teclado
extendido e inmediatamente después el
intervalo donde existe esa función (0≤x≤2)
El menor que igual sale con “2nd” + Número
5 de la parte numérica y desplegamos el
menú de Test y se encuentran los
condicionantes:
Damos ENTER y ya queda la función marcada
lo cual significa queda lista para graficarse:
Hacemos lo mismo para los otros 2 tramos
de la viga:
Ya que tenemos nuestra gráficas marcadas
presionamos DIAMANTE +letra E para indicar
los máximos y mínimos de la pantalla:
[ RESISTENCIA DE MATERIALES 1 ] Invierno 2009
Resolviendo Vigas con Saxpc Página 52
Para estos problemas es fácil decir los límites
superiores e inferiores de la pantalla, ya que
la parte que nos interesa ver es de 0 a 10 en
el eje de las X y la coordenada Y será de
-4000 a 3000 (casi siempre así será, lo
determinarán los extremos de la viga):
Para ver la gráfica damos en DIAMANTE +
letra R del teclado extendido:
Podrás darte cuenta que se ve igual que en el
programa saxpc, pero tomó menos tiempo,
al final es tu elección donde decidas
visualizarlo, la ventaja de hacerlo aquí es que
aquí si puedes ver exactamente los puntos
críticos y máximos de la cortante. Tecleamos
F5 del menú matemático y damos ENTER en
la segunda opción Zero:
Primero nos movemos entre curvas
tecleando arriba y abajo con el cursor, nos
posicionamos sobre la segunda curva que
representa la cortante principal. Nos hará 2
preguntas simples, límite superior y límite
inferior, debemos dar un ENTER en algun
punto cualquier que este antes del punto
donde cruza con el eje X:
Y ahora damos un ENTER en algun punto
cualquiera después del punto donde cruza
con el eje X:
Damos ENTER y encuentra el punto donde se
hace cero:
Vemos que el resultado no estaba tan errado
al que aproximamos al tanteo.
Haremos un ejercicio más de vigas un poco
más complejo donde involucran una sección
transversal de la viga.
[ RESISTENCIA DE MATERIALES 1
Resolviendo Vigas con Saxpc
Nos dan la siguiente viga:
E = 2.1x106 N/cm2. Además nos dan l
sección transversal de la viga:
Y debemos encontrar las reacciones en los 3
apoyos y las ecuaciones de esfuerzo
cortante, momento, y deflexión, así como
sus diagramas correspondientes.
Lo primero que vamos a hacer es encontrar
el Área e inercia de la sección transversal.
Vamos a entrar al programa ME
hay una aplicación para las diversas
secciones transversales en vigas. Pulsamos
tecla APPS y nos desplazamos al programa
ME-Pro:
Damos ENTER:
IALES 1 ]
Resolviendo Vigas con Saxpc
Además nos dan la
sección transversal de la viga:
Y debemos encontrar las reacciones en los 3
apoyos y las ecuaciones de esfuerzo
cortante, momento, y deflexión, así como
sus diagramas correspondientes.
Lo primero que vamos a hacer es encontrar
sección transversal.
Vamos a entrar al programa ME-Pro donde
hay una aplicación para las diversas
secciones transversales en vigas. Pulsamos
tecla APPS y nos desplazamos al programa
Nos da la bienvenida al programa. Damos
ENTER para continuar:
Este es un programa hecho originalmente
para ingenieros mecánicos, sin embargo por
su gran campo de aplicación tiene mucha
utilidad para otras materias que verás a lo
largo de tu carrera. Te recomiendo que veas
los manuales de otras materias para que
veas su aplicación especifica a esa materia.
Pulsamos F2 el menú de “Analysis” y
seleccionamos la opción número 6 “Section
Properties” (propiedades de secciones):
Y nos despliega el siguiente menú:
Este es un menú extenso de los
tipos de secciones transversales que verás en
ésta materia, desde secciones rectangulares
hasta secciones en forma de C o forma en
Trapezoidal, aquí solo es importante hacer
una aclaración, las opciones “hollow” es que
tienen un hoyo en medio de
secciones así). Nos desplazamos con el
cursor y seleccionamos la sección tipo I
Invierno 2009
Página 53
Nos da la bienvenida al programa. Damos
Este es un programa hecho originalmente
para ingenieros mecánicos, sin embargo por
su gran campo de aplicación tiene mucha
utilidad para otras materias que verás a lo
largo de tu carrera. Te recomiendo que veas
as materias para que
veas su aplicación especifica a esa materia.
Pulsamos F2 el menú de “Analysis” y
seleccionamos la opción número 6 “Section
Properties” (propiedades de secciones):
Y nos despliega el siguiente menú:
Este es un menú extenso de los diversos
tipos de secciones transversales que verás en
ésta materia, desde secciones rectangulares
hasta secciones en forma de C o forma en
Trapezoidal, aquí solo es importante hacer
una aclaración, las opciones “hollow” es que
tienen un hoyo en medio de la sección (hay
secciones así). Nos desplazamos con el
cursor y seleccionamos la sección tipo I-Even:
[ RESISTENCIA DE MATERIALES 1 ] Invierno 2009
Resolviendo Vigas con Saxpc Página 54
La sección “even” hace referencia a sección
tipo I donde ambas bases son iguales
(simétricas), la “uneven” es para la tipo que
la sección en I no es simétrica.
Aquí debemos introducir la información de la
sección en I que tenemos, tú puedes
observar que dimensión representa cada
variable tecleando en F4:
La figura que representa nuestra sección I es
la de la derecha donde es simétrica, la
primera es tipo T y la de en medio es tipo I-
Uneven, damos ENTER para continuar, sólo
debemos hacer la relación de nuestra
sección con las dimensiones de aquí.
Tecleamos en la primera variable 5:
E inmediatamente nos saldrá en la parte
superior de la pantalla una serie de unidades
que le podemos asignar, la unidad que
tenemos es en pulgadas, corresponde a la
tecla F4, la tecleamos:
Vemos que se lo asigna correctamente, y
hacemos lo mismo para las demás medidas:
Sólo hay que hacer la relación de que la
distancia “d” para la Texas es solo la parte de
en medio de la sección, por lo tanto
hacemos una resta simple y le asignamos
después la unidad de pulgadas:
Ahora para resolver toda las propiedades de
la sección damos en F2:
Y nos resuelve los siguientes datos:
Área Área de la sección
yy1 Distancia al centro de masa desde eje X
yy2 Distancia al centro de masa desde eje Y
i11 Área del momento de Inercia del eje X
i22 Área del momento de Inercia del eje Y
rg1 Radio de giro respecto al eje X rg2 Radio de giro respecto al eje Y
[ RESISTENCIA DE MATERIALES 1 ] Invierno 2009
Resolviendo Vigas con Saxpc Página 55
Algunos de estos datos los utilizarás en ésta
materia y otros ya solo los usaran los
mecánicos en la materia de Resistencia de
materiales 2. Como puedes ver todos los
datos se encuentran en pulgadas, tu puedes
aquí mismo convertir las unidades que tienes
a la unidad que quieras (en nuestro caso lo
pasaremos a metros, ya que las demás
unidades de la viga están en ésta unidad)
posicionándote primero sobre la unidad que
quieres convertir y luego tecleando del menú
F5 la opción de “Conv”:
Al dar ENTER verás nuevamente en la parte
superior de la pantalla la lista de unidades
posibles, debes elegir la unidad destino que
deseas:
Tecleamos en nuestro caso convertirlo a
metros cuadrados, correspondiente a tecla
F2:
Y nos transforma automáticamente la unidad
de pulgadas cuadradas a metros cuadrados,
de igual forma hacemos para el momento de
inercia del eje Y el cual es el dato que nos
interesa para introducir a saxpc:
Siempre serán estos 2 datos (para estos
problemas) los que nos interesarán para
resolver las vigas, Área e Inercia en el eje Y,
“I22”. Copiamos los datos y regresamos a
HOME con DIAMANTE + letra Q del teclado
extendido. Solo nos faltaría hacer una
conversión de la elasticidad de newtons
sobre centímetro cuadrado a newtons sobre
metro cuadrado:
Damos ENTER y vemos la conversión:
Vemos la relación que queda 2.1E9. Ya que
tenemos todos los datos estamos listos para
introducir la información a saxpc. Como tip
solo desplázate con el cursor hacia arriba por
el historial y da ENTER 2 veces sobre el
programa:
Todo desde el inicio es igual, solo se harán
un par de anotaciones a mitad del problema,
ya debes entender que son 3 claros:
[ RESISTENCIA DE MATERIALES 1 ] Invierno 2009
Resolviendo Vigas con Saxpc Página 56
Cero cargas nodales:
Tres apoyos (el empotre del inicio cuenta
como apoyo):
Cuatro cargas en claros (la carga última del
momento también cuenta):
El primer claro llega hasta 9:
El segundo claro hasta 20 (recuerda que es la
suma acumulada):
El tercero hasta 23:
Luego viene la parte donde va a cambiar, en
área, elasticidad e inercia tecleamos los
valores que encontramos con el programa
ME-Pro:
Para el claro 2 se quedaran guardados los
mismos valores, damos ENTER para
continuar y así queden los otros 2 claros:
Luego el primer tipo de apoyo es el
empotrado o “de pared”, corresponde al tipo
3:
Y corresponde al nodo 1, ó nodo inicial:
[ RESISTENCIA DE MATERIALES 1 ] Invierno 2009
Resolviendo Vigas con Saxpc Página 57
El segundo apoyo es articulado y
corresponde al nodo 2:
Y el tercero es de rodillo y esta en el nodo 3:
Luego empezaremos con las cargas de
izquierda a derecha. La primera carga está en
el claro 1, como va hacia arriba va con signo
positivo y empieza desde 900 hasta cero, e
inicia en 1.5 y termina en 9:
La carga 2 es trapezoidal. Está en el claro 2.
Como va hacia abajo son cargas negativas, y
empiezan en -950 y termina en -280. La
distancia a la que inicia esta a 1.5 y termina
en 9 (11-2=9):
La tercera carga es puntual. Se encuentra en
el tercer claro, como va hacia abajo es
negativo y se encuentra a una distancia de 1:
Y la última carga es de momento. Se
encuentra en el tercer claro, como gira en el
sentido de las manecillas del reloj es
negativa, y se encuentra a 3 m:
[ RESISTENCIA DE MATERIALES 1
Resolviendo Vigas con Saxpc
Une pequeña aclaración con los momentos:
Momento Signo que debe
Irónicamente deben llevar signos contrarios.
Damos F2 para que analice la viga. Vemos los
resultados de reacciones en X, Y y momento
de cada uno de los nodos:
Entramos a los elementos de cortante,
momento y deflexión:
Vemos por ejemplo primero las ecuaciones
de cortante:
IALES 1 ]
Resolviendo Vigas con Saxpc
Une pequeña aclaración con los momentos:
Signo que debe llevar
Menos
Mas
Irónicamente deben llevar signos contrarios.
Damos F2 para que analice la viga. Vemos los
resultados de reacciones en X, Y y momento
Entramos a los elementos de cortante,
por ejemplo primero las ecuaciones
Y de igual manera conviene hacer una tabla
para cada sección y ecuación en esa parte.
Vemos la de momento:
Por último las de deflexión:
Ahora vemos el diagrama de cortante, toma
un poco de tiempo:
Vemos que hay ahora 2 puntos de corte
“critico” que cruzan con el eje X, uno se
aproxima a 14 y el otro a 6.47:
Invierno 2009
Página 58
Y de igual manera conviene hacer una tabla
para cada sección y ecuación en esa parte.
Por último las de deflexión:
Ahora vemos el diagrama de cortante, toma
Vemos que hay ahora 2 puntos de corte
“critico” que cruzan con el eje X, uno se
aproxima a 14 y el otro a 6.47:
[ RESISTENCIA DE MATERIALES 1 ] Invierno 2009
Resolviendo Vigas con Saxpc Página 59
Vemos ahora el diagrama de momento, de
igual forma le toma tiempo:
De igual forma encontramos el punto de
momento máximo al tanteo:
Vemos que corresponde con el punto de
corte con el eje X de la cortante, y lo mismo
para punto mínimo de momento del lado
izquierdo:
Por último vemos el diagrama de la
deflexión:
Esta gráfica quizá le tome más tiempo, es
muy recomendable teclear de cuando en
cuando izquierda y derecha con el cursor
para que no se apague la calculadora,
aunque claro siempre tienes la opción como
en el ejercicio anterior de ver la gráfica en el
graficador de HOME con las ecuaciones que
debes copiar de aquí mismo. Vemos por
tanteo el punto máximo de deflexión del
claro 1:
Y lo mismo para el claro 2:
Debes entender claro está que las
dimensiones en el diagrama de fuerza
cortante en el eje Y son Newtons (N), en el
diagrama de momento son Newtons por
metro (Nm), y en el de flexión son metros,
como puedes darte cuenta debido a que fue
un ejemplo un poco irreal, salen deflexiones
bastante grandes, además de que se aplican
muchas fuerzas a la viga, siendo esta de un
corte transversal pequeño.
Damos ESC 2 veces para regresar al menú
general y F3 para salir del programa por
completo. Como puedes ver este es un
excelente programa para comprobar tus
resultados y graficar (si tienes tiempo) los
diagramas de esfuerzos cortantes,
momentos deflectores y deflexiones, sin
embargo su desventaja es que a diferencia
de Arma2D no puedes regresar a modificar
información mal introducida, debes hacer
todo de nuevo, te recomiendo que
practiques los problemas que se dejan al
final de éste manual para que este listo para
tus exámenes.
[ RESISTENCIA DE MATERIALES 1 ] Invierno 2009
Ejercicios Propuestos Página 60
Ejercicios Propuestos
Armaduras
Resuelve las siguientes armaduras con Arma2D.
1. Considerar la siguiente armadura. Determinar la fuerza en cada miembro mediante el método de los nudos, cuando F = 5 kN y la distancia AC es de 3 m.
2. Para la armadura siguiente, hallar la fuerza en las barras LM, CD y HD, cuando F1 = 6 kN, F2 = 4 kN y las longitudes de las barras son: AB, DE: 3 m; BC, CD, KL, LM: 5 m; BK, CL, DM: 5 m.
3. Para la siguiente armadura, hallar la fuerza en las barras BC, BG, BF y FG, considerando los datos siguientes: F1 = 5 kN F2 = 4 kN F3 = 10 kN. La longitud de las barras BC, CD, CG es de 4 m. Las barras AB, BF, DE, DH tienen la misma longitud. Los ángulos FGB y DGH que forman las barras FG-BG y DG-GH, respectivamente, son de 30°.
4. Para la armadura siguiente, hallar la fuerza en cada barra, considerando los datos siguientes: F1 = 5 kN F2 = 4 kN F3 = 10 kN. La longitud de las barras AB, BC, CD, BD es de 4 m. El ángulo DAB que forman las barras AD y AB es de 30º.
5. Para la armadura "Baltimore" siguiente, indicar cuáles son las barras de fuerza nula, y hallar la fuerza en las barras KL, KT y JK. Considerar los datos siguientes: F1 = 5 kN, F2 = 10 kN. Los triángulos ACZA, CEaC, ..., ÑPQÑ son equiláteros de 2 m de lado, y los triángulos AEYA y MPRM también son equiláteros, de 4 m de lado.
[ RESISTENCIA DE MATERIALES 1 ] Invierno 2009
Ejercicios Propuestos Página 61
6. Para la armadura "Fink" siguiente indicar cuáles son las barras de fuerza nula, y hallar la fuerza en las barras DK, DE y EI. Considerar los datos siguientes: F1 = F2 = F3 = F4 = F5 = 5 kN. Los triángulos BCMB, CPMC, EIQE y EFIE son equiláteros de 2 m de lado, y el triángulo CEKC también es equilátero, de 4 m de lado.
7. Para la armadura siguiente, hallar la fuerza en las barras EF, CF y CB. Considerar los datos siguientes: F1 = 6 kN y F2 = 4 kN. Todos los triángulos que forman la armadura son rectángulos y tienen los dos catetos iguales con una longitud de 2 m cada uno.
8. Para la armadura siguiente, hallar la fuerza en cada barra. Considerar los datos siguientes: F1 = F2 = 5 kN. La longitud de las barras AB, BC, CD, BF y CF es de 2 m.
9. Para la armadura siguiente, hallar la fuerza en las barras EF, CE, CD y CF. Considerar los datos siguientes: F1 = 10 kN. Todos los triángulos que forman la armadura son rectángulos y tienen los dos catetos iguales con una longitud de 2 m cada uno.
10. Para la armadura siguiente, hallar la fuerza en cada barra. Considerar los datos siguientes: F1 = 6 kN, F2 = 3 kN, y la longitud de las barras es de 2 m.
11. Para la armadura siguiente, hallar la fuerza en las barras EI, ED y HI. Considerar los siguientes datos: F1 = 4 kN, F2 = 6 kN Todos los triángulos que forman la armadura son rectángulos y tienen los dos catetos iguales con una longitud de 2 m cada uno.
[ RESISTENCIA DE MATERIALES 1
Ejercicios Propuestos
Vigas
Encuentra de las siguientes vigas
respectivos diagramas y el punto crítico de la cortante y punto máximo
todo esto con Saxpc.
1. En la viga de la figura. Datos: a = 1
2. La viga biempotrada de la figura tiene una articulación en su punto medio, sobre launa fuerza F horizontal. Datos: L = 1.50 m q = 400 kg/m F = 2000 kg
Tip. La articulación esta al final de la lista de apoyos.
3.
4.
5.
6.
IALES 1 ]
de las siguientes vigas: las ecuaciones de cortante, momento y deflexión, así como sus
el punto crítico de la cortante y punto máximo de momento y deflexi
Datos: a = 1.2m, q = 800 kg/m.
La viga biempotrada de la figura tiene una articulación en su punto medio, sobre la
Tip. La articulación esta al final de la lista de apoyos.
7.
8.
9.
Invierno 2009
Página 62
las ecuaciones de cortante, momento y deflexión, así como sus
de momento y deflexión,
La viga biempotrada de la figura tiene una articulación en su punto medio, sobre la que actúa
[ RESISTENCIA DE MATERIALES 1
Ejercicios Propuestos
10.
11.
12.
13.
14.
IALES 1 ]
E= 2.6x106 kg/cm2
Invierno 2009
Página 63
[ RESISTENCIA DE MATERIALES 1 ] Invierno 2009
Bibliografía Página 64
Bibliografía
Sitio Web:
Armaduras-Pilar Aceituno Cantero
Libro:
“Resistencia de materiales Problemas resueltos” Miquel Ferrer Ballester, José Luis Macías Serra, Frederic Marimón Carvajal, M. Magdalena Pastor Artigues, Francesc Roure Fernández, Lluís Vilaseca Vilanova. Edicions UPC, 1999 Edicions de la Universitat Politècnica de Catalunya, SL Jordi Girona Salgado 31, 08034 Barcelona.
Libro:
“Mecánica de Materiales” R.C. Hibbeler 6ta Edición, Editorial Pearson Prentice Hall
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