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Dé
Co
L'alfeLobadécacoPholaév
Psu
aav
Ofré
S
qu
partement Hydraulique EHTP Les vagues sont d'origine locale et se propagent dansla même direction que le vent de surface.
mplément chapitre 02 Spectre de la houle de Pie
1
Complément du Spectre de houle de Pie
Houle de tempête deaction du vent sur la surface libre de l’eéatoires. Cette action du vent se produtch sur laquelle une partie de l'énergiersque le transfert d'énergie maximale nde de fréquence, la mer est dite formveloppée. Un enregistrement de ce tyractère aléatoire; la description de la hmme relevant du domaine du traiteme
ar application de l’analyse spectrale deule (analyse harmonique) on obtient f
densité d’énergie en fonction de la fréidence les fréquences prédominantes Analyse statistique d’un enregistremenierson & Moskowitz (1964) proposent pivante de la densité spectrale d’énerg
( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ωω
β−ωα
=ωωΗ
expgdS4
o5
2
2
vec ( )[ ] [ ] )sm(gS 2522 ⋅=ω=ω −
Η énerg
ec les notations suivantes :• =5,19U vitesse du vent sur le• 5,19o Ug=ω pulsation angula
• α constante sans dimension• β constante sans dimension
n peut aussi exprimer le spectre de Piequence « f » (définie par : =π=ω 2f2
( )( )
expf2
g81dffS
54
22n
df2
π
α=Η∑≡Η
( )( ) ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
πβ−
π
α=
Η
4
5,1954
2
fU2gexp
f2gf2
i par intégration en f de ‘’0’’ à ‘’∞’’ don
Aire 2
45,19
2
31 g4U
41
β
α=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ Η= ⇒ 31 =Η
ZORKANI MohammedLa houle est d'origine éloignée; elle a quitté lesecteur dans lequel elle a pris naissance.
ZORKANI Mohammedrson – Moskowitz
chapitre 02rson – Moskowitz Bretchneider au provoque des ondulationsit sur une zone finie appelée du vent est transférée au fluide.a été atteinte pour chaqueée FAS ou complètementpe de houle présente un fortoule réelle apparaît doncnt du signal.s enregistrements ( )tη de la
acilement une représentation dequence et on met en plus en de la houle in situ.t de houle : Fally Arisen Seaour le spectre l’expressionie de la houle : voir Ch05 HM
ωd FAS spectrum PM (1)
ie moyenne par unité de ( ωd )
fetch à 19,5m de la surface libreire de référence ‘ 105,19 U026,1U ≈ ’
( 31010,8 −⋅=α ) ( 74,0=β )rson et Moskowitz en unité deΤπ ) ⇒ ( df2d π=ω ) alors :
dffU2
g4
5,19 ⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
πβ− ⇒
(2) Spectre PM en fréquence ‘’f’’
ne :
25,19
25,19 U0185,0
gU2
=βα (3)
Département Hydraulique EHTP ZORKANI Mohammed
Complément chapitre 02 ZORKANI MohammedSpectre de la houle de Pierson – Moskowitz
2
• Le spectre PM exprimé en fonction de la période : Comme nous
avons Τπ
=ω2 ⇒ Τ
Τπ
−=ω d2d 2 , reportons cette expression dans la
formule de [ ( ) ωωΗ
dS 2 ] on obtient en négligeant le signe moins :
( )( ) ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
πΤ
β−π
Τα=Τ
Η
4
5,194
32
U2gexp
2gS 2 (4) Spectre PM en période ‘’T’’
Le moment d’ordre zéro mo du spectre, représente la densité surfaciqued’énergie totale de la houle par unité de poids volumique de l’eau, est :
( ) 4o
2
0o
g41dSm 2
ωα
β=∫ ωω=
∞+
Η (5) & ( )∫ ωωω=
∞+
Η0
nn dSm 2
avec =σ2 variance( )
( ) o2
N
1ii
mtN
t=η=
∑η= = & =σ écart – type
alors ( )22rms
o2
cp mJ8
gHmgg ρ=ρ=σρ=Ε+Ε=Ε et zp 408,1 Τ=Τ (6)
=Τp période moyenne qui correspond au maximum d’énergie du spectreLa distribution des hauteurs se caractérise par le paramètre :
4o
22mm
m1−=ε =«largeur de spectre» de Cartwright & Longuet-Higgins
On peut estimer ε par : ( )2zc1 ΤΤ−≈ε avec ( 2oz mm2π=Τ ) où
sensmêmeledansMWLdutraversées2entremoyennepériode
mentenregistre'ldessuccessivecrêtes2entremoyennepériode
z
c
=Τ
=Τ
quand ( 0→ε ) la densité de probabilité est donnée par la distribution de
Rayleigh : ( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ΗΗ
−ΗΗ
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ Η−
Η=
Η≡Η
2
s2so
2
o2exp4
m8exp
m4dPdp (7)
Cette expression permet de calculer les divers hauteurs caractéristiquesde la houle :
• =≡∑=Η=Η=
100N
1iim HH
N1 Hauteur moyenne om2 π=
• =Η=Η 31s Hauteur significative om4= (La hauteursignificative de la houle est la valeur moyenne du tierssupérieur des vagues du train d’ondes)
• Hauteur quadratique moyenne oN
1i
2irms m22H
N1H =∑=
=
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Complément chapitre 02 ZORKANI MohammedSpectre de la houle de Pierson – Moskowitz
3
Distribution des hauteurs de lames :La probabilité d'un creux “Η ” (crête - creux) est donnée par la formule :
( ) Η⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ΗΗ
−ΗΗ
=Η= dexp2HdpdP2
rms2rms
où ( )( ) 2
Hdpdp
HH rms
0
0100
⋅π=
∫ ΗΗ∫ ΗΗΗ
=≡∞
∞
(8) car ( ) 1dp0 =∫ ΗΗ∞
Spectre moyen :Scott (J. R. Scott, 1968 : Some average sea spectra Q. Trans. Nav.Archt. 110 : 233 – 239) propose, en se basant sur des données dehoules dans l’ocean atlantique & dans Ireash sea “mer qui sépare lesislandes de l’Irland et la Grande Bretagne UK”, l’expression suivante :
5U08,0 235,1931 +=Η où ( KnotsenU 5,19 ) & ( ften31Η ) (9)
• 1ft = 0,3048m• 1Knot (1 nœud) = 1,852 Km/h = 0,51444 m/s
La probabilité de dépassement dela hauteur H est donnée par :
( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ΗΗ
−=Η2
s2expP
5U08,0 235,1931 +=Η
ften31Η
KnotsenU 5,19
Valeurs mesurées
ATLANTIC
p(H)
P(H)
H
1
0,2
0,4
0,6
0,8
Rayleigh
05 10 15
probabilité dedépassement
densité deprobabilité
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Complément chapitre 02 ZORKANI MohammedSpectre de la houle de Pierson – Moskowitz
4
Les données de l’océan ATLANIQUE ont une moyenne de 13ft. Cesmesures peuvent être représentées par la ligne :
5,1931 U65,0=Η (10) où ⎪⎩
⎪⎨⎧
Η ftenKnotsenU
31
5,19 dans l’intervalle ( 35U20 5,19 ⟨⟨ )
La hauteur significative ( 31Η ) pour n’importe quel intervalle d’onde, dontles extrémités ( 1Τ & 2Τ ) sont connues, peut se calculer par l’expressionsuivante valable hors de la zone du fetch :
( )2
1
2
1
2
4
5,192
45,19
U2gexp
g4U
dS
Τ
Τ
Τ
ΤΗ ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
πΤ
β−β
α−=∫ ΤΤ (11)
On en déduit, en utilisant la relation (3), le rapport suivant :
( ) 2
1
2
1
2 4
5,192
31 U2gexp
161
dS Τ
Τ
Τ
ΤΗ
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
πΤ
β−−=Η
∫ ΤΤ (12)
par conséquent :
Aire ( )2
312
31
0o 416
dSm 2 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ Η=
Η=∫ ΤΤ=≡
∞
Η ⇒ o31 m4=Η
Mais ( )22rms
ocp mJ8
gHmg ρ=ρ=Ε+Ε=Ε ⇒ o
31rms m22
2=
Η=Η
Remarque : Formalise pour le calcul des houles de tempête Le passage d’un ouragan produit de la houle dite houle de tempête quipeut se calculer par les formules empiriques de Bretschneider : SBM
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
Τ•
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
Η•
83
2s
31
2s
83
2ss
p
43
2s
21
2s
43
2s
2s
31
Uhg833,0th
UFg0379,0
thU
hg833,0th54,7Ug
Ugh53,0th
UFg00565,0
thU
hg53,0th283,0U
g
en (S.I.) (13)
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Complément chapitre 02 ZORKANI MohammedSpectre de la houle de Pierson – Moskowitz
5
valable en eau intermédiaire et en eau peu profonde ( 5,0Lh ⟨ ) où sU estla vitesse de cisaillement du vent (Wind Stress 23,1
10s U71,0U == ). Ou par les formules de NONSWAP : < JOint North Sea WAve Project >
3,0
210
210
p
5,0
210
210
s
UgF352,0
U
g
UgF00178,0
Ug
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
Τ•
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
Η•
JONSWAP «pour profondeur ( 2Lh o⟩ )» (14)
Le fetch relatif à une mer complètement développée peut être estimé parla relation suivante pour une zone de fetch non limitée par la terre :
( ) ( )h/KmU151,0KmF 25,19FAS ⋅= (14/) avec 105,19 U08,1U ⋅≈
En se basant sur modèle WAM «WAve Model» (Hasselmann & al.1988 : «prévision de la houle par l’équation différentielle de laconservation d’énergie », soit :
( ) ndissipatiovaguevaguelinéairenon
windinputgh SSSEctE
éractionintparénergie'dtransfert++=∇+
∂∂
↔−
•rr
» pour
une mer pleinement développée les caractéristiques de la houle peuventêtre aussi estimées par les formules suivantes :
sm50U5,7pourU10134,8U10
sm5,7U0pourU10614,1310
4210
2s
210
2s
≤⟨⋅+=Η
≤≤⋅=Η−−
−
(15)
où sΗ est en mètre alors que 10U en sm .La formule la plus populaire est celle de SMB « Sverdrup , Munk &Bretschneider » utilisable en eau profonde ( 5,0Lh ⟩ ) pour FDS :
( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ Τ=
Η2
2323
10
max210
s
10g5,3
Utg26,0
Ug (16) 10p U78,0f ≈ Neumann où
• =Τmax période de pic du spectre des hauteurs (les amplitudes)La forme du profile du vent est souvent approchée par une loi dedistribution logarithmique sur la verticale :
zu
dzdU
κ= ∗ ⇒ ( ) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ρτ
κ=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛κ
= ∗
oe
a
o
oe z
zlog1zzloguzU (17) où
• =∗u vitesse de frottement ao ρτ= (18)• =κ constante adimensionnelle de Von Kármán 40,0≈• =ρa masse volumique de l’air• =τo contrainte de cisaillement à la surface libre• =oz paramètre de rugosité gu0144,0 2
∗≈ (19) Charnock
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Complément chapitre 02 ZORKANI MohammedSpectre de la houle de Pierson – Moskowitz
6
On écrit que : 21010ao UCρ=τ (20)
avec ( ) 31010 10U15,035,0C −⋅+= où 10U en ( sm ) (21)
• Quand perturbation prend la forme tourbillonnaire avec desvents inférieurs à 64Km/h : on l’appelle dépression tropicale
• Quand cette dépression atteint des vents entre 64 et 118Km/h :on la désigne par tempête tropicale
• Quand cette tempête continue à se renforcer elle atteint lestade d’ouragan quand les vents dépasse 118Km/h.
Quand la surface (sol ou eau) est suffisamment plus chaude ou plusfroide que la couche d’air en contacte l’effet de stabilité thermique tend àmodifier le profil logarithmique. Si l’océan (ou le sol) est plus froid quel’air à son contacte la stratification de l’atmosphère est stable est letransfert turbulent est inhibé. Mais si la surface océanique est pluschaude que l’air, l’atmosphère a une stratification instable et le transfertturbulent est amplifié, dans ce cas le profil du vent proche de l’océan (oudu sol) peut être approché par :
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ψ−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ρτ
κ=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ϕ−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛κ
= ∗
Lz
zzlog1
Lz
zzloguzU
oe
a
o
oe (22) où
• =ψ fonction de similitude précise l’effet de la stratification.• =L paramètre de dimension une longueur qui représente
l’effet de la puissance d'action de la stratification thermique(longueur de stabilité de Monin et Obukhov) (L > 0 pourstratification stable, L < 0 pour stratification instable & L estinfinie pour une stratification neutre voir à ce propos moncours de mécanique des Fluides Géophysiques : Ch09) :
où2
xArctg2
2x1log
2x1log2
zzlog1
uuinstable
2
ee1
1o
e
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
+
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=ψ
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
ψ−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛κ
=→∗
//po
o
p3
1
41
wcHavecH
Tcg
uL,Lz5,11x θρ−=
ρ
κ=
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−= ∗
−−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛κ
=→∗ o
e zzlog1
uuneutre
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛κ
=→∗ L
z7,4zzlog1
uustable
oe
ρτ
=∗ou
5,21 ≈κ−
gu144,0z
2
o∗≈
u
z
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Complément chapitre 02 Sp
L’échelle de FujitaMesure la puissance des tornades (Phénomène orageux plus ou moins violent)
Echelle élaborée par Tetsuya Théodore Fujita en 1971 (23/10/1920 à 19/11/1998),en collaboration avec Allan Pearson à l’Université de Chicago Illinois, enfonction de l’intensité des dégâts :
Walter H. Munk Désignation V
F0F1F2F3F4F5
LégeModéFortsTrès DévaIncro
Allan Pearson (né 1925de la longueur et de la l’échelle Pearson – Fuj
Mesure la pDéveloppée en 1969 pdemande de la OMM (
classification
Vent U en Km/hAmplitude H en m
Pression centrale en hPaau niveau de la mer
Dégâts causés
On peut également u
significative de la ho
=t la durée d’action
U10 vitesse moyenne, sur
ZORKANI Mohammedectre de la houle de Pierson – Moskowitz
7
Von Kármán T.T. Fujitaents Vitesse du vent U10 Dommagesrsrés
fortsstateursyables
064 à 116 Km/h117 à 180 Km/h181 à 252 Km/h253 à 330 Km/h331 à 417 Km/h418 à 509 Km/h
Cheminées, fenêtres et antennesAutomobiles arbres déracinésToits arrachés et hangars démolisMurs extérieurs et toits projetésDestructions des habitationsMaisons rasées . . .
) plus tard améliore l’échelle de Fujita pour tenir comptelargeur du passage de la tornade, on parle alors deita :
Longueur en Km Largeur en mF0 0,5 à 1,5 5,5 à 15F1 1,6 à 5 16 à 50F2 5,1 à 16 51 à 160F3 17 à 50 161 à 520F4 51 à 160 530 à 1500F5 161 à 500 1600 à 5000
L’échelle de Saffir – Simpsonuissance des cyclones (Hurricane Scale)
ar Herbert Saffir et Robert Bob Simpson suit à uneOrganisation Mondiale de Météorologie) :
classe 1 classe 2 classe 3 classe 4 classe 5
119≤U≤1531,2≤H≤1,8
154 ≤U≤1771,8≤H≤2,7
178≤U≤2092,7≤H≤4,0
210 ≤U≤2494,0≤H≤5,5
U≥249H≥5,5 à 19
s p>980 965≤ p≤979 945≤p≤964 920≤p≤944 p<920
minimes modérés intenses extrêmes désastreux
tiliser la formule de Phillips pour calculer la hauteur
ule :
10
210
2s
Utg
0006,0Ug
=Η (23)
continue du vent « dite âge du vent »
une minute, du ventmesurée à l’altitude de10m de la surface libre
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Complément chapitre 02 ZORKANI MohammedSpectre de la houle de Pierson – Moskowitz
8
La hauteur maximale d’un spectre de houle est d’autant plus élevée qu’ilexiste un plus grand « fetch ». On propose les formules suivantes :
• 4121max F26,0F34,075,0 −+=Η pour ( 3000F1200 ⟨⟨ )
formule de Stevensen (24)• F005,0F 41
max +=Η pour ( 3000F1200 ⟨⟨ )formule de Kousnetzof (25)
• ( ) ( ) 110
210max FlogFlog −−=Η pour ( 1200F100 ⟨⟨ )
formule de Kousnetzof (26)où F en (Km) et maxΗ en (mètre)Il existe également des formules empiriques de type ( m
maxmax UΚ=Η ) :• 5,0
maxmax U65,2=Η formule de Kousnetzof (27)• maxmax U48,0=Η formule de Cornish (28)
voici une formule qui conjugue l’effet du fetch F et de la force du vent U :
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=Η
t86,11
FU7,01
U33,0max formule Russe (29) où
=t durée du vent en heures.Remarque : Soit les fréquences de passage par les points singuliersd’un enregistrement :
c2
4max
zo
2o
1mm
21"imummax"parpassagedeNombreN
2mm1MWLparpassagedeNombreN
Τ=
π==•
Τ=
π==•
(30)
On démontre facilement que la largeur ε du spectre est donnée par :2
z
c2
max
o
4o
22 1
N2N1
mmm1 ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
ΤΤ
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=−≡ε (31)
Les valeurs de « ε » proches de zéro s'accordent à des spectres étroitset une distribution des hauteurs de type loi de Rayleigh alors que pourdes valeurs ε proches de l'unité, le spectre est à large bande et larépartition des hauteurs correspondante suit une loi de Gauss.Ondes induites par le vent : proposition du SPMLa hauteur et la période significative peuvent également être décemmentcalculées par la méthode de Sverdrup, Munk & Bretschneider (SBM)comme c’est proposé dans Shore Protection Manual (SPM) de l’U. S.Army Coastal Engineering Research Center (CERC 1984) :En eau profonde ( 5,0Lh ⟩ ) : on a
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Complément chapitre 02 ZORKANI MohammedSpectre de la houle de Pierson – Moskowitz
9
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=Τ=Τ
=Η=Η
gUF2714,0
gUF0016,0
2s
31s
2s
31s
en (S.I.) (32)
En eau intermédiaire et en eau peu profonde ( 5,0Lh ⟨ ) : formule (13)Une formule plus simple et récente (2002) était proposée dans le cadredu Joint North Sea Wave Project (Hasselmann et al. 1973) pour prévoirl’onde l’augmentation de la houle significative avec le fetch :
s3 2a,
a,p
2a,
2a,
s
uFg
gu
651,0
uFg
gu
0413,0
Τ≈=Τ
=Η
∗
∗
∗
∗
en S.I. (33) =Τ période moyenne 1
omm2π=
=∗ a,u vitesse de frottement de Prandtl dans la couche limite atmosphérique.On peut calculer cette vitesse en considérant un profil de vitesse du ventlogarithmique tenant compte des différents cas (C.L.A. sable, neutre ouinstable). CERC (division CEM : Coastal Engineering Manual) a proposé en2002, en adoptant un cisaillement du vent quadratique, le formalisme :
210D
2a, UCu =∗ avec ( )10D U035,01,1001,0C += (34)
=DC Coefficient de Drag
Prévision de la houle par la méthode SMB(Sverdrup, Munk et Bretschneîder)
développée par H. V. Sverdrup, W. H. Munk aux USA et C. L. BretschneïderPremière publication Mars 1947 : « Wind, Sea and Swell » dans U. S. NavyHydrographic Office Publication N°601 par H. V. Sverdrup et W. H. Munk Elle faut trouver : H (amplitude),c (célérité) ou T (période)= ( )g,t,F,UΨ
L’analyse dimensionnelle permet d’écrire :
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=βγπ=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
πΤ
=U
tg,UFgg2
UHget
Utg,
UFgf
U2g
Uc
22
22 eau profonde
=t l’age (durée) du vent , =γ cambrure LΗ= & Uc=β avec kgc2=Ces fonctions sont données sous forme de courbes où H et T sont lesvaleurs significatives de l’amplitude (crête – creux) 31Η et de la périodedu spectre 31Τ (voir figures suivantes où “ Fx = ”). On constate que pour une vitesse de vent déterminée l’amplitude de lahoule croit en fonction de la longueur du fetch, pour atteindre une valeurlimite. Dans ce cas l’état de la mer correspond à une mer complètement
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Complément chapitr
développée (FDS ou FAS <Fully Arisen Sea>) et le fetch correspondants’appelle FASF . Pour la durée d’action du vent pour lequel la mer aatteint ce niveau stationnaire pour une vitesse donnée est appelée FASt .Sa valeur est donnée par : 1 nœud (Knots) = 1852 m/h
( ) ( )nœudsenU75,0heuresentt m5,19FASd ⋅== (35)Ces courbes ont pour asymptotes (c'est - à - dire FDSSMB − ) :
95,1U2
gTet268,0
U
Hg 312
31 =π
= (36) ⇒ ( ) ( )s/mU0268,0mH 231 ⋅=
pour des valeurs grandes de 2UgF et de
Ugtd qui définissent bien entendu
la condition : FDSSMB− .
e 02 ZORKANI MohammedSpectre de la houle de Pierson – Moskowitz
10
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Complément chapitre 02 ZORKANI MohammedSpectre de la houle de Pierson – Moskowitz
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Exemple d’application :Un vent de vitesse ( sm20U = ) soufle au large durant 4 heures.
• Déterminer l’amplitude crête – creux de la houle significativeen mètre d’eau ?
• Déterminer la période significative du spectre en seconde ?• Estimer le fetch associé en kilomètre ?
Solution :D’après le graphe “Duration graph” (de Sverdrup & Munk) on a :
310063,7706320
3800481,9Utg
⋅==××
= ⇒
095,0Ug
2 ≈Η
⇒ m481,9201,0 2
31 ≈×
=Η
et
5,0Uc≈≡β ⇒
πΤ
==×=2gsm10205,0c ⇒ s5,6
81,91014,32
31 ≈××
=Τ
La longueur d’onde, en eau profonde, est :m655,610cL 2131 =×=Τ=
d’où la cambrure de l’onde :
06,0654
L==
Η≡γ
d’après le même graphe on a :
8FUt≈ ⇒ Km36m36000
82036004F ==
××≈
Le temps nécessaire pour l’obtention du régime FAS peut s’estimer par : ( ) ( )nœudsenU75,0heuresentt m5,19FASd ⋅==
Application numérique :( nœuds40hKm72sm20U ≈== ) ⇒
h304075,0tFAS =×=et
( ) ( )h/KmU151,0KmF 2FAS ⋅=
Application numérique :( ) Km78272151,0F 2
FAS =×=ainsi
%6,478236
FF
FAS==
Une réduction de la durée du vent est assimilable à une réduction de lalongueur du fetch : voir page N°13 du Ch05 d’Hydraulique Maritime : selonle tableau suivant on a par extrapolation linéaire :
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%F
F125,8%tt
FASFAS
d += pour %10¨F
F%5FAS
≤≤
Application numérique :
%9,1346,0125,8tt
FAS
d =×+= ⇒ h17,430139,0td =×=
de même ordre de grandeur ( h4td = ) soit 4% d’erreur relative
%tt
%FF
FAS
d
FAS
5 10 15 20
14,5 20,5 26 31,5
30 40 50 60
41 50 59 67,5
70 80 90 100
76 84 92 100
%FASH
H
%FASH
H
max
31
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ 35 49,5 59 65,5
51 63 70 75
74,5 81 86 90
81,5 86 89,5 92,5
93 95,5 95 100
95 97 98,5 100
On en déduit que :
%84,3331,FAS
31 ≈Η
Η ⇒ m8,11
3384,04
31,FAS ≈=Η
or l’équation (36) nous donne :
268,0U
Hg2
31 = ⇒ m1181,9
20268,02
31,FAS ≈×=Η soit (7%) d’erreur
Spectre de Pierson – Moskowitz PM en mer pleinementdéveloppée FAS pour différentes vitesses du vent
Fréquence de pic :
( ) ⇒=ω∂ω∂Η
0S 25,19
p Ug877,0=ω
Célérité au pic :
105,19pp
p U17,1U14,1gkgc ≈=
ω==
Source : http://www.wikiwaves.org/index.php/Ocean-Wave_Spectra
gU22,0
gU
21,0210
25,19
31 ≈=Η
( ) ⇒=Ηωα
β=∫ ωω=
∞+
Η o314o
2
0o m4&g
41dSm 2
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Distribution du vent proche de la surface marine :U19,5/Uy = f(y)
Représentation schématique de la Genèse d’onde parun vent a vitesse constante : croissance de la hauteur
d’onde significative ‘’Hs’’ avec la distance ‘’x’’ le long du fetch ‘’F’’
td= durée du vent
F = Fetch
♦Dispersion d’énergie♦Frottement♦Turbulence♦Transfert d’énergie d’ondes courtesvers les ondes longues
Corrélation entre le fetch F, la vitesse du vent U10, la hauteur spécifiqueHs, la période T et la célérité c selon Wood & Fleming (1981)
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Remarque :La distribution de Weibull est souvent utilisée pour nous renseigner surla répartition de la vitesse du vent (vitesse moyenne, vitesse cubiquemoyenne... etc.). La densité de probabilité est :
( )k1k
CVexp
CV
Ck
dVdPVp ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=≡
−
(37) où
(k ) est le paramètre de forme & (C) est le paramètre d’échelle.Pour déterminer les caractéristiques du vent a une certaine hauteur(désignée par l’indice «2») supérieure à (10m désigné par l’indice «1»)on extrapole les deux paramètres de Weibull comme suit :
k
1
212 Z
ZCCα
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= (38) où
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅−
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=α
1
2e
12
1e
o
21e
ZZlog0881,01
kk
6Clog1088,0
ZZZ
log
1k
(39)
La vitesse moyenne est donnée par :
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +Γ=∫=∫==
∞∞
k11CdVVpVdPVVV
00 (40) où
( ) ( ) =∫ −=Γ∞
−
0
1x dttexptx fonction Gamma d’Euler avec ( 0x ⟩ )
La vitesse cubique moyenne est :
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +Γ=∫=∫=
∞∞
k31CdVVpVdPVV 3
0
3
0
33 (41) ...etc.
Quelques Références Bibliographiques• C.L. Bretschneider, 1958: Revisions in wave forecasting: Deep and shallow
water. Proc. 6th Int. Conf. Coastal Eng. , ASCE, 30-67.• K. Hasselmann, 1962: On the nonlinear energy transfer in a gravity-wave
spectrum. 1. General theory, JFM, vol. 12, 481-500.• WANG Hailong , GUO Peifang , HAN Shuzong : Contrast validation test for
retrieval method of high frequency ground wave radar ; Chinese Journal ofOceanology and Limnology Vol. 23 N°1, pp 22 –28, 2005.
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• H.U. Sverdrup and W.H. Munk, 1947: Wind, sea and swell : Theory ofrelations for forecasting. HO Publication Office 601, United States NavyHydrographical Office, Washington, D.C., 50 pp.
• http://www.wikiwaves.org/index.php/Ocean-Wave_Spectra• Blair Kinsman : Wind Waves (their generation and propagation on the ocean
surface) 1965 by Prentice – Hall, Inc. ; Printed in US of America.• L. Merad, B. Benyoucef, Lo. Merad, T. Boussoukaia, B. Omari : Etude d’un
Procédé Thermique de Dessalement d’eau de Mer par Aérogénérateur àRendement Elevé. Rev. Energ. Ren. : 11èmes Journées Internationales deThermique (2003)13-19
• M. Zorkani : Statistique d’ondes engendrées par le vent & Analyse spectralede la houle (Ch05 de mon cours d’Hydraulique Maritime).
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