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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIA
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
BACHARELADO EM CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
JAILTON SOUZA JÚNIOR
COMPARAÇÃO DE CUSTO ENTRE SAPATAS EXCÊNTRICAS SEM VIGA DE EQUILÍBRIO E COM VIGA DE EQUILÍBRIO.
CRUZ DAS ALMAS
2011
2
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIA
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
BACHARELADO EM CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
JAILTON SOUZA JÚNIOR
COMPARAÇÃO DE CUSTO ENTRE SAPATAS EXCÊNTRICAS SEM VIGA DE EQUILÍBRIO E COM VIGA DE EQUILÍBRIO.
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas da Universidade Federal do Recôncavo da Bahia, como parte dos requisitos necessários para a obtenção do título de Bacharel em Ciências Exatas e Tecnológicas.
Orientador: Prof. M. Sc. Hélio Guimarães Aragão.
CRUZ DAS ALMAS
2011
3
4
JAILTON SOUZA JÚNIOR
COMPARAÇÃO DE CUSTO ENTRE SAPATAS EXCÊNTRICAS SEM VIGA DE EQUILÍBRIO E COM VIGA DE EQUILÍBRIO.
Este trabalho de Graduação foi julgado adequado para obtenção do título de
Bacharel em Ciências Exatas e Tecnológicas e aprovado pelo curso de
Bacharelado em Ciências Exatas e Tecnológicas, do Centro de Ciências
Exatas e Tecnológicas da Universidade Federal do Recôncavo da Bahia.
________________________________________________________
Prof. M. Sc. Hélio Guimarães Aragão – Orientador
________________________________________________________
Prof. Dr. Carlos Frederico Macêdo Cortês– Examinador
_______________________________________________________
Prof. M.Sc. Julio Cesar Fialho do Nascimento– Examinador
CRUZ DAS ALMAS JULHO - 2011
5
A Deus em primeiro lugar, que me deu
forças e me abençoou para alcançar
mais essa etapa da minha vida, com
sabedoria e paciência. Ao meu Pai, junto
à razão, me apoiando na escolha da
profissão. A minha Mãe, com o coração,
me incentivando nos momentos mais
difíceis. Aos meus familiares e amigos
que estavam sempre comigo nos
momentos necessários.
6
AGRADECIMENTOS
Agradeço ao meu mestre e orientador, Prof. M. Sc. Hélio Guimarães Aragão, o compromisso, o incentivo, a disposição e a paciência para orientar-me.
7
RESUMO
Este trabalho apresenta o roteiro dos cálculos para o dimensionamento
de sapatas excêntricas sem viga de equilíbrio e com viga de equilíbrio em
concreto armado com relação a quatro situações de carga e tensões
admissíveis do solo pré-estabelecidas. Após os resultados achados nas
situações apresentadas determina-se o custo de execução de cada uma delas
e faz-se a comparação de custo apresentando qual cenário é o mais
econômico na utilização de sapatas excêntricas.
Palavras-Chave: Sapata excêntrica, dimensionamento e comparação de
custo.
8
ABSTRACT
This paper presents the script of the calculations for the design of
eccentric without shoes and with balance beam balance beam in concrete
situations in relation to four loading and allowable stresses of the soil pre-
established. After the results found in the situations presented determines the
cost of running each of them and it is a cost comparison showing which
scenario is the most economical in the use of eccentric shoes.
Keywords: Footing with eccentricity, sizing and cost comparison
9
LISTAS DE FIGURAS
Figura 1 - Distribuição das cargas na edificação .................................................... 17
Figura 2 - Laje maciça ................................................................................................. 18 Figura 3 – Vigas ........................................................................................................... 19
Figura 4– Pilar .............................................................................................................. 19 Figura 5– Bloco ............................................................................................................ 21
Figura 6–Radier ........................................................................................................... 21 Figura 7 - Sapata concêntrica .................................................................................... 22 Figura 8 - Sapatas isoladas ....................................................................................... 22
Figura 9 - Sapata corrida ............................................................................................ 23 Figura 10 - Sapatas associadas ................................................................................ 23
Figura 11 - Sapata com carga excêntrica ................................................................ 26 Figura 12 - Efeitos da carga excêntrica ................................................................... 27
Figura 13 - Carga concentrada .................................................................................. 27
Figura 14 - Diagrama de tensões na viga ................................................................ 28 Figura 15 - Diagrama de tensões na sapata ........................................................... 29
Figura 16 - Distribuição trapezoidal .......................................................................... 30
Figura 17 - Distribuição triangular ............................................................................. 30
Figura 18 - Compressão e tração no solo ............................................................... 30 Figura 19 - Relação de equilíbrio da sapata ........................................................... 31
Figura 20 - Sapata fletida e sua seção de máximo momento fletor .................... 32
Figura 21 - Reações do solo nos centros de gravidade das parcelas da sapata ........................................................................................................................................ 32
Figura 22 - Sapata excêntrica divida em três triângulos ....................................... 33 Figura 23 - Sapata parcialmente apoiada no solo .................................................. 33
Figura 24 - Vista em planta da sapata parcialmente apoiada no solo. ............... 34 Figura 25 - Tensão média no solo ............................................................................ 35
Figura 26 - Região de punção da sapata concêntrica ........................................... 36
Figura 27 - Região de punção na sapata excêntrica ............................................. 37
Figura 28 - Teste da rigidez da sapata. ................................................................... 37 Figura 29 - Área no pilar de máximo momento fletor. ........................................... 39 Figura 30 - Diagramas de momento fletor e cortantes .......................................... 41
Figura 31 - (a) Sapata com carga deslocada para o centro. (b) Carga deslocada até o limite do terço central. ....................................................................................... 43 Figura 32 - Momento fletor por metro linear. ........................................................... 45
Figura 33 - Seção transversal da viga ...................................................................... 46 Figura 34 - Sapata excêntrica utilizada no exemplo. ............................................. 49
Figura 35 - Sapata com viga de equilíbrio ............................................................... 56
10
LISTA DE ABREVEIATURAS E SIGLAS
P Carga atuante na sapata e Excentricidade (distância) em relação ao centro de gravidade M Momento devido a excentricidade da carga A Dimensão do maior lado da sapata B Dimensão do menor lado da sapata
oσ Tensão no solo devida a carga concentrada
1σ Tensão máxima de compressão devido a flexão
2σ Tensão mínima de tração devido a flexão
LN Linha neutra y Distância da LN até a fibra considerada I Momento de inércia
b Largura da viga h Altura da viga
σmax Tensão máxima
σmin Tensão mínima
x Dimensão apoiada no solo CG Centro de gravidade A1 Área trapezoidal apoiada no solo A2 Área triangular apoiada no solo B’ Dimensão (largura) do triângulo apoiado no solo
1x Posição na direção x do centro de gravidade de A2
11
2x Posição na direção x do centro de gravidade de A2
1y Posição na direção y do centro de gravidade de A1
médiaσ Tensão média no solo
R1 Resultante do solo na sapata R2 Resultante do solo na sapata MA Momento fletor paralelo ao lado A da sapata MB Momento fletor paralelo ao lado B da sapata Apunção Área da punção
Punçãoτ Tensão de punção
limiteτ Tensão limite de punção
H Altura da sapata fck Resistência do concreto a compressão
bw Largura da viga
d Altura útil
As,A Área de aço paralela ao lado A
As,B Área de aço paralela ao lado B
Md Momento de projeto
l1 Distância do pilar de divisa ao pilar interno
l Distância do pilar interno ao centro da sapata
xo Distância da carga atuante no pilar até o centro da sapata
N Carga atuante na sapata com viga de equilíbrio.
D Comprimento da sapata
B Largura da sapata
N’ Reação na sapata excêntrica
N” Reação de apoio da sapata interna
Mo Momento no centro da sapata
Mviga Momento na viga
12
Q1,Q2 Cortantes na viga
e' Deslocamento do ponto de aplicação da carga
e Distância do centro até o ponto de aplicação da carga
Msap Momento na sapata
p Pressão média do terreno
lo Comprimento do balanço da sapata.
c Cobrimento
Qd Cortante de projeto
VRd Força cortante resistente de cálculo
fcd Tensão de compressão de projeto de cálculo
Vc Força atuante na região comprimida.
fy Tensão de escoamento do aço
13
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO 15
1.1 Justificativa 16
1.2 Objetivos 16
1.3 Estrutura do trabalho 16
2 GENERALIDADES 17
2.1 Distribuições das cargas 17
2.2 Laje 18
2.3 Viga 18
2.4 Pilar 19
2.5 Fundação 20
2.5.1 Fundação superficial 20
2.5.2 Fundação profunda 20
2.6 Tipos de fundação superficial 20
2.6.1 Bloco 20
2.6.2 Radier 21
2.6.3 Sapatas 21
2.6.3.1 Sapatas isoladas 22
2.6.3.2 Sapatas corridas 23
2.6.3.3 Sapatas associadas ou combinadas 23
2.6.3.4 Sapatas excêntricas em uma direção. 24
3 MODELO DE CÁLCULO 25
3.1 Método clássico 25
3.2 Sapatas sem a viga de equilíbrio 26
3.2.1 Cálculo dos momentos fletores. 31
3.2.2 Verificação da punção 36
3.2.3 Cálculo da armação 38
3.3 Sapata com viga de equilíbrio 40
3.3.1 Cálculo dos momentos fletores da da viga de equilíbrio e da sapata. 41
3.3.2 Dimensionamento e detalhes das vigas de equilíbrio e da sapata. 46
4 EXEMPLOS 49
4.1 Sapata sem viga de equilíbrio 49
4.2 Sapata com viga de equilíbrio 56
14
5 LEVANTAMENTO DE CUSTOS 63
5.1 Custo da Sapata Excêntrica Sem viga de equilíbrio 64
5.2 Custo da Sapata Excêntrica Com viga de equilíbrio 65
5.3 Comparação entre os dois cenários. 66
6 CONCLUSÃO 67
7 BIBLIOGRAFIA 69
15
1 INTRODUÇÃO
Fundações são elementos estruturais que tem por função transmitir as
cargas da estrutura ao terreno onde ela está apoiada. São destinadas a
suportar qualquer tipo de estruturas como edifícios, pontes, barragens, etc.
Devem apresentar resistência adequada para suportar as tensões causadas
pelas cargas provenientes da estrutura. O solo ao qual estão apoiadas deve ter
rigidez e resistência para que não sofra ruptura, assim não ocorrendo
deformações exageradas.
A escolha do tipo de fundação deve ser feito por profissionais
especialistas em solos, conhecidos como consultor de solos. Para se escolher
a fundação mais adequada, devem-se conhecer os esforços atuantes sobre a
edificação, as características do solo e dos elementos estruturais que formam
as fundações. Infelizmente, nas pequenas obras, o cliente se nega a arcar com
os custos de mais um profissional e acaba sendo o engenheiro da
superestrutura o responsável também por todo projeto de fundação.
As fundações podem se dividir em superficiais, quando as cargas da
edificação são transmitidas ao solo nas primeiras camadas, ou em profundas,
quando as camadas iniciais não apresentam boa resistência, buscando assim
camadas mais profundas que apresentem melhor resistência e proporcionem
estabilidade à estrutura.
Entre as fundações superficiais estão as sapatas, elementos estruturas
constituídos de concreto e aço. As sapatas são comumente concêntricas, ou
seja, a carga nela atuante está aplicada no eixo central da peça. Há situações
em que a carga, por imposição de projeto, se torna excêntrica, ou seja, a
aplicação da carga está fora do eixo central. Isso ocorre quando a carga,
decorrente do pilar, está próxima a divisa do terreno. Dessa maneira para que
a carga seja concêntrica, a sapata teria que “avançar” o terreno vizinho, o que
não deve acontecer. Nesse cenário, a sapata excêntrica se apresenta como
solução para esses problemas devido à excentricidade da carga e em certas
situações podem ser construídas também com elementos estruturais como as
vigas de equilíbrio.
16
1.1 Justificativa
Além de comparar os custos na construção de sapatas excêntricas,
sejam elas com ou sem vigas de equilíbrio, tem-se também a motivação de
apresentar o estudo detalhado do dimensionamento desse tipo de fundação,
visando combater o momento gerado pela excentricidade unidirecional da
carga aplicada na sapata.
1.2 Objetivos
Apresentar a alternativa mais econômica na construção de sapatas
excêntricas com ou sem viga de equilíbrio para determinadas cargas e tensões
admissíveis pré-estabelecidas, além de detalhar o estudo do dimensionamento
desses elementos de fundação.
1.3 Estrutura do trabalho
O trabalho foi estruturado em cinco capítulos, de forma a cumprir os
objetivos e esclarecer os principais aspectos trabalhados, como segue: no
capítulo 1 foi apresentado a introdução, o objetivo e a justificativa do devido
trabalho. No capítulo 2 foram apresentadas as definições e aplicações de
alguns elementos estruturais a fim de esclarecer como se comporta uma
edificação quando os elementos trabalham em conjunto. No capítulo 3
apresentam-se os modelos de cálculo utilizados para o dimensionamento. No
capítulo 4 é apresentada a aplicação desses modelos utilizando para os
mesmo valores antes definidos, como cargas atuantes, tensão admissível do
solo dentre outros. No capítulo 5 é apresentado o levantamento de custo da
sapata com e sem viga de equilíbrio. No capítulo 6é apresentada a conclusão
com a comparação de custo dentre os dois cenários estudados nesse trabalho.
17
2 GENERALIDADES
As lajes, vigas e pilares são elementos estruturais comuns em qualquer
construção de concreto armado, sejam elas de pequeno ou grande porte.
Existem outros elementos que podem ou não aparecer nas construções como
os blocos ou sapatas de fundação, tubulões, estacas entre outros. As
definições apresentadas a seguir visam orientar o entendimento da função de
cada elemento estrutural e como as cargas atuantes são distribuídas a cada
elemento quando funcionam em conjunto para que a edificação a ser
construída permaneça estável.
2.1 Distribuições das cargas
Vimos que cada elemento estrutural tem sua função e de forma conjunta
numa edificação transmitem cargas entre si. As lajes ou paredes transferem
suas cargas para as vigas que por sua vez as distribuem para os pilares e
esses descarregam todos os esforços da edificação na fundação. Portanto a
fundação tem o papel de absorver e transferir para o solo essas solicitações.
Essa situação é mostrada na figura abaixo.
Laje Viga Pilar Fundação
Figura 1 - Distribuição das cargas na edificação
18
2.2 Laje
Laje é um elemento estrutural plano e geralmente retangular que recebe
e sustenta diversos tipos de cargas que são aplicadas nas construções, como
paredes, pessoas, móveis, pilares, além do seu peso próprio. Normalmente
essas ações são perpendiculares ao seu plano e podem ser distribuídas de
forma linear (paredes), em sua área (peso próprio, revestimento do piso),
concentrada (pilar).
Figura 2 - Laje maciça
Fonte: Civil Plas, http://www.civilplas.pt/civilplas/news1.htm
2.3 Viga
Vigas são elementos estruturais lineares e geralmente horizontais com
função basicamente de vencer grandes vãos e receber ações normalmente
perpendiculares ao seu eixo longitudinal transmitindo-as aos apoios
(comumente pilares). As forças atuantes podem ser distribuídas linearmente,
como as paredes e lajes, ou de forma concentrada, como outras vigas e
pilares, esses em situações específicas. Além dessas, podem sofrer forças
normais de compressão ou de tração na direção de seu eixo longitudinal.
19
Figura 3 – Vigas
Fonte: Consultoria e analise, http://www.consultoriaeanalise.com
2.4 Pilar
O pilar é um elemento estrutural linear e geralmente disposto na vertical
e tem como função resistir e transmitir as cargas verticais aos elementos de
fundação. As cargas podem ser decorrentes de vigas, de outros pilares e até
mesmo de lajes (laje cogumelo). É também responsável por dar estabilidade a
edificação resistindo a ações horizontais e verticais provenientes do sistema de
contraventamento.
Figura 4– Pilar
Fonte: Consultoria e analise, http://www.consultoriaeanalise.com
20
2.5 Fundação
Fundação é o elemento estrutural responsável por transmitir toda carga
da edificação ao solo. Essa distribuição da carga deve ser feita de maneira
segura evitando recalques do solo que prejudica não só o sistema estrutural,
mas também o próprio solo causando ruptura. Entretanto, além de transmitir, o
elemento deve suportar as tensões geradas pelos esforços solicitantes. De
acordo com a NBR 6122:1996, em função da profundidade da cota de apoio,
as fundações são classificadas em superficiais e profundas.
2.5.1 Fundação superficial
Segundo a NBR 6122:1996, fundações superficiais são elementos de
fundação em que a carga é transmitida ao terreno, predominantemente pelas
pressões distribuídas sob a base da fundação, e em que a profundidade de
assentamento em relação ao terreno adjacente é inferior a duas vezes a menor
dimensão da fundação. Incluem-se neste tipo de fundação as sapatas, os
blocos, os radier, as sapatas associadas, as vigas de fundação e as sapatas
corridas.
2.5.2 Fundação profunda
Segundo a NBR 6122:1996, elemento de fundação que transmite a
carga ao terreno pela base (resistência de ponta), por sua superfície lateral
(resistência de fuste) ou por uma combinação das duas, e que está assente
em profundidade superior ao dobro de sua menor dimensão em planta, e
no mínimo 3m, salvo justificativa. Neste tipo de fundação incluem-se as
estacas, os tubulões e os caixões.
2.6 Tipos de fundação superficial
2.6.1 Bloco
Elemento de fundação superficial de concreto, dimensionado de modo
que as tensões de tração nele produzidas possam ser resistidas pelo concreto,
sem necessidade de armadura. Pode ter suas faces verticais, inclinadas ou o
escalonadas e apresentar normalmente em planta seção quadrada ou
retangular. [NBR 6122:1996].
21
Figura 5– Bloco
Fonte: ABCP
2.6.2 Radier
Elemento de fundação superficial que abrange todos os pilares da obra
ou carregamentos distribuídos (por exemplo: tanques, depósitos, silos, etc.).
[NBR 6122:1996]
Figura 6–Radier
Fonte: ABCP
2.6.3 Sapatas
Elemento de fundação superficial de concreto armado, dimensionado de
modo que as tensões de tração nele produzidas não sejam resistidas pelo
concreto, mas sim pelo emprego de armadura. Pode possuir espessura
constante ou variável, sendo sua base em planta normalmente quadrada,
retangular ou trapezoidal. [NBR 6122:1996].
22
Figura 7 - Sapata concêntrica
Fonte: Dicionário Geotécnico, http://www.dicionariogeotecnico.com.br
2.6.3.1 Sapatas isoladas
Elementos estruturais que recebem a carga de um único pilar. Essa
carga pode ser concêntrica ou excêntrica. Podem ser quadradas, circulares ou
retangulares além de ter altura constante ou variável.
Figura 8 - Sapatas isoladas
Fonte: SILVA, 1998
23
2.6.3.2 Sapatas corridas
São elementos contínuos que acompanham a linha das paredes, as
quais lhes transmitem a carga por metro linear [(BRITO, 1987) apud BARROS
(2003)]. Ela é comumente usada para apoiar paredes, muros e até pilares
alinhados com distância curta entre si.
Figura 9 - Sapata corrida
Fonte: BARROS, 1996
2.6.3.3 Sapatas associadas ou combinadas
Transmitem ações de dois ou mais pilares adjacentes (Figura 10). São
utilizadas quando a distância entre as sapatas é relativamente pequena, onde
este tipo de fundação oferece uma opção mais econômica (SILVA, 1998). Em
situações onde o pilar está na divisa do terreno e há um pilar interno próximo,
utilizamos também esse tipo de sapata, onde a viga alavancada não é
necessária e pode ser substituída por uma viga de rigidez.
Figura 10 - Sapatas associadas
24
2.6.3.4 Sapatas excêntricas em uma direção.
A sapata com carga excêntrica é comumente utilizada quando por
imposição de projeto aparece junto à divisa do terreno. Não podendo
ultrapassar o terreno vizinho, a carga decorrente do pilar que está distante do
eixo central da sapata gera um momento na peça sendo necessário
dimensioná-la a fim de reduzir esse esforço e manter a mesma em equilíbrio.
Para combater o momento na fundação gerado pela carga aplicada fora
do eixo central, introduzimos ou não elementos de construção como as vigas
de equilíbrio. É apresentado no capítulo 3 dois modelos de cálculo do
dimensionamento da sapata excêntrica, seja alterando sua geometria para
combater o momento ou inserindo as vigas de equilíbrio.
25
3 MODELO DE CÁLCULO
A rigidez da sapata, pela relação entre suas dimensões, pode ser rígida
ou flexível. Essa rigidez influi, principalmente, no processo adotado para
determinação das armaduras. Outro fator determinante para definição da
rigidez da sapata é a resistência do solo, mostrado no item 3.2.2. Para baixas
tensões indica-se sapata flexível, e para tensões maiores sapata rígida. As
sapatas flexíveis apresentam o comportamento estrutural de uma peça fletida,
onde para seu dimensionamento além de absorver o momento fletor, deve-se
verificar o puncionamento.
Este capítulo apresenta os métodos de dimensionamento das sapatas
flexíveis e os critérios utilizados em estudo com carga excêntrica em dois
cenários: com e sem viga de equilíbrio. O dimensionamento será feito no
estado limite último, onde condições devem ser satisfeitas:
a) A resistência calculada, devido à carga aplicada, deverá ser maior
que a solicita pela carga, ou seja, as deformações dos materiais quando
solicitados pelos carregamentos não devem ultrapassar valores limites.
b) Equilíbrio estático da estrutura considerando os riscos de
tombamento quando as sapatas são submetidas a carregamentos
excêntricos.
Para dimensionar a flexão das sapatas será considerado a mesma teoria
utilizada nas vigas submetidas à flexão simples. Para maior simplificação, as
sapatas serão armadas nas duas direções. Os esforços solicitantes são
determinados para uma distribuição uniforme de pressões no solo.
As sapatas podem ser dimensionadas por diferentes modelos de cálculo,
ou seja, podem ser consideradas rígidas ou flexíveis em função da relação
entre a altura e o comprimento do balanço da sapata.
3.1 Método de cálculo
ANDRADE (1989) apud SILVA (1998) afirma que este modelo de cálculo
se aplica às sapatas flexíveis e consiste em calcular o momento fletor no eixo
26
central da sapata, enquanto o esforço cortante é verificado na seção adjacente
à face do pilar. A área da seção transversal da armadura, para absorver os
momentos fletores, pode ser dimensionada no centro da sapata, como nas
vigas submetidas à flexão simples, e estendida ao longo da mesma sem
redução, ou seja, a armadura é distribuída uniformemente nas duas direções.
No caso da sapata com carga excêntrica, será dimensionada próximo a face do
pilar onde acontece o maior momento fletor como mostrado a seguir.
3.2 Sapatas sem a viga de equilíbrio
Esse método consiste em fazer com que a resultante das tensões do
solo coincida com a linha de ação da carga (pilar), aumentando o comprimento
da sapata seguindo os critérios utilizados por REBELLO.
Figura 11 - Sapata com carga excêntrica
Fonte: REBELLO, 2008.
Observa-se na Figura 11 uma carga P sendo aplicada a uma distância e
do centro de gravidade da sapata. O efeito da carga excêntrica pode ser
representado pelo efeito da carga centrada mais um momento provocado pela
carga fora do eixo central (Figura 12).
27
Figura 12 - Efeitos da carga excêntrica
Fonte: REBELLO, 2008.
Com a substituição dos efeitos decorrentes da excentricidade da carga,
podemos determinar as tensões no solo. Primeiro, define-se a tensão uniforme
no solo que a carga centrada produz. Tem-se que:
Figura 13 - Carga concentrada
Fonte: REBELLO, 2008.
)2.3(BxA
Pσo
Como citado anteriormente, será considerada na dimensão a mesma
teoria utilizada nas vigas submetidas à flexão simples, logo as tensões
provocadas pelo momento são semelhantes as que acontecem na seção da
viga.
As tensões na viga têm valores máximos nas fibras mais afastadas do
centro da seção (centro de gravidade) e nulos nesse centro, onde está situada
a linha neutra, local onde não ocorre nenhuma tensão devido à flexão. Na
Figura 14 se percebe essa distribuição das tensões na seção submetida a
momento fletor.
28
Figura 14 - Diagrama de tensões na viga
Fonte: REBELLO, 2008.
1 = Tensão máxima de compressão
2 = Tensão máxima de tração
LN = Linha neutra
Da tensão de flexão das vigas temos:
(3.2a) I
yM x1
; onde M = P x e
A excentricidade e pode ser calculada por:
2
a
2
Ae
1= Tensão de flexão
M = Momento fletor na seção considerada
y = Distância da LN até fibra considerada
I= Momento de inércia
A= Lado maior da sapata
a= Aresta paralela ao maior lado.
Substituindo esses valores na equação 3.2a e resolvendo os cálculos
obtemos:
29
)2.3(
)6
²(
1 bhxb
M , )2.3(
)6
²(
2 chxb
M
b = largura da viga
h = altura da viga
Transpondo esses valores para as sapatas, tem-se:
Figura 15 - Diagrama de tensões na sapata
Fonte: REBELLO, 2008.
)6
A²xB(
Mσ1 ;
)6
A²xB(
Mσ2
21 σσ
A resultante dos efeitos de carga centrada e dos momentos pode gerar
três situações:
1ª Hipótese: 10 σσ (Uma distribuição das tensões trapezoidal)
30
Figura 16 - Distribuição trapezoidal
Fonte: REBELLO, 2008.
2ª Hipótese: 10 σσ (Uma distribuição das tensões triangular)
Figura 17 - Distribuição triangular
Fonte: REBELLO, 2008.
3º Hipótese: 10 σσ (Ocorre uma parcela de compressão e outra de
tração)
Figura 18 - Compressão e tração no solo
Fonte: REBELLO, 2008.
Nas três situações, tem-se:
oσ (inicial) (Devido à carga concentrada)
1omax σσσ ; 1omin σσσ
)6
².(
AB
M
BxA
Pmáx
31
)6
².(
minAB
M
BxA
P
Logo, a tensão máxima deve ser menor ou igual à tensão admissível do
solo ( smax σσ ).
Na terceira hipótese (Figura 18) observa-se que aparece tração no solo,
o que é impossível, pois o solo não admite tração. Neste caso, a sapata fica
parcialmente “apoiada” no solo, ou seja, apresenta um diagrama de tensões
com compressão do lado esquerdo e tração no direito.
De acordo com REBELLO (2008), para que a sapata se mantenha em
equilíbrio, é necessário que x seja maior ou igual a 2/3 de A (lado da sapata
paralelo ao momento). Na Figura 19 observa-se essa relação de equilíbrio.
Figura 19 - Relação de equilíbrio da sapata
Fonte: REBELLO, 2008.
3.2.1 Cálculo dos momentos fletores.
Antes do cálculo dos momentos fletores, é apresentado a seguir o
comportamento de uma sapata com carga centrada que sofre reação do solo
quando carregada.
32
Figura 20 - Sapata fletida e sua seção de máximo momento fletor
Fonte: REBELLO, 2008.
A reação no solo, igual à tensão aplicada pela sapata no mesmo, é
responsável pela flexão na sapata. Observa-se também que o máximo
momento fletor acontece na face do pilar, logo e dimensionamento da
armadura leva em consideração esse momento calculado.
Para efeito do cálculo do momento, a sapata é considerada dividida em
quatro triângulos, onde cada parte reage com ¼ da carga P e que essa reação
é aplicada no centro de gravidade de cada triângulo (Figura 21). Logo, a reação
de cada parte gera um momento fletor máximo em cada face do pilar.
Figura 21 - Reações do solo nos centros de gravidade das parcelas da sapata
Fonte: REBELLO, 2008.
Para o caso da sapata com carga excêntrica, o modelo do cálculo do
momento é o mesmo apresentado para sapata isolada com carga concentrada
divida em triângulos. Na sapata concentrada são quatro triângulos como
mostrado na Figura 21, já na sapata excêntrica são três (Figura 22).
33
Figura 22 - Sapata excêntrica divida em três triângulos
Fonte: REBELLO, 2008.
Como apresentado anteriormente, a sapata pode está totalmente
apoiada no solo (1ª e 2ª hipótese) ou parcialmente apoiada (3ª hipótese). Será
mostrado a seguir o cálculo do momento no caso da sapata não estar
totalmente apoiada no solo, correspondente a 3ª hipótese. Esta situação é a
mais comum em sapatas de divisa.
De acordo com REBELLO (2008), nesta condição onde a sapata está
parcialmente apoiada no solo, deve-se dimensionar a sapata para que a parte
apoiada x seja maior ou igual a 2/3 da dimensão A.
Figura 23 - Sapata parcialmente apoiada no solo
Fonte: REBELLO, 2008.
Estabelecido o valor de x pela relação de triângulos, determina-se a área
de cada porção da sapata apoiada no solo e seus respectivos centros de
gravidade.
34
Figura 24 - Vista em planta da sapata parcialmente apoiada no solo.
Fonte: REBELLO, 2008.
O valor de B’ é determinado em função dos valores adotados para A e B
usando a relação de triângulos.
A
BxB
x
B
A
B ).('
'
As áreas A1 e A2 são determinadas usando as seguintes relações:
x
BBB
A x
2
)2
()2
'(
1 (Área do trapézio da parte apoiada no solo)
Substituindo B’ nessa equação, e desenvolvendo os cálculos, tem-se:
xAx
BxBAA x
xxx
4)()2(
1
2'
2xB
Ax
(Área do triângulo) ou ABx
Ax
x
2²
2
De acordo com REBELLO (2008), o centro de gravidade da área
referente ao trapézio pode ser obtido de maneira aproximada pela relação
41
bBy
35
O centro de gravidade da área do triângulo é dado pela relação
xx x
3
22
Seguindo os critérios apresentados por REBELLO (2008), as resultantes
aplicadas nos centros de gravidade admite-se que tenham valor
correspondente à metade da tensão máxima aplicada pela sapata ao solo,
considerada uniformemente distribuída.
Figura 25 - Tensão média no solo
Fonte: REBELLO, 2008.
2
σσ
máxmédia
Sabendo que AF / , as resultantes aplicadas nos centros de
gravidade serão calculadas multiplicando o valor da tensão pelas áreas da
sapata. Logo
médiaxx
x
xxxmédiax x
A
BxBARAR
4
)()2(111
médiax
x
xmédiax
A
BxRAR
2
²222
Os momentos fletores máximos em relação às faces do pilar são:
)( 22 axRM xA (Momento fletor paralelo ao lado A da sapata)
)2
( 11b
yRM xB (Momento fletor paralelo ao lado B da sapata)
36
Resolvendo as equações com os valores das resultantes achadas
anteriormente temos:
)3
2(
2
)²(a
x
A
BxM
xmédia
x
xA xx
)(16
)()2(bBx
A
BxBAM xxx média
x
xxxB
3.2.2 Verificação da punção
A punção pode ser descrita como a perfuração de uma placa devida a
tensão de cisalhamento provocado por forças concentradas. De acordo com
SILVA (2008), devido a fatores construtivos e econômicos, é recomendável não
utilizar armaduras transversais nas sapatas, adotando-se uma altura suficiente
para que não ocorra ruptura por punção.
O efeito de puncionamento geralmente determina a altura da sapata. Nas
sapatas flexíveis com pilares isolados não se pode deixar de verificar o
puncionamento, diferente das sapatas rígidas.
De acordo com REBELLO (2008), como se pode ver pela Figura 26, a
seção de cisalhamento adotada é a média, em virtude do ângulo de 45º real.
Dessa maneira, a área lateral puncionada fica sendo:
Apunção = 2 x [(a + h) + (b + h)] x h
Figura 26 - Região de punção da sapata concêntrica
Fonte: REBELLO, 2008.
37
Para a situação de cargas excêntricas, a área lateral de atuação da
tensão de cisalhamento decorrente da punção é apresentada a seguir:
HHbH
ax x)]()2
(2[A Punção
Figura 27 - Região de punção na sapata excêntrica
Fonte: REBELLO, 2008.
Para a altura da sapata adota-se, de acordo com REBELLO (2008), que
a altura seja 30% do maior lado da sapata. Logo
H = 30% do maior lado
Em função de suas dimensões, as sapatas podem ser classificadas em
rígidas e flexíveis. As sapatas flexíveis tem a vantagem do menor consumo de
concreto e, por serem mais leves, são mais adequadas em um solo de menor
capacidade de carga. As sapatas rígidas tem a vantagem do menor consumo
de aço, além de ser possível o emprego de concreto de menor resistência. Por
se tratar de uma sapata mais pesada, ela é mais econômica em solos de
melhor qualidade. Como esse estudo considera para o dimensionamento uma
sapata flexível, faz-se o teste de acordo com ARAÚJO (2010), onde
Figura 28 - Teste da rigidez da sapata.
Fonte: ARAÚJO, 2010.
38
2/)( aAI
Sapata rígida:
I/2H
Sapata flexível:
I/2H
Antes de adotar essa altura no cálculo da armação, deve-se verificar a
punção. Sabendo a área de atuação cisalhante e a “possível” altura da sapata,
obtemos a tensão de cisalhamento devido a punção, logo
HH)](b)2
H(ax[2
P
A
Pτ
xPunção
Punção
Hb]H)(ax[2
Pτ
x
Punção
De acordo com REBELLO (2008), para que não ocorra punção na região
próxima ao pilar, a tensão de cisalhamento deve ser inferior a:
25
fcklimiteτ
3.2.3 Cálculo da armação
Segundo REBELLO (2008), para o cálculo das armações relativas aos
momentos é considerado para MA a seção resistente b x H, onde b é a largura
do pilar paralelo ao lado B da sapata e H a altura da sapata. Para MB a seção
considerada é a x H, onde a é a largura do pilar paralelo ao lado A da sapata e
H a altura da sapata. A largura nas formulações usadas a seguir é denominada
de bw.
39
Figura 29 - Área no pilar de máximo momento fletor.
Fonte: REBELLO, 2008.
A determinação a seguir da área da seção transversal da armadura
inferior está de acordo com as prescrições da NBR 6118:2003.
Para o cálculo da armadura paralela ao lado A tem-se a partir do
equilíbrio das seções do elemento estrutural:
dA
xwc
M
d²bk
MdA = 1,4 x MA
onde bw é a largura do pilar perpendicular a direção do momento e d a
altura útil.
Com o valor de Kc, obtém-se Ks pela tabela 1 (anexo). A partir desse
novo valor, determina-se a área total da armadura paralela ao lado A:
d
MkA
dAxsAs,
Após o valor achado da área de seção da armadura, determina-se o
número de barras e o diâmetro nominal da bitola analisando a Tabela 1.3a
(anexo).
Analogamente na direção y tem-se:
dB
xwc
M
d²bk
40
onde bw é a largura do pilar perpendicular a direção do momento e d a
altura útil.
Com o valor de kc, obtém-se ks pela tabela 1.1 (anexo). A partir desse
novo valor, determina-se a área total da armadura paralela ao lado B:
d
MkA
dBxsBs,
Após o valor achado da área de seção da armadura, determina-se o
número de barras e o diâmetro nominal da bitola analisando a Tabela
1.3a(anexo).
3.3 Sapata com viga de equilíbrio
No dimensionamento da sapata sem viga de equilíbrio do item 3.2
observa-se que a carga excêntrica gera um diagrama de tensão por
compressão e parte da sapata encontra-se apoiada no solo. A região não
apoiada gera, teoricamente, tração no solo. A situação apresentada nesse
capítulo busca inserir elementos de construção que reduzam a excentricidade e
consequentemente eliminar a tração do solo, diferente do item 3.2 onde se
altera a geometria da sapata para manter a estrutura em equilíbrio.
Entre estes elementos construtivos estão às vigas de equilíbrio ou vigas
alavancadas, cuja função é realizar um momento que desloque a posição da
resultante mais para o centro da sapata gerando assim uma distribuição
uniforme de tensão no solo.
Nesse cenário, como medida de prudência, considera-se a hipótese de
uma escavação no terreno vizinho nas proximidades da sapata onde se
emprega a viga de equilíbrio para deslocar a carga de sua posição excêntrica
para o centro da sapata. Dessa maneira, tem-se uma reação uniforme do
terreno na sapata como apresentado na figura abaixo.
41
Figura 30 - Diagramas de momento fletor e cortantes
Fonte: ROCHA, VOL 2, 11ª Ed.
3.3.1 Cálculo dos momentos fletores da viga de equilíbrio e
da sapata.
De acordo com ROCHA, se substituirmos a carga do pilar pela sua
resultante N e considerarmos a viga de equilíbrio como apoiada no centro da
sapata e no pilar oposto, tem-se uma viga sobre dois apoios simples recebendo
uma carga concentrada N em balanço.
Na Figura 30(c) o diagrama de momentos fletores é representado pela
linha tracejada abc, pois as cargas consideradas são concentradas, onde o
momento máximo encontra-se no centro da sapata e pode ser obtido por:
oo xNM .
42
onde xo é a distância da carga N até o centro da sapata, logo
2
dDxo
O momento nesse ponto é o mesmo independente da carga que esteja
sendo aplicada nessa estrutura. Com esse valor de Mo calculam-se as reações
na sapata e no pilar de amarração da viga de equilíbrio.
0'N'NN'0ΣFy
(3.1.1a)N''NN'
00 l)(N''.)x(N.ΣM oo
(3.1.1b)l
MN''lN''.M
oo
onde l é a distância do centro da sapata ao pilar de apoio da viga de
equilíbrio e l1 a distância entre os centros dos pilares, logo
oxll 1
Substituindo a equação 3.1.1b na 3.1.1a, tem-se
(3.1.1c)l
MNN'
o
De acordo com ROCHA, para o dimensionamento da viga de equilíbrio,
utiliza-se o momento na face da sapata pois a carga N aplicada no pilar gera na
realidade uma reação N distribuída uniformemente no comprimento D, logo o
diagrama de momento será a curva ABC indicada na Figura 30 (c).O momento
nessa região é dado por
(3.1.1d) 0)2
D(N'.))
2
D(N.(x0ΣM oviga
Substituindo a equação 3.1.1c na 3.1.1d e desenvolvendo os cálculos,
tem-se
43
l
Dl
.MM oviga2
A Figura 30 (d) mostra um diagrama de esforço cortante a’b’c’d’ quando
as cargas N e a reação do terreno são consideradas concentradas. A situação
real, porém, apresenta cargas com distribuição uniforme e o diagrama de
esforço cortante será a linha ABC da Figura 30 (d).
Conhecendo a força cortante na face do pilar e na face da sapata, adota-
se a maior delas para o dimensionamento. As forças cortantes são:
D
dNNQ '1
"2 NQ
Para as dimensões da base da sapata faz-se uma relação com uma
sapata sem viga de equilíbrio do item 3.2, engastada no pilar, sendo que nesse
caso considera-se a resultante final no centro da sapata. Dessa maneira, a
sapata deixa de ser excêntrica.
Figura 31 - (a) Sapata com carga deslocada para o centro. (b) Carga deslocada até o limite do terço central.
Fonte: ROCHA, VOL 2, 11ª Ed.
44
Observa-se a figura 31(a), onde a carga é deslocada e’ do ponto de
aplicação. Tem-se que
32'
Dde
Logo a dimensão D na direção perpendicular a divisa do terreno é
)'2
.(3 ed
D
De acordo com ROCHA, quando for adotado
)'2
.(3 ed
D
é preciso dotar a sapata de viga de equilíbrio, o que tem por fim deslocar a
carga mais para o centro do sapata. Logo a dimensão D da sapata
perpendicular a divisa do terreno deve ser adotada previamente. Imaginando a
sapata quadrada e a carga centrada para que se tenha uma distribuição
uniforme como citado anteriormente, pode-se calcular o valor de D pela
fórmula:
σ
ND
D²
Nσ
Conhecida a dimensão D, obtém-se a largura B da sapata, empregando
a fórmula da tensão máxima no terreno como mostrado no item 3.2
admσ)D
6e(1
BD
Nσ
Onde e é a excentricidade da carga em relação ao centro da sapata, e σ
é a tensão máxima no terreno, e B e D as dimensões da sapata. Logo B é
45
)D
6e(1
Dσ
NB
.adm
Para uma distribuição uniforme no terreno, considera-se a resultante
final no centro da sapata, logo a excentricidade e em relação ao centro é zero,
então:
Dσ
N'B
.adm
De acordo com ROCHA para o dimensionamento da sapata, basta
considerar o momento fletor na direção paralela à divisa. Este será por metro
linear:
2
²l.pM
osap
Figura 32 - Momento fletor por metro linear.
Sendo p a pressão média do terreno:
BD
N'p
e lo o comprimento do balanço da sapata na direção paralela à divisa
2
bBlo
46
3.3.2 Dimensionamento e detalhes das vigas de equilíbrio e
da sapata.
- Armação da viga de equilíbrio para o momento.
Figura 33 - Seção transversal da viga
Para o dimensionamento da viga de equilíbrio, utiliza-se as formulações
apresentadas para a sapata sem viga de equilíbrio.
Considera-se a viga normalmente armada, ou seja, o aço e o concreto
estão trabalhando na sua totalidade. Pela Tabela 1.1 em anexo, vamos
escolher um kc= 2,3 (normalmente armada) com um fck de 25 MPa (C25) e a
partir desse valor define-se um dmin (distância da fibra comprimida até a
armação).
w
dcmin
d
xwc
b
M . kd
M
d²bk
Adota-se o cobrimento da peça, e desse valor obtém-se a altura da seção.
cdH
Para a área da armação, tem-se
d
M kA
d xss
47
- Armação da viga de equilíbrio para o cortante.
Para a armação do cortante, utiliza-se o maior valor de Q1 e Q2 achado
no item 3.3.1.
D
dN'.NQ1
N"Q2
Com o valor do maior cortante, calcula-se o Qd de projeto, logo de forma
análoga ao momento:
maiorxd Q 1,4Q
Qd= Vsd= Força cortante solicitante de cálculo.
De acordo com a NBR 6118:2003, as formulações utilizadas para região
comprimida são:
d . b . f .α 0,27. V wcd v2 Rd
MPa) em (fck ; )250
fck-(1 αv
kgf/cm²) em (fck ; 1,4
ff
ckcd
onde,
VRd= Força cortante resistente de cálculo.
fcd= Tensão de compressão de projeto de cálculo
bw = Largura da viga
d = Altura útil
Disso, verifica-se a condição para que o cortante solicitante seja menor
que o cortante resistente, logo:
Rdsd VV
48
Para região tracionada tem-se a área de aço:
ydxx
swsw
f d 0,9
V
S
A
onde,
csdsw VVV
kgf/cm²) 250 em (fckw ; d b fck 0,09V xx32
xc
Vc = Força atuante na região comprimida.
kgf/cm²) em(fy ; 1,15
fy fyd
fy = Tensão de escoamento do aço (CA50)
- Armação da sapata para o momento
Das formulações apresentadas no item 3.3.1, o momento fletor por
metro linear na direção paralela à divisa é
2
²l.pM
osap
De forma análoga ao dimensionamento da sapata sem viga de equilíbrio,
utiliza-se as formulações de kc e ks para definir a área de aço As da armadura
da sapata.
49
4 EXEMPLOS
Para o desenvolvimento dos exemplos de dimensionamento de
sapatas excêntricas sem viga de equilíbrio e com viga de equilíbrio,
considerou-se quatro situações para cada modelo: Situação1 (S1)- P(carga
do pilar) = 10tf e soloσ =1,5 kgf/cm², Situação2 (S2)- P(carga do pilar) = 30tf e
soloσ =1,5 kgf/cm², Situação3 (S3)- P(carga do pilar) = 10tf e soloσ =2,5
kgf/cm² e Situação4 (S4)- P(carga do pilar) = 30tf e soloσ =2,5 kgf/cm².
4.1 Sapata sem viga de equilíbrio
Figura 34 - Sapata excêntrica utilizada no exemplo.
Fonte: REBELLO, 2008.
Situação 1 – S1
P(carga do pilar) = 10tf = 10000 kgf
soloσ =1,5 kgf/cm² (Taxa de solo)
Dimensões do pilar: 30 x 30 cm
fck = 25 MPa = 250 kgf/cm²
Cobrimento = 5 cm
a) Dimensionamento da sapata:
Adota-se A e B usando a relação de A=2xB. Nesse caso são
apresentados valores para A e B que tornam a sapata resistente a tensão
máxima.
A = 220 cm e B = 110cm
Determinação das tensões no solo:
50
- Carga concentrada:
110x220
10000σo kgf/cm²41,0σo
A excentricidade é :
952
30
2
220e
As tensões de compressão e tração são:
07,1
)6
²220110(
9510000
)6
A²xB(
eP
)6
A²xB(
M x21
x
x
Logo
kgf/cm²1,481,070,41σσσ 1omax
kgf/cm²0,661,070,41σσσ 1omin
OK!kgf/cm²1,51,48σσ smax
Sendo a tensão máxima menor que a tensão admissível do solo, faz-se
a relação de equilíbrio da sapata, onde x deve ser maior que 2/3 de A.
cm152,15xx220
0,66
x
1,48
51
OK!146,67152,15.2203
2x
Portanto a sapata apóia-se em um comprimento que satisfaz as
condições de equilíbrio.
b) Cálculos dos momentos fletores máximos
0,742
1,48
2
σσ
máxmédia
Os momentos MA e MB são
a)3
x2(σ
A2
B)(x²M
xxmédiax
x
xA
30)3
152,152(0,74
2202
110)(152,15²M
x
x
xA xx
kgf.m3059,2612MA
b)(BσxA16
B)(xB)A(2M xmédiaxx
x
xxxB
)30(1100,74152,1520216
)110(152,15110)220(2M xxx
x
xxxB
kgf.m810,233MB
c) Verificação da punção, altura da sapata.
Para a altura da sapata como mostrado nos modelos de cálculo, vamos
adotar H = 30% do maior lado. Logo
52
cm66220x100
30H
Verificando se a sapata é flexível, tem-se
2
a)(AI
952
30)(220I
rígida) é sapata(A 66 cm47,52
95
2
I
Logo, se reduz a altura H para que a sapata se torne flexível.
Adota-se H = 40 cm
flexível) é sapata(A 40cm cm47,52
95
2
I
Altura útil: d = H – c
d = 40 – 5 = 35 cm
Para o puncionamento tem-se
Hb]H)(ax[2
Pτ
x
Punção
kgf/cm²47,140])(30)40(30x[2
10000
x
Punçãoτ
Para que não ocorra punção na região próxima ao pilar, a tensão de
cisalhamento deve ser inferior a:
53
kgf/cm²1025
250
25
fckτlimite
limitepunção ττ
OK! 10kgf/cm²kgf/cm² 1,47
Logo não ocorrerá punção nessa região.
d) Cálculo da armação
- Armação paralela ao lado A
Primeiro vamos calcular o momento de projeto Md:
AdA Mx1,4M
kgf.m4282,96 3059,2612x1,4MdA
dA
xwc
M
d²bk
58,84282,96
35²03k
xc
Com o valor de kc acha-se o valor de ks pela Tabela 1.1 em anexo, logo
Ks = 0,024
Logo a área de aço paralela ao lado A é:
d
MkA
dAxsAs,
cm² 2.9435
4282,960,024A
xAs,
54
Com o valor de As,A e de acordo com a Tabela 1.3a, tem-se:
N1 - 10ø6.3 mm c/ 11cm(10 barras de 6.3mm de diâmetro a cada 11cm)
- Armação paralela ao lado B
De forma análoga ao caso anterior, calcula-se Md
BdB Mx1,4M
kgf.m 1134,33 810,233x1,4MdB
397,321134,33
²5330k
xc
Ks= 0,023
Logo a área de aço paralela ao lado B é:
d
MkA
dBxsBs,
cm² 0,7435
1134,330,023A
xBs,
Com o valor de As,B e de acordo com a Tabela 1.3a, tem-se:
4ø 5 mm c/ 55cm (4 barras de 5 mm de diâmetro a cada 55 cm)
O espaçamento entre as barras está maior do que o indica na NBR
6118:2003, adota-se para armadura secundária barras de 5 mm a cada 33 cm,
ou seja, ø 5 mm c/ 33 cm, logo para o comprimento de 220 cm temos 7 barras.
N2 - 7ø5 mm c/ 33cm
De maneira análoga, dimensiona-se a sapata excêntrica sem viga de
equilíbrio para as seguintes situações:
55
Situação 2 – S2
P(carga do pilar) = 30tf
soloσ =1,5 kgf/cm² (Taxa de solo)
A = 395 cm
B = 197,5 cm
cm² 72,7A As,
N1 - 10 ø 10.0 mm c/ 11cm
cm² 01,2A Bs,
N2 - 7 ø 6.3 mm c/ 32 cm
Situação 3 – S3
P(carga do pilar) = 10tf
soloσ =2,5 kgf/cm² (Taxa de solo)
A = 170 cm
B = 85 cm
cm² 64,2A As,
N1 - 9 ø 6.3 mm c/ 13cm
cm² 65,0A Bs,
N2 - 7 ø 5.0 mm c/ 33 cm
Situação 4 – S4
P(carga do pilar) = 30tf
soloσ =2,5 kgf/cm² (Taxa de solo)
A = 300 cm
B = 150 cm
cm² 81,7A As,
N1 - 10ø10.0 mm c/ 11 cm
cm² 01,2A Bs,
N2 - 7 ø 6.3 mm c/ 32 cm
56
4.2 Sapata com viga de equilíbrio
Figura 35 - Sapata com viga de equilíbrio
Situação 1 – S1
P(carga do pilar) = 10tf = 10000 kgf
soloσ =1,5 kgf/cm² (Taxa de solo)
Dimensões do pilar: 30 x 30 cm
fck = 25 MPa = 250 kgf/cm²
Cobrimento = 5 cm
l1= 4m = 400 cm (Distância entre os centros dos pilares)
fy= 5000 kgf/cm²
- Cálculo do momento e dimensionamento da sapata.
Consideramos que a sapata tem sua carga resultante deslocada para o
centro da sapata, imagina-se ela quadrada, logo:
cm 81,651,5
10000
σ
ND
Adota-se D = 85 cm. Para a dimensão B tem-se:
57
kgf.m 2750)2
30-85( 10000xN.M xoo
kgf 10738,250,275-4
275010000
l
MNN'
o
cm 222,8485 1,5
10738,25
Dσ
N'B
x.adm
É adotado para B o valor de 85 cm. A pressão média do terreno é:
kgf/cm² 1,48685 x 85
10738,25p
Logo, o momento na sapata por metro é:
cm 27,52
3085
2
bBlo
kgf.m 561,8932
(0,275²) x (kgf/m) 14860
2
²l.pM
osap
kgf.m 786,65 561,893 1,4 M 1,4M xsapx d
cm 25,4100
786,65 2,3
b
M . kd
x
w
dcmin
Adota-se um d = 15 cm em função dos cobrimento considerados
28,60786,65
(15²) 100
M
d²bk
x
d
xwc
0,023ks
58
m
cm² 1,21
15
786,65 0,023
d
M kA
x d xsprims,
De acordo com a NBR 6118:2003, deve-se adotar a armadura mínima
por:
m
cm² 3 20 x 0,15h x 0,15minAs,
Armadura por metro é: 6ø8,0mm c/ 16cm
Para a armação na direção secundária considera-se
cm² 0,63 5
1 A
5
1A x prims,xsecs,
Armadura por metro é: 3ø5,0mm c/ 30cm
- Momento e dimensionamento da armação horizontal da viga.
cm 372,5)2
3085(400xll o1
kgf.m 2436,243,725
2
0,853,725
x 2750l
2
Dl
.MM oviga
kgf.m 3410,74 2436,24 1,4 M 1,4M xvigax d
cm 16,1730
3410,74 2,3d
xmin
Adota-se d = 30 cm em função dos cobrimentos considerados.
7,923410,74
(30²) 30k
x c
024,0ks
²cm 2,7330
3410,74 0,024A
x superiors,
59
Armação superior da viga é: 4ø10,0mm
Adotar a armação inferior como metade da armação superior, logo
²cm 1,3652
2,73A inferiors,
Armação inferior da viga é: 2ø10,0mm
- Cortante e dimensionamento da armação vertical da viga.
kgf 6210,03)85
30 x (10738,2510000
D
dN'.NQ1
kgf 738,253,725
2750N"Q2
maiorxd Q 1,4Q
kgf 8694,046210,03 1,4Q xd
0,9)250
25-(1)
250
fck-(1 αv2
57,1781,4
250
1,4
ff
ckcd
30 x 30 x 178,57 x 0,9 x 0,27d . b . f .α 0,27. V wcd v2 Rd2
kgf 39053,26 V Rd2
OK! 39053,268694,04VQ Rd2d
kgf/cm²) 250 em(fck ; d b fck 0,09V xx32
xc w
kgf 3214,4830 30 250 0,09V xx32
xc
5479,563214,4804,6948Vsw
83,43471,15
5000
1,15
fy fyd
100x 4347,83 x 30 x 0,9
5479,56
f d 0,9
V
S
A
ydxx
swsw
60
cm² 4,67Asw
Estribo: 31 Ø6,3mm c/ 13cm
De forma análoga ao dimensionamento anterior, acham-se as armações
para os devidos valores:
Situação 2 – S2
P(carga do pilar) = 30tf = 30000 kgf
soloσ =1,5 kgf/cm² (Taxa de solo)
Dimensões do pilar: 30 x 30 cm
fck = 25 MPa = 250 kgf/cm²
Cobrimento = 5 cm
l1= 4m = 400 cm
fy= 5000 kgf/cm²
D = 145 cm
B = 165 cm
Armadura da sapata na direção principal: 9ø10,0mm c/ 17cm
Armadura da sapata na direção secundária: 9ø 5,0mm c/ 20cm
Armadura superior da viga: 8ø12,5mm
Armadura inferior da viga: 4ø12,5mm
Estribo: 58ø8,0mm c/ 7cm
Situação 3 – S3
P(carga do pilar) = 10tf = 10000 kgf
soloσ =2,5 kgf/cm² (Taxa de solo)
61
Dimensões do pilar: 30 x 30 cm
fck = 25 MPa = 250 kgf/cm²
Cobrimento = 5 cm
l1= 4m = 400 cm
fy= 5000 kgf/cm²
D = 65 cm
B = 65 cm
Armadura da sapata na direção principal: 5ø 8,0mm c/ 16cm
Armadura da sapata na direção secundária: 3ø 5,0mm c/ 30cm
Armadura superior da viga: 4ø8,0mm
Armadura inferior da viga: 5ø5,0mm
Estribo: 37 ø5,0mm c/ 11cm
Situação 4 – S4
P(carga do pilar) = 30tf = 30000 kgf
soloσ =2,5 kgf/cm² (Taxa de solo)
Dimensões do pilar: 30 x 30 cm
fck = 25 MPa = 250 kgf/cm²
Cobrimento = 5 cm
l1= 4m = 400 cm
fy= 5000 kgf/cm²
D = 110 cm
B = 125 cm
Armadura da sapata na direção principal: 7ø 10,0mm c/ 17cm
Armadura da sapata na direção secundária: 7ø 5,0mm c/ 20cm
Armadura superior da viga: 7ø 12,5mm
62
Armadura inferior da viga: 4ø12,5mm
Estribo: 57 ø8,0mm c/ 7cm
63
5 LEVANTAMENTO DE CUSTOS
Neste capítulo é apresentado o custo de cada situação mostrada no
capítulo 4 baseado nos preços obtidos no sistema ORSE – Orçamento de
obras de Sergipe que considera em suas composições a mão-de-obra, os
materiais e os encargos inerentes a cada serviço.
Para comparação de custo referente a esse trabalho, consideram-se
valores para serviços de armação, fôrma e concretagem. A seguir são
apresentadas as tabelas com o custo de cada material para determinada
situação.
Tabela de custos dos 3 serviços utilizados para a comparação de custos das situações apresentadas
Fonte: http://www.cehop.se.gov.br/orse/
Código AÇO (ADAPTADO) Unidade Custo
unit.(R$)
00140/ORSE Aço CA - 50 Ø 5,0 a 12,5mm, inclusive corte, dobragem, montagem e colocação de ferragens nas formas, para
superestruturas e fundações Kg 5,47
Código CONCRETO SIMPLES (ADAPTADO) Unidade Custo
unit. (R$)
00127/ORSE Concreto simples usinado fck=25mpa, lançado e
adensado m³ 275,21
Código FÔRMAS Unidade Custo
unit. (R$)
07581/ORSE Forma plana para sapatas, em madeira maciça, 01 uso,
inclusive escoramento m² 54
64
5.1 Custo da Sapata Excêntrica Sem viga de equilíbrio
S2 - 30tf - 1,5kgf/cm²
AÇO CONCRETO SIMPLES FÔRMAS
Peso (Kg)
Custo unit.(R$)
Custo total(R$)
Volume (m³)
Custo unit.(R$)
Custo total(R$)
Área (m²)
Custo unit. (R$)
Custo total (R$)
31,40 5,47 171,77 7,51 275,21 2066,69 2,37 54,00 127,98
TOTAL (R$) 2366,44
S3- 10tf - 2,5kgf/cm² AÇO CONCRETO SIMPLES FÔRMAS
Peso (Kg)
Custo unit.(R$)
Custo total(R$)
Volume (m³)
Custo unit.(R$)
Custo total(R$)
Área (m²)
Custo unit.(R$)
Custo total(R$)
5,49 5,47 30,04 0,25 275,21 68,83 1,02 54,00 55,08
TOTAL(R$) 153,95
S4 - 30tf - 2,5kgf/cm²
AÇO CONCRETO SIMPLES FÔRMAS
Peso (Kg)
Custo unit.(R$)
Custo total(R$)
Volume (m³)
Custo unit.(R$)
Custo total(R$)
Área (m²)
Custo unit. (R$)
Custo total (R$)
24,06 5,47 131,60 2,81 275,21 774,63 1,80 54,00 97,20
TOTAL(R$) 1003,43
S1 - 10tf - 1,5kgf/cm²
AÇO CONCRETO SIMPLES FÔRMAS
Peso (Kg)
Custo unit.(R$)
Custo total(R$)
Volume (m³)
Custo unit. (R$)
Custo total(R$)
Área (m²)
Custo unit.(R$)
Custo total
7,62 5,47 41,69 0,68 275,21 188,33 1,32 54,00 71,28
TOTAL (R$) 301,30
65
5.2 Custo da Sapata Excêntrica Com viga de equilíbrio
S1 - 10tf - 1,5kgf/cm²
AÇO CONCRETO SIMPLES FÔRMAS
Peso (Kg)
Custo unit.(R$)
Custo total(R$)
Volume (m³)
Custo unit.(R$)
Custo total(R$)
Área (m²)
Custo unit.(R$)
Custo total(R$)
27,07 5,47 148,07 0,48 275,21 132,79 3,80 54,00 204,93
TOTAL(R$) 485,79
S2 - 30tf - 1,5kgf/cm²
AÇO CONCRETO SIMPLES FÔRMAS
Peso (Kg)
Custo unit.(R$)
Custo total(R$)
Volume (m³)
Custo unit.(R$)
Custo total(R$)
Área (m²)
Custo unit.(R$)
Custo total(R$)
86,93 5,47 475,53 0,98 275,21 269,16 6,76 54,00 364,77
TOTAL(R$) 1109,46
S3 - 10tf - 2,5kgf/cm²
AÇO CONCRETO SIMPLES FÔRMAS
Peso (Kg)
Custo unit.(R$)
Custo total(R$)
Volume (m³)
Custo unit.(R$)
Custo total(R$)
Área (m²)
Custo unit.(R$)
Custo total(R$)
17,00 5,47 92,97 0,46 275,21 126,18 3,64 54,00 196,29
TOTAL(R$) 415,44
S4 - 30tf - 2,5kgf/cm²
AÇO CONCRETO SIMPLES FÔRMAS
Peso (Kg)
Custo unit.(R$)
Custo total(R$)
Volume (m³)
Custo unit.(R$)
Custo total(R$)
Área (m²)
Custo unit.(R$)
Custo total(R$)
74,89 5,47 409,65 0,75 275,21 207,23 5,63 54,00 303,75
TOTAL(R$) 920,63
66
5.3 Comparação entre os dois cenários.
Sapata sem viga de equilíbrio Sapata com viga de equilíbrio Situações Custo(R$) Custo(R$) Situações
S1 - 10tf - 1,5kgf/cm² 301,304 485,789 S1 - 10tf - 1,5kgf/cm² S2 - 30tf - 1,5kgf/cm² 2366,438 1109,456 S2 - 30tf - 1,5kgf/cm² S3 - 10tf - 2,5kgf/cm² 153,954 415,445 S3 - 10tf - 2,5kgf/cm² S4 - 30tf - 2,5kgf/cm² 1003,431 920,629 S4 - 30tf - 2,5kgf/cm²
67
6 CONCLUSÃO
Verifica-se através do estudo nos capítulos anteriores que para
diferentes tipos de cargas atuantes nas fundações, as mesmas apresentam um
comportamento diferente. Essa diferença não só está relacionada com a
intensidade da carga, mas também com o tipo de solo ao qual ela será
apoiada. Para o dimensionamento da sapata, seja ela concêntrica ou
excêntrica, o solo deve apresentar uma boa resistência para que não sofra
ruptura e provoque instabilidade à estrutura.
Para a sapata sem viga de equilíbrio observou-seque para uma carga de
10tf num solo com tensão admissível de 1,5 ou 2,5 kgf/cm², ela não necessita
de grandes dimensões. Quando a carga atuante tem um valor de 30t, a
pressão no solo torna-se maior e num solo de tensão admissível de 1,5kgf/cm²,
observa-se um aumento nas dimensões da sapata para que o solo resista a
essa solicitação.
De acordo com a tabela do item 5.3, a situação S2 sem viga de
equilíbrio, comparada à situação S2 da sapata com viga de equilíbrio,
apresenta um custo para seu dimensionamento duas vezes maior. Isso se dá
pelo fato do solo ser pouco resistente para uma carga de grande intensidade
nesse caso é mais econômico a construção da sapata com a viga de equilíbrio.
Ela reduz o momento gerado pela excentricidade da carga, além de prevenir
um tombamento para o caso de escavações futuras próximas a divisa,
diferente da sapata sem viga de equilíbrio, onde previamente considera-se que
não ocorrerão escavações em sua vizinhança.
Para as situações S1 e S3 nos dois cenários, a construção da sapata
sem viga de equilíbrio é mais barata. Na comparação das situações S4,
diferente da comparação das situações S2, observa-se que a utilização da
sapata sem viga de equilíbrio é a opção mais barata, mesmo a carga sendo
elevada (30t). Nesse caso o solo apresenta uma boa resistência (2,5kgf/cm²)
em relação à situação S2 que tem uma tensão admissível de 1,5kgf/cm². Logo,
apesar da carga elevada, o solo proporciona para dimensionamento da
fundação pequenas dimensões deixando-a mais barata.
68
69
7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS
ALVA, Gerson Moacyr Sisniegas. Projeto estrutural de sapatas. Disciplina:
ECC 1008 – Estruturas de Concreto. Departamento de Estruturas e Construção
Civil da Universidade Federal de Santa Maria. Rio Grande do Sul. 2007.
ALONSO, Urbano Rodriguez. Exercícios de fundações. Dimensionamento
estrutural de sapatas, cap. 9. Editora Edgard Blucher.
ANDRADE, J.R.L. (1989). Dimensionamento estrutural de elementos de
fundação. São Carlos, EESC-USP. (Notas de aula).
ARAÚJO, José Milton. Curso de concreto armado. Rio Grande. 2010. V,4, 3ª
edição.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (2003). NBR 6118 -
Projeto e execução de obras de concreto armado. Rio de Janeiro.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (1996). NBR 6122 -
Projeto e execução de fundações. Rio de Janeiro.
BARROS, Mércia. Fundações. Escola politécnica da Universidade de São
Paulo. Departamento de engenharia de construção civil. São Paulo. 2003.
MORAES, Marcelo da Cunha. Estruturas de Fundações. 3a ed. Matron Books
do Brasil, São Paulo: Editora Ltda., 1976.
REBELLO, Yopanan Conrado Pereiria.Fundações – Guia prático de projeto
– Execução e dimensionamento.2008, 1ª edição. Editora Zigurate.
ROCHA, Aderson Moreira. Novo curso prático de concreto armado. Rio de
Janeiro. 2º Volume – 11ª Ed. Editora científica
SILVA, Edja Laurindo. Análise dos modelos estruturais para determinação
dos esforços resistentes em sapatas isoladas. Dissertação apresentada à
Escola de Engenharia de São Carlos, da Universidade de São Paulo. São
Carlos. 1998.
70
SILVA, Edja Laurindo. CONCRETO ARMADO: PROJETO ESTRUTURAL DE
SAPATAS ISOLADAS. Escola de Engenharia de São Carlos, da Universidade
de São Paulo. São Carlos. 2008.
Links:
http://www.consultoriaeanalise.com
http://www.dicionariogeotecnico.com.br/
71
Anexos
72
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