View
9
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Sayısal Filtreler ve SistemlerEHB 433
Prof. Dr. Mustak E. Yalcın
Istanbul Technical UniversityFaculty of Electrical and Electronic Engineering
mustak.yalcin@itu.edu.tr
Prof. Dr. Mustak E. Yalcın (ITU) Sayısal Filtreler ve Sistemler Spring, 2020 1 / 20
Outline I
Prof. Dr. Mustak E. Yalcın (ITU) Sayısal Filtreler ve Sistemler Spring, 2020 2 / 20
Surekli zaman durum denklemlerinin ayrıklastırılması
SUREKLIZAMANSISTEMI
.. .
..
x (t) y (nT)1 1tutucu
T T
v = Acv + Bcxy = Ccv + Dcx
Burda v ∈ Rn, x ∈ R r ve y ∈ Rm alınmıstır (Cogunlukla durum olarak xgiris olarak u kullanılır. )Yukardaki sistemin cozumu
v(t) = eAc (t−t0)v(t0) +
∫ t
t0
eAc (t−τ)Bcx(τ)dτ
Bu cozum gecici hal ve kalıcı hal cozumlerinin toplamıdır !Prof. Dr. Mustak E. Yalcın (ITU) Sayısal Filtreler ve Sistemler Spring, 2020 3 / 20
u nun parca parca surekli oldugunu dusunerek nT ≤ t ≤ (n + 1)Taralıgında x(t) = x(nT ) alınmakta ayrıca t0 = nT ve t = (n + 1)Talındıgında
v((n + 1)T ) = eAcT v(nT ) +
∫ (n+1)T
nTeAc [(n+1)T−τ ]Bcx(nT )dτ
t = (n + 1)T − τ alıp integralde degisken donusumu yapıldıgında
v((n + 1)T ) = eAcT v(nT ) +
∫ 0
TeAc tBcx(nT )(−dt)
burdanv(k + 1) = Av(k) + Bx(k)y(k) = Cv(k) + Dx(k)
A = eAcT ve B =∫ T
0 eAc tBcdt olmak uzere bulunur.
Prof. Dr. Mustak E. Yalcın (ITU) Sayısal Filtreler ve Sistemler Spring, 2020 4 / 20
Laplace donusumu yardımıyla durum denklemlerininbulunması
sV (s)− v(nT ) = AcV (s) +1
sBcx(nT )
V (s) = (sI − Ac)−1v(nT ) +1
s(sI − Ac)−1Bcx(nT )
v((n + 1)T ) = Φ(τ)v(nT ) +
∫ τ
0Φ(τ − λ)Bcx(nT )dλ
v((n + 1)T ) = Φ(T )v(nT ) +
∫ T
0Φ(T − λ)Bcx(nT )dλ
burdan A ve B bulunabilir.
A = {L −1
{(sI − Ac)−1},B = {L −1
{1
s(sI − Ac)−1Bc}
Katsuhiko Ogata, Discrete-Time Control Systems, Pearson Education (1994)
Chapter 5Prof. Dr. Mustak E. Yalcın (ITU) Sayısal Filtreler ve Sistemler Spring, 2020 5 / 20
Transfer fonksiyonun (matrisinin) durum denklemlerindenbulunması
v(k + 1) = Av(k) + Bx(k)y(k) = Cv(k) + Dx(k)
Y (z) = H(z)X (z)
z-donusumunu kullanarak (x(0) = 0)
zV (z) = AV (z) + BX (z)Y (z) = CV (z) + DX (z)
burdandaY (z) = [C (zI − A)−1B + D]X (z)
Ornek :
Prof. Dr. Mustak E. Yalcın (ITU) Sayısal Filtreler ve Sistemler Spring, 2020 6 / 20
Ornek : Asagıda Ac ve Bc matrisleri verilen surekli zaman sistemiayrıklastırıldıgı durumda elde edilen ayrık zaman sisteminin A ve Bmatrislerini bulun.
Ac =
[−a 01 0
]Bc = [1 0]T Cc = [0 1]
A = L −1
{[s + a 0−1 s
]−1}
= L −1
{1
s(s+a)
[s 01 s + a
]}=
[e−aT 01a (1− e−aT ) 1
], t ≥ 0
B =
∫ T
0eAc tdtBc =
[1− e−aT
a
1
a(T +
e−aT − 1
a)
]T
Prof. Dr. Mustak E. Yalcın (ITU) Sayısal Filtreler ve Sistemler Spring, 2020 7 / 20
function dy = prime1(t,y)
a=.2;A=[-a 0;1 0];B=[1;0];
dy= A*y+B*1;
tt,Y= ode23(’prime1’, [0, 50], [0.1;0.2]);
a=0.2;T=.001;
Ak=[exp(-a*T) 0; (1-exp(-a*T))/a 1];
Bk=[(1-exp(-a*T))/a;(T+(exp(-a*T)-1)/a)/a];
yd(:,1)=[0.1;0.2];
for i=1:50000,yd(:,i+1)=Ak*yd(:,i)+Bk*1;end
>> plot(T.*[1:1:50001],yd(1,:));hold on;plot(tt,Y(:,1),’x’)
Prof. Dr. Mustak E. Yalcın (ITU) Sayısal Filtreler ve Sistemler Spring, 2020 8 / 20
Ornek
Surekli zaman sistemine iliskin durum denklemi;
Ac =
[−a 01 0
]Bc = [1 0]T Cc = [0 1]
x(t)
x(kT)
y(t)SistemTutucu x(t)^
v(k + 1) = Av(k) + Bx(k); y(t) = Cv(t); x(t) = r(t)− y(t)
v(k + 1) = Av(k) + B(r(k)− Cv(k)); v(k + 1) = (A− BC )v(k) + Br(k);
A =
[e−aT e−aT−1
a1a (1− e−aT ) 1− 1
a (T + e−aT−1a )
], t ≥ 0
Prof. Dr. Mustak E. Yalcın (ITU) Sayısal Filtreler ve Sistemler Spring, 2020 9 / 20
A-BC=[exp(-a*T) (exp(-a*T)-1)/a; (1-exp(-a*T))/a
1-(T+(exp(-a*T)-1)/a)]
a = 1;T = 1;λ(A) = 0.5000± 0.6182i
a = 1;T = 4;λ(A) = {−0.7293,−1.2707}
Geribesleme sistemi ornekleme frekansına baglı olarak kararsız olmakta !
Prof. Dr. Mustak E. Yalcın (ITU) Sayısal Filtreler ve Sistemler Spring, 2020 10 / 20
T = 4 ve T = 1 icin Simulink sonucları
Prof. Dr. Mustak E. Yalcın (ITU) Sayısal Filtreler ve Sistemler Spring, 2020 11 / 20
Bilgisayar Kontrollu sistem
Prof. Dr. Mustak E. Yalcın (ITU) Sayısal Filtreler ve Sistemler Spring, 2020 12 / 20
Bilgisayar Kontrollu sistem
r(t)
r(kT)G(s)Tutucu
x(t) y(t)
y(kT)Bilgisayar
D(z) s(kT)
Y (z) = D(z)Z {Gm(s)G (s)}R(z)
Prof. Dr. Mustak E. Yalcın (ITU) Sayısal Filtreler ve Sistemler Spring, 2020 13 / 20
r(t)
e(kT)G(s)Tutucu
x(t) y(t)
H(s)
-
+ e(t)
s(t)
Y (z) = Z {Gm(s)G (s)}E (z)
S(z) = Z {Gm(s)G (s)H(s)}E (z)
e(kT ) = r(kT )− s(kT );E (z) = R(z)− S(z)
Y (z)
R(z)=
Z {Gm(s)G (s)}1 + Z {Gm(s)G (s)H(s)}
Prof. Dr. Mustak E. Yalcın (ITU) Sayısal Filtreler ve Sistemler Spring, 2020 14 / 20
Ayrık zaman sistemi tasarımı: Analitik
r(t)
e(kT)G(s)Tutucu
x(t) y(t)
-
+ e(t) Say�sal
Sistem
D(z)
Y (z)
R(z)= K (z) =
D(z)Z {Gm(s)G (s)}1 + D(z)Z {Gm(s)G (s)}
Sistemi kontrol edecek D(z)
D(z) =K (z)
Z {Gm(s)G (s)}(1− K (z))
Prof. Dr. Mustak E. Yalcın (ITU) Sayısal Filtreler ve Sistemler Spring, 2020 15 / 20
E (z) = R(z)− Y (z) = [1− K (z)]R(z)
limit teoreminden
e(∞) = limz→1(1− z−1)[1− K (z)]R(z)
= limz→1(1− z−1)[1− K (z)]P(z)Q(z)
= 0
Bu (1− z−1) = 0 ile saglanmakta ancak belirsizligi ortadn kaldırmak icin
[1− K (z)] = Q(z)
sartı eklenir. Cıkısta birim basamak yanıtı istensin. Bu durumdaR(z) = 1
1−z−1 icin
[1− K (z)] = 1− z−1
esitligindenK (z) = z−1
elde edilecektir.Prof. Dr. Mustak E. Yalcın (ITU) Sayısal Filtreler ve Sistemler Spring, 2020 16 / 20
Ornek: T = 1
G (s) =1
s(s + 1)
Z {Gm(s)G (s)} = (1− z−1)Z { 1
s2(s + 1)} =
z−1(1 + (e − 2)z−1)
(1− z−1)(e − z−1)
D(z) =K (z)
Z {Gm(s)G (s)}(1− K (z))
esitliginde K (z) = z−1 alınarak
D(z) =e − z−1
1 + (e − 2)z−1
Prof. Dr. Mustak E. Yalcın (ITU) Sayısal Filtreler ve Sistemler Spring, 2020 17 / 20
Prof. Dr. Mustak E. Yalcın (ITU) Sayısal Filtreler ve Sistemler Spring, 2020 18 / 20
Cıkısta rampa yanıtı istensin. Bu durumda R(z) = αTz−1
1−z−1 icin
[1− K (z)] = (1− z−1)2
esitligindenK (z) = 2z−1 − z−2
elde edilecektir.
D(z) =K (z)
Z {Gm(s)G (s)}(1− K (z))
esitliginde K (z) = 2z−1 − z−2 kullanılarak
D(z) =2e − (2 + e)z−1 + z−2
1 + (e − 3)z−1 + (2− e)z−2
Prof. Dr. Mustak E. Yalcın (ITU) Sayısal Filtreler ve Sistemler Spring, 2020 19 / 20
Prof. Dr. Mustak E. Yalcın (ITU) Sayısal Filtreler ve Sistemler Spring, 2020 20 / 20
Recommended