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Sea , encontrar todos los tal que . 1
Sea , encontrar todos los tal que .
SOLUCIÓN:
Tenemos que , veamos para se cumple que :
Dividimos entre : y denominamos:
tal que
Sustituyendo obtenemos que es la definición de la
circunferencia unidad, centro C (0,0) y radio .
Como podemos encontrar un denominador común de al que
llamaremos tal que ℤ, es decir,
con ℤ y c
Sustituyendo en la circunferencia:
con ℤ y c .
Sabemos que ( cumple luego con ℤ también lo
cumple; de aquí deducimos que pertenece a la misma circunferencia
unidad que ( . Luego, si nos fijamos en la paridad de ( los tres a la vez no
pueden ser pares puesto que serían múltiplos de 2.
Sabemos que
Sea , encontrar todos los tal que . 2
Luego, si c es par, es necesariamente un múltiplo de 4 puesto que con ℤ
con ℤ.
Puesto que acabamos de ver que ( no pueden ser pares a la vez, la única opción
para que c sea par es que ( sean impares, es decir,
ℤ
Luego sustituyendo en la circunferencia tenemos que:
Esto es FALSO porque es un múltiplo de 4 y no lo es.
Luego no es par. Así que tiene que ser impar y esto implica que ó bien es par y
impar ó viceversa.
Sin pérdida de generalidad vamos a estudiar el caso en que es par y impar. Sean
entonces impares y , tenemos que tanto la suma como la diferencia
son pares en ℤ, es decir,
ℤ
Operamos y tenemos que:
+
Sea , encontrar todos los tal que . 3
Si sustituimos en la circunferencia :
con ℤ
Por tanto para formar una terna pitagórica todo lo que tenemos que hacer es elegir
tal que sea un cuadrado perfecto, lo que equivale a que sea un
cuadrado perfecto (puesto que y ya lo es). Esto implica que no pueden
tener factores comunes.
Ahora, para que un número sea cuadrado perfecto, es condición necesaria y suficiente,
que al realizar su factorización en números primos, éstos salgan un número par de
veces. Entonces como es un cuadrado perfecto, en su descomposición factorial en
números primos cumple la condición anterior. Como no tienen factores
comunes, resulta que de la factorización en primos de obtenemos que los pares
de apariciones de un factor primo están ó en ó en . Es decir, cada primo que divide
a tiene que aparecer un número par de veces en la factorización de y ninguna en la
de , y lo mismo con los primos de éste. Por tanto, se deduce que son cuadrados
perfectos por sí solos.
Entonces lo que tenemos que hacer es elegir dos números que no tengan factores
comunes como por ejemplo ℤ y elevarlos al cuadrado. Uno de ellos será mayor
que el otro, por tanto . Sustituyendo obtenemos que:
con ℤ
Sea , encontrar todos los tal que . 4
Usando el cambio de variable y la elección de , tenemos que:
Son todos los puntos de la circunferencia unitaria.
Cada punto en la circunferencia unitaria se puede identificar mediante un ángulo . Si
un punto se encuentra en la circunferencia unidad, entonces
Siempre porque en el caso de que
la tangente en
estos puntos será .
Resumiendo, sea todos los que cumplen que
son de la siguiente forma:
Sustituyendo:
Donde ℤ y tal que y que no tengan factores comunes.
x
Sea , encontrar todos los tal que . 5
EJEMPLO:
Sean por ejemplo y tal que ℤ , y ambos no tienen factores
comunes.
Veamos que se cumple con si
Cierto, cumplen
Vida Y Obra Vida Y Obra Vida Y Obra Vida Y Obra De Godfrey De Godfrey De Godfrey De Godfrey
Harold HardyHarold HardyHarold HardyHarold Hardy (Profesor “Lardy” en la novela “El Rescoldo” de Joaquín Leguina)(Profesor “Lardy” en la novela “El Rescoldo” de Joaquín Leguina)(Profesor “Lardy” en la novela “El Rescoldo” de Joaquín Leguina)(Profesor “Lardy” en la novela “El Rescoldo” de Joaquín Leguina)
Salvador Peñalva García
Hoy en el campus del Trinity College de Cambrigde no es un día como los
demás, se aprecia una actividad inusual y se pueden observar múltiples
corrillos de alumnos y profesores que, cobijándose de la molesta lluvia de
otoño de 1947, comentan con profundo respeto que el viejo profesor Hardy,
un ser singular y único, esta a punto de dejar este mundo.
Según comenta el profesor Laurent, gran conocedor de los principios y
andanzas de Hardy, éste no espera encontrarse con Dios en el más allá
porque siempre lo consideró su enemigo personal, incluso desde joven se
negó a pisar cualquier recinto sagrado.
Los alumnos jóvenes no tienen conciencia de la pérdida que para el ámbito
universitario supone la muerte del profesor Hardy y, al ver tanto revuelo
entre el profesorado, se acercan como moscas a la miel a un grupo muy
especial que se está formando en los soportales del recinto. Lo preside el
profesor Laurent, un hombre respetado por todos, profesor de filosofía,
grandes dotes de observación y amigo personal del viejo profesor.
Un ambiente de respeto y silencio rodea al grupo. Sólo la voz de Laurent
rompe el silencio para dirigirse a sus inquietos alumnos y contarles cuanto
sabe sobre el profesor Hardy.
Laurent entre apesadumbrado y satisfecho, se vanagloria de conocer muy
bien a Hardy, al fin y al cabo son del mismo pueblo, Cranleigh y su padre
maestro de escuela tenia una estrecha relación con los padres de Hardy que
también eran maestros.
Aunque cinco años más joven que su colega, quien había nacido en 1877,
recuerda con añoranza los tiempos de escuela, en los que Hardy
demostraba una capacidad e inteligencia magníficas, unidas a una
personalidad original y excéntrica que le dieron no pocos disgustos en su
relación con los demás colegiales.
Contaba cómo Hardy, desde muy niño, destacó por su inteligencia y ya a
los doce años, con las máximas calificaciones, ingresó en el Instituto de
Winchester y seis años más tarde en el Trinity College donde comenzó a
desarrollar sus teorías matemáticas, capaces de asombrar a los cerebros
más privilegiados.
En 1900 ya era profesor titular y, desde entonces, salvo algún tiempo en
Oxford, su vida se desarrolló en aquel recinto en el que miles de alumnos
habían conocido la genial originalidad el profesor Hardy.
- Escuchad muchachos- decía Laurent- en esta vida lo más importante
es mantenerse fiel a nuestros propios principios y ser consecuentes con
lo que realmente anhelamos. Hardy y yo hemos vivido una época
oscura y llena de incertidumbre, no en vano nos han tocado dos
guerras mundiales y, sin embargo él, siempre fiel a sus principios, se
declaró antibelicista de principio a fin en ambos conflictos. Incluso lo
expulsaron de esta universidad un tiempo por un panfleto contra el
servicio militar obligatorio. También recuerdo que, en otra ocasión, fue
encarcelado por pedir directamente al mismísimo presidente Wilson que
no entrase en la guerra.
Esta afirmación desencadena un murmullo de admiración e incredulidad
en el grupo, lo que sirve para picar la curiosidad de más alumnos, con lo
que progresivamente el grupo aumenta considerablemente el número de
sus componentes.
El profesor Laurent pensaba que aquello se estaba convirtiendo en una
especie de clase magistral al aire libre pero no le importaba. Se sentía
consolado y, a la vez, satisfecho de poder contar sus vivencias junto a un
hombre tan notable como Hardy. Por otra parte, la humedad y la niebla que
envolvía los soportales en los que se estaban cobijando daban un ambiente
íntimo y ciertamente sereno que invitaba a la reflexión.
Uno de los estudiantes jóvenes, locuaz e inquieto, interrumpió con decisión
la perorata del profesor y preguntó con jovial entonación:
-Disculpe profesor Laurent, todos conocemos que como matemático el
profesor Hardy es de los mejores que ha dado la ciencia y, en especial, esta
universidad. Quién no conoce sus innumerables libros cuajados de temas
matemáticos realmente sorprendentes y su “Ley de Hardy” versada sobre la
transmisión de caracteres mendelianos dominantes y recesivos que, sin
duda, constituirá en el futuro una decisiva aportación a la genética. Sin
embargo, si como matemático era un ser excepcional, me gustaría que nos
explicase por qué se le ha considerado toda su vida una persona
excéntrica, original y muy rara.
- Querido alumno- respondió Laurent- ser un genio matemático y tener
un cerebro tan especialmente organizado tiene sus contrapartidas que
hacen que la persona dotada de estas virtudes tenga también sus
problemas. Comenzaré por describir al profesor Hardy en sus tiempos
de plétora intelectual y juventud como un personaje en verdad
atractivo, alto, de facciones recias, colores vivos, expresión sana y
cabellos claros que invadían su frente en forma de onda. Estas
características le caracterizaron como un personaje agraciado y
resultón. Sin embargo, se convirtió en un solterón empedernido y
vivió toda su vida bajo la protección y cuidados de su querida e
inseparable hermana. Por significarle alguna peculiaridad, le diré que
nunca le gustó verse plasmado en los espejos o que le fotografiaran,
quizás pensaba que le robaban algo de su personalidad o imagen y esta
idea le generaba notable angustia. Jamás usaba reloj y siempre
escribió con lápiz o a tinta pues le repugnaban las estilográficas. Por
supuesto, repudiaba el teléfono que, según sus manifestaciones,
constituía un instrumento demoníaco que le robaba la voz.
Comprenderá, por tanto, que con estas rarezas, su relación
interpersonal sumada a sus teorías matemáticas tan áridas y, a
menudo incompresibles, no facilitaban en absoluto sus relaciones
sociales. He de admitir que, incluso a mí, me costaba muchas veces
sacarle de su mundo. Sólo los deportes como el cricket, el béisbol o el
tenis, lograban evadirlo de sus pensamientos.
- Perdone profesor- inquirió Frank, un alumno de brillantes ojos que
traslucían una inteligencia singular, famoso en Cambridge por ser un
apasionado de los libros escritos por Hardy y capaz de establecer
teoremas espectaculares, realmente sorprendentes. Como usted sabe
muy bien, paso mucho tiempo en la biblioteca en la sección de Análisis
y Teoremas de los números y me gusta analizar la obra del profesor
Hardy, en especial los titulados:
A course of pure mathemathics (curso de matemática pura)
General theory of Dirichlet´s series (Teoría general de la serie de
Dirichlet´s).
Inedqualites (desigualdades)
Introduction to the theory of numbers (introducción a la teoría de los
números)
A mathemathican´s apology (Apología de un matemático)
El profesor Laurent le interrumpe bruscamente con gesto incómodo
- ¡perdone mi querido discípulo! pero no pensará recitar en este momento
los más de 100 libros publicados por el profesor Hardy.
- ¡Oh, no…….! -respondió el pelirrojo visiblemente ruborizado- es que me
estaba emocionando al recordar tanta obra extraordinaria. Discúlpeme
profesor Laurent. Sólo quería preguntarle por uno de los libros,
concretamente el que lleva por título Ramanujan.
-¡Ah……., Ramanujan!- exclamó el profesor-.Quizás acaba de dar usted con
la esencia del profesor Hardy y lo que él denominó como “su mayor
contribución a las matemáticas ”, el descubrimiento de un matemático sin
formación previa, ya que trabajaba como oficinista en Madras (India), de
cuyo cerebro surgían los teoremas matemáticos más complejos que el
propio Hardy era incapaz de enunciar. Efectivamente, el libro al que usted
se refiere es un homenaje de Hardy a ese simple oficinista que en 1913 le
envío unos teoremas que dejaban entrever su enorme potencial
matemático, que solo el profesor Hardy pudo ver. Le sorprendió tanto, que
le consiguió una beca para trabajar con él en esta universidad y puedo
decirle, sin temor a equivocarme, que fue la relación científica más intensa
que he conocido en mi vida. Desgraciadamente la salud de Ramanujan era
muy débil y sólo pudieron trabajar juntos durante tres años. Recuerdo una
ocasión en que los profesores estábamos a punto de comenzar el almuerzo
en el comedor universitario, cuando irrumpió en la estancia el profesor
Hardy visiblemente satisfecho. Venía de visitar a su colega Ramanujan del
hospital, ya que se encontraba ingresado por unas fiebres, y comenzó a
relatar que al saludar al enfermo, le comentó que había acudido en un taxi
cuyo número era el 1729 y se lo representó como un número ciertamente
aburrido, y que en cuestión de segundos, el profesor Ramanujan le había
corregido exclamando : ¡al contrario Hardy ¡ es un número muy interesante
porque si se fija usted bien, es el resultado de la suma de los cubos de dos
números diferentes, 103 + 93 y de 123 + 13 y eso que la fiebre le estaba
atacando de manera inmisericorde.
En sus años de relación, el caudal de teoremas matemáticos
verdaderamente complejos fue tal, que el profesor escribió este libro en su
honor.
Pero mi querido discípulo, ya que usted me ha preguntado por Ramanujan
le diré que además de este insigne cerebro, existió otro deslumbrante
matemático, el profesor Littlewood, también de esta universidad que,
durante más de 32 años tuvo una estrecha relación con Hardy. Además del
cierto gusto por los números primos que ambos matemáticos compartían y
que les llevaría a expresar la llamada “conjetura los primos gemelos” o “de
Hardy-Littlewood”, llegaron a generar tal cantidad de teoremas
matemáticos que, durante muchos años, en el mundo de la matemática
pura se decía que existían tres genios incomparables a nivel internacional:
Hardy, Littlewood y……. ¡Hardy-Littlewood! Esto le dará una idea de la
importancia de esta relación y, si revisa en la biblioteca, encontrará
numerosas obras realizadas por los dos.
La oscuridad iba dominando la bruma del patio universitario y la baja
temperatura sumada a la humedad, hacían incómoda la estancia en los
soportales. Sin embargo, nadie se movía, todos escuchaban absortos al
profesor Laurent. Él se regocijaba y se entristecía al mismo tiempo por ser
protagonista mediático de aquella jornada tan dolorosa para él. Al fin y al
cabo, estaba reflejando su vida en la de su amigo y esto le emocionaba
sobremanera. Se ajustó la capa y el sombrero, hizo un ademán de frotar
sus manos enguantadas y siguió con su relato.
- Muchos de ustedes estoy seguro que aman las matemáticas, sin
embargo para mí colega Hardy, la matemática era una verdadera
filosofía de vida, algo exclusivo e inusual y así lo manifestó en su obra
“Apología de un matemático” a la edad de sesenta y tres años alegando
que ya era mayor para esta ciencia exacta. Además, el profesor Hardy
siempre defendió que la verdadera matemática, tiene que ser
fundamentalmente inservible.
Al decir esto, un rumor se extendió entre los estudiantes.
- ¿Inservible?- comentó James ciertamente sorprendido.
- Sí, absolutamente inservible- repitió el profesor- para mi amigo Hardy
las matemáticas aplicadas son repugnantes y feas. La verdadera belleza
de un teorema matemático está en las ideas, como lo está también en
las palabras del poeta o los colores del pintor. Bien es necesario que se
presenten en armonía pero es fundamental que no sirvan para nada;
eso es lo que les da la absoluta belleza. Para él, las ideas matemáticas
no se inventan ni elaboran sino que se descubren. Las matemáticas
están "ahí fuera", esperando la mirada correcta y adiestrada que las
sepa reconocer. Entiendo que es complicado para ustedes pero les
estoy hablando de un hombre excepcional y original que se puede
permitir este tipo de reflexiones sin vacilar.
Un ser tan vital como el profesor Hardy sólo merece nuestro respeto nos
ayudará a comprender porqué una sucesión de acontecimientos trágicos
como su infarto en 1940 y la merma posterior de sus capacidades
intelectuales le hundieron en la depresión y le arrastraron a un intento de
suicidio. Desgraciadamente, las consecuencias de estos sucesos trágicos
nos han reunido aquí hoy, esperando el anuncio de su muerte.
- Solo les pido que guarden en su memoria el recuerdo de un hombre
muy especial entregado a su pasión, las matemáticas y utilicen esta
universidad como fuente de conocimiento para que sus teoremas,
aunque él pensara que eran inservibles, signifiquen progreso y
evolución en todos los campos científicos.
Ya era noche cerrada y el grupo se va dispersando lentamente, el profesor
Laurent se dirige hacia la habitación de Hardy en la que su hermana, como
siempre, le prodiga todo tipo de cuidados. Al entrar Laurent le susurra a su
amigo y colega:
-Hola Hardy… puedes descansar tranquilo. Tus alumnos te respetan,
sabrán valorar tu obra y las próximas generaciones estarán totalmente
dispuestas a aprovechar tu legado. Descansa en paz, mi querido y venerado
amigo...
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