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Segunda clase de Ecuaciones Diferenciales

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EDO de primer orden de variables separablesUna EDO de primer orden se dice de variables separables si tiene la forma 𝑀1(𝑥)𝑁1(y)dx+𝑀2(𝑥)𝑁2(𝑦)dy=0, (1) donde 𝑀1(𝑥), 𝑁1(y),𝑀2(𝑥)𝑁2(𝑦) son funciones continuas definidas en algún dominio 𝒟 ⊆ ℝ2 y además 𝑀2 𝑥 ,𝑁1(𝑦) no se anulan allí.

De (1) se tiene entonces 𝑀1(𝑥)

𝑀2(𝑥)dx+

𝑁2(𝑦)

𝑁1(𝑦)dy=0,

obteniendo una EDO con las variables separadas, que ya sabemos resolver. Hemos separado las variables.

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EjemploSea por ejemplo la EDO 𝑒𝑥 sin(𝑦)dx+(1+𝑒𝑥)sin( 𝑦) tan(𝑦)𝑑𝑦=0. Aquí claramente tenemos que 𝑀1(𝑥)=𝑒

𝑥, 𝑁1(𝑦)=sin(𝑦), 𝑀2 𝑥 =1+𝑒𝑥 , 𝑁2(𝑦)=sin(𝑦) tan(𝑦).Separando las variables llegamos a

(𝑒𝑥

1+𝑒𝑥)dx+tan( 𝑦)dy=0.

Para integrar notamos que si hacemos el cambio de variables 𝑡 = 1 + 𝑒𝑥 tenemos que 𝑑𝑡 = 𝑒𝑥𝑑𝑥, de donde, integrando obtenemos la SG ln(1+𝑒𝑥)-lncos 𝑦=𝐶1.

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Debido a que la función logaritmo natural es una biyección de los reales positivos en los reales podemos poner 𝐶1=ln𝐶2, para algún 𝐶2 ∈ ℝ. De allí se sigue que la SG se puede escribir como 1+𝑒𝑥=Ccos 𝑦, donde de nuevo hemos hecho C=±𝐶2, dependiendo del signo de cos 𝑦.

EDO de primer orden que se reducen a ecuaciones de variables separables Supongamos que tenemos la EDO de primer orden 𝑦′=f(ax+by +c) donde f es una función a valores reales dada y a,b,c ∈ ℝ.

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Se observa que si alguna de las constantes a,b es cero la ecuación es de variables separables. Si ninguna de ellas es cero el cambio de variables z=ax+by+c, siendo z una nueva función de x, convierte a la ecuación original en una ecuación de variables separables en las variables z y x respectivamente.Ejemplo Sea por ejemplo la EDO de primer orden 𝑦′=sin(𝑥 + 𝑦). Aquí a=b=1 y c=0. Se observa que no se pueden separar variables directamente. Hacemos entonces z=x+y. Derivando respecto a x tenemos

𝑧′=1+𝑦′ ⇒ 𝑦′ = 𝑧′ − 1.

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Sustituyendo tanto z como 𝑦′ en la ecuación original nos queda 𝑧′ − 1 = sin 𝑧.

Separando variables tenemos 𝑑𝑧

1+sin 𝑧=dx.

Para integrar el lado izquierdo multiplicamos arriba y abajo por 1-sin 𝑧 y nos queda

1−sin 𝑧

(1+sin 𝑧)(1−sin 𝑧)=

1−sin 𝑧

1−(sin 𝑧)2=1−sin 𝑧

(cos 𝑧)2.

Integrando entonces nos queda tan 𝑧 − sec 𝑧=x+C. Escrita en las variables originales la SG se escribe tan 𝑥 + 𝑦 − sec 𝑥 + 𝑦 = 𝑥 + 𝐶.

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Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden homogéneas

Definición Una función f: ℝ2 → ℝ dada por f(x,y) se llama homogénea de grado n (n un número real) respecto a las variables x,y si para cada 𝜆 ∈ ℝse cumple que f(𝜆𝑥, 𝜆𝑦)=𝜆𝑛𝑓 𝑥, 𝑦 .

Ejemplo Sea f(x,y)=3𝑥3 + 𝑦3. Tenemos que

f(𝜆𝑥, 𝜆𝑦)=3(𝜆𝑥)3+(𝜆𝑦)3=

3𝜆3(𝑥3 + 𝑦3) =

𝜆3𝑥3 + 𝑦3 = 𝜆𝑓 𝑥, 𝑦 , por tanto en este caso la

función es homogénea de grado uno.

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Ejercicio Compruebe que las funciones f(x,y)=𝑥2 −

𝑦2, f(x,y)=𝑥3𝑦−𝑦4

𝑥4+3𝑥2𝑦2son homogéneas de grado 2 y

grado cero respectivamente.

Definición Una función f(x,y) se llama homogénea si es homogénea de grado cero. Una EDO de primer orden de la forma 𝑦′=f(x,y) se llama homogénea si la misma f(x,y) que la define es homogénea.

Veamos un método para resolver EDO de primer orden homogéneas.

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Partamos entonces de 𝑦′=𝑑𝑦

𝑑𝑥=f(x,y). Tomando

𝜆 =1

𝑥y usando la homogeneidad de f tenemos

f(1

𝑥x,𝑦

𝑥)=f(1,

𝑦

𝑥). Esto nos dice que la EDO depende

sólo del cociente 𝑦

𝑥, ya que que nos queda

𝑦′=𝑑𝑦

𝑑𝑥=f(1,

𝑦

𝑥). Dada esta expresión para la EDO

original resulta natural hacer el cambio de

variables z=𝑦

𝑥que convierte la ecuación en una de

variables separables, como veremos en el ejemplo que sigue. Separamos la variables, resolvemos y devolvemos el cambio de variables para tener la SG de la EDO inicial.

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Ejemplo Resolver la EDO 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑥𝑦

𝑥2−𝑦2.

Observamos que debido a que la función f(x,y) en este caso es el cociente de polinomios de grado dos en la variables x,y resulta homogénea. Para

reflejar la dependencia de f(x,y) en términos de 𝑦

𝑥

dividimos arriba y abajo por 𝑥2 (en general para cocientes de polinomios en las variables y,xdividimos arriba y abajo por la variable independiente elevada a la potencia que indica el grado de los polinomios que aparecen en la expresión que define a f).

Nos queda entonces 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑦

𝑥

1−𝑦2

𝑥2

=z

1−𝑧2.

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Hemos hecho el cambio de variables z=𝑦

𝑥.

Necesitamos tener despejado el término 𝑑𝑦

𝑑𝑥para

poder continuar. Tenemos, en primer lugar que zx=y. Derivando respecto a x tenemos (usando la regla de derivación del producto)

𝑥𝑑𝑧

𝑑𝑥+ 𝑧 =

𝑑𝑦

𝑑𝑥. Sustituyendo tanto z como

𝑑𝑦

𝑑𝑥en la

EDO donde aparece explícitamente la

dependencia en z nos queda 𝑥𝑑𝑧

𝑑𝑥+ 𝑧 =

𝑧

1−𝑧2.

Esta EDO ya es de variables separables. Tenemos

en primer lugar que 𝑥𝑑𝑧

𝑑𝑥=

𝑧

1−𝑧2−𝑧=

𝑧−𝑧+𝑧3

1−𝑧2.

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Separando las variables nos queda 1−𝑧2

𝑧3𝑑𝑧=

𝑑𝑥

𝑥.

Integrando tenemos

-1

2𝑧2− 𝑙𝑛z= 𝑙𝑛x+ 𝑙𝑛C.

De aquí se sigue que -1

2𝑧2=lnCxz.

Devolviendo el cambio de variables llegamos a la

SG −𝑥2

2𝑦2=lnCy.

Observe que esta solución está dada en forma implícita para la variable y.

GRACIAS

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