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SemelhançasSemelhanças
EBI / JI de Santa CatarinaAno lectivo 2010/2011
7º ano
7º ano Unidade 7 - Semelhanças
Diz-se que duas figuras F1 e F2 têm a mesma forma, ou que são
semelhantessemelhantes, se são geometricamente iguais (congruentes) ou se uma
delas é uma ampliação da outra.
original
redução
Ampliação
Noção de semelhançaNoção de semelhança
7º ano Unidade 7 - Semelhanças
Página 95 – ex. 2Página 95 – ex. 2
I e VII
IV e V VIII e XI
VIII e X e X e XI
Numa ampliação ou numa redução há
uma razãorazão entre os comprimentos dos
lados correspondentes.
Por exemplo de I para VII existe uma
redução e a razão é 0,5 pois:
2
2
2 10,5
4 21
0,52
razão entre as bases
razão entre as altura
Ampliação e reduçãoAmpliação e reduçãode um polígonode um polígono
7º ano Unidade 7 - Semelhanças
Página 95 – Tarefa 1Página 95 – Tarefa 1
11..
22..
33..
4.14.1 . .
4.24.2..
4.34.3..
55..
66..
1,5c h
A, B e E
50 x 1,5 = 75cm
51, (6)
3
31,5
2
Não, porque de A para C a altura não aumenta à mesma proporção que o
comprimento.7 4
3,5 42 1
razão entre comprimentos razão entre alturas
Não, porque a razão entre comprimentos é diferente da razão entre alturas.91,5
6razão
7º ano Unidade 7 - Semelhanças
SínteseSíntese::
Numa ampliação ou numa redução há proporcionalidade directa entre os
comprimentos dos lados correspondentes.
À constante de proporcionalidade dá-se o nome de razão de semelhança.
Esta obtém-se tomando a razão entre um comprimento da nova figura e o
comprimento respectivo da figura original .
•Numa ampliação, a razão de semelhança é maior que 1. r >
1
•Numa redução, a razão de semelhança é menor que 1. r < 1
•Se os polígonos são geometricamente iguais, a razão de r = 1
semelhança é igual a 1.
7º ano Unidade 7 - Semelhanças
Construção de uma ampliação a partir Construção de uma ampliação a partir de grelhas quadriculadasde grelhas quadriculadas
Como desenhar uma figura semelhante
a A, de razão de semelhança 2?
1 2 2
2
1
3 2 6 3
64
2 2 2 4
2
1
2
7º ano Unidade 7 - Semelhanças
Página 99 – Tarefa 2Página 99 – Tarefa 2
Exercício 1Exercício 11.21.2..
1.11.1..
7º ano Unidade 7 - Semelhanças
Página 99 – Tarefa 2Página 99 – Tarefa 2
Exercício 2Exercício 2
2.1.2.1.
2.2. 2.2.
2 10,5
4 2r
31,5 1,5
2r
2 0,5 1
4 0,5 2
2 1,5 3
4 1,5 6
7º ano Unidade 7 - Semelhanças
Construção de ampliações e reduções a partir Construção de ampliações e reduções a partir de um pontode um ponto
Para construir uma ampliação de razão 2, da figura apresentada, a
partir de um ponto, são necessários os seguintes procedimentos:
11 22 33
44
7º ano Unidade 7 - Semelhanças
Página 97 – ex. 5
Página 97 – ex. 5
7º ano Unidade 7 - Semelhanças
Página 99 – ex. 7Página 99 – ex. 7
7.17.1..
7.27.2..
7.37.3..
7.47.4..
6 33 3 3
2 1ou r
2 1 1 1
4 2 2 2ou r
6 3 3 3
4 2 2 2ou r
2 1 1 1
6 3 3 3ou r
7º ano Unidade 7 - Semelhanças
Página 100 – Tarefa 3 – ex.1Página 100 – Tarefa 3 – ex.1
1.11.1..
1.21.2..
1.31.3..
1.41.4..
dim 1
dim 150
ensão plantar r
ensão real
dim 150150
dim 1
ensão realr r
ensão planta
arg 2,4 240
240
l ura m cm
r
3 300
300
comprimento m cm
r
1
300150
300
2150
cm
1240
150 240
1,6150
cm
R: As dimensões da cozinha são: 1,6cm de
largura e 2cm de comprimento.
arg 2,5
2,5
l ura cm
r 2,5 150 375 3,75cm m
3,3
3,3
comprimento cm
r 3,3 150 495 4,95cm m
23,75 4,95 18,6Área da suite m m m
7º ano Unidade 7 - Semelhanças
Página 100 – Tarefa 3 – ex.2Página 100 – Tarefa 3 – ex.2
2.12.1..
2.22.2..
200
200
2000,03 200 6 0,6x mm cm
1,2 200 0,006 0,06y cm mm
2 200 0,01 0,1z cm mm
7º ano Unidade 7 - Semelhanças
Polígonos semelhantesPolígonos semelhantesDois polígonos P1 e P2 são semelhantes se e só se:
- os comprimentos dos lados são, dois a dois, directamente proporcionais;
- os ângulos correspondentes são iguais.
Os polígonos ABCD e A´B´C´D´ são semelhantes?
Sim, os polígonos ABCD e A´B´C´D´ são semelhantes
porque têm:
- comprimentos dos lados correspondentes
directamente proporcionais
- ângulos correspondentes iguais
7º ano Unidade 7 - Semelhanças
Página 101 – exercício 10Página 101 – exercício 10
10.110.1
10.210.2
7,51,5
5
Resposta – A constante de proporcionalidade
é 1,5.
3 1,5 4,5HG cm
3 1,5 4,5HE cm
7 1,5 10,5EF cm
4,5 4,5 10,5 7,5 27P cm
Resposta – O perímetro do polígono EFGH é 27 cm.
7º ano Unidade 7 - Semelhanças
Página 102– tarefa 4Página 102– tarefa 4
2.12.1
2.22.2
3.13.1
3.23.2
3.33.3
(1,1)A
(7,1)B
(7,3)C
(3,7)D
(1,5)E
90ºA B D
135ºE C
´ (9, 2)A ´ (12,2)B ´ (12,3)C ´ (10,5)D ´ (9, 4)E
´ ´ ´ 90ºA B D 135ºE C
30,5
6
62
33.43.4
7º ano Unidade 7 - Semelhanças
Observa os seguintes rectângulos semelhantes:
A razão de semelhança do 1º para o 2º
rectângulo é 2 ( 4 2 = 2 ).
A área do 1º rectângulo é 2 cm ² ( 2 1 = 2 cm ²).
O perímetro do 2º rectângulo é 12 cm ( 4 + 2 + 4 + 2 = 12 cm ).
A razão de perímetros do 1º para o
2º rectângulo é 2 ( 12 6 = 2 ).
A razão de perímetros é igual à
razão de semelhança. ( rp = r )
O perímetro do 1º rectângulo é 6 cm ( 2 + 1 + 2 + 1 = 6 cm ).
A área do 2º rectângulo é 8 cm ² ( 4 2 = 8 cm ²).
A razão de áreas do 1º para o 2º
rectângulo é 4 ( 8 2 = 4 ).
A razão de áreas é igual à razão de
semelhança ao quadrado. ( ra = r²)
7º ano Unidade 7 - Semelhanças
No caso geralNo caso geral::
Dados dois polígonos semelhantes P1 e P2 , em que P2 é uma ampliação de P1
de razão r, em relação aos perímetros e às áreas destes dois polígonos tem-
se:
-O perímetro de P2 é r vezes o perímetro de P1;
-A área de P2 é r² vezes a área de P1 .Página 103 – exercício 15Página 103 – exercício 15
15.115.1
15.215.2
15.315.3
1log 2 8 2 16p R Rr r o P P cm
1
2 2 2 2log 2 3 2 12a R Rr r o A A cm
1log 3 8 3 24p R Rr r o P P cm
1
2 2 2 2log 3 3 3 27a R Rr r o A A cm
1
1 1 8log 8 4
2 2 2p R Rr r o P P cm
1
22 21 1 3log 3 0,75
2 4 4a R Rr r o A A cm
7º ano Unidade 7 - Semelhanças
Semelhança de triângulosSemelhança de triângulosNo caso dos triângulos, são apresentadas a seguir critérios mais simples para
que se possa concluir que são semelhantes. Esses critérios são conhecidos por
critérios de semelhança de triângulos.
Critério AA
Dois triângulos são semelhantes se e só se, de
um para o outro, tiverem dois ângulos congruentes.
Notação - Se dois triângulos ABC e DEF são semelhantes, escreve-se:
Critério LAL
Dois triângulos são semelhantes se e só se de um
para o outro, tiverem um ângulo igual e os lados que
o formam directamente proporcionais.
7º ano Unidade 7 - Semelhanças
Página 106 – exercício 17Página 106 – exercício 17
17.117.1
17.217.2
Os triângulos são semelhantes porque, de um para o outro, têm dois ângulos iguais:
90ºB E e C C 12 4
15 5r 4 32
8 6,45 5
BC cm
Página 106 – exercício 18Página 106 – exercício 1818.118.1
18.218.2 18.2.118.2.1
18.2.218.2.2
8,1 cmOs triângulos são semelhantes porque, de um para o outro, têm um ângulo igual e os lados que o formam proporcionais.
,BA CA
DAE BACAD EA
15 10 5
9 6 3r
5 40,58,1 13,5
3 3BC cm
10 6 4 15 9 6DB cm CE cm 4 6 8,1 13,5 31,6P cm
7º ano Unidade 7 - Semelhanças
Critério LLL
Dois triângulos são semelhantes se e só
se, de um para o outro, tiverem os três
lados directamente proporcionais.
Página 107 – exercício 19Página 107 – exercício 19
Os triângulos são semelhantes porque, de um
para o outro, têm os três lados directamente
proporcionais.
3,75 4,5 31,5
2,5 3 2
AE DE AD
ABAC BC
2,5 1,25 3,75AE cm
2 1 3AD cm
7º ano Unidade 7 - Semelhanças
Página 107 – exercício 20Página 107 – exercício 20
180º (120º 35º ) 180º 155º 25ºABC
ABC RPQ
Logo,
Porque de um para o outro têm dois ângulos congruentes.
A P e B Q
20,5
43
0,563,5
0,57
MNO GHI
Porque de um para o outro têm os três lados directamente proporcionais.
7º ano Unidade 7 - Semelhanças
Página 109 – exercício 23Página 109 – exercício 23
84
2r
Os triângulos são semelhantes porque de um para o outro têm dois ângulos iguais,
Página 110 – exercício 24Página 110 – exercício 24
logo:
1,5 4 6m Altura do poste:
Os triângulos são semelhantes porque de um para o outro
têm dois ângulos iguais, logo:
168
2r
Altura da torre: 3,5 8 28m
7º ano Unidade 7 - Semelhanças
Página 111 – tarefa 13 – ex.1Página 111 – tarefa 13 – ex.1
Página 112 – tarefa 14 – ex.1Página 112 – tarefa 14 – ex.1
Os triângulos são semelhantes porque de
um para o outro têm dois ângulos iguais,
logo:2,75
3,43750,8
r
Altura da casa:
2 3,4375 6,875 6,9 (1 . .)m m c d
6 + 2 = 8 m
Os triângulos são semelhantes porque
de um para o outro têm dois ângulos
iguais, logo:8
42
r
Altura do prédio: 5 4 20m
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