View
4
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Seminario ESFMIntroducción a los límites inversos
Rocío Leonel
11 de octubre de 2018
RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 1 / 20
RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 2 / 20
¿Por qué límites inversos y para qué?
Herramienta que nos ayuda a crear espaciostopológicos con determinadas características.
Sirven para modelar ciertos problemas; crecimientode población (bacterias), economía, entre otros.
RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 3 / 20
¿Por qué límites inversos y para qué?
Herramienta que nos ayuda a crear espaciostopológicos con determinadas características.Sirven para modelar ciertos problemas; crecimientode población (bacterias), economía, entre otros.
RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 3 / 20
Espacios Topológicos
Espacios métricos, compactos, conexos y no vacíos.
RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 4 / 20
Espacios Topológicos
Espacios métricos, compactos, conexos y no vacíos.
RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 4 / 20
Más ejemplos
Grá�cas
RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 5 / 20
Más ejemplos
Grá�cas
RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 5 / 20
Cerradura de la grá�ca de la función sen(1/x)
RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 6 / 20
Cerradura de la grá�ca de la función sen(1/x)
RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 6 / 20
Knaster o herradura de Smale
RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 7 / 20
Knaster o herradura de Smale
RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 7 / 20
Límites Inversos
Espacios topológicos; Xi espacio topológico paracada i = 1, 2, ...
Funciones de ligadura: fi : Xi+1 ! Xi continua paracada i = 1, 2, ...
El límite inverso de los espacios Xi con las funcionesde ligadura fi se de�ne como:f(x1, x2, ...) 2 Π∞
i=1Xi : fi (xi+1) = xi para cadai 2 Nglim fXi , fig
RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 8 / 20
Límites Inversos
Espacios topológicos; Xi espacio topológico paracada i = 1, 2, ...Funciones de ligadura: fi : Xi+1 ! Xi continua paracada i = 1, 2, ...
El límite inverso de los espacios Xi con las funcionesde ligadura fi se de�ne como:f(x1, x2, ...) 2 Π∞
i=1Xi : fi (xi+1) = xi para cadai 2 Nglim fXi , fig
RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 8 / 20
Límites Inversos
Espacios topológicos; Xi espacio topológico paracada i = 1, 2, ...Funciones de ligadura: fi : Xi+1 ! Xi continua paracada i = 1, 2, ...
El límite inverso de los espacios Xi con las funcionesde ligadura fi se de�ne como:f(x1, x2, ...) 2 Π∞
i=1Xi : fi (xi+1) = xi para cadai 2 Nglim fXi , fig
RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 8 / 20
Límites Inversos
Espacios topológicos; Xi espacio topológico paracada i = 1, 2, ...Funciones de ligadura: fi : Xi+1 ! Xi continua paracada i = 1, 2, ...
El límite inverso de los espacios Xi con las funcionesde ligadura fi se de�ne como:
f(x1, x2, ...) 2 Π∞i=1Xi : fi (xi+1) = xi para cada
i 2 Nglim fXi , fig
RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 8 / 20
Límites Inversos
Espacios topológicos; Xi espacio topológico paracada i = 1, 2, ...Funciones de ligadura: fi : Xi+1 ! Xi continua paracada i = 1, 2, ...
El límite inverso de los espacios Xi con las funcionesde ligadura fi se de�ne como:f(x1, x2, ...) 2 Π∞
i=1Xi : fi (xi+1) = xi para cadai 2 Ng
lim fXi , fig
RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 8 / 20
Límites Inversos
Espacios topológicos; Xi espacio topológico paracada i = 1, 2, ...Funciones de ligadura: fi : Xi+1 ! Xi continua paracada i = 1, 2, ...
El límite inverso de los espacios Xi con las funcionesde ligadura fi se de�ne como:f(x1, x2, ...) 2 Π∞
i=1Xi : fi (xi+1) = xi para cadai 2 Nglim fXi , fig
RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 8 / 20
Observaciones
lim fXi , fig � X1� X2� X3� � � �
Asociar una topologíaBajo ciertas condiciones lim
fXi , fig es conexo,
compacto y no vacío.
RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 9 / 20
Observaciones
lim fXi , fig � X1� X2� X3� � � �
Asociar una topología
Bajo ciertas condiciones lim fXi , fig es conexo,
compacto y no vacío.
RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 9 / 20
Observaciones
lim fXi , fig � X1� X2� X3� � � �
Asociar una topologíaBajo ciertas condiciones lim
fXi , fig es conexo,
compacto y no vacío.
RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 9 / 20
Ejemplos
Límites Inversos en el intervalo [0,1]
Xi = [0, 1] para cada i = 1, 2, ...
f : [0, 1]! [0, 1] continua y f = fi para cadai = 1, 2, ...
lim f[0, 1] , f g = f(x1, x2, ...) 2 Π∞
i=1 [0, 1] : xi =
f (xi+1) para cada i 2 Ng
RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 10 / 20
Ejemplos
Límites Inversos en el intervalo [0,1]Xi = [0, 1] para cada i = 1, 2, ...
f : [0, 1]! [0, 1] continua y f = fi para cadai = 1, 2, ...
lim f[0, 1] , f g = f(x1, x2, ...) 2 Π∞
i=1 [0, 1] : xi =
f (xi+1) para cada i 2 Ng
RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 10 / 20
Ejemplos
Límites Inversos en el intervalo [0,1]Xi = [0, 1] para cada i = 1, 2, ...
f : [0, 1]! [0, 1] continua y f = fi para cadai = 1, 2, ...
lim f[0, 1] , f g = f(x1, x2, ...) 2 Π∞
i=1 [0, 1] : xi =
f (xi+1) para cada i 2 Ng
RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 10 / 20
Ejemplos
Límites Inversos en el intervalo [0,1]Xi = [0, 1] para cada i = 1, 2, ...
f : [0, 1]! [0, 1] continua y f = fi para cadai = 1, 2, ...
lim f[0, 1] , f g = f(x1, x2, ...) 2 Π∞
i=1 [0, 1] : xi =
f (xi+1) para cada i 2 Ng
RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 10 / 20
(x1, x2, ...) 2 lim f[0, 1] , f g
xi = f (xi+1) para cada i 2 N
x1 = 0, x2 = 0, xi = 0
(0, 0, 0, .....) 2 lim f[0, 1] , f g
lim f[0, 1] , f g � [0, 1]
RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 11 / 20
(x1, x2, ...) 2 lim f[0, 1] , f g
xi = f (xi+1) para cada i 2 N
x1 = 0, x2 = 0, xi = 0
(0, 0, 0, .....) 2 lim f[0, 1] , f g
lim f[0, 1] , f g � [0, 1]
RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 11 / 20
(x1, x2, ...) 2 lim f[0, 1] , f g
xi = f (xi+1) para cada i 2 N
x1 = 0, x2 = 0, xi = 0
(0, 0, 0, .....) 2 lim f[0, 1] , f g
lim f[0, 1] , f g � [0, 1]
RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 11 / 20
(x1, x2, ...) 2 lim f[0, 1] , f g
xi = f (xi+1) para cada i 2 Nx1 = 0, x2 = 0, xi = 0
(0, 0, 0, .....) 2 lim f[0, 1] , f g
lim f[0, 1] , f g � [0, 1]
RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 11 / 20
(x1, x2, ...) 2 lim f[0, 1] , f g
xi = f (xi+1) para cada i 2 Nx1 = 0, x2 = 0, xi = 0
(0, 0, 0, .....) 2 lim f[0, 1] , f g
lim f[0, 1] , f g � [0, 1]
RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 11 / 20
(x1, x2, ...) 2 lim f[0, 1] , f g
xi = f (xi+1) para cada i 2 Nx1 = 0, x2 = 0, xi = 0
(0, 0, 0, .....) 2 lim f[0, 1] , f g
lim f[0, 1] , f g � [0, 1]
RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 11 / 20
Resultado
TEOREMA:Si Xi = X para cada i 2 N, y fi es unhomeomor�smo para cada i 2 N, entonceslim fXi , fig es homeomorfo a X .
RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 12 / 20
ResultadoTEOREMA:
Si Xi = X para cada i 2 N, y fi es unhomeomor�smo para cada i 2 N, entonceslim fXi , fig es homeomorfo a X .
RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 12 / 20
ResultadoTEOREMA:Si Xi = X para cada i 2 N, y fi es unhomeomor�smo para cada i 2 N, entonces
lim fXi , fig es homeomorfo a X .
RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 12 / 20
ResultadoTEOREMA:Si Xi = X para cada i 2 N, y fi es unhomeomor�smo para cada i 2 N, entonceslim fXi , fig es homeomorfo a X .
RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 12 / 20
f (x) = 12x
si x1 = 12�
12 , x2, x3, ...
�/2 lim f[0, 1] , f g
lim f[0, 1] , f g
lim f[0, 1] , f g = f(0, 0, ......)g � f0g
RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 13 / 20
f (x) = 12x
si x1 = 12�
12 , x2, x3, ...
�/2 lim f[0, 1] , f g
lim f[0, 1] , f g
lim f[0, 1] , f g = f(0, 0, ......)g � f0g
RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 13 / 20
f (x) = 12x
si x1 = 12
�12 , x2, x3, ...
�/2 lim f[0, 1] , f g
lim f[0, 1] , f g
lim f[0, 1] , f g = f(0, 0, ......)g � f0g
RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 13 / 20
f (x) = 12x
si x1 = 12�
12 , x2, x3, ...
�/2 lim f[0, 1] , f g
lim f[0, 1] , f g
lim f[0, 1] , f g = f(0, 0, ......)g � f0g
RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 13 / 20
f (x) = 12x
si x1 = 12�
12 , x2, x3, ...
�/2 lim f[0, 1] , f g
lim f[0, 1] , f g
lim f[0, 1] , f g = f(0, 0, ......)g � f0g
RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 13 / 20
f (x) = 12x
si x1 = 12�
12 , x2, x3, ...
�/2 lim f[0, 1] , f g
lim f[0, 1] , f g
lim f[0, 1] , f g = f(0, 0, ......)g � f0g
RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 13 / 20
X1 = (0, 1], X2 = (0, 12 ], X3 = (0,13 ] en general
Xn = (0, 1n ] para cada n 2 N.
De�na fi : Xi+1 ! Xi como fi+1 (x) = x.lim f[0, 1] , f g = ∅.
RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 14 / 20
X1 = (0, 1], X2 = (0, 12 ], X3 = (0,13 ] en general
Xn = (0, 1n ] para cada n 2 N.
De�na fi : Xi+1 ! Xi como fi+1 (x) = x.
lim f[0, 1] , f g = ∅.
RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 14 / 20
X1 = (0, 1], X2 = (0, 12 ], X3 = (0,13 ] en general
Xn = (0, 1n ] para cada n 2 N.
De�na fi : Xi+1 ! Xi como fi+1 (x) = x.lim f[0, 1] , f g = ∅.
RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 14 / 20
Otro resultado
TEOREMASi cada espacio topológico Xi es un continuo y lasfunciones de ligadura, fi , son suprayectivas, entoncesellim fXi , fig es un continuo.
Espacio métrico, compacto, conexo y no vacío.
RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 15 / 20
Otro resultadoTEOREMA
Si cada espacio topológico Xi es un continuo y lasfunciones de ligadura, fi , son suprayectivas, entoncesellim fXi , fig es un continuo.
Espacio métrico, compacto, conexo y no vacío.
RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 15 / 20
Otro resultadoTEOREMASi cada espacio topológico Xi es un continuo y lasfunciones de ligadura, fi , son suprayectivas, entoncesellim fXi , fig es un continuo.
Espacio métrico, compacto, conexo y no vacío.
RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 15 / 20
Otro resultadoTEOREMASi cada espacio topológico Xi es un continuo y lasfunciones de ligadura, fi , son suprayectivas, entoncesellim fXi , fig es un continuo.
Espacio métrico, compacto, conexo y no vacío.
RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 15 / 20
f (x) = 2x si x 2�0, 12�y f (x) = 1 si x 2 (12 , 1]
(0, 0, 0, ...)x1 2 [0, 1), x2 = x1
2 , x3 =x22�
x1,x12 ,
x14 ,
x18 , ...
��1, 12 ,
14 , ...
�lim fXi , fig es homeomorfo al intervalo [0, 1]
RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 16 / 20
f (x) = 2x si x 2�0, 12�y f (x) = 1 si x 2 (12 , 1]
(0, 0, 0, ...)x1 2 [0, 1), x2 = x1
2 , x3 =x22�
x1,x12 ,
x14 ,
x18 , ...
��1, 12 ,
14 , ...
�lim fXi , fig es homeomorfo al intervalo [0, 1]
RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 16 / 20
f (x) = 2x si x 2�0, 12�y f (x) = 1 si x 2 (12 , 1]
(0, 0, 0, ...)
x1 2 [0, 1), x2 = x12 , x3 =
x22�
x1,x12 ,
x14 ,
x18 , ...
��1, 12 ,
14 , ...
�lim fXi , fig es homeomorfo al intervalo [0, 1]
RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 16 / 20
f (x) = 2x si x 2�0, 12�y f (x) = 1 si x 2 (12 , 1]
(0, 0, 0, ...)x1 2 [0, 1), x2 = x1
2 , x3 =x22
�x1,
x12 ,
x14 ,
x18 , ...
��1, 12 ,
14 , ...
�lim fXi , fig es homeomorfo al intervalo [0, 1]
RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 16 / 20
f (x) = 2x si x 2�0, 12�y f (x) = 1 si x 2 (12 , 1]
(0, 0, 0, ...)x1 2 [0, 1), x2 = x1
2 , x3 =x22�
x1,x12 ,
x14 ,
x18 , ...
�
�1, 12 ,
14 , ...
�lim fXi , fig es homeomorfo al intervalo [0, 1]
RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 16 / 20
f (x) = 2x si x 2�0, 12�y f (x) = 1 si x 2 (12 , 1]
(0, 0, 0, ...)x1 2 [0, 1), x2 = x1
2 , x3 =x22�
x1,x12 ,
x14 ,
x18 , ...
��1, 12 ,
14 , ...
�
lim fXi , fig es homeomorfo al intervalo [0, 1]
RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 16 / 20
f (x) = 2x si x 2�0, 12�y f (x) = 1 si x 2 (12 , 1]
(0, 0, 0, ...)x1 2 [0, 1), x2 = x1
2 , x3 =x22�
x1,x12 ,
x14 ,
x18 , ...
��1, 12 ,
14 , ...
�lim fXi , fig es homeomorfo al intervalo [0, 1]
RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 16 / 20
f (x) = 2x si x 2�0, 12�y f (x) = 3
2 � x six 2 (12 , 1]
lim fXi , fig es homeomorfo a la cerradura de la
grá�ca de la función sen(1/x) .
RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 17 / 20
f (x) = 2x si x 2�0, 12�y f (x) = 3
2 � x six 2 (12 , 1]
lim fXi , fig es homeomorfo a la cerradura de la
grá�ca de la función sen(1/x) .
RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 17 / 20
f (x) = 2x si x 2�0, 12�y f (x) = 3
2 � x six 2 (12 , 1]
lim fXi , fig es homeomorfo a la cerradura de la
grá�ca de la función sen(1/x) .
RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 17 / 20
f (x) = 2x si x 2�0, 12�y f (x) = 2� 2x si
x 2 (12 , 1]
Knaster o herradura de Smale
RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 18 / 20
f (x) = 2x si x 2�0, 12�y f (x) = 2� 2x si
x 2 (12 , 1]
Knaster o herradura de Smale
RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 18 / 20
f (x) = 2x si x 2�0, 12�y f (x) = 2� 2x si
x 2 (12 , 1]
Knaster o herradura de Smale
RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 18 / 20
TEOREMA
Sea f : [0, 1]! [0, 1] continua. Si f tiene un puntode periodo tres, entonces lim
f[0, 1] , f g contiene un
indescomponible.
RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 19 / 20
TEOREMASea f : [0, 1]! [0, 1] continua. Si f tiene un puntode periodo tres, entonces lim
f[0, 1] , f g contiene un
indescomponible.
RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 19 / 20
TEOREMASea f : [0, 1]! [0, 1] continua. Si f tiene un puntode periodo tres, entonces lim
f[0, 1] , f g contiene un
indescomponible.
RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 19 / 20
Gracias
RL (ESFM) Límites Inversos 11 de octubre de 2018 20 / 20
Recommended