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Sequências numéricas: Sequências de número com uma lógica entre elas. Exemplos:
P.A. P.G. Sequência Fibonacci (1;1;2;3;5;8;13;...)
Uma sequência pode ser
Convergente: tem um limite bem definido. Divergente: se oscila ou tende ao infinto.
Critérios de convergência:
1. Sendo termo geral da sequência, ela converge se e somente se:an (real e finito). L lim
n→∞an = ∈ R
Exemplo:
2. Se for crescente e limitada superiormente.an Crescente: se an > m⇔ n > am
Limitada superiormente se existe um número real M tal que para qualquer n, an < M
Exemplo:
Cálculo do L:
Coisas que você tem que saber:
Limite fundamental: limn→0 n
sen n = 1
Relações do número de Euler: 1( + n
1)n ⇒ ( nn+1)n ⇒ e
( nn+1)⇒ e
1 ( n
n+α)n ⇒ eα
Séries numéricas: Soma de uma quantidade infinita de termos que tem um resultado finito.
Se é uma sequência numérica, , dizemosan | S ..an ∈ R n = a1 + a2 + . + an
que a série é convergente se . Escrevemos∑∞
n=1an L (L )lim
n→∞Sn = ∈ R
.∑∞
n=1an = L
Lembrar das fórmulas de P.G.!
Termo geral: an = a1 * qn−1 Soma de até : (não é utilizada nos exercícios) an a1 Sn = 1−q
a (1−q )1* n
Soma de TODOS os termos, quando : (IMPORTANTE!)q| | < 1 S∞ =a11−q
Teorema: Se é convergente, então , mas a recíproca não∑∞
n=1an lim
n→∞an = 0
é verdadeira.
O teorema acima serve simplesmente para demonstrar divergência (usar em
séries cujo limite do termo geral é “obviamente” diferente de zero).
Séries harmônicas (decora essa porra):
Do tipo , sendo que:∑∞
n=1
1nα
iverge (harmônica)α = 1 ⇒ d iverge (todos os termos são 1, soma de valor inf inito)α = 0 ⇒ d iverge (expoente negativo, inverte a f ração, soma vai ao inf inito)α < 0 ⇒ d iverge (pelo crit. da comparação, maior que harmônica)0 < α < 1 ⇒ d ONV ERGEα > 1 ⇒ C
Critérios de convergência:
1. Critério da Comparação
, sequências numéricas, com . Então:an bn ≤0 ≤ an bn
converge converge∑∞
n=1bn ⇒ ∑
∞
n=1an
diverge diverge∑∞
n=1an ⇒ ∑
∞
n=1bn
A idea por trás desse critério é que se uma série é menor que outra “limitada” (convergente), ela só pode também ser limitada e portanto convergente. Já caso ela seja maior que outra “infinita” (divergente), ela também deve ser infinita.
2. Critério da Comparação no Limite
, sequências numéricas, com e . Fazendo :an bn 0 < an 0 < bn limn→∞ bn
an = L
, então0 < L < ∞ : u ambas convergem ou ambas divergemo
, entãoL = ∞ :
converge converge∑∞
n=1an ⇒ ∑
∞
n=1bn
diverge diverge∑∞
n=1bn ⇒ ∑
∞
n=1an
, entãoL = 0 :
converge converge∑∞
n=1bn ⇒ ∑
∞
n=1an
A ideia desse critério é parecida com a do da comparação simples.Embora a
explicação a seguir não tenha nenhum rigor matemático, ajuda na compreensão. Basta fazer uma comparação com o cálculo de limite do quociente de 2 funções. Se o valor do limite da razão for um número natural, é porque ou tanto numerador quanto denominador são naturais, ou seja, as séries convergem para determinado valor, ou porque ambas tendem a infinito e portanto divergem (lembrem de L’Hospital).
Já se L tende a infinito e o numerador converge (ou seja, é “um número natural”), o denominador deve tender a zero (e portanto converge). Já se o denominador diverge (tende ao infinito), o numerador tem que ser ainda maior para a razão também tender ao infinito e portanto ele diverge também.
No caso que o limite da razão tende a zero e o denominador converge, ou seja, é um número natural, então o numerador deve tender a zero e portanto converge também.
3. Critério da Integral
Sendo , e considerando uma função contínua , num∑∞
n=0an (x) | f (x)f = an
intervalo onde todo , que obedece os seguintes critérios:p; [[ ∞ n ≥ p
positiva ( (x) )f > 0 decrescente f (x)lim
x→∞ = 0
Então, se (e se uma divergir, a outra(x) dx converge ∫∞
pf ⇔ converge∑
∞
n=0an
diverge também).
A seguinte imagem ilustra a ideia do critério da integral. Se a soma da área
embaixo da função (ou seja, a integral da função) convergir, a soma das barrinhas (ou seja, o valor da série) também converge pois é menor.
4. Critério da Razão
Considere uma série . Calculando an > 0 limn→∞ an
an+1 = L :
L < 1 ⇒ converge∑∞
n=1an
L > 1 ⇒ diverge∑∞
n=1an
ada se concluiL = 1 ⇒ n
Caso L for menor que 1 significa que para n grande o suficiente a sequência se
torna uma P.G. de razão menor que 1 e portanto converge.
5. Critério da Raiz
Considere uma série . Calculando an > 0 limn→∞√
n an = L :
L < 1 ⇒ converge∑∞
n=1an
L > 1 ⇒ diverge∑∞
n=1an
ada se concluiL = 1 ⇒ n
Se a raiz “infinita” for menor que 1, ao elevarmos ela ao infinito para retornarmos ao valor original ela vai tender a zero. Portanto, para n grande o suficiente, todos os termos são 0 e portanto a sequência converge.
6. Critério da Leibniz (para séries alternadas somente)
Considere uma série alternada do tipo . Se:a∑∞
n=0(− )1 n
n
an > 0 lim
n→∞an = 0
decrescentean
Então é convergente.a∑∞
n=0(− )1 n
n
A seguinte imagem ilustra e exemplifica a ideia por trás desse critério.
Convergência absoluta e condicional (para séries alternadas):
converge absolutamente se converge.∑
an a |∑
| n
converge condicionalmente se converge mas diverge∑
an ∑
an a |∑
| n
Erro de aproximação (para séries alternadas): Considere uma série alternada. Sendo L o valor “verdadeiro” da soma da série, e um Sn valor aproximado dessa soma após k passos, o erro da aproximação é dado por | |L − Sn. Mas, como a cada passo o sinal é invertido, o erro após k passos é sempre menor que o valor do termo após k+1 passos. Basta então fazermos .rro ak+1 ≤ e
Resolução de provas Nos últimos anos, as provas de cálculo tem seguido um certo padrão. Questão 1:
Pergunta se algumas sequências são convergentes ou não e, em caso positivo, para você definir o valor para que convergem. Muitas vezes, pergunta de 2 sequências: uma ele dá o termo geral e você prova que converge/ diverge fazendo o limite. Nesse tipo de questão, vale lembrar de 2 sacadas meio “clássicas”:
Qualquer coisa do tipo pode ser transformada em uma potência de e. ( nα+βn)n
Expoentes “estranhos”, presença de ln substituir o termo geral por⇒ , calcular o limite do expoente, elevar e a esse limite e achar o limiteeln termo geral
pedido. Sempre lembre da possibilidade de usar L’Hospital no cálculo dos limites!
Na outra sequência, te dá a “logica”, e não um termo geral propriamente dito.
Nesses casos, é mais fácil provar convergência mostrando que ela é limitada inferiormente (muitas vezes >0, pois é positiva) e decrescente. Para provar a decrescência, podese calcular a razão de 2 termos gerais consecutivos, , quean
an+1 deve ser < 1, ou provar que é sempre negativo. Para achar o valor para o qual an+1 − an ela converge nesse caso, substitua tanto quanto por L na equação que os an+1 an relaciona e achar o valor de L. Questão 2 Pede para analisar a convergência de 3 sequências. Algumas dicas são:
Fatorial? Critério da razão Algo isolado elevado a n? Critério da raiz 1/ln n * n e suas variações, funções aparentemente meio bizarras? Pode ser
critério da integral Quociente de polinômios de graus diferentes? Comparação no limite com
harmônica de grau = diferença dos graus dos polinômios, para igualar os graus.
Algo que lembre mais ou menos um harmônica? Tente analisar se é possível usar comparação/ comparação no limite
Alternada? Leibniz! Depois verificar a convergência do módulo para saber se é absoluta ou condicional
Questão 3 Pede para achar o valor de determinada variável para qual uma sequência converge. De forma geral, essa variável pode aparecer como numa série alternada (série (x )− α n de potência) ou como parte de um expoente. No primeiro caso, utilizar critérios da raiz ou razão no módulo para achar os valores que satisfazem a relação de ser < 1, onde portanto a sequência converge absolutamente. Para os valores no limite, onde a razão/ raiz = 1, analisar isoladamente (provavelmente em um dos casos devese utilizar Leibniz). No segundo caso, tentar comparar com alguma harmônica, achando então os valor do expoente para qual a sequência converge. Lembrese sempre de explicitar da maneira mais clara possível os valores para que a sequência diverge, converge absolutamente e converge condicionalmente. Para não ter erro em séries de potência, sempre fazer:
Converge absolutamente dentro do intervalo Diverge fora do intervalo O que acontece no limite inferior do intervalo? O que acontece no limite superior do intervaço?
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